第9天 全集与补集-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第 9 天 全集与补集 任务一 探学新知 知识点1全集 2.补集的有关性质 性质 全集 含义 符号 U AU(CA)=U 一个集合与其补集的并集是全集 如果一个集合含有所研究问题中涉及的 A∩(CA)=O 文字语言 所有元素，那么就称这个集合为全集，通 个集合与其补集的交集是空集 常记作U Cu(CA)=A 一个集合的补集的补集是其本身 符号语言 若A二U,B二U,CU,…,则U为全集 hU-0 全集的补集是空集 图形语言 WO-U 空集的补集是全集 知识点2 补集 A=B台CA= 在同一全集中，相等集合的补集 1.补集的定义 CoB 也相等 补集 A二B台CBC 在同一全集中，任何集合的补集 符号 Co CuA 是其子集的补集的子集 若集合A是全集U的一个子集，由全集 U中不属于集合A的所有元素组成的集 文字语言 核心恩结业 合称为集合A相对于全集U的补集，记 1.补集是相对于全集而言的，若没有定义全 作CuA 集，则不存在补集的说法，且补集的元素不能超出 符号语言 CA={x|x∈U且x￠A}》 全集的范围。 2符号CA的三层含义：(1)A二U;(2)CACU; 图形语言 (3)CA是由U中不属于A的所有元素组成的集合， 任务二 精研典例 题型1 补集相关运算 中元素的个数为5. 答案C 例1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A={1,3,5},则CA中元素的个数为( 题型2集合的混合运算 A.0 B.3 C.5 D.8 例2（多选)设全集为U,若集合A,B满 解析由题意知，CA={2,4,6,7,8),所以CA 足A∩(CB)=⑦，则(). 31 重难点手预备新高一 数学 A.A∩B=A B.AUB-U 则知1∈B,故集合A,B中的元素互为倒数 C.AU(CUB)=U D.BU(CUA)=U 解析因为A∩(CB)=心，所以A二B(如图)： 由A∩B≠g,一定有x。∈A,使得1∈B,且 ,解得x0=士1. 又A∩(CRB)={-2}, 由图可知，A∩B=A,A正确； 则-2∈A,A={1,-2}或A={-1,一2}， 图中所画的情形下，AUB=B≠U,B错误； 由此得B=1,}或B={1,引： 当A手B时，如图所示的阴影部分即为AU(CB) 根据根与系数的关系，有 ≠U,C错误； 1+(-2)=-p'或 -1+(-2)=-p, 如图，CuA与全集U相比，只差A的部分，而B 1×(-2)=q(-1)×(-2)=q, 刚好包含了A,所以BU(CA)=U,D正确. p=1, p=3, 答案AD 或 q=-2q=2. 方法恩结！ 方法恩结业 若题千没有具体给出集合中的元素，只有一些 求集合运算中参数的思路 抽象的条件，则画Venn图分析集合的运算是一个 1.将集合中的运算关系转化为两个集合之间的 值得尝试的方向，若是选择题，也可考虑通过举例， 关系若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得 用排除法来选答案.举例的方法不是唯一的，例如， 到不同集合中元素之间的关系；若是与不等式有关 本题也可通过假设A=☑来排除选项BC. 的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系. 2.将集合之间的关系转化为方程、不等式是否 题型3根据补集相关运算结果求参数 有解或解集的范围。 例3已知集合A={xx2+x十q=0), 3.通过解方程（组）或解不等式（组）来确定参 B={xgx2十x十1=0}，同时满足条件：①A∩ 数值或取值范围时，需注意两，点： B≠；②A∩(CRB)={-2},q≠0.求p,q (1)由集合间的运算得到的新集合一定要满足 集合中元素的互异性，因此，在求解参数的问题时， 的值. 要注意隐含的条件。 解析设xo∈A,则有x十px0十q=0, (2)对于涉及AUB=A或A∩B=B的问题， 两瑞同降以，得1十力~十·员 1 可利用集合的运算性质转化为相关集合之间的关 系求解，注意空集的特殊性。 任务三 自主测评 A基础练 2.