2 第1天 集合的概念-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

第二周 集合与常用逻辑用语☑ 多第1天 集合的概念 温故知新 1.把满足一定条件的所有数放在一起，就组成 (2)按符号分类 一类数的集合 正整数 正有理数 2.有理数和无理数统称实数： 正分数 3.有理数的分类 有理数0 (1)按形式分类 负整数 负有理数 正整数 负分数 整数{0 4.线段的垂直平分线可以看成与这条线段两 有理数 负整数 个端点距离相等的所有点的集合 正分数 5.圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等 分数{ 负分数 于定长（半径）的点的集合 第1步 学新知 知识点1元素与集合的含义 ★★★☆☆ 续表 1.元素与集合的含义 关系 概念 符号 读法 般地，我们把研究对象统称为元素，把 如果a不是集合A 不属于 中的元素，就说a不 aA a不属于A 些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 属于集合A 我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示 易错提醒 集合，用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中 的元素 符号“∈”“生”只能用在元素与集合之间，表示 2.元素与集合的关系 元素与集合之间的从属关系. 元素与集合有且只有两种关系：属于和不 3.集合中元素的三个特性 属于 特性 含义 示例 关系 概念 符号 读法 给定的集合，它的元素 若用集合A表 必须是确定的，也就是 如果a是集合A的 确定性 示中国23个省 说，给定一个集合，那 属于 元素，就说a属于集 a∈A a属于A 么一个元素在或不在 的省会，则郑 合A 这个集合中就确定了 州∈A,洛阳庄A 19 预备新高一数学8 续表 2.表示集合的三种基本方法 特性 含义 示例 对于常用数集之外的集合，我们除了用自 然语言描述一个集合（用文字叙述的形式描 一 个给定集合中的元 素是互不相同的，也就 若实数a,b∈ 述集合的方法)，还有以下三种常用方法： 互异性 是说，集合中的元素是A,则a≠b 方法 含义 不重复出现的 把集合的所有元素一一列举出 由1,0构成的 列举法 来，并用花括号“{ }”括起来表 构成集合的元素间无 集合和由0,1 无序性 示集合的方法 先后顺序之分 构成的集合是 同一个集合 般地，设A是一个集合，我们把 4.集合相等 集合A中所有具有共同特征 描述法 P(x)的元素x所组成的集合表示 只要构成两个集合的元素是一样的，我们 为{x∈AIP(x)} 就称这两个集合是相等的.集合A与集合B 相等记作A=B. 图示法 用平面上封闭曲线的内部表示集 (Venn图) 合的方法 5.集合的分类 有限集 含有有限个元素的集合； 易错提醒 无限集 含有无限个元素的集合： 1.使用列举法表示集合的关注点 知识点/2集合的表示方法 ★★★☆☆ (1)元素之间用“，”隔开； 1,常用数集及其记法 (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性； 数集 意义 符号 (4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合 非负整数集 全体非负整数组成 的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元 N (或自然数集) 的集合 素间的规律性表述清楚后才能用省略号. 2.使用描述法表示集合的关注点 全体正整数组成的 正整数集 N或N (1)写清楚该集合中元素的代表符号，如{x∈ 集合 RIx>1}不能写成{x>1}; 全体整数组成的 (2)对于元素的个数不确定且元素间无明显规 整数集 集合 律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集 合中元素的共同特征描述出来，即采用特征性 全体有理数组成的 质描述法； 有理数集 Q 集合 (3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Zlx=2m中 m未被说明，故此集合中的元素是不确定的； 全体实数组成的 实数集 (4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元 集合 素之间关系的词语，如xx<-1或x>1}等. 20 第二周集合与常用逻辑用语 第2步 过典例 题型1)元素与集合关系的判断 典例①（多选题）若集合A={x1x2+2x-8=0},则下列关系正确 即学即练 [答案见P9] 的是( A.