第7天 集合间的基本关系-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第 7 天 集合间的基本关系 衔接对照 初中知识解读 高中知识解读 溜 初中通过数集范围、方程解集的包含 高中在初中的基础上抽象出子集、真 关系及“无解”情形，直观感知子集、真子 子集、集合相等的严格含义，明确空集是任 集、相等和空集的雏形 何集合的子集 包含关系 相等关系 无解 子集 集合相等 真子集 两个量（或两 A二B(或B一A) A=B 记 A二B且 A手B 语言描述 所有A都在 个式子、两个 没有这样 (注意符号的“开 口”方向) B二A (或B吴A) B里 数表示的是 的数 同一个数值) 或 大于5的数 x2=-1 累 A(B) B(A 定大于2 a=b 无解 A(B) 任务一 探学新知 知识点1 Venn图 续表 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种 图示 或 A(B) 图称为Venn图. (1)任何一个集合是它本身的子集，即A二A; 例如，如图所示，可用Venn图表示下列集 结论 (2)对于集合A,B,C,若A二B且B二C,则 合之间的关系：A={x|x是平行四边形}，B= A二C {xlx是菱形}，C={x|x是矩形}，D={x|x 是正方形}. 易错蓄示 平行四边形 1.若集合A不是集合B的子集，记作A车B (或B卫A),读作“A不包含于B(或B不包含A)” 用Venn图表示时有以下三种情况，如图所示： B 矩形 AOB A)(B) BA 正方形 2.符号“∈”和“庄”用于元素与集合之间，“二” 知识点2 两个集合间的包含关系 和“车”用于集合与集合之间。 1.子集 3.注意某些集合中的元素仍是集合时的特殊 般地，对于两个集合A,B,如果集合A中 情况.例如，若集合A={一1}，{0}，{1}，集合B 任意一个元素都是集合B中的元素，就称集 ={1),即集合A是由{-1}，{0}，{1}这三个数集所 定义 合A为集合B的子集，记作A二B(或B三 构成的集合，此时集合B为A中的元素，则有B A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) A,{1}二A. 23 重难点手预备新高一 数学 2.集合相等 作心，并规定：空集是任何集合的子集。 般地，如果集合A的任何一个元素都是集 2.空集的性质 合B的元素，同时集合B的任何一个元素都 (1)空集只有一个子集，即它本身： 定义 是集体A的元素，那么集合A与集合B相 (2)空集是任何非空集合的真子集 等，记作A=B.也就是说，若A二B,且B A,则A=B 因此，若⑦丢A,则一定有A≠0，反之也 成立 图示 A(B) 作比较 ①满足A二B且B二A; 性质 对{0}，0，{心}的理解 ②两个集合中的元素完全相同 (1){0}是含有一个元素0的集合，{⑦}是含有 若A={xx=2n+1,n∈Z},B={x|x 一个元素必的集合 2n一1，n∈Z),则A和B中的元素完全相同， 示例 (2)①当必表示一个符号，即作为一个元素时， A和B均代表所有的奇数构成的集合，故 A=B 0∈{0}： 3,真子集 ②当☑作为一个集合时，必二{) 如果集合A二B,但存在元素x∈B,且x氏 3.子集、真子集个数的确定 A,就称集合A是集合B的真子集，记作A三 (1)当一个集合的元素个数较少时，我们 定义 B(或B吴A),读作“A真包含于B”(或“B真 可以一一列举出全部子集，从而求出子集与真 包含A”) 子集的个数注意不要漏掉空集 图示 (2)当一个集合的元素个数比较多时，一 一列举子集不太现实，对于其子集的个数有如 (1)若A二B且A≠B,则A军B; 结论 下表所示结论： (2)若A手B且BC,则AC 集合中 子集 真子集 非空子 非空真子 知识点3 空集 元素个数 个数 个数 集个数 集个数 1.