第11天 充要条件-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第 11 天 充要条件 任务一 探学新知 知识点1充要条件 知识点3从集合的角度理解充分、必要条件 1.一般地，如果“若p,则g”和它的逆命题 下表为从集合A={x|p(x)}与集合B= “若q,则p”均是真命题，即既有p→q,又有q {x|q(x)}之间的包含关系推导出的p与g之 →p,就记作p台q.此时，p既是q的充分条件， 间的关系. 也是q的必要条件，我们就说，力是q的充分必 关系 图示 结论 函 要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充 x∈A→x∈B, p是q的充分 要条件，那么q也是饣的充要条件 A车B A B x∈Bx∈A 不必要条件 2.如果力是g的充要条件，g是s的充要 x∈B→x∈A, p是q的必要 条件，那么力也是s的充要条件 B手A B x∈A为x∈B 不充分条件 知识点2条件关系判定的常用结论 x∈A→x∈B, p是q的充要 A=B A(B) x∈B→x∈A 条件 p与g的关系 结论 易记口诀 充分性：条件→结论 A○B或AB p是g的既不 →q且 p是q的充分 A车B且 不必要性：结论书 不必要条件 B车A x∈Ax∈B,且 充分也不必要 p寺q 条件 x∈Bx∈A 条件 必要性：结论→条件 pq且 p是q的必要 不充分性：条件为 初高衔接 p←q 不充分条件 结论 解含有绝对值的不等式 b→q p是q的充要 充分性：条件→结论 且p←q, 不等式类型(a>0) 不等式的解 条件 必要性：结论→条件 即p台q lx|<a -a<x<a 不充分性：条件书 lx|>a x>a或x<-a p是q的既不 p为q,且 结论 充分也不必要 x-m|<a m-a<x<m十a pq 条件 不必要性：结论 x-ml>a x>m十a或x<m-a 条件 任务二 精研典例 题型1充分条件、必要条件、充要条件的判断 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 例1若A,B均为集合，则“A手B”是 C.充要条件 “A∩B=A”的(). D.既不充分也不必要条件 37 重难点手预备新高一 数学 解析 当AB时，A∩B=A成立.当A∩B= .a+b=1. A时，有A二B成立，不能得到A军B.故“AB”是 综上可知，当ab≠0时，a+b=1是a3+b3十 “A∩B=A”的充分不必要条件. ab一a2-b2=0的充要条件. 答案A 方法结业 方法恩结山 充要条件的证明方法 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1.定义法：分别证明充分性和必要性两个方面 1.定义法 在解题时要避免把充分性当作必要性来证明，这就 (1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件， 需要先分清条件与结论.若从条件推出结论，就是 哪个是结论 充分性；若从结论推出条件，就是必要性。 (2)判断“若p,则q”及“若q,则p”的真假. 2.等价法：就是从条件（或结论）开始，逐步推 (3)得出结论 出结论（或条件），但要注意每步都是可逆的，即反 2.集合法：写出集合A={xp(x)}及B={x 过来也能推出， q(x)},利用集合间的包含关系进行判断 3传递法：若问题中出现若干个条件和结论， 题型 3 根据充分条件、必要条件、充要条 应根据条件画出相应的“推式图”，根据图中推式的 件求参数值或范围 传递性进行判断。 例3已知全集U=R,非空集合A={x 4.特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值 或特殊情况，用来说明由条件（结论）不能推出结论 x-2<0,B={xl(x-a)(x-a2-2)<0. (条件)，但这种方法不适用于证明题 x-3 题型2 充要条件的证明 (I)当a=2时，求(CuB)UA; 例2已知ab≠0，求证：a十b=1是a3十 (2)条件p:x∈A,条件q:x∈B,若q是 b3+ab-a2-b2=0的充要条件. p的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 证明充分性：，a十b=1, 2时，A={x2<x<3, 1 解析(1)，当a= ∴.b=1-a. .a3+b3+ab-a2-b2 B=}x<, =a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2 =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2 (CuB)UA=z≤2或>2 =0， (2)A={x2<x<3}, 即a3+b3+ab-a2-b2=0. a+2》-a=a-》+7>0, 必要性：.a3十b3十ab-a2-b2=0, .(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0. .a2+2>a, .∴.