-2∈A B.2∈A C.4∈A D.-4∈A 1.若集合M由大于-2且小于 【解析】由x2+2x-8=0,可得(x+4)(x-2)=0, 1的实数构成，则下列关系式 解得x=-4或x=2, 正确的是( 所以A={-4,2},因此2∈A,-4∈A. A.√5∈M B.OM 【答案】BD C.1∈M 名师点睛 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只需判断该元素在已 知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的. (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满 足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具 有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件， 题型2已知元素与集合的关系求参数 典例2已知集合A中有三个元素：a-3,2a-1,a2+1.若-3∈A,求 2.若3e{m-1,3m,m2-1}, 实数a的值. 则实数m= 【解析】因为集合A中有三个元素：a-3,2a-1,a2+1,且-3∈A, 所以a-3=-3或2a-1=-3,解得a=0或a=-1. 当a=0时，集合A中的元素为-3，-1,1，成立； 当a=-1时，集合A中的元素为-4，-3,2，成立. 故实数a的值为0或-1. 题型3)利用集合相等求参数 常考 b 典例图已知集合A中有三个元素：a,。,1.集合B中也有三个元 3.已知集合A中有三个元素： x,y,1.集合B中有三个元素： 素：a2,a+b,0.若A=B,则a2+b2的值为 1,x2,2y.若A=B,则x-y的值 【解析】由集合A中元素为a,a,l,可知a≠0， 为」 因为集合B中元素为a2,a+b,0,且A=B, 21 预备新高一数学8 所以2=0，即6=0， 此时集合A中元素为a,0,1;集合B中元素为a2,a,0. 易得a2=1,解得a=±1. 经检验，当a=1时，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当a=-1时，符合题意 综上，a=-1,b=0,所以a2+b2=1. 【答案】1 易错提醒 利用集合相等求参数 (1)对比两个集合，然后确定两个集合中对应相等的元素，建立方程 (组)求解.若相等关系不明确，则需要分类讨论。 (2)求得参数后，注意代入检验，看是否满足集合中元素的互异性。 题型4) 集合表示方法的应用 4.用适当的方法表示下列 典例4(1)用列举法表示下列集合： 集合： ①大于-2且小于2的所有整数组成的集合； (1)所有小于13的既是奇数 [x+y=0, 又是素数的自然数组成的 ②方程组 的解组成的集合 x2+y2=2 集合； (2)用描述法表示下列集合： (2)二次函数y=x2+2x-10的 ①大于7的所有奇数组成的集合； 图象上所有点的纵坐标组成 ②二次函数y=x2-2的图象上的所有点组成的集合. 的集合 【解析】(1)①大于-2且小于2的整数有-1,0,1， 故集合表示为{-1,0,1}. x+y=0, x=1, ②解方程组 x2+y2=2,y=1y=-1. 表示集合时写成有序实数对的形式， 故集合表示为{(-1,1)，(1，-1)}. (2)①所有的正奇数组成的集合可表示为{x|x=2n+1,neN}, 故大于7的所有奇数组成的集合可表示为{xlx=2n+1,n≥4且n∈N} 或{xlx=2n+7,neN*}或{xlx=2n+1,x>7且neN}等 ②二次函数y=x2-2的图象上的所有点组成的集合为{(x,y)ly=x2-2}. 22 第二周集合与常用逻辑用语 第3步 练新题 日答案见P9 ⑨建议用时：25分钟 羽实际用时： 分钟 1.(多选题)下列每组对象，能构成集合的是 () 6巴知案合A{43eZ,yeZ,求 A.中国各地最美的乡村 集合A中元素的个数. B.小于5的正整数 C.一切很大的数 D.参加某次运动会的全体运动员 2.下列关系式正确的是( ) A.OEN C.-3Z D.T∈Q 3.用符号“∈”和“”填空： 7.用列举法表示下列集合： (1)若集合A是正整数的集合，则0A, √2A; (1A-eNe (2)若集合B是小于√1I的所有实数的集 (2n-1cNseN 合，则23B,2√2 B. 4.若-5∈{xx2-ax-5=0},则集合{x1x2-4x- a=0}中所有元素之和为 5.