第4天 二次函数的图象与性质-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第 天 二次函数的图象与性质 衔接对照 初中知识解读 高中知识解读 函数是中学数学的重要组成 函数是高中数学的一条主 部分，它使我们学会从运动变化 y=ax+bx+c(a=0) 线，如高中数学中的数列、三角函 中研究变量之间的关系初中阶段 数、导数等内容都与函数紧密相 以一次函数、二次函数、反比例函 关，因此有必要对二次函数进行 数为载体，介绍了研究函数的一般 再研究，以二次函数为载体，进一 方法，但是由于学习阶段的限制， 步探讨函数的相关性质， 我们对它的认识还不够深人 任务一 探学新知 知识点1 二次函数的定义 a>0 a<0 般地，形如y=ax2+bx十c(a,b,c是 常数，a≠0)的函数，叫作二次函数， 知识点2 二次函数的三种形式 累 1.一般式 y=ax2+bx十c(a,b,c是常数，a≠0). 2.顶点式 对称轴 b b x=- 2a x=- 2a y=a(x一h)2+k(a≠0)，其中二次函数 的顶点坐标是(h,k),对称轴为直线x=h 3.交点式（又称两根式）】 4ac-b2 （-2a Aa y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1, x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标，也 当x= 2a 时，y取最 当x= 是一元二次方程ax2+bx十c=0的两个根. 时y取 今后，在求二次函数的表达式时，我们可 小值ac二b: Aa 最大值4ac一b Aa 以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点 当x<- 时，y随着 式、交点式这三种表达形式中的某一形式来 2a 当心会时y能 增 x的增大而减小；当 着x的增大而增大； 解题， 二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的图象、 x>- 时，y随着x 2a 当x> 时，y随 2a 性质如表所示。 的增大而增大 着x的增大而减小 13 重难点手预备新高一 数学 知识点 3 抛物线y=ax2十bx十c(a≠0) 两个交点 与x轴的交点个数 若抛物线与x轴的两个交点坐标为 1.当△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴无 A(x1,0),B(x2,0),那么抛物线的对称轴方程 交点. 2.当△=b2一4ac=0时，抛物线与x轴只 为x=1”,线段AB的长度为11一x2= 2 有一个交点 √b2-4ac 3.当△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有 a 任务二 精研典例 题型1 求二次函数的解析式 方法三（利用两根式】 ,函数的图象经过点(0，一5)，(5,0)，且对称轴 例]已知某一元二次函数的图象经过点 为直线x=2, (0,一5)，(5,0)，对称轴为直线x=2,求这个 ∴.函数的图象还经过点（一1,0）， 元二次函数的解析式. ∴.可设这个函数的解析式为y=a(x-5)(x十1)， 解析方法一（利用一般式） 将点(0，-5)代入可得-5=-5a,解得a=1, 设这个一元二次函数的解析式为y=ax2十bx十 即y=(x-5)(x十1)=x2-4x-5为所求函数 c(a≠0). 的解析式. 函数的图象经过，点(0，一5)，(5,0)，且对称轴 题型2二次函数的图象和性质的应用 为直线x=2, 例2当ab>0时，y=a.x2与y=a.x+b 函数的图象还经过点（一1,0），代入解析式可 的图象大致是( ) c=一5： a=1, 得25a+5b+c=0,解得b=-4, a-b+c=0, c=-5. .这个一元二次函数的解析式为y=x2 4x-5. 方法二（利用顶点式） 函数图象的对称轴为直线x=2,可知顶点的 横坐标为2， 故设函数的解析式为y=a(x-2)2十k(a≠0)， 4a+k=-5, 将(0，-5)，(5,0)代入可得{ 解析根据题意，ab>0,即a,b同号， 9a+k=0, 当a>0时，b>0,y=a.x2开口向上，过原点，y= a=1, 解得 ax十b过第一、二、三象限，此时没有选项符合. k=-9. 当a<0时，b<0,y=ax2开口向下，过原点，y '.