第10天 充分条件与必要条件-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第 10 天 充分条件与必要条件 任务一 探学新知 知识点1 命题及命题真假的判断 续表 1.命题 推出关系 p→g p pq (1)命题的定义：一般地，我们把用语言、 p是q的充分条件(q的p不是q的充 符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫 条件关系 一个充分条件是p);q分条件； 作命题 是p的必要条件(p的g不是p的必 (2)命题的分类：判断为真的语句叫作真 个必要条件是q) 要条件 命题，判断为假的语句叫作假命题 判定定理给出了相应数学结论成立的 归纳总结业 充分条件； 定理关系 1.判断一个语句是命题的两个要素：(1)是陈 性质定理给出了相应数学结论成立的 必要条件 述句；(2)可以判断真假. 2判断一个命题为真命题时，需要通过证明； 知识点3 充分条件、必要条件与集合的关系 为假命题时，只需举出一个反例 若条件p,q以集合的形式出现，即A={x 2.命题的结构 (x)},B={x|g(x)},则 “若p,则g”“如果力，那么q”,其中力称 ①若A二B,则p是g的充分条件； 为命题的条件，q称为命题的结论， ②若A2B,则p是q的必要条件； 知识点2 充分条件与必要条件 ③若A车B且A卫B,则p既不是q的充 分条件，也不是q的必要条件； 命题 “若p,则q”为真命题 “若p,则q” 为假命题 ④若A=B,则p既是g的充分条件，也是 g的必要条件. 任务二 精研典例 题型1 充分条件、必要条件的判断 (2)p:x>1,9:x2>1; 例]下列“若p,则g”形式的命题中，哪些 @0p65=0c98-名 命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的 解析(1)若数a能被6整除，则一定能被3整 p是g的必要条件？ 除，反之不一定成立，即p→q,q书p,所以p是q的 (1)p:数a能被6整除，q:数a能被3 充分条件，但卫不是q的必要条件. 整除； (2)解x2>1,得x>1或x<-1,所以p→q,q 34 第10天充分条件与必要条件 p,所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件. 初高衔接0 6。,但2 (3)当6=0，c=0时，b2=ac82=b, b c 解形式较为简单的分式不等式一般有两种方法 →b2=ac,即pq,q→p,所以p不是g的充分条件， 初中通过具体数值代入、图象观察与分式运算，直 但p是q的必要条件. 观感知不等式的解的范围.高中则通过严格分类讨 综上所述，p是q的充分条件的命题有(1)(2)，p 论求解. 是q的必要条件的命题有(3). 部不华式→>2 方法总结 方法1：图象法 充分条件和必要条件的判断方法 如图，先画出反比例函数y=】的图象，然后 (1)充分条件的判断方法 若p→q或A二B(p构成的集合为A,g构成 找到y>2的部分，对应x的范围即为原不等式的 的集合为B),则p是q的充分条件 解集，即0<x<2 函 (2)必要条件的判断方法 若q→p或A2B(p构成的集合为A,q构成 的集合为B),则p是q的必要条件. 题型2 充分条件、必要条件的探求 例2(1)“a>5”的一个必要条件 是( 方法2：分类讨论去分母求解. A.a<6 B.a>6 ①当x>0时，去分母，得1>2x,解得0<x< C.a<3 D.a>3 (2)若a是实数，则使得不等式>5成立 2②当x<0时，去分母，得1<2x,解得x>2, a 此时无解。 的一个充分条件是( ) 综上所述，原不等式的解集为{x 0<x<2}: A.a>5 B.a<-1 COax D.-5<a< 题型3 根据充分条件、必要条件求参数范围 5 例3已知P={x|-2≤x≤10}，非空集 解析(1)“a>5”的必要条件对应的不等式的范 围应包含“a>5”,选项中仅有a>3满足， 合S={xl1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈ (2尚>5，得0<a<号 S的必要条件，则m的取值范围为 解析由x∈P是x∈S的必要条件可知S二P, 根据题意得，正确选项中的不等式所对应的集合 1-m≤1+m, 应该是a0a<号}的一个子条，显然AD中的不 则1-m≥-2，所以0≤m≤3. 1+m≤10， 等式对应的集合不满足要求，而0<<7对应的集合 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件， a0a<}a0<a<},#合题意. 即所求m的取值范围是0≤m≤3. 答案(1)D(2)C 答案{ml0≤m≤3). 35 重难点手册预备新高一 数学 任务三 自主测评 A基础练 B能力练 1若p是q的充分条件，则q是p的( 7.(多选)已知命题p:x>10,q:x>a,要使q A.充分条件 为p的必要条件，则a的值可以是( B.