第5天 集合的概念-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

高中篇 高中知识预备 第 5 天 集合的概念 衔接对照 初中知识解读 高中知识解读 溜 正整数 画 整数 零 数集 自然 正整 有理 整数集 实数集 负整数 名称 数集 数集 数集 有理数 N或 正分数 符号 分数 N+ 实数 负分数 初中对有理数（整数、分数人无理数等类别的划 正无理数 分，是高中理解数集(N,N,Z,Q,R)的直接经 无理数 验来源 负无理数 任务一 探学新知 知识点1元素与集合 知识点2 集合中元素的三个特征 1,元素与集合的概念 1.集合中元素的三个特征 般地，我们把研究对象统称为元素，通 特征 含义 示例 常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.把一些元素 作为一个集合的元素，必须是 组成的总体叫作集合（简称为集），通常用大写 确 集合A={1,2, 确定的，给定一个集合，任何 拉丁字母A,B,C,…表示. 个对象是不是这个集合的 3},则1∈A, 4年A 2.元素与集合的关系 元素也就确定了 如果a是集合A中的元素，就说a属于集 对于一个给定的集合，集合中 集合{x,x2-x》 合A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元 互 的元素一定是不同的（或者说 中的x应满足 是互异的)，相同的对象归入同 素，就说a不属于集合A,记作a庄A. 性 集合时只能算作集合的一个 x≠x2一x,即 x≠0且x≠2 作比较 元素 元素与集合的关系 无 集合{1,0}和 元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集 构成集合的元素无先后顺序 {0,1}是同一个 之分 合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的 集合 例如，0与{0}是不同的，0表示数字0，{0}表示由数 字0组成的集合，元素与集合的关系是相对的，集合 2.集合的分类 有时也可以作为元素.例如{a}是集合{a},{b}中 有限集：含有有限个元素。 的一个元素 无限集：含有无限个元素. 17 重难点手预备新高一 数学 3.集合相等 初高衔接0 如果构成两个集合的元素是一样的，则我们称 1.初中将自然数理解为“正整数”（不含0），高 这两个集合相等集合A与集合B相等，记作A=B. 中则将其扩展为“非负整数”（含0），并引入N+,N* 知识点3常用集合及其符号说明 表示正整数集 数集 2N为非负整数集（即自然数集），N*或N+表 自然 正整 整数集 有理数集 实数集 名称 数集 数集 示正整数集，不同之处就是N包括O,而N*或N 符号 N N或 Z Q 个 不包括0. 3.N*和N+的含义是一样的，初学者往往误记 全体非负 全体正整全体整数 全体有理全体实数 说明 整数组成数组成的组成的集数组成的组成的集 为N或Nt,为避免出错，对于N和N+,可形象 的集合 集合 合 集合 合 地记为“星星()在天上，十字架（十）在地下”. 任务二 精研典例 题型1元素与集合的关系 当a=0时，集合B中的三个元素均为0，和元素 的互异性相矛盾，故a≠0. 例]已知集合A中有三个元素：2,3，a2+ 所以c2-2c+1=0,即c=1, 2a-3.集合B中有两个元素：2，a+3.若5∈ 但c=1时，B中的三个元素都相同，故不符合 A且5度B,求实数a的值 题意. 解析.集合A中含有元素2,3，a2+2a一3，且 ②若a十b=ac2,且a十2b=ac, 5∈A, 消去b,得2ac2-ac一a=0. .a2+2a-3=5, 因为a≠0， ∴.a2+2a-8=0, 所以2c2-c-1=0, 即(a-2)(a+4)=0, 即(c-1)(2c+1)=0. .a=2或a=-4. 1 又c≠1，故c= ,集合B中含有元素2，a十3，且5B, 21 .a+3l≠5， 综上所述，c=一 .a≠2且a≠-8. 