第3天 一元二次方程根与系数的关系-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第3 天 一元二次方程根与系数的关系 衔接对照 初中知识解读 高中知识解读 元二次方程 初中生掌握了一元二 ax2+bx+c=0(a≠0) 在高中数学教材中的二次函 次方程的概念、解法及其根 6 数、不等式以及解析几何等内容 的判别式，但是对根与系数 x1十x2= a 都大量地应用了一元二次方程根 的关系没有较深的研究. 的判别式及根与系数的关系 a 任务一 探学新知 知识点1一元二次方程的解法 根：x1= -b+√b2-4ac 2a 26-/B2-Aac 2a 1.直接开平方法 2.当△=0时，方程有两个相等的实数根： 2.配方法把一元二次方程通过配方化成 b (mx十n)2=r(r≥0)的形式，再用直接开平方 C1=x2= 2a 法求解。 3.当△<0时，方程没有实数根.方程右边 3.公式法一元二次方程ax2十bx+c= 是一个负数，而方程的左边(x十 )2不可能是 0a≠0)的求根公式：x=-b士63-4ac 2a 个负数，因此，方程没有实数根】 4.因式分解法如果一元二次方程ax2十 知识点3一元二次方程根与系数的关系 bx十c=0(a≠0)的左边可以分解为两个一次 方程ax2十bx十c=0(a≠0)的求根公式 因式的积，那么这两个因式至少有一个为0，原 C= -b士√62=4ac,不仅表示可以由方程的 方程可转化为两个一元一次方程来解 2a 系数a,b,c决定根的值，而且还反映了根与系 知识点2一元二次方程的根的判别式 数之间的联系。 元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)，用 根据求根公式可知，当b2一4ac≥0时，一 配方法可将其变形为 元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两根为 4a2 =十4-6二 2a 2a 判别式△=b2-4ac, -b+√b2-4ac 1,当△>0时，方程有两个不相等的实数 由此可得x1十x2= 2a 9 重难点手预备新高一 数学 -b-√b2-4ac -2b b 2a 2a 反过来，如果x1,x2满足1十x2=一白 x1x2= -b+√B2-4ac.-b-√b2-4ac x1x2=C,那么x1,x2一定是方程ax2十hx十 2a a 2a (-b)2-(√62-4ac)2 c=0(a≠0)的两个根. c 4a2 这就是韦达定理的逆定理。 因此，方程的两个根x1,x2和系数a,b,c 特别地， 、6 (1)如果方程x2十px+g=0的两个根是 有如下关系：1十x=合x1:=日 x1,x2,那么x1十x2=一p,x1x2=q. 这个一元二次方程的根与系数的关系叫 (2)以两个数x1,x2为根的一元二次方程 作韦达定理。 (二项次数为1)是x2-(x1十x2)x十x1x2=0. 任务二 精研典例 题型1根与系数的关系的直接应用 .|x1-x2= 2 例]已知x1,x2分别是方程2x2+5x 题型2 利用根与系数的关系求参数 3=0的两个根，试求下列各式的值. 例2已知关于x的方程x2-(k十1)x十 (1)x1+x号； e+ 2+1=0,根据下列条件，分别求k的值 (1)方程两实根的积为5； (3)(1-x1)(1-x2): (2)方程的两实根x1,x2,满足 (4)x1-x2. 解析x1和x2分别是一元二次方程2x2十 x1=x2 5x-3=0的两根， 分析已知两实根的积为5，可由韦达定理求出 k的值；已知x1|=x2,有两种可能，一是x1=x2> 六x1十x2=-2x1x2=-2 0,二是一x1=x2,要分类讨论. 好+对=+a-2:-(←8》' 解析(1)因为方程两实根的积为5， 2×(-8)-平 4=[-0+1D]2-4×(2+1≥0， 所以 1 5 z1x2=4k2+1=5, (2)1+1+2_25 x1 x2 1x2 33 2 所以 ≥ (3)(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2= k=士4. 1822 因此，当=4时，方程两实根的积为5. (2)由x1|=x2得： (4)|x1-x2|2=(x1十x2)2-4x1x2= ①当x1≥0时，x1=x2,所以方程有两个相等的 (-》°-4×(-)+6=， 卖数根，故△=0，即2必-3=0,6=又当及=时， 10 第3天一元二次方程根与系数的关系 有红1==子>0，所以及=特合条件。 