全集U=R,且A={x|x-1>2},B={x x2-6x+8<0},则(CuA)∩B=(). 1.设集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N= A.{x|-1≤x<4} B.{x|2<x<3} {2,3,4},则Cu(M∩N)=(). C.{x|2<x≤3} D.{x|-1<x<4} A.{1,2} B.{2,3} 3.已知全集U=R,集合A={0,1,2,3,4,5}, C.{2,4} D.{1,4} B={x|x≥2}，则图中阴影部分表示的集合 32 第9天全集与补集 为(). B能力练 A.{0,1} U B.1} 8.已知集合A={x|-2<x<4},B={0,1,2, 3,4,5},则{4,5}=( C.{1,2} ). A.CRA)UB B.(CRA)∩B D.{0,1,2} 4.设I是全集，集合M,N,P都是其子集，则 C.(CRB)UA D.(CRB)∩A 图中的阴影部分表示的集合为( 9.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,a十6， A.M∩(P∩CN) 5),CA={2,a2-1},则a的值为(). A.-3 B.-3和-2 B.M∩(N∩CP) C.-2 C.M∩(CN∩CM) D.2 D.(M∩N)U(M∩P) 10.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x 5.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子 x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. 函 集，且A∩B={3},(CuB)∩A={9},则 (1)若A∩B={2},求实数a的值； A= (2)若AUB=A,求实数a的取值范围； 6.已知全集U={小于10的正整数}，A二U, (3)若U=R,A∩(CuB)=A,求实数a的 BU,且(CA)∩B={1,8},A∩B={2, 取值范围， 3},(CuA)∩(CB)={4,6,9},则A= ,B= 7.全集U={xx是不大于9的正整数}，A,B 都是U的子集，(CA)∩B={1,3,(CB)∩ A={2,4,8},(CuA)∩(CvB)={6,9},求集 合A,B. 33(1+4+6+4+1)=240.] 4.{a|a>2或-√3<a<3.[已知A={yl y>a2+1或y<a},B={y|2≤y≤4}，我们 不妨考虑当A∩B=心时a的取值范围，在 数轴上表示出集合A,B,如图所示. 丹 a≤2， |a≤2， 由 得《 故a≤ a2+1≥4，wla≥3或a≤-3， -√3或√3≤a≤2，即A∩B=时，a的取值范 围为{aa≤一√3或√3≤a≤2.故A∩B≠时，a 的取值范围为{aa>2或-√3<a<√3}.] 5.5.[因为A∩B=A,所以A二B. 又因为x-3≤m得-m+3≤x≤m+3,所以 有2即以放 的最小值为5.] 6.由MUN=M得N二M,故当N=O时，有 2+1≤2-t,即≤3时，MUN=M成立. f2-t<2t+1, 当N≠☑时，由图可得2t+1≤5，解得 2-t≥-2， 2 -22-t2+15 综上可知，所求实数t的取值范围是{tt≤2}. 7.ABD[因为PUQ=P,所以Q二P,故Q=☑ 或{1}或{2}.当Q=⑦时，a=0;当Q={1}时， a=-2;当Q={2}时，a=-1.] 8.一1.[由题意可知，方程x2十x一2=0，x2一 2x十g=0均有根，设方程x2十x一2=0的根 为x1,x2,方程x2-2x十q=0的根为x3,x4. 可知x1,x2,x3,x4∈{-1,0,2}，且 21+x=-'且+x4=2, x1x2=-2, x3x4=9, 分析可知，方程x2十px一2=0的根为一1,2， 8 方程x2一2x十q=0的根为0,2，即A={-1, 2},B={0,2},满足AUB={-1,0,2},符合 x1十x2=一p=1, 题意，可得 x3x4=q=0, =一1所以p十q=-1.门 解得 q=0, 9.