必要条件 A-3 B.11 C.9 D.100 C.既不是充分条件也不是必要条件 8.已知p:x-2>0,q:ax-4>0,其中a∈R. D.既是充分条件又是必要条件 (1)若力是q的充分条件，求实数a的取值 2.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形” 范围； 的(). (2)若p是g的必要条件，求实数a的取值 A.充分条件 范围. B.必要条件 [提示：(1)由p是q的充分条件，得p→q,即 C.既是充分条件又是必要条件 力所对应的集合包含于q所对应的集合，据 D.既不是充分条件也不是必要条件 此列出不等式（组）求解；(2)易得q所对应的 3.已知集合A={3,m},B={1,3,5},则m=1 集合包含于力所对应的集合，同时由于q中 是A二B的( 含参数，故需注意讨论q所对应的集合为☑ A充分条件 时是否符合题意] B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 4.(多选)下列说法不正确的是( A.“x>5”是“x>4”的充分条件 B.“xy=0”是“x=0且y=0”的充分条件 C.“-2<x<2”是“x<2”的必要条件 D.x2一3x+2=0是x=1的必要条件 5.写出一个使“x>1”成立的充分条件： 6.已知p:-1<x<3,若-a<x-1<a是p 的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b 的取值范围. 36当a>-3时，需1B且2B. 将x=2代入B中的方程，得a=一1或a= -3;将x=1代入B中的方程，得a2+2a一 2=0,解得a=-1土√3.∴.a≠一1且a≠ -3且a≠一1士√3.∴.实数a的取值范围是 实数{aa≠-1且a≠-3且a≠-1土√3}. 第10天充分条件与必要条件 1.B[因为p是q的充分条件，所以p→q,所以 q是p的必要条件] 2.B[因为正方形的四条边相等，但四条边相等 的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条 边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.] 3.A[若A二B,则有m∈B且m≠3，所以m= 1或m=5,故当m=1时，有A二B,而A二B 时，m不一定是1，故m=1是A二B的充分条 件，不是必要条件.] 4.BC[在B中，由xy=0不能推出x=0且y= 0,故B不正确；在C中，“-2<x<2”是“x<2” 的充分条件，故C不正确.] 5.x>2(答案不唯一).[由x>2一定能推出 x>1,所以使“x>1”成立的一个充分条件为 “x>2”.] 6.由于p:-1<x<3,又由-a<x-1<a,得1 -a<x<1+a,依题意，得{x|-1<x<3}二 1-a≤-1， {x|1-a<x<1+a},所以 解得 1+a≥3， a≥2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是 {b|b<2. 7.AC[要使q为p的必要条件，即p→q,则p, q对应集合间的关系应为{x|x>10}二{xx> a},故a≤10，则AC符合条件.] 8.由x一2>0，得x>2.设p:x一2>0对应集合 为A={x|x>2},q:ax-4>0对应集合为B ={xlax-4>0}. (1)若饣是g的充分条件，则A二B. 10 a>0, 由题意，得生≤2， 得a≥2. a 故实数a的取值范围为{aa≥2. (2)若p是q的必要条件，则B二A.分类讨论： ①当a=0时，B=☑，符合题意； ②当a>0时，根据题意，得≥2，解得0<a ≤2； ③当a<0时，B-{女z<,不符合题意 综上所述，实数a的取值范围为{a|0≤a≤2. 第11天充要条件 1.B[x2-4=(x+2)(x-2)<0台-2<x<2, 记A={xx<2},B={x|一2<x<2},则B A,所以“一2<x<2”是“x<2”的充分不必要 条件，故“x<2”是“-2<x<2”的必要不充分 条件，即“x<2”是“x2<4”的必要不充分 条件.] 2D[由题意知，“有志”不一定“能至”，但“能 至”一定“有志”，所以“有志”是“能至”的必要不 充分条件.] 3.A[,甲是乙的必要条件，.乙→甲 又丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件， .丙→乙，但乙丙. 乙 甲 ∥个 (丙) 结构示意图如图所示，综上，有丙→乙→甲，但 是乙≯丙故有丙→甲，但是甲≯丙，即丙是甲 的充分条件，但不是甲的必要条件.] 4BCD[(直接求充分不必要条件不好想，可考虚先求充要 条件，得到a的范周，再取它的一个真子集) A∩B=必台A为空集或A的元素都非负台方 程x2-ax十a2一3=0没有实数解或只有非负 实数解.当方程x2一a.x十a2一3=0没有实数 解时，△=(-a)2-4(a2-3)=12-3a2<0,解