3 第1天 等式性质与不等式性质-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

第三周 元二次函数、方程和不等式☑ 第1天 等式性质与不等式性质 第1步 学新知 知识点/1不等关系与不等式 ★☆☆☆☆ 知识点3等式的性质 ★★☆☆☆ 1.不等关系与不等式 性质1 如果a=b,那么b=a 在客观世界中，量与量之间的不等关系是 性质2 如果a=b,b=c,那么a=c 普遍存在的，用数学符号“≠”“>”“≥”“<” 性质3 如果a=b,那么a±c=b±c “≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间 性质4 如果a=b,那么ac=bc 的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不 等式 性质5 如果a=b,c≠0，那么0=b cc 2.用不等式组表示不等关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不 知识点/4不等式的性质 ★★★☆☆ 等关系时，需要用不等式组来表示不等关系 别名 性质内容 注意 例：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪 性质1 对称性 a>b台b<a 可逆 的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应 性质2 传递性 a>b,b>c→a>c 同向 「f≥2.5%， 不少于2.3%.用不等式组表示为 性质3 可加性 a>b台a+c>b+c 可逆 p≥2.3%. 推论 移项法则 a+b>c→a>c-b 可逆 知识点/2实数大小比较的基本事实 ★★☆☆☆ ra>b, →ac>bc; c>0 c的 性质4 可乘性 基本事实 数学语言 [a>b, 符号 →ac<bc lc<0 如果a-b是正数，那么a>b,反 过来也成立 a>b→a-b>0 同向 性质5 [a>b, →a+c>b+d 同向 可加性 lc>d 如果a-b等于0，那么a=b,反 a=b台a-b=0 过来也成立 性质6 同向同正 [a>b>O, 同向 可乘性 lc>d>0 →ac>bd 同正 如果a-b是负数，那么a<b,反 a<b台a-b<0 a>b>0-→a">b" 过来也成立 性质7 可乘方性 同正 (neN,n≥2) 46 3第三周一元二次函数、方程和不等式8 名师点睛 知识点/5倒数法则及其应用 ★★★☆☆ 如何准确把握不等式的基本性质 1.倒数法则 (1)在应用性质2时，如果两个不等式中有一个 带等号，而另一个不带等号，那么等号不能传递 (1)如果a>b>0,那么二 下去.如由a≥b,b>c不能得到a≥c,只能得到 (2)如果0>a>b,那么。方 11 a>c. (2)在应用性质4时，要特别注意c的符号.当 综合(1)(2)可知，如果a>b,且ab>0,那 c≠0时，有a>b→ac2>bc2;若没有“c≠0”这个条 件，则“a>b→ac2>bc2”是错误的. (3)注意不等式的单向性和双向性，也就是说每 条性质是否具有可逆性.性质1和性质3及性质 2.倒数法则的函数解释 3的推论是可逆的，其余的性质在一般情况下是 1 考虑反比例函数y=一，根据它的图象我 不可逆的. (4)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立 们知道在x<0和x>0时，y都随着x的增大而 的前提条件.如性质5要求两个同向不等式相加， 减小，由此即可解释上述不等式 第2步 过典例 题型1)比较大小 集例1已知a>0,>0,试比较+与a+6的大小 即学即练 [答案见P16] 【解折1方法-（作送法）：（后后）-(+)=（后6+（信 1.已知a>b>c>0,A=ab+bc, 2,6ga-6)(a-6）（a-6)（a+6） B=ac+b2,C=a2+b2,A,B,C L √ab √ab 的大小关系是 因为a>0,b>0,所以√a+√b>0,√ab>0,(a-√6)2≥0， 所以6-6)（a+6)≥0，所以+卢≥ ≥√a+b. √ad √b√a ab 方法二（作商法)： a(6)'+(Ja)'_(a+/B)(a+b-ab)_ a+W6√ab(√a+b)√ab(√a+√b) +6-画a-2+b画_(a-6)+@-14a-6≥1 ab √ab √ab ab 47 预备新高一数学8一 因为>0,6>0，所以2+>0，a+6>0,所以2+≥a+6. √b√a Wb√a 2.