第6天 集合的表示-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

00 第 6 天 集合的表示 衔接对照 初中知识解读 高中知识解读 1.用列举法表示集合 1.用数轴表示点 {a,b,c,…} 12 2.用描述法表示集合 -4-3-2-101234 代表元素 2.用数轴表示解集 分隔线 先写花括号-{x∈AP(x) -4-3-2-101234 代表元素的性质 代表元素的取值范围 (x满足的条件) 任务一 探学新知 知识点1 常用的集合表示方法 楚地表示出来 1.列举法 缺点：比较抽象，不易看出集合中的具体 把集合中的所有元素一一列举出来，并用 元素 花括号“)”括起来表示集合的方法称为列举法. 方法恩结！业 {a,b,c,…} 1.用列举法表示集合时，首先要明确集合中有 优点：方便、快捷，集合中的元素一目了然 哪些元素，然后再在“{}”内将元素一一列举出来。 在该过程中必须注意以下几点： 缺点：不易看出元素所具有的属性，且有 (1)元素之间必须用“，”隔开。 些集合是不能用列举法表示的，如2x一3>0 (2)集合的元素必须是明确的 的解集。 (3)不必考虑元素出现的先后顺序. 2.描述法 (4)集合中的元素不能重复， 般地，设A是一个集合，我们把集合A (5)集合中的元素可以是任何事物， 中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的 2.将特征性质用描述法表示的集合转化为用列 集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的 举法表示时，特别要注意元素是什么，元素的限制条 件是什么.看懂集合的具体意义是关键，特别要注意 方法称为描述法 元素所满足的限制条件 优点：语言简洁，元素的规律与性质能清 20 第6天集合的表示 任务二精研典例 题型 用列举法或描述法表示集合 2.当集合中的元素无法一一列出时，可先抽象 例]用适当的方法表示下列集合， 出元素的共同特征，再用描述法表示。 2x-3y=14: 3.当集合中的元素不是实数或式子时，可用自 鹊 (1)方程组 的解集； 3x+2y=8 然语言表示， (2)二次函数y=x2+3x十5的图象上所 题型2 方程与集合 有点组成的集合； 例2（多选）已知集合A={x∈Rax2- (3)二次函数y=x2+3x+5的图象上所 3x+1=0,a∈R},则下列说法中正确的是 有点的纵坐标组成的集合； ( ) (4)被3除余2的正整数集合， A若1∈A,则a=2 2x-3y=14,x=4, 解析 (1)解方程组 得 故解 3x+2y=8 y=-2, B若A中只有一个元素，则a=9 4 x=4, 集可用描述法表示为 (x,y） ,也可用列举 y=-2 C若A中有两个元素，则a<号 法表示为{(4，一2). 【易错点：易错误地表示成{x=4,y=一2}1 D.若A中至多有一个元素，则≥ 或a=0 (2)二次函数y=x2十3x十5的图象上所有点组 解析把x=1代入方程，得a=2,故A正确， 成的集合中，代表元素为点(x,y),其中x,y满足y= 若A中只有一个元素，则分两种情况： x2十3x十5，由于有无数个点，故用描述法表示为 ①当a=0时，方程为一3x十1=0； {(x,y)y=x2+3x+5. (3)二次函数y=x2十3x十5的图象上所有，点的 ②当a≠0时，有4=9-4a=0,即a=是 纵坐标组成的集合中，代表元素为y,是实数，可用描 故B错误」 述法表示为{y|y=x2+3x十5. 若A中有两个元素，则a≠0且△=9-4a>0,即 (4)设被3除余2的数为x,则x=3n十2，n∈Z, a、9 且a≠0，故C错误. 但元素x为正整数，故x=3n十2，n∈N,故被3除余 若A中至多有一个元素，则分两种情况： 2的数可表示为{xx=3n十2，n∈N},也可以表示为 ①方程无解，即a≠0且△=9-4a<0,解得 {xx=3n-1,n∈N* 方法恩结业 a 9 45 选择恰当的集合表示方法 ②方程只有一个解，即a=0成a=具 1.当集合中元素的个数有限且共同特征难以 故D正确. 概括时，只能用列举法.例如{x,x2十1，x一y}. 答案AD 21 重难点手预备新高一 数学 任务三 自主测评 A基础练 (3)不等式3x≥4-2x的解集 1.