这个一元二次函数的解析式为y=(x一2)2 ax十b过第二、三、四象限，此时D选项符合. 9,即y=x2-4x-5. 答案D 14 第4天二次函数的图象与性质 方法归纳！以 (2)当-2<a<0时，由图1可知，当x=-2时， 函数取最大值4；当x=a时，函数取最小值a2 在同一平面直角坐标系下，考虑二次函数的图 (3)当0≤a<2时，由图2可知，当x=-2时，函 象与一次函数的图象，关键在于熟练掌握函数图象 数取得最大值4；当x=0时，函数取最小值0. 与系数的关系， (4)当a≥2时，由图3可知，当x=a时，函数取 题型3 求二次函数的最值 最大值a2;当x=0时，函数取最小值0. 例3已知函数y=x2,-2≤x≤a,其中 瓣 a≥一2，求该函数的最大值与最小值，并求出 函数取最大值和最小值时所对应的自 a 变量x的值 图1 图2 图3 分析本例中函数自变量的取值是一 个变化的范围，需要对a的取值进行讨论. 日纳臣结 解析(1)当a=一2时，函数y=x2的图象仅仅 二次函数求最值时，要先确定对称轴，再结合 对应着一个点（一2,4），所以函数的最大值和最小值 图象求解最值，如果给定区间或对称轴含参数，则 都是4，此时x=一2. 需进行讨论 任务三 自主测评 A基础练 的是( 1.已知二次函数y=ax2十bx十c的图象的顶 点坐标为(2，一1)，与y轴的交点为(0,11)， 则(). A.a=1,b=-4,c=11 B.a=3,b=12,c=11 C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11 2.二次函数y=x2-4x十5(3≤x≤5)的最小 值是( ) A.5 B.10 C.2 D.1 3.若二次函数y=ax2+bx十c的x与y的部 5.已知函数y=x2一2x一2的图象如图所示， 分对应值如下表： 根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的 x的取值范围是( -7 -6 27 -13 -3 3 5 3 y=x2-2x-2 则当x=1时，y的值为( A.5 B.-3 C.-13 D.-27 012 4.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数 y=ax2+(a十c)x十c与一次函数y=ax十 c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确 15 重难点手预备新高一 数学 A.-1≤x≤3 B.-3≤x≤1 8.(1)求函数y=一x2+4x一2在0≤x≤3时 C.x≥-3 D.x≤-1或x≥3 的最值； 6.当0≤x≤a时，函数y=x2一2x十3的取值 范围是2≤y≤3，那么实数a满足( A.a=1 B.a≥1 C.1≤a≤2 D.a=2 ⑧能力练 7.如图所示，抛物线y=一x2十5x十n经过点 A(1,0),与y轴交于点B. (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知0≤x≤，求函数y=x+x十1的 最值 (2)P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以 AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标. 169.A[由△>0，x1+x2>0,x1x2>0及x+ x=52求解；也可用代入法，将答案代人 检验.] 10.(1)△=[-2(m+1)]2-4(m2-3)=8m+ 16,当△>0，即8m+16>0,m>-2时，方程 有两个不相等的实数根。 (2)由(x1十x2)2-(x1十x2)-12=0,得 x1十x2=4或x1十x2=-3. 又由韦达定理知x1十x2=2(m十1). ①当x1十x2=4时，2(m+1)=4,m=1. ②当x1+x2=-3时，2(m+1)=-3,m ,不符合4>0，舍去 综上所述，m的值为1. 11.(1).一元二次方程4kx2一4x十k+1=0有两 个实数根， ∴.4k≠0，即≠0，并且△=（一4k)2一4×4k(k +1)=-16k≥0，即k≤0， k<0 又x1,x2是方程4kx2一4kx+k+1=0的 两根， 六x1十x2=1,x1x2=t1, 4k ∴.(2c1一x2)(x1-2x2)=2(x1十x)-5x1x2 =2x1+x)2-91x2=_6+9 4 若(2x1-x2)(x1-2x2）=-3 ，则有-6+9 4k k-号而<0， ∴.