已知a≥1，试比较M= 方法三（平方法）：因为(“+b)-02B2 +6+2ad, √a+1-√a和N=√a-√a-1的 大小 (√a+b)2=a+b+2√ab, 所以(+6) -(a+B)=0, (a+b)=a+6-a26-a心 6+a ab a2(a-b)-b2(a-b)_(a+b)(a-b)2 ab ab a6≥0, 因为a>0,b>0,所以(a+b)(a-b)2 >0,√a+√b>0, √b√a 故0b ≥√a+6. √b√a 名师点晴 作差法和作商法的应用范围和步骤 方法 作差法 作商法 两数（式）的大小关系不明同号的两数（式）比较大小， 应用 显，作差后可化为积、商且易两数（式）的大小关系不明 范围于判断与0的大小关系的显，作商后易于判断与1的大 形式 小关系 ①作差；②变形；③判断差与 ①作商；②变形；③判断商与 步骤 0的大小关系；④下结论 1的大小关系；④下结论 题型2)利用不等式的性质判断命题的真假 3.(多选题)下列命题为真命 典例2（多选题）已知a,b,c∈R,且c≠0，则下列命题中是真命 题的有( ) 题的有( ) 1 1 A.若a>b>0,则a+>b+ 11 b A.如果a>b,那么< B.若a>b>0,则+10 B.如果ac<bc,那么a<b b+1b C.如果a>b,那么22 a、b C.若c>a>b>0,则--b a<6 D.若a≥b>-1,则a≥ b a+1产6+1 D.如果c>a>b>0,那么a6 c-a c-b 【解折对于A,取0=2,6=-1，满足a6,位，放A送项是征今题 48 3第三周一元二次函数、方程和不等式8 对于B,若c<0,则由ac<bc,可得a>b,故B选项是假命题.对于C,因为 c≠0，所以由不等式的性质4知，C选项是真命题.对于D,由c>a>b>0, 得a6=c(a-b) 0,所以0≥6 ,故D选项是真命题， 'c-a c-b (c-a)(c-b) c-a c-b 【答案】CD 名师点晴 证明一个命题为真，必须经过严谨且周密的逻辑推导；而要判定一 个命题为假，只需找到一个与之相悖的例子就足够了. 题型3)利用不等式的性质求范围 典例3(1)已知1<a<4,2<b<8,求2a+3b与a-b的取值范围； 4.已知2<a<3,-2<b<-1,分 (2)已知-6<a<8,26<3,求8的取值范围： 别求a+6,2a-6,a6,号的取位 (3)已知-1<a+b<4,且2<a-b<3,求2a-3b的取值范围. 范围. 【解析】(1)因为1<a<4,2<b<8, 所以2<2a<8,6<3b<24,-8<-b<-2, 所以8<2a+3b<32,-7<a+(-b)<2,即-7<a-b<2, 所以2a+3b的取值范围是8<2a+3b<32, a-b的取值范围是-7<a-b<2. ,111 (2)因为2<b<3,所以36<2 a ①当0≤a<8时，0≤6<4； ②当-6a<0时，-3<8<0 由①2得-3<分<4，即号的取值范国是-3<分<4 (3)设2a-3b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b, 1 [m+n=2, m-2 则 解得 lm-n=-3, 5 n-2 所以2a-3b=-(a46)+号a-6) 5 因为-1<a+b<4,2<a-b<3, 所以-2aw)5<a-05 1 49 预备新高一数学8 所以3<- a46)+a68,年3x2a-3动c8 所以2a-3b的取值范围是3<2a-3b<8. 名师点晴 已知p≤m1a+n,b≤q,r≤m2a+n2b≤s确定m3a+n3b(p,9,r,s,m1,n1, m2,n2,m3,几3均为实数)的取值范围时，可采用待定系数法，先令 m3a+n3b=入(m1a+n,b)+u(m2a+n2b),然后通过对应系数的关系建 立方程组求得入和μ的值，进而求出ma+n3b的取值范围.由于上 述三个式子都是关于a,b线性关系的代数式，因此可令m3a+nb= 入(m1a+n,b)+u(m2a+n2b),否则用其他的方法会造成所求范围比 实际范围大 题型4)不等式的实际应用 5.火车站有某公司待运的甲种 典例4有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售.现 货物1530t,乙种货物1150t, 在每个商场都推出了促销方案：到甲商场买一件衬衣优惠4元， 现计划用A,B两种型号的货 买两件衬衣则每件优惠8元，买三件衬衣则每件优惠12元… 厢共50节运送这批货物.已知 以此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价七折酬宾 35t甲种货物和15t乙种货 某单位欲为每位员工购买一件该衬衣，问：到哪个商场购买比较 物可装满一节A型货厢，25t 甲种货物和35t乙种货物可 合算？ 