第8天 并集与交集-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第 8 天 并集与交集 衔接对照 初中知识解读 高中知识解读 方程组 公共解 初中对“且”与“或”的含义及数轴表示的理解，为 同时符合 高中定义交集（且）与并集（或）提供了直观基础，实现 且” 多个条件 同时 了从生活语言到集合运算符号的衔接 不等式组 满足 条件 公共部分 直 分类讨论 并集 交集 组中 合并结果 多种情 的“且” 表 符号AUB={x|x∈A∩B={x|x∈ 况合并 数轴上公 或” 与“或 示 共区域 语言A或x∈B}》 A且x∈B} 至少满足 任选 个条件 满足 图形 AOB AOB 所有可 语言 能解 任务一 探学新知 知识点1并集的定义 续表 1.并集的三种语言 性质 含义 由所有属于集合A或属于集合B的元 A二(AUB), 任何集合都是该集合与另 文字语言 素组成的集合，称为集合A与集合B的 B(AUB) 集合并集的子集 并集，记作AUB 若A二B,则AUB=B, 任何集合与它的子集的并 符号语言 AUB={x|x∈A或x∈B} 反之也成立 集等于集合本身 图形语言 知识点2 交集 1.交集的三种语言 2.常用的运算性质 由所有属于集合A且属于集合B的元 性质 含义 文字语言 素组成的集合，称为集合A与集合B的 AUB-BUA 两个集合的并集满足交 交集，记作A∩B 换律 任何集合与其本身的并集 符号语言 A∩B={x|x∈A且x∈B} AUA-A 等于集合本身 任何集合与空集的并集等 图形语言 A B AUO-OUA-A 于集合本身 28 第8天并集与交集 2.常用的运算性质 核心览结口 性质 含义 对并集、交集含义的理解 两个集合的交集满足交 1.“或”的数学内涵如图所示. A∩B=B∩A 换律 x∈A或x∈B 任何集合与其本身的交 A∩A=A 集等于集合本身 ② ③ x∈A且xBx∈A且x∈Bx∈B且xA 2.定义中的“或”字与日常生活中所说的“或” 任何集合与空集的交集 A∩财=必∩A=☑ 字有所不同.例如，日常生活中说“由甲或乙去完成 都是空集 这件工作”往往指只去一人即可，而并集定义中的 “或”的含义还包括两人都去 任何集合与它的子集的 咒 若A二B,则A∩B=A 3.对于“A∩B={x|x∈A且x∈B}”,它不仅表 交集等于该子集 示“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”， 若两集合的交集等于其 同时还表示“集合A与B的公共元素都属于A∩ 若A∩B=A,则A二B 中某一个集合，则该集合 B”这就是定义中“所有”二字的含义，而不是“部分” 是另一个集合的子集 公共元素.如A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则A∩ B={2,3,4,即2∈A∩B,3∈A∩B,4∈A∩B. 两个集合的交集是其中 (A∩B)二A,(A∩B)CB 4.当集合A与B没有公共元素时，不能说A 任一个集合的子集 与B没有交集，而是A∩B=☑. 任务二 精研典例 题型1交集与并集的相关运算 (1)若a=-1,求A∩B和AUB; 例]若集合A={xx>0),B={x|x≤2 (2)若A∩B=B,求实数a的取 或x≥3}，则A∩B=(). 值范围。 解析(1)若a=一1，则B={x|-2≤x≤1)， A.{x|2≤x≤3} .A∩B={x|-2≤x≤-1}，AUB={x|x≤1 B.{xx<2或x≥3} 或x≥5}. C.{xlx≥3} (2)A∩B=B,.B≤A. D.{x|0<x≤2或x≥3} ①若B=0,则2a>a+2, 解析借助数轴（如图所示），可得A∩B= ∴a>2,满足题意； {x|0<x≤2或x≥3}. ②若B≠心，存在两种情况（如图所示）， 则/a≤2， a≤2， 或 a+2≤-12a≥5， 答案D .a≤-3. 题型2交集、并集性质的应用 2aa+2-15 -1 52aa+2 例2已知集合A={x|x≤-1或x≥5)， 综上所述，实数a的取值范围为{aa>2或a≤ 集合B={x|2a≤x≤a十2}. -3}. 29 重难点手预备新高一 数学 方法总结！ (2)若A∩B=心，则集合A,B可能的情况有： 1.注意空集的特殊性。 A,B均为空集；A与B中只有一个空集；A,B (1)若B二A,则应分成B=☑和B≠⑦两类进 虽然均为非空集合，但无公共元素. 行讨论。 