日纳恩结0 ②当x1<0时，x2=一x1,所以x1十x2=0,由韦 根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定 达定理得k十1=0，所以k=一1.由于△≥0，即k≥ 字母的值，务必要注意方程有两实根这个条件，即 3 ,故=一1不合题意，合去 所求的字母值应满足△≥0.本题两实根的积为5包 含了两个条件：一是方程有两个实根，即△≥0；二 综上可得，k= 3 时，方程两实根满足|x1=x2. 是方程的两实根的积为5，即x1x2=5. 任务三 自主测评 A基础练 qx十饣=0的两个实数根，则p= 9= 1.方程x2-2√3x十3k2=0的根的情况是 7,若x1和x2分别是一元二次方程2x2十6x一 (）. 3=0的两个实数根，求： A有一个实数根 (1)x1一x2的值； B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 2.已知关于x的方程x2十kx一2=0的一个根 是1，则它的另一个根是( A.-3 B.3 C.-2 D.2 3.关于x的一元二次方程ax2-5x十a2十a= (2 1 的值： 0的一个根是0，则a的值是(). x十x A.0 B.1 C.-1 D.0或-1 4.设x1,x2是方程2x2十4x一3=0的两根，那 么(x1+1)(x2+1)的值是(). a c-8 D.-6 5.若ab≠1，且5a2+2025a+9=0及9b2+ (3)x十x的值. 20256+5=0,则2的值是( C.-405D.-225 6.设x1,x2为一元二次方程x2十px十q=0的 两个实数根，且x1十1，x2十1为方程x2十 11 重难点手预备新高一 数学 B能力练 11.已知x1,x2是一元二次方程4kx2一4kx+ k十1=0的两个实数根， 8.若t是一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0) (1)是否存在实数，使(2x1-x2)(x1一 的根，则判别式△=b2一4ac和完全平方式 M=(2at+b)2的关系是(). 2x2)= 成立？若存在求出无的值， A.△=M 若不存在，请说明理由。 B.△>M C.△<M D.大小关系不能确定 9.已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交 于O点，且OA,OB的长分别是关于x的方 程x2+(2m一1)x+m2+3=0的根，则m等 于(). A.-3 B.5 C.5或-3 D.-5或3 10.已知关于x的方程x2一2(m+1)x+m2 3=0. (1)当m取何值时，方程有两个不相等的实 (2)求使1+2一2的值为整数的实数k的 数根？ 整数值. (2)设x1,x2是方程的两根，且(x1十x2)2 (x1+x2)-12=0,求m的值. 12所以(x+1)3一(x一1)3=8-6.x,得证. 7.D8.B9.C 10.(1)2x2-5xy-3y2,因为 1 (-3) 2 1 （-6)+1=-5 所以2x2-5xy-3y2=(x-3y)(2x+y). (2)3x2+8xy-3y2,因为 1 9+(-1)=8 所以3x2+8xy-3y2=(x+3y)(3x-y). 11.x2-3xy+2y2-2x+3y+1 =x2-(3y+2)x+2y2+3y+1 =x2-(3y+2)x+(y+1)(2y+1) =(x-y-1)(x-2y-1). 12.方法一由题意得 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 =(n2+3m)[(n2+3n)+2]+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2. 所以得证 方法二由题意得n(n十1)(n+2)(n十3)十 1,化简得n4+6n3+11n2+6n+1. 要证明上式是完全平方数，只要证明上式等于 一个式子的平方. 令上式=(n2十an十1)2，从而求得a=3,所以 得证 第3天一元二次方程根与系数的关系 1.C[.△=(-23k)2-4X1X3k2=0, 方程有两个相等的实根.] 2.C[由韦达定理得x1x2=1·x2=一2. x2=-2.] 3.C[由x1x2=0,得a=-1,a=0(舍去).] 