装满一节B型货厢，据此安排 【解析】设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y A,B两种货厢的节数，共有几 元、z元 种方案？若每节A型货厢的 r(80-4x)x,1≤x≤10，x∈Z, 由题意得，y= 运费是0.5万元，每节B型货 40x,x>10,x∈Z, 厢的运费是0.8万元，则哪种 z=80x70%x=56x(x≥1，x∈Z). 方案的运费最少？ ①若1≤x≤10，x∈Z,则y-z=(80-4x)x-56x=4x(6-x). 当1≤x≤5，x∈Z时，6-x>0,所以y-z>0,即y>z; 当x=6时，y-z=0,即y=z; 当7≤x≤10，x∈Z时，6-x<0,所以y-z<0,即y<z. ②若x>10,xeZ,则y-z=40x-56x=-16x. 因为-16x<0,所以y<z. 综上，若单位人数不超过5，则到乙商场购买更合算；若单位人数恰为 6,则到甲、乙商场购买一样合算；若单位人数超过6，则到甲商场购买 更合算 50 3第三周一元二次函数、方程和不等式& 第3步 练新题 日答案见P17 Q建议用时：30分钟 9实际用时：分钟 1.设a,6eR,则rac0是的( 5.设a>b>0,比较2+b2与。+b的大小 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列命题为真命题的是( 6.已知1<x<3,-2<y<-1. b+c b A.若a>b,则 (1)求2x+3y的取值范围； a+c a (2)证明：-4<xy+x-y<4. B.若a>b,c>d,则a-d>b-c C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a>b,则。-a 11 7.购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种 3.已知0≤a-b≤1,2≤a+b≤4，则4a-2b的取 不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定 值范围是() 量m(m>0)克，第二种是每次购买黄金定额 A.1≤4a-2b≤5 B.2≤4a-2b≤7 n(n>0)万元.在黄金价格有波动的情况下， C.1≤4a-2b≤6 D.0≤4a-2b≤9 选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡 4.设，y为实数，满足3≤≤8,4≤≤9， 量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 则，的最大值为( A.27 B.24 C.12 D.32 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 1.不等关系与不等式 5、7 2.实数大小比较的基本事实 5 3.不等式的性质 2、3、4、6 4.倒数法则及其应用 1、4 今天的我： 超级棒！ 还不错！ 需要继续努力。 51预备新高一数学8 第三周一元二次函数、方程和不等式 第1天等式性质与不等式性质 C选项是真命题.若a≥b>-1,则a+1≥b+ 【即学即练】 1>0,所以a-6、 a-b a+16+1(a+1)(6+1)≥0，所以 1.C>A>B【解析】由a>b>c>0,得a2>ab,b2> a+1产6+7，故D选项是真命题 a bc,因此C=a2+b2>ab+bc=A.因为A-B= (ab+bc)-(ac+b2)=(a-b)(b-c)>0,所以 4.因为2<a<3,-2<b<-1, A>B,所以C>A>B. 所以0<a+b<2, 2.方法一：因为a≥1，所以M=√a+1-√a>0, 所以a+b的取值范围是0<a+b<2. N=√a-√a-1>0, 因为2<a<3,-2<b<-1, 所以4<2a<6,1<-b<2, 则5<2a-b<8, 因为wJa+1+√a>√a+√a-1>0, 所以2a-b的取值范围是5<2a-b<8. 由2<a<3,1<-b<2, M 所以W<1,即M<N 得2<-ab<6,则-6<ab<-2. 方法二：因为a≥1，所以M=√a+1-√a>0, 所以ab的取值范围是-6<ab<-2. 11 N=√a-√a-1>0. 因为-2<b<-1,所以-1<6<2， aa,Naa后 1 1 M√a+i-a 所以1 √a+√a-1,√a+1tWa>a+√Ja-1>0, 又2a<3,所以1k3,则-3<8 11 所以MN>0,所以M<N 3BCD【解析】令a=2,6=号，则a+=6时 所以号的取值范围是-3<分<-1 a 5.