下列说法正确的是( A.集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为 {-1,0,1} B.实数集可以表示为{x|x为实数}或{R} x十y=3, C.方程组 的解组成的集合为 x-y=-1 7.已知集合A={x∈Rax2+2x十1=0，a∈R}. {x=1,y=2} (1)若A中只有一个元素，求a的值； D.被4除余1的正整数集合为{x|x=4n (2)若A中至多有一个元素，求a的取值 3,n∈N*) 范围. 2.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q= {x|x=2k-1,k∈Z},M={x|x=4k+1, k∈Z},且a∈P,b∈Q,则(). A.a+b∈P B.a+b∈Q C.a+b∈M D.以上都不对 3.已知集合A={x∈R|a.x2+2x+1=0},其 中a∈R.若1是集合A中的一个元素，则集 合A=( A{-3} B.{1} ⑧能力练Y ci 8.已知集合A={1,2,3},则集合B={(x,y) x∈A,y∈A,|x-y|∈A}中所含元素的个 4已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3，x∈Z, 数为( y∈Z,则A中元素的个数为( A.2 B.4 C.6 D.8 A.9 B.8 9.集合A={x∈Rax2-3x+2=0,a∈R},若 C.5 D.4 A中的元素至少有1个，则a的取值范围是 5.已知含有三个实数的集合既可表示成 a,白，1，又可表示成aa十6,01，则2a十 10,已知集合A={xx2十px十q=x},集合B a ={x|(x-1)2+p(x-1)十q=x+3},当 b= A={2}时，求集合B. 6.用适当的方法表示下列集合： (1)二次函数y=x2一4的函数值组成的 集合； 2 (2)反比例函数y=2的自变量组成的集合； x 22守+岛得 当x>0,y>0时，z=1+1+1=3; 当x>0,y<0时，之=1-1-1=-1； 当x<0,y>0时，z=-1+1-1=-1; 当x<0,y<0时，之=-1-1十1=-1. 故A中元素有-1,3，所以3∈A,-1∈A.] 8.(1)存在 假设存在实数a,使得A中只含有一个元素， 则必然有a2=2-a=4,解得a=一2.经检验， 符合题意故存在实数a,使得A中只含有一个 元素 (2)由题意可知这三个数中必有两个数相等. ①当2一a=4,即a=一2时，由(1)知此时集合 A中只含有一个元素，不符合题意； ②当a2=4,即a=2或a=一2（舍去）时，2一 a=0,此时集合A中含有两个元素0和4，符合 题意； ③当a2=2-a,即a2+a-2=0时，由(a-1)· (a+2)=0,得a=1或a=-2(舍去)，即a2= 2-a=1,此时集合A中含有两个元素1和4， 符合题意 综上，a的值为2或1. 第6天集合的表示 1.D[由x3=x得x(x2-1)=0,∴.x=0或 x=1或x=-1.-1N,故A错误 R表示实数集，{R}表示集合中含有R(实数集) 这个元素，故B错误 x十y=3, 方程组 的解组成的集合的正确表 x一y=-1 示为{(1,2)}或(x,y) z=1, y=2 ,故C错误] 2.B[由题意可知集合P是全体偶数构成的集 合，Q是全体奇数构成的集合，又a∈P,b∈Q, 所以a为偶数，b为奇数，从而a十b为奇数，故 a十b∈Q,故B项正确；因为a+b能取全体奇 数，而M中的元素是除以4余1的奇数，不是 全体奇数，所以存在a十bM,下面举个例子， 取a=0,b=3可得a+b=3M,故C项 错误.] 3.C[.1∈A,∴.a+2+1=0,.a=-3, ∴.集合A中的方程为一3x2十2x十1=0，解得 x=- 或x=1,A=3门 4.A[因为x2+y2≤3，所以x2≤3.又x∈Z,所 以x=一1或0或1.当x=-1时，y=-1或0 或1；当x=0时，y=-1或0或1；当x=1时， y=一1或0或1.综上，集合A中元素的个数 为9.] 5-2。[由条件知，会中a为分母，所以a≠0.因 为两个集合相等，所以集合中的元素相同，则 =0,即b=0,此时集合为{a,0,1},{a2,a,0}, 所以a2=1,解得a=-1或a=1.当a=1时， 不满足集合元素的互异性，所以a=一1.所以 2a+b=-2.] 