2.注意结合数轴分析端点值的大小。 任务三 自主测评 A基础练 ®能力练 1.已知集合A={-4,0,1,2,8},B={xx3= 7.(多选)已知集合P={1,2},Q={x|ax+ x},则A∩B=( 2=0},若PUQ=P,则实数a的值可以是 A{0,1,2} B.{1,2,8} (). C.{2,8} D.{0,1} A.-2 B.-1 C.1 D.0 2.已知集合A={x|-3<x≤2}，B={x|-2≤ 8.已知集合A={x|x2十x-2=0},B={x x<3},则AUB=( ) x2-2x十q=0},且AUB={-1,0,2},则 A.{x|-2<x<2} B.{x|-2≤x≤2} p十q的值为 C.{x|-2<x≤3} D.{x|-3<x<3} 9.已知集合A={x|-2≤x≤1}，B={x|x2 3.记S(A)为集合A中所有元素之和，对于集 3ax+2a2=0}. 合M={1,2,3,4,5},A≠，A∩M=A,则 (1)若A∩B=⑦，求实数a的取值范围； 所有S(A)之和等于(). (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围. A.230 B.240 C.245 D.250 4.已知集合A={y|y>a2+1或y<a},B= {y2≤y≤4)，若A∩B≠心，则实数a的取 值范围为 5.已知集合A={-2,0,2,4},B={x1|x一3≤ m},若A∩B=A,则m的最小值为 6.设集合M={x-2<x<5},N={x2-t< x<2t+1,t∈R},若MUN=M,求实数t 的取值范围. 305.一256.易知集合M={1,2,3,4,5,6,7}中的 每个元素在集合M的所有非空子集中均出现 2次，若对M的所有非空子集中的元素 都乘（一1）再求和，则这些和的总和是2× [(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)4X 4+(-1)5×5+(-1)6×6+(-1)7×7]= -256.] 6.(1)因为x2-(1+m)x十m=(x-1)(x-m),所 以当m=1时，A={1};当m≠1时，A={1,m}. 又A三B,所以m=1,此时B={1},满足 ACB. 所以当A二B时，m的取值集合为{1}. (2)当m=1时，A=B={1},B手A不成立；当 m=0时，A={1,0},B=,BA成立；当 m≠1，且m≠0时，B=}A=1,m,由 BA,得m=1,所以m=-1. m 综上，m的取值集合为{0，一1}. 7.AD[由集合相等的概念可得a一2=2， 2a-3=1, 此方 程组无解，故不存在实数a使得A=B,故A正 2a-3≤1，ma≤2， 确：由ACB得a-2≥2，即a≥4， 即 此不等式 组无解，故B错误；当2a-3≥a-2,即a≥1 时，B=二A,符合B二A,当a<1时，要使 2a-3≥1， B二A,需满足 解得2≤a≤4，不满 a-2≤2， 足a<1,故这样的实数a不存在，故当a≥1 时，B二A,故C错误；由C选项分析可得存在 实数a使得B二A,故D正确.] 8.由题意可得△=m2十144>0.设关于x的方程 x2+mx一36=0的两个根分别为x1,x2, 则区十xg=-m, x1x2=-36, 所以方程x2十x一36=0的整数解只能是36 的约数 结合两根的乘积为定值一36，且两根为整数，可列出两根的 所有可能情况，然后逐项分析即可 当方程的解为一1,36时，m=一35；当方程的 解为一2,18时，m=一16；当方程的解为一3， 12时，m=一9；当方程的解为一4,9时，m= 一5；当方程的解为一6,6时，m=0;当方程的 解为1，-36时，m=35;当方程的解为2，-18 时，m=16;当方程的解为3，一12时，m=9;当 方程的解为4，一9时，m=5. 故集合M={-35,-16,-9,-5,0,5,9,16,35. 由集合A满足条件：①手A二M,②若a∈ A,则一a∈A,得集合M中互为相反数的两个 元素同属于集合A或同不属于集合A.因为集 合M中有4对相反数和元素0，所以这样的非 空集合共有25-1=31个. 第8天并集与交集 1.D[x3=x台→x3-x=x(x2-1)=x(x+1)· (x-1)=0,解得x=0,一1或1，所以B={0, -1,1},又A={-4,0,1,2,8},所以A∩B= {0,1}.] 2.D[如图，AUB={x|-3<x<3}.] 