已知集合A是由0，m,m2-3m+2三个元素 组成的集合，且2∈A,则实数m的值 为 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 1.元素与集合的含义 1、3、4、5 2.集合的表示方法 2、6、7 今天的我： ☐超级棒！☐还不错！ ☐需要继续努力。 233参考答案8 ①当2≥-1，即≥2时，当-2≤x≤-1 在x=-2或x=-1时取得 当x=-2时，y=t-1,当x=-1时，y=-2t. 时，y随x的增大而减小，所以当x=-2时， y取得最大值，所以ymax=t-1; 若1=-2，n=写期=子 ②当≤-2，即0c1≤时，当-2≤≤-1 若t--2,即写则-1： 时，y随x的增大而增大，所以当x=-1时， y取得最大值，所以ymx=-2t; 若-l<-2,即 1 4<3则ym=-2u ③当-2<士-1，即<3时.当2≤≤ -2t,0<tK3’ 1 时，y随x的增大而减小，当≤-1 综上所述，ymax= 1 时，y随x的增大而增大，所以y的最大值 t-1,≥3 第二周集合与常用逻辑用语 第1天集合的概念 经检验，不满足集合中元素的互异性，舍去 【即学即练】 1 解得0， 「x=2y, x=2' 1.D【解析】根据题意，若实数a∈M,则-2< 或 y=0 a<1.因为2<5<3,7-1.57，所以54 y-4 1 经检验，只有x= M.0cMlMe. 4满足题意，则x 2,y= 1 2.4或±2【解析】当m-1=3时，m=4,此时 y4 3m=12,m2-1=15,故m=4符合题意；当 4.(1)小于13的既是奇数又是素数的自然数 3m=3时，m=1,此时m-1=m2-1=0,不满 有4个，分别为3,5,7,11，组成的集合可用 足集合中元素的互异性，故舍去；当m2-1= 列举法表示为{3,5,7,11}. 3时，m=±2，经检验m=±2符合题意.综上 (2)该集合是数集，故可用描述法表示为 可知，m=4或m=±2. {yly=x2+2x-10. ·【解析】因为集合A和集合B相等，所 【练新题】 1.BD 以分两种情况讨论： 2.A【解析】对于A,0是自然数，则有0∈N, @/, 解得0或 ly=2y,y=0ly=0. 符合题意：对于B,弓是不可约分数，则有 9 3 预备新高一数学8 弓eN,不符合题意；对于C,-3是负整数， 所以A={0,3,4,5. (2)由(1)知B={1,2,3,6}. 则有-3∈Z,不符合题意；对于D,π是无理 第2天集合间的基本关系 数，则有πQ,不符合题意。 3.(1)主使(2)庄∈ 【即学即练】 【解析】(1)正整数是不包含0的自然数，显 1.C【解析】分别取k=…,0,1,2,3,4,…,可 然0和√2都不属于A. 13579 得A=…,444,44,… ;分别取 (2)因为2√3=12>√J11,所以2√3EB;因 为22=8<√/11，所以2W2∈B. =-10,12,3,45,…,可得B={4 4.2【解析】因为-5e{xlx2-ax-5=0},所以 131537 (-5)2+5a-5=0,解得a=-4,则方程x2- 241,42,4,… ,易知集合A中任 4x-a=0即x2-4x+4=0的解为2.故集合 一元素均为集合B中的元素，但集合B中的 {xlx2-4x-a=0}中所有元素之和为2. 有些元素（如1）不在集合A中，故AB. 5.3【解析】因为2eA,所以m=2或m2- 2.集合A的非空子集分别是{1}，{3}，{5}， 3m+2=2,所以m=2或0或3.经检验m=2 {1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}. 或0时不满足集合中元素的互异性，故 3.因为a+3>a+1,所以B≠☑.利用数轴表示 m=3. BCA,如图1,2所示，a+3<-5或a+1≥4，解 6.因为x∈Z,y∈Z,即 +3∈Z,所以x+3的取 得a<-8或a≥3.所以实数a的取值范围为 {ala<-8或a≥3}. 值可能为±1，±2，±4，分别代入，可得y=±4， ±2，±1，所以集合A中元素的个数为6. B A a+1a+3-5 0 6 图1 6-x 7.(1)由题意可得 所以0≤x<6. 6-x≠0， AB 0 4a+1a43x x≥0， 图2 又x∈N,所以x=0,1,2,3,4,5. 【练新题】 当x分别为1,2时，6二相应的值分别为号， 6 1.D【解析】因为M={xlx-2<0,x∈N}={0, 1},所以0∈M,-1M,故选项A,B错误； 含，不是自然数： 根据元素与集合、集合与集合的关系，应为 1∈M或{1}CM,故选项C错误，选项D 6 当x分别为0,3,4,5时，6相应的值分别 正确。 为1,2,3,6，是自然数， 2.C【解析】将集合A,B在数轴上表示出来， 10