4.C[(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+ 1=--2+1=- 2 5B[由6+20256+5=0得s(号)》'+2025+ 9=0,a,6可以看作方程5x2+2025x十 9=0的两根，∴a· --- |x1十x2=一p, 6.-1;-3.[由题意，得 x1x2=g, x1十x2十2=-q, (x1+1)(x2+1)=p, -p十2=-q, p=-1, 所以 解得 -p十q+1=p, q=-3. 经验证，p=一1,9=一3满足题意.] 7.,x1和x2分别是一元二次方程2x2十6x一 3=0的两个实数根， 3 ∴.x1十x2=-3,x1x2= 2 (1).|x1-x22 =x7十x号-2x1x2 =(x1十x2)2-4x1x2 =(-3)-4x(-2) =9+6 =15, .x1-x2=√15， 1 2)十1-x十x-（x1十x2）2一 Γx1x号 (x1x2)2 (-3-2X(-) 9+316 (- 9 31 4 (3)x+x =(x1十x2)(x3一x1x2十x) =(x1十2)[(x1十x2)2-3x1x2] =-3×[k-3)-3x(-2)】 2 8.A[由at2+bt+c=0,得at2+bt=-c,所以 M=(2at+b)2=4a212+4abt+62 4a (at2+ bt)+b2=-4ac+b2=△.] 9.A[由△>0，x1+x2>0,x1x2>0及x+ x=52求解；也可用代入法，将答案代人 检验.] 10.(1)△=[-2(m+1)]2-4(m2-3)=8m+ 16,当△>0，即8m+16>0,m>-2时，方程 有两个不相等的实数根。 (2)由(x1十x2)2-(x1十x2)-12=0,得 x1十x2=4或x1十x2=-3. 又由韦达定理知x1十x2=2(m十1). ①当x1十x2=4时，2(m+1)=4,m=1. ②当x1+x2=-3时，2(m+1)=-3,m ,不符合4>0，舍去 综上所述，m的值为1. 11.(1).一元二次方程4kx2一4x十k+1=0有两 个实数根， ∴.4k≠0，即≠0，并且△=（一4k)2一4×4k(k +1)=-16k≥0，即k≤0， k<0 又x1,x2是方程4kx2一4kx+k+1=0的 两根， 六x1十x2=1,x1x2=t1, 4k ∴.(2c1一x2)(x1-2x2)=2(x1十x)-5x1x2 =2x1+x)2-91x2=_6+9 4 若(2x1-x2)(x1-2x2）=-3 ，则有-6+9 4k k-号而<0， ∴.不存在实数k,使(2x1一x2)(x1一2x2)= (2:4+4-2=i+3-2=x1+x:) C2 x1 x1X2 x1X2 4k 4 一4=十1一4=一十1： ∴.要使其值为整数，只需k十1能被4整除，而 k为整数，故k十1只能取士1，士2，士4. .k<0,.k+1<1, .k十1只能取-1，一2，一4. “要使1十工2一2的值为整数的的值为 x2 x1 -2,-3,-5. 总结 本题是一道存在性问题.在求k值时，不 要忽略了二次项系数4k≠0.第(2)问中求 的整数值，要有较强的分析问题能力，要学会 对为垫数的分析方法。 第4天二次函数的图象与性质 1.D[设y=a(x-2)2-1,令x=0,y=11,代 人得y=3(x-2)2-1,即y=3x2-12x+11.] 2.C[.y=(x-2)2+1,.x=3时， ymin=2.] 3.D4.D5.D6.C 7.(1)由题意得-1+5+n=0.所以n=一4，抛物 线的解析式为y=一x2+5x一4. (2)因为点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为 (0,-4),所以OA=1,OB=4. 在Rt△OAB中，AB=√OA2+OB2=√17，且 点P在y轴正半轴上 ①当PB=AB时，PB=√17， 所以OP=PB-OB=√17一4，此时点P的坐 标为(0，√17-4). ②当PA=AB时，OP=OB=4,此时点P的 坐标为(0,4). 综上可知，点P的坐标为(0，√17一4)或(0,4). 8.(1)函数y=-x2十4x-2(0≤x≤3)是一元二 次函数，其对称轴方程是x=2,顶点坐标为(2， 2),且其图象开口向下，如图1所示. 当x=2时，函数的最大值为2； 当x=0时，函数的最小值为一2. (2)将原函数配方得y=(x+)+,则其 对称轴方程x=一2顶点坐标为（一合，）》， 3