设安排A型货厢x节，B型货厢y节，总运 ,故A选项是假命题，因为@>6>0，所以 费为z万元， 35x+25y≥1530， 18-20,所以故B选 则15x+35y≥1150，所以28≤x≤30. x+y=50, 项是真命题.由a>b>0,可得0<1<} a6,又c ,或 0则后后所以1后1，名故 a 共有三种方案， 16 参考答案8 方案一：安排A型货厢28节，B型货厢 b2,故C选项是假命题.对于D,当a=1,b= 22节； 方案二：安排A型货厢29节，B型货厢 -1时61则，2故D选项 21节； 是假命题 方案三：安排A型货厢30节，B型货厢 3.B【解析】令4a-2b=m(a-b)+n(a+b),可 20节 得4a-2b=（m+n)a-(m-n)b,所以 当/28， (m+n=4, 「m=3, 时，总运费z=0.5×28+0.8×22= 解得 所以4a-2b=3(a- y=22 m-n=2,ln=1, 31.6, b)+(a+b).因为0≤a-b≤1,2≤a+b≤4，所 x=29 以0≤3(a-b)≤3，所以2≤3(a-b)+(a+ 当 时，总运费z=0.5×29+0.8×21= y=21 b)≤7，即2≤4a-2b≤7 31.3, 当/30， 4.A【解析】由3≤xy≤8，得8≤y2≤子又 8- 时，总运费z=0.5×30+0.8×20= Ly=20 31. ≤9，所以16≤号s81,所以X16三 P 综上，安排A型货厢30节、B型货厢20节 时，运费最少 大值为27. 【练新题】 5.因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0, 1A【每折】齿为。6份所以当6<0 所以-a+b)（a-》0, 时，ab>0,b-a>0,所以 ,11_b->0,即 a2+b2 a2+b2 *60, a b ab a a2-b2 时，取a=1,b=-1,得不到a<b< 所以-（a+b°-1+2ab a-b a2+b2 a2*62>1, a+b 0.所以“a<b<0”是“1>"的充分不必要 > a b 所以。2-6a-6 条件 a2+b2a+6 2.B【解析】对于A,可以取a=2,b=1,c= 6.(1)由题意得2<2x<6,-6<3y<-3, 所以-4<2x+3y<3. -1,此时c<名，故A选项是假命题.对于 atc a (2)证明：由题意得1<-y<2, B,因为c>d,所以-d>-c.因为a>b,所以a- 则2<x-y<5,1<-xy<6, d>b-c,故B选项是真命题.对于C,当a= 所以-6<y<-1, -2,b=-1时，a2=4,ab=2,b2=1,则a2>ab> 所以-4<xy+x-y<4. 17 3 预备新高一数学8 7.设两次黄金的价格分别为x万元/克，y万 元/克，其中x>0,y>0,x≠y 3.B【解析】由正数x,y满足4+y=4,得+ 第一种购买方式：黄金的平均价格为”m+my= 2m 子44e仕)(“列产 xy(万元/克)： 2 任45)-当且仅当 第二种购买方式：黄金的平均价格为2n 即=弓=时取等号，所以的最小 2 4 nn x y 9 2y(万元/克). 值为4 x+Y 4.C 【解析】依题意得，年平均利润为氵= 因7-- 2(x+y)t>0, -22+50t-98-2x-98 50,t∈N. y>0,x≠y, t 所以0，即第二种购买方式黄金的 因为>0，所以2+98≥2,2 .98=28,当且 平均价格较低。 仅当21=终即：=7时，等号成立，所以5 故第二种购买方式更有利于控制投资成本. 第2天基本不等式 -28+50=22,当且仅当t=7时，等号成立，所 以当每条生产线运行的时间t为7年时，年 【即学即练】 平均利润最大 1.B【解析】由x>-3,可得x+3>0,所以2x+ 【练新题】 1 -6≥2 x+3 2(x+3)· x+3 1.D 【解析】因为0<，所以3-20，则由 1 6=2√2-6，当且仅当2(x+3)= t3,郎 基本不等式得，x(3-2)=2x(3-2x）≤ 2 =3+2时取等号，所以2x+x+3的最小值 2x+3-2x 2 2 ,当且仅当2x=3-2x,即 9 为22-6. 3 2.A【解析】因为0<x<2,所以4-x2>0,所以 x=一时，等号成立，故当x(3-2x)取得最大 4 y=x√4-x2=√x2·(4-x2)≤ 2+(4-x2） 3 2 值时，x的值为 2,当且仅当x2=4-x2,即x=√2时取等号，所 2.BC【解析】由题意得，x2+y2=xy+1.因为 以y=x√/4-x2的最大值为2. x2+y2≥2xy,所以y+1≥2xy,所以xy≤1，所 18