6.(1){yy≥一4}.（注意是“函数值”组成的集合） (2)xx≠0.（注意是“自变量”组成的象合） (3){红x≥引.意走写零”组美的感 7.(1)当a=0时，原方程变为2x十1=0， (易错点：忘记讨论a=0的情况) 即x=一2，符合题意； 当a≠0时，由△=0得a=1,此时x=一1. ∴.若A中只有一个元素，则a的值为0或1. (2)方法一当a≠0时，A中至多含有一个元 素，即方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根 或没有实数根 由△=4-4a≤0，得a≥1； 当a=0时，由(1)知方程有唯一解。 ∴.若A中至多有一个元素，则a≥1或a=0,即 a的取值范围是{a|a=0或a≥1}. 方法二由(1)可知，若A中只有一个元素，则 a=0或a=1;若A中没有元素，即方程ax2十 2x十1=0没有实数根，故△=4一4a<0,解得 a>1. .若A中至多有一个元素，则a≥1或a=0,即 a的取值范围是{aa=0或a≥1}， 8.C[在集合B中，x和y都来自集合A,不难 发现它们可能的组合方式不多，故考虑逐一罗 列来看.因为x∈A,y∈A,所以x,y的可能取 值如下表， x y x一y 0 0 由表可知满足|x一y∈A的有 x=1,x=1, y=2,y=3, |x=2,x=2,x=3,x=3, 共6种，所以集 y=1,y=3,y=1,y=2, 合B中有6个元素.] 9口a≤8，[A中至少有1个元素即方程 ax2-3x十2=0至少有1个实数解，该方程的 平方项系数为字母，其是否为0对方程类型有 影响，考虑的方法不同，故据此讨论.当a=0 时，a2-3x+2=0即为-3x十2=0，解得x= 号所以A=号}满足题意，当：≠0时，要使 方程ax2一3x+2=0至少有1个实数解，应有 △=(-32-4a·2≥0，解得a<号a≠0。 综上所述a的取值范围是ao≤}-】 10.因为集合A={xx2+px+q=x}={2},所 以方程x2十(p一1)x十g=0有两个相等的实 数根，即x1=x2=2. 2+2=-(p-1), 方法一由韦达定理，得{ 2X2=q, p=一3， 解得 所以集合B={x|(x一1)2+ q=4, p(x-1)+q=x+3}={x|x2-6x+5=0. 由x2-6x+5=0,得(x-1)(x-5)=0, 6 解得x=1或x=5,故集合B={1,5}. 方法二易得△=0， (-1)2-4q=0,① 所以 4+2(p-1)+q=0.② 由②，得q=-2p-2.把q=-2p-2代入①， 得p2+6p十9=0，解得p=-3, 所以二3 所以集合B={x|(x-1)2十 q=4, p(x-1)十q=x十3}={xx2-6x+5=0}. 由x2-6x十5=0，得(x-1)(x-5)=0,解得 x=1或x=5,故集合B={1,5}. 第7天集合间的基本关系 1.B[①②正确.] 2.7.[由{1,2}M二{1,2,3,4,5}可以确定集 合M中必含有元素1,2，且至少含有元素3,4， 5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类 如下，含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2， 5};含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1， 2,4,5};含有五个元素：{1,2,3,4,5}.故满足题 意的集合M共有7个.] 3.B[.AB,.0∈B且-a∈B. 若0=a-2,则a=2,故A={0,-2},B={1, 0,2},而一2￠B,故不满足条件. 若0=2a-2,则a=1,故A={0,-1},B={1, 一1,0}，满足条件.] 4.D[设集合M的元素个数为n,因为M有1个 真子集，所以2"一1=1，解得n=1,所以题设条 件等价于方程(m+1)x2一mx+m一1=0有且 仅有1个实数解. 当m+1=0时，m=一1，此时方程(m十1)x2一 mx十m一1=0即为x一2=0，解得x=2,满足 要求；当m+1≠0时，m≠-1，要使方程(m十 1)x2一mx十m一1=0有且仅有1个实数解，应 有△=(-m)2-4(m+1)(m-1)=4-3m2= 0,解得m=士综上所述，实数m的值为 士9或-1