综上所述，实数a的值为一4. 答案 题型2根据集合相等求参数 方法恩结！ 例2已知集合A由a,a+b,a十2b三个 集合相等问题的求解步骤 元素组成，集合B由a,ac,ac2三个元素组成. 1.根据集合相等的定义及元素的互异性建立 若A=B,则c= 方程组 解析分两种情况进行讨论. 2.解方程组. 3代回检验，剔除不符合集合构成条件的值. ①若a+b=ac,且a+2b=ac2, 4.作出回答 消去b,得a十ac2-2ac=0. 18 第5天集合的概念 任务三 自主测评 A基础练 B能力练 1.下列给出的对象能构成集合的有( ①某校2025年入学的全体高一年级新生 7.(多选)已知x,y都是非零实数，之=江十 ②2的所有近似值 + y 的取值组成集合A,则下列判断 丽 ③某个班级中学习成绩较好的所有学生」 错误的是( ④不等式3x一10<0的所有正整数解. A3∈A,-1庄A B.3∈A,-1∈A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C.3tA,-1∈A D.3A,-1庄A 2.由实数x,-x,x,√x2,(x2)2,-x所 8.由a2,2-a,4组成的集合记为A. 组成的集合，最多可含有的元素个数为 (1)是否存在实数a,使得A中只含有一个元 () 素？若存在，求出a的值；若不存在，请说 A.2 B.3 C.4 D.5 明理由 3.由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有 (2)若A中只含有两个元素，求a的值 3个元素，则实数a的取值可以是( ) [提示：(1)根据A中只含有一个元素列出方 A.1 B.-2 C.6 D.2 程求解；(2)由A中只含有两个元素，得a2, 4集合A是由点（合，）∈2D构成的集合， 2一a,4这三个数中必有两个数相等，进行分 类讨论，列出方程求解，注意最后检验并得出 则下列选项中是集合A中的元素的是 答案] ( A(合别 》 C.(3,4) D.(4,3) 5.集合A中有三个元素1，x,x2一x,则x所满 足的条件是 6.若集合A由三个元素m-1,3m,m2-1组成 且3∈A,求实数m的值， 19且图象开口向上，显然其顶点横坐标不在0≤ 2<的范周内，如图2所示 此时函数值随着自变量的增大而增大.所以，当 =0时，函数y的最小值为1当x-时，函 数的最大值为早 19 013 图1 图2 总结 本题两问中所给的一元二次函数是确定 的，自变量x的范围也是固定的，对应的图象 是抛物线上的某一段，非常明确.那么最高点 的纵坐标即为函数的最大值，最低，点的纵坐 标即为函数的最小值 第5天集合的概念 1.B[对于①，某校2025年入学的全体高一年 级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；对于 ②，√2的所有近似值，根据精确度不一样得到 的近似值也不一样，因此对象不确定，故不能构 成集合，故②错误；对于③，某个班级中学习成 绩较好是相对而言的，故这些学生对象不确定， 不能构成集合，故③错误；对于④，不等式3x 10<0的所有正整数解有1,2,3，能构成集合， 故④正确.] 2.B[由题意可知，√x2,(√x2)2,一x3可分别 化为x,x2,一x,所以由实数x,一x,|x|, √x2,(√x2)2,一x3所组成的集合，最多可含 有3个元素，分别为x,一x,x2,此时x≠土1且 x≠0] 求最多可含有元素的个数，就让三个数工，一x,x2不相等， (x≠一x,x≠0， 即x≠x2,得x≠1， -x≠x2,x≠-1 3.C[由题意知a2,2一a,4互不相等，即 fa2≠2-a, a2≠4，獬得a≠-2，a≠1且a≠2.] 2-a≠4， 4D[集合A中元素的特征为（夸，冬）∈D., 对于A合-日>6=1，营->=3，不相 同，不满足题意对丁B号-号→=2导=子 飞=3 →k=3,k不相同，不满足题意对于C,冬-3 →k=9,4 =4→k=16,k不相同，不满足题意。 