(a2-ab+b2)(a+b-1)=0. .B={x|(x-a)(x-a2-2)<0} 又.ab≠0， ={x|a<x<a2+2}. ∴.a≠0且b≠0. 又，q是p的必要不充分条件， a2-a+6=(a2+0>0 .q∈p且qpp,∴.AB, a≤2， ∴.a+b-1=0. a2+2>3, 38 第11天充要条件 |a≤2， 解得a≤-1或1≤a≤2. a≥1， 故实数a的取值范围为{aa≤-1或l≤a≤2}. 任务三 自主测评 A基础练 5.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1 对称的充要条件是 1.“x<2”是“x2<4”的( 6.已知P={xx2-3x+2≤0}，S={x|1- A充分不必要条件 m≤x≤1十m}. B.必要不充分条件 (1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充 C.充要条件 要条件？若存在，求出m的取值范围；若 D.既不充分也不必要条件 不存在，请说明理由。 函 2王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之 (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必 奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所 要条件？若存在，求出m的取值范围；若 罕至焉，故非有志者不能至也.”从数学逻辑 不存在，请说明理由。 角度分析，“有志”是“能至”的( A充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充要条件 D.必要不充分条件 3设甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条 件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条 件，那么(). A.丙是甲的充分条件但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件但不是甲的充分条件 C,丙是甲的充要条件 D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要 条件 4.(多选)若A={x∈Rx2-ax十a2-3=0}, B={xx<0},则“A∩B=”是真命题的 一个充分不必要条件的是(). Aa<-2或a≥3 B.a<-2 C.a>√3 D.a<-2或a>2 39 重难点手预备新高一 数学 ⑧能力练 (2)若p是q的充要条件，求实数a,b的值. 7.(多选)设x,y∈R,下列说法中正确的是 (). A“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件 B.“x>1,y>1”是“x十y>2,xy>1”的充要 条件 C.“xy=0”是“x2十y2=0”的必要不充分 条件 D.“x2≠4”是“x≠2”的充分不必要条件 8.已知力：3>0,9：x2+2ax+2a十b 1>0. (1)若b=4时，x2+2ax十2a十b-1>0在R 上恒成立，求实数a的取值范围； 40当a>-3时，需1B且2B. 将x=2代入B中的方程，得a=一1或a= -3;将x=1代入B中的方程，得a2+2a一 2=0,解得a=-1土√3.∴.a≠一1且a≠ -3且a≠一1士√3.∴.实数a的取值范围是 实数{aa≠-1且a≠-3且a≠-1土√3}. 第10天充分条件与必要条件 1.B[因为p是q的充分条件，所以p→q,所以 q是p的必要条件] 2.B[因为正方形的四条边相等，但四条边相等 的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条 边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.] 3.A[若A二B,则有m∈B且m≠3，所以m= 1或m=5,故当m=1时，有A二B,而A二B 时，m不一定是1，故m=1是A二B的充分条 件，不是必要条件.] 4.BC[在B中，由xy=0不能推出x=0且y= 0,故B不正确；在C中，“-2<x<2”是“x<2” 的充分条件，故C不正确.] 5.x>2(答案不唯一).[由x>2一定能推出 x>1,所以使“x>1”成立的一个充分条件为 “x>2”.] 6.由于p:-1<x<3,又由-a<x-1<a,得1 -a<x<1+a,依题意，得{x|-1<x<3}二 1-a≤-1， {x|1-a<x<1+a},所以 解得 1+a≥3， a≥2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是 {b|b<2. 7.AC[要使q为p的必要条件，即p→q,则p, q对应集合间的关系应为{x|x>10}二{xx> a},故a≤10，则AC符合条件.] 8.由x一2>0，得x>2.