02B+ -3-2 3.B[因为集合M={1,2,3,4,5},A二M,分别 列举出满足条件的集合A: (1)若集合A只有一个元素，则集合A为{1}， {2),{3},{4},{5};(2)若集合A有两个元素， 则集合A为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2， 3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},在这些 集合中，1,2,3,4,5每个数都出现4次；(3)若 集合A有3个元素，则集合A为{1,2,3}，{1， 2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2, 3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},在这些集合 中，1,2,3,4,5每个数都出现6次；(4)若集合 A有4个元素，则集合A为{1,2,3,4}，{1,2， 3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},在这 些集合中，1,2,3,4,5每个数都出现4次； (5)若集合A有5个元素，则A={1,2,3,4,5}. 综上所述，所有S(A)之和为(1+2+3十4十5)× 7 (1+4+6+4+1)=240.] 4.{a|a>2或-√3<a<3.[已知A={yl y>a2+1或y<a},B={y|2≤y≤4}，我们 不妨考虑当A∩B=心时a的取值范围，在 数轴上表示出集合A,B,如图所示. 丹 a≤2， |a≤2， 由 得《 故a≤ a2+1≥4，wla≥3或a≤-3， -√3或√3≤a≤2，即A∩B=时，a的取值范 围为{aa≤一√3或√3≤a≤2.故A∩B≠时，a 的取值范围为{aa>2或-√3<a<√3}.] 5.5.[因为A∩B=A,所以A二B. 又因为x-3≤m得-m+3≤x≤m+3,所以 有2即以放 的最小值为5.] 6.由MUN=M得N二M,故当N=O时，有 2+1≤2-t,即≤3时，MUN=M成立. f2-t<2t+1, 当N≠☑时，由图可得2t+1≤5，解得 2-t≥-2， 2 -22-t2+15 综上可知，所求实数t的取值范围是{tt≤2}. 7.ABD[因为PUQ=P,所以Q二P,故Q=☑ 或{1}或{2}.当Q=⑦时，a=0;当Q={1}时， a=-2;当Q={2}时，a=-1.] 8.一1.[由题意可知，方程x2十x一2=0，x2一 2x十g=0均有根，设方程x2十x一2=0的根 为x1,x2,方程x2-2x十q=0的根为x3,x4. 可知x1,x2,x3,x4∈{-1,0,2}，且 21+x=-'且+x4=2, x1x2=-2, x3x4=9, 分析可知，方程x2十px一2=0的根为一1,2， 8 方程x2一2x十q=0的根为0,2，即A={-1, 2},B={0,2},满足AUB={-1,0,2},符合 x1十x2=一p=1, 题意，可得 x3x4=q=0, =一1所以p十q=-1.门 解得 q=0, 9.(1)由题意可得 B={xx2-3ax十2a2=0}={x|(x-a)(x 2a)=0}, △=9a2一8a=a2为一个完全平方数，可r以用十字交叉法分解因式 当a=0时，B={0},此时A∩B={0}≠☑，不 符合题意；当a>0时，B={a,2a},由A∩B= 0,可得a>1;当a<0时，B={a,2a},由A∩ B=d,可得a<-2. 综上所述，a的取值范围为{aa<一2或a>l}. (2)当a=0时，B={0},此时A∩B={0}=B, 故符合题意 当a>0时，B={a,2a},由A∩B=B,可得 [a2a, 2a1,解得0a≤当a<0时，B=a2a, a≥-2， a>2a, 由A∩B=B,可得a≤1，解得-1≤a<0. 2a≥-2， 综上所述u的取值范围为a-1长a≤}。 第9天全集与补集 1.D[M∩N={2,3},.Cu(M∩N)={1, 4}.] 2.C[|x-1|>2可等价转化为x-1>2或x 1<-2,.x>3或x<-1,∴.A={xx>3 或x<-1},.CuA={x|-1≤x≤3}.又B= {x|2<x<4},∴.(uA)∩B={x|2<x≤3.] 3.A[由题意，A中的元素2,3,4,5也在集合B 中，其余元素不在集合B中，所以A∩B={2, 3,4,5},故题图中阴影部分表示的集合为 Ca(A∩B)={0,1.]