对于D,号-4k=12,冬-3>k=12,k相同， 满足题意] 5x≠0且x≠1且工≠2且x≠1+5且x≠ 2 1-5 2· [根据集合中元素的互异性可知 x≠1， x≠1， x≠0且x≠2， x≠x2一x,→ x2一x≠1 红关1±6 2 故x满足的条件为x≠0且x≠1且x≠2且 安5月x121 2 6.分三种情况进行讨论. ①若m-1=3,则m=4,此时3m=12,m2 1=15,故m=4符合题意； ②若3m=3,则m=1,此时m一1=m2一1=0， 舍去； ③若m2一1=3，则m=士2，经检验，m=士2 符合题意. 综上可知，m=4,2或一2. 7.ACD[由，y都是非零实数，=高十 守+岛得 当x>0,y>0时，z=1+1+1=3; 当x>0,y<0时，之=1-1-1=-1； 当x<0,y>0时，z=-1+1-1=-1; 当x<0,y<0时，之=-1-1十1=-1. 故A中元素有-1,3，所以3∈A,-1∈A.] 8.(1)存在 假设存在实数a,使得A中只含有一个元素， 则必然有a2=2-a=4,解得a=一2.经检验， 符合题意故存在实数a,使得A中只含有一个 元素 (2)由题意可知这三个数中必有两个数相等. ①当2一a=4,即a=一2时，由(1)知此时集合 A中只含有一个元素，不符合题意； ②当a2=4,即a=2或a=一2（舍去）时，2一 a=0,此时集合A中含有两个元素0和4，符合 题意； ③当a2=2-a,即a2+a-2=0时，由(a-1)· (a+2)=0,得a=1或a=-2(舍去)，即a2= 2-a=1,此时集合A中含有两个元素1和4， 符合题意 综上，a的值为2或1. 第6天集合的表示 1.D[由x3=x得x(x2-1)=0,∴.x=0或 x=1或x=-1.-1N,故A错误 R表示实数集，{R}表示集合中含有R(实数集) 这个元素，故B错误 x十y=3, 方程组 的解组成的集合的正确表 x一y=-1 示为{(1,2)}或(x,y) z=1, y=2 ,故C错误] 2.B[由题意可知集合P是全体偶数构成的集 合，Q是全体奇数构成的集合，又a∈P,b∈Q, 所以a为偶数，b为奇数，从而a十b为奇数，故 a十b∈Q,故B项正确；因为a+b能取全体奇 数，而M中的元素是除以4余1的奇数，不是 全体奇数，所以存在a十bM,下面举个例子， 取a=0,b=3可得a+b=3M,故C项 错误.] 3.C[.1∈A,∴.a+2+1=0,.a=-3, ∴.集合A中的方程为一3x2十2x十1=0，解得 x=- 或x=1,A=3门 4.A[因为x2+y2≤3，所以x2≤3.又x∈Z,所 以x=一1或0或1.当x=-1时，y=-1或0 或1；当x=0时，y=-1或0或1；当x=1时， y=一1或0或1.综上，集合A中元素的个数 为9.] 5-2。[由条件知，会中a为分母，所以a≠0.因 为两个集合相等，所以集合中的元素相同，则 =0,即b=0,此时集合为{a,0,1},{a2,a,0}, 所以a2=1,解得a=-1或a=1.当a=1时， 不满足集合元素的互异性，所以a=一1.所以 2a+b=-2.] 6.(1){yy≥一4}.（注意是“函数值”组成的集合） (2)xx≠0.（注意是“自变量”组成的象合） (3){红x≥引.意走写零”组美的感 7.(1)当a=0时，原方程变为2x十1=0， (易错点：忘记讨论a=0的情况) 即x=一2，符合题意； 当a≠0时，由△=0得a=1,此时x=一1. ∴.若A中只有一个元素，则a的值为0或1. (2)方法一当a≠0时，A中至多含有一个元 素，即方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根 或没有实数根 由△=4-4a≤0，得a≥1； 当a=0时，由(1)知方程有唯一解。 ∴.若A中至多有一个元素，则a≥1或a=0,即 a的取值范围是{a|a=0或a≥1}. 方法二由(1)可知，若A中只有一个元素，则 a=0或a=1;若A中没有元素，即方程ax2十