设p:x一2>0对应集合 为A={x|x>2},q:ax-4>0对应集合为B ={xlax-4>0}. (1)若饣是g的充分条件，则A二B. 10 a>0, 由题意，得生≤2， 得a≥2. a 故实数a的取值范围为{aa≥2. (2)若p是q的必要条件，则B二A.分类讨论： ①当a=0时，B=☑，符合题意； ②当a>0时，根据题意，得≥2，解得0<a ≤2； ③当a<0时，B-{女z<,不符合题意 综上所述，实数a的取值范围为{a|0≤a≤2. 第11天充要条件 1.B[x2-4=(x+2)(x-2)<0台-2<x<2, 记A={xx<2},B={x|一2<x<2},则B A,所以“一2<x<2”是“x<2”的充分不必要 条件，故“x<2”是“-2<x<2”的必要不充分 条件，即“x<2”是“x2<4”的必要不充分 条件.] 2D[由题意知，“有志”不一定“能至”，但“能 至”一定“有志”，所以“有志”是“能至”的必要不 充分条件.] 3.A[,甲是乙的必要条件，.乙→甲 又丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件， .丙→乙，但乙丙. 乙 甲 ∥个 (丙) 结构示意图如图所示，综上，有丙→乙→甲，但 是乙≯丙故有丙→甲，但是甲≯丙，即丙是甲 的充分条件，但不是甲的必要条件.] 4BCD[(直接求充分不必要条件不好想，可考虚先求充要 条件，得到a的范周，再取它的一个真子集) A∩B=必台A为空集或A的元素都非负台方 程x2-ax十a2一3=0没有实数解或只有非负 实数解.当方程x2一a.x十a2一3=0没有实数 解时，△=(-a)2-4(a2-3)=12-3a2<0,解 得a<-2或a>2;当方程x2-a.x十a2-3=0 只有非负实数解时， △=12-3a2≥0， x1十x2=a≥0，解得√3≤a≤2. x1x2=a2-3≥0， 综上所述，A∩B=0的充要条件是a<-2或 a≥√3，这恰好是A选项的结果，所以A选项 是A∩B=☑的充要条件，选项BCD对应的集 合都是集合{a|a<-2或a≥√3}的真子集， 所以它们都是A∩B=必的充分不必要条件.] 5.m=一2.[函数y=x2+mx+1的图象关于 直线x=1对称，则--1，即m=-2:反之， 若m=一2，则y=x2-2x十1的图象关于直线 x=1对称.] 6.(1)P={xx2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}： 要使x∈P是x∈S的充要条件，则P=S,即 |1-m=1, 此方程组无解，则不存在实数m,使 1+m=2, x∈P是x∈S的充要条件 (2)要使x∈P是x∈S的必要条件，则S二P. 当S=⑦时，1-m>1十m,解得m<0; 当S≠☑时，1-m≤1十m,解得m≥0， 1-m≥1， 要使S三P,则有 解得m≤0，所以 1+m≤2， m=0. 综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的 必要条件。 7.ACD[因为x2>1的解集为{xx<-1或 x>1,所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要 条件，故A正确. 当“x>1,y>1”时，“x十y>2,xy>1”一定成 立，反之“x十y>2,xy>1”成立时，“x>1,y> 1”不一定成立，如举例x=4,y=3,所以“x> 1,y>1”是“x十y>2,xy>1”的充分不必要条 件，故B错误 当“x2+y2=0”时，“xy=0”一定成立，反之 “xy=0”成立时，“x2十y2=0”不一定成立，例 如x二1，y=0,所以“xy=0”是“x2十y2=0”的 上举反例 必要不充分条件，故C正确. 当“x2≠4”时，满足“x≠2”；当“x≠2”时，“x2≠ 4”不一定成立，例如x=一2，所以“x2≠4”是 “x≠2”的充分不必要条件，故D正确.] 8.(1)若x2+2a.x十2a+3>0在x∈R上恒成 立，则△=4a2-4(2a+3)<0,所以有-1<a< 抛物线y=x2+2ax+2a十3上的，点静在x轴上方 3,所以实数a的取值范围为{a|一1<a<3. 2)3>09(x=2)(x-3)>0→x>3或 x<2,根据条件可知x2十2ax十2a十b一1>0 的解集是{x|x<2或x>3},即方程x2十 2ax十2a十b一1=0的两个根为2和3，根据韦 1-2a=5, 达定理有{ 2a+b-1=6, 5 a=-2' 解得 b=12. 第12天全称量词与存在量词 1.D 20【0取x-号则2x+1-号eZ假命题 ②取x=-2,-2<-1,假命题. ③Hx∈Z,2x2+1均为奇数，真命题.] 3.B[x2+2x十3=0的△=-8<0，故方程无实 根，即3x∈R,x2十2x十3=0错误，故A错 误；x2>1台x<-1或x>1,故“x>1”是 “x2>1”的充分不必要条件，故B正确；当x≤ 1时，x3≤x2,故Hx∈N,x3>x2错误，故C错 误；若a=1,b=-1,则a>b,但a2=b2,故D 错误.] 4.ABD[C选项是全称量词命题，ABD选项符 合题意，故选ABD.] 5.AC[因为|x1≥0，|x-1|≥0，所以|x|+ 11