(1)由题意可得 B={xx2-3ax十2a2=0}={x|(x-a)(x 2a)=0}, △=9a2一8a=a2为一个完全平方数，可r以用十字交叉法分解因式 当a=0时，B={0},此时A∩B={0}≠☑，不 符合题意；当a>0时，B={a,2a},由A∩B= 0,可得a>1;当a<0时，B={a,2a},由A∩ B=d,可得a<-2. 综上所述，a的取值范围为{aa<一2或a>l}. (2)当a=0时，B={0},此时A∩B={0}=B, 故符合题意 当a>0时，B={a,2a},由A∩B=B,可得 [a2a, 2a1,解得0a≤当a<0时，B=a2a, a≥-2， a>2a, 由A∩B=B,可得a≤1，解得-1≤a<0. 2a≥-2， 综上所述u的取值范围为a-1长a≤}。 第9天全集与补集 1.D[M∩N={2,3},.Cu(M∩N)={1, 4}.] 2.C[|x-1|>2可等价转化为x-1>2或x 1<-2,.x>3或x<-1,∴.A={xx>3 或x<-1},.CuA={x|-1≤x≤3}.又B= {x|2<x<4},∴.(uA)∩B={x|2<x≤3.] 3.A[由题意，A中的元素2,3,4,5也在集合B 中，其余元素不在集合B中，所以A∩B={2, 3,4,5},故题图中阴影部分表示的集合为 Ca(A∩B)={0,1.] 4.B 5.{3,9).[方法一由已知条件得3∈A,9∈ A,若5∈A,则5庄B(否则5∈A∩B),从而 5∈uB,则(CuB)∩A={5,9}, 要检验集合的“所有性”“ 与题中条件矛盾，故5任A, 同理，1A,7A,故A={3,9}. 方法二A=A∩(BUuB) =(A∩B)U(A∩CuB) ={3}U{9}={3,9.] 6.{2,3,5,7};{1,2,3,8}.[由(CA)∩B={1,8} 知1∈B,8∈B;由(CA)∩(CB)=Cw(AUB) ={4,6,9}知4,6,9庄A,且4,6,9B;由A∩ B={2,3}知2,3是集合A与B的公共元素. 因为U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以5,7∈A. 画出Venn图，如图所示. U A B 5,72,31,8 4,6,9 所以A={2,3,5,7},B={1,2,3,8}.] 7.方法一U={x|x是不大于9的正整数}={1， 2,3,4,5,6,7,8,9. (CA)∩B={1,3},(CB)∩A={2,4,8}, .{1,3}二B,{2,4,8}二A. .(CUA)(CUB)=CU(AUB)=(6,9), AUB={1,2,3,4,5,7,8. 1,3tA,2,4,8tB,A∩B={5,7}. (x。EA与x。∈CA只成立一个) .A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7}. 方法二U={x|x是不大于9的正整数}= {1,2,3,4,5,6,7,8,9},且(CuA)∩B={1,3}, (CB)∩A={2,4,8},(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB)={6,9},作出Venn图，如图所示. U A B 2,4,85,71,3 6.9 .A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7}. 8.B[.A={x|-2<x<4},B={0,1,2,3,4, 5},∴.CRA={xx≤-2或x≥4}， .(RA)∩B={4,5}.] 9.C[由补集的定义，知a十6的取值可能为3 或4.当a十6=3，即a=-3时，a2-1=8,不符 合题意；当a十6=4，即a=-2时，a2-1=3, 此时A={1,4,5},CA={2,3},符合题意.综 上，a的值为-2.] 10.由x2-3x十2=0得x=1或x=2,故集合A ={1,2}. (1).A∩B={2},.2∈B,将x=2代入B A与B有且只有2这个公共元素，后面需要代入参数值 去检验是否满足这个条件 中的方程，得a2+4a十3=0，解得a=一1或 a=-3. 当a=-1时，B={x|x2-4=0}={-2,2}, 满足条件；当a=一3时，B={x|x2一4x十4 =0}={2},满足条件. 