不存在实数k,使(2x1一x2)(x1一2x2)= (2:4+4-2=i+3-2=x1+x:) C2 x1 x1X2 x1X2 4k 4 一4=十1一4=一十1： ∴.要使其值为整数，只需k十1能被4整除，而 k为整数，故k十1只能取士1，士2，士4. .k<0,.k+1<1, .k十1只能取-1，一2，一4. “要使1十工2一2的值为整数的的值为 x2 x1 -2,-3,-5. 总结 本题是一道存在性问题.在求k值时，不 要忽略了二次项系数4k≠0.第(2)问中求 的整数值，要有较强的分析问题能力，要学会 对为垫数的分析方法。 第4天二次函数的图象与性质 1.D[设y=a(x-2)2-1,令x=0,y=11,代 人得y=3(x-2)2-1,即y=3x2-12x+11.] 2.C[.y=(x-2)2+1,.x=3时， ymin=2.] 3.D4.D5.D6.C 7.(1)由题意得-1+5+n=0.所以n=一4，抛物 线的解析式为y=一x2+5x一4. (2)因为点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为 (0,-4),所以OA=1,OB=4. 在Rt△OAB中，AB=√OA2+OB2=√17，且 点P在y轴正半轴上 ①当PB=AB时，PB=√17， 所以OP=PB-OB=√17一4，此时点P的坐 标为(0，√17-4). ②当PA=AB时，OP=OB=4,此时点P的 坐标为(0,4). 综上可知，点P的坐标为(0，√17一4)或(0,4). 8.(1)函数y=-x2十4x-2(0≤x≤3)是一元二 次函数，其对称轴方程是x=2,顶点坐标为(2， 2),且其图象开口向下，如图1所示. 当x=2时，函数的最大值为2； 当x=0时，函数的最小值为一2. (2)将原函数配方得y=(x+)+,则其 对称轴方程x=一2顶点坐标为（一合，）》， 3 且图象开口向上，显然其顶点横坐标不在0≤ 2<的范周内，如图2所示 此时函数值随着自变量的增大而增大.所以，当 =0时，函数y的最小值为1当x-时，函 数的最大值为早 19 013 图1 图2 总结 本题两问中所给的一元二次函数是确定 的，自变量x的范围也是固定的，对应的图象 是抛物线上的某一段，非常明确.那么最高点 的纵坐标即为函数的最大值，最低，点的纵坐 标即为函数的最小值 第5天集合的概念 1.B[对于①，某校2025年入学的全体高一年 级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；对于 ②，√2的所有近似值，根据精确度不一样得到 的近似值也不一样，因此对象不确定，故不能构 成集合，故②错误；对于③，某个班级中学习成 绩较好是相对而言的，故这些学生对象不确定， 不能构成集合，故③错误；对于④，不等式3x 10<0的所有正整数解有1,2,3，能构成集合， 故④正确.] 2.B[由题意可知，√x2,(√x2)2,一x3可分别 化为x,x2,一x,所以由实数x,一x,|x|, √x2,(√x2)2,一x3所组成的集合，最多可含 有3个元素，分别为x,一x,x2,此时x≠土1且 x≠0] 求最多可含有元素的个数，就让三个数工，一x,x2不相等， (x≠一x,x≠0， 即x≠x2,得x≠1， -x≠x2,x≠-1 3.C[由题意知a2,2一a,4互不相等，即 fa2≠2-a, a2≠4，獬得a≠-2，a≠1且a≠2.] 2-a≠4， 4D[集合A中元素的特征为（夸，冬）∈D., 对于A合-日>6=1，营->=3，不相 同，不满足题意对丁B号-号→=2导=子 飞=3 →k=3,k不相同，不满足题意对于C,冬-3 →k=9,4 =4→k=16,k不相同，不满足题意。 对于D,号-4k=12,冬-3>k=12,k相同， 满足题意] 5x≠0且x≠1且工≠2且x≠1+5且x≠ 2 1-5 2· [根据集合中元素的互异性可知 x≠1， x≠1， x≠0且x≠2， x≠x2一x,→ x2一x≠1 红关1±6 2 故x满足的条件为x≠0且x≠1且x≠2且 安5月x121 2 6.分三种情况进行讨论. ①若m-1=3,则m=4,此时3m=12,m2 1=15,故m=4符合题意； ②若3m=3,则m=1,此时m一1=m2一1=0， 舍去； ③若m2一1=3，则m=士2，经检验，m=士2 符合题意. 综上可知，m=4,2或一2. 7.ACD[由，y都是非零实数，=高十