综上，a的值为一1或-3. (2)对于集合B,△=4(a十1)2-4(a2-5)= 8(a+3). .'AUB=A,..BCA. 当△<0，即a<-3时，B=☑，满足条件；当 △=0，即a=一3时，B={2},满足条件；当△> 0,即a>-3时，B=A={1,2}才能满足条件， 1+2=-2(a+1), 由根与系数的关系得 1×2=a2-5, 5 即 a一一2'矛盾. a2=7, 综上，a的取值范围是{aa≤-3}. (3).A∩(CuB)=A,.A三CB, .A∩B=0 ①若B=0,则△<0→a<-3,符合题意. ②若B≠0，当a=一3时，B={2},A∩B= {2},不符合题意. 当a>-3时，需1B且2B. 将x=2代入B中的方程，得a=一1或a= -3;将x=1代入B中的方程，得a2+2a一 2=0,解得a=-1土√3.∴.a≠一1且a≠ -3且a≠一1士√3.∴.实数a的取值范围是 实数{aa≠-1且a≠-3且a≠-1土√3}. 第10天充分条件与必要条件 1.B[因为p是q的充分条件，所以p→q,所以 q是p的必要条件] 2.B[因为正方形的四条边相等，但四条边相等 的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条 边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.] 3.A[若A二B,则有m∈B且m≠3，所以m= 1或m=5,故当m=1时，有A二B,而A二B 时，m不一定是1，故m=1是A二B的充分条 件，不是必要条件.] 4.BC[在B中，由xy=0不能推出x=0且y= 0,故B不正确；在C中，“-2<x<2”是“x<2” 的充分条件，故C不正确.] 5.x>2(答案不唯一).[由x>2一定能推出 x>1,所以使“x>1”成立的一个充分条件为 “x>2”.] 6.由于p:-1<x<3,又由-a<x-1<a,得1 -a<x<1+a,依题意，得{x|-1<x<3}二 1-a≤-1， {x|1-a<x<1+a},所以 解得 1+a≥3， a≥2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是 {b|b<2. 7.AC[要使q为p的必要条件，即p→q,则p, q对应集合间的关系应为{x|x>10}二{xx> a},故a≤10，则AC符合条件.] 8.由x一2>0，得x>2.设p:x一2>0对应集合 为A={x|x>2},q:ax-4>0对应集合为B ={xlax-4>0}. (1)若饣是g的充分条件，则A二B. 10 a>0, 由题意，得生≤2， 得a≥2. a 故实数a的取值范围为{aa≥2. (2)若p是q的必要条件，则B二A.分类讨论： ①当a=0时，B=☑，符合题意； ②当a>0时，根据题意，得≥2，解得0<a ≤2； ③当a<0时，B-{女z<,不符合题意 综上所述，实数a的取值范围为{a|0≤a≤2. 第11天充要条件 1.B[x2-4=(x+2)(x-2)<0台-2<x<2, 记A={xx<2},B={x|一2<x<2},则B A,所以“一2<x<2”是“x<2”的充分不必要 条件，故“x<2”是“-2<x<2”的必要不充分 条件，即“x<2”是“x2<4”的必要不充分 条件.] 2D[由题意知，“有志”不一定“能至”，但“能 至”一定“有志”，所以“有志”是“能至”的必要不 充分条件.] 3.A[,甲是乙的必要条件，.乙→甲 又丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件， .丙→乙，但乙丙. 乙 甲 ∥个 (丙) 结构示意图如图所示，综上，有丙→乙→甲，但 是乙≯丙故有丙→甲，但是甲≯丙，即丙是甲 的充分条件，但不是甲的必要条件.] 4BCD[(直接求充分不必要条件不好想，可考虚先求充要 条件，得到a的范周，再取它的一个真子集) A∩B=必台A为空集或A的元素都非负台方 程x2-ax十a2一3=0没有实数解或只有非负 实数解.当方程x2一a.x十a2一3=0没有实数 解时，△=(-a)2-4(a2-3)=12-3a2<0,解