空集的定义 n(n∈N*) 2 2-1 2m-1 2-2 我们把不含任何元素的集合叫作空集，记 任务二 精研典例 题型1 集合间的关系判断 解析方法一 集合M={zx=m+日m∈z, 例已知集合M={xx=m十 关于集合N:①当n为偶数时，令n=2m(m∈ 乙N=zk=g-号mez,p={红x= D,则N=女|x=m号m∈Z; ②当n为奇数时，令n=2m+1(m∈Z),则N 名+日p∈Z.试确定M,N,P之间 满足的关系 从而可得M手N. 24 第7天集合间的基本关系 关于集合P:①当力为偶数时，令p=2m(m∈ 征判断关系.一般地，设A={xP(x)},B={x D,则P=女x=m+日m∈； Q(x)},①若由x满足P(x)可推出x满足Q(x), ②当p为奇数时，令p=2m-1(m∈Z),则P 则A二B;②若由x满足Q(x)可推出x满足 {l2+日me2-{-mgme2 P(x),则B二A;③若x满足P(x)与x满足Q(x) 可互相推出，则A=B;④若由x满足P(x)推不出 从而可得N=P.综上可知，MN=P, x满足Q(x),由x满足Q(x)也推不出x满足 方法二M={女x=m+日m∈Z P(x),则集合A,B之间无包含关系. 密 2.一一列举观察，此方法在选择题中更实用 ={女x-32e+m∈z, 3.数形结合法：利用数轴或Venn图. 6 N--2me 题型2子集、真子集个数的确定 例2若{1,2}二A二{1,2,3,4,5}，则满足 ={女k-3a+1nz. 6 条件的集合A的个数是(). P-=是+日aEa A.8 B.7 C.4 D.3 解析方法一（列举法）满足条件{1,2}三A三 -女k-0。ez, {1,2,3,4,5}的集合A有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}， {1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3, 比较三个表达式可得M军N=P. 4,5},共8个. 方法三（数轴法）由M={z女=m十6m∈Z 方法二（计数法）因为集合A满足{1,2}二A二 {1,2,3,4,5},所以集合A一定含有元素1,2（可不考 可知M中的元素之间的距离相隔1的整数倍，M中 虑)，可能含有元素3,4,5，故集合A的个数即为集合 的元素在数轴上表示如图1所示.同理，N中元素之 {3,4,5}的子集个数，即为23=8. 间的距离相隔？的整数倍，在数轴上表示如图2所示 答案A P中元素之间的距离也相隔号的整教倍，在教轴上表 方法恩结！上 子集、真子集个数的确定 示如图2所示 (1)当集合A中的元素个数n较小时，可一 由图可知，M手N=P. 列举出子集，进而确定子集和真子集的个数， 6 (2)当集合A中的元素个数n较大时，一一列 举不现实，有如下结论： 图1 ①A的子集有2m个； 音名吉音名9是 ②A的真子集有(2一1)个； 0 ③A的非空子集有(2m一1)个； 图2 ④A的非空真子集有(2”一2)个 方法恩结！业 (3)若集合A中有n个元素(n≥1)，集合C中 判断集合间关系的常用方法 有m个元素(m≥n),且A二B二C,则符合条件的 集合B有2m-n个. 1.集合元素特征法：首先确定集合的元素是什 (4)若集合用列举法表示或集合与方程相关， 么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特 可根据元素间的相等关系列出方程（组）求解. 25 重难点手预备新高一 数学 题型3由集合间的关系求参数 方法恩结！ 例3若A={x-3≤x≤4}，B={x2m 已知两个集合之间的关系求参数 1≤x≤m+1},当B二A时，实数m的取值范 1.因为空集是任何集合的子集，所以注意对是 否存在空集的情况进行讨论 围为 2.根据子集关系确定集合中参数的取值范围 解析当B=☑时，2m一1>m十1， 时，要注意检验能否取到等号.常见类型如下表： ∴.m>2; 题型 数轴图 不等式结论 口诀速记 2m-1≥-3， 当B≠心时，如图，由题意得 m+1≤4， 解得 B a<b b 外圈内点不 2m-1≤m+1, a≤b 取等（本质： -1≤m≤2. 已知B二A, B 集合B中 列不等式求 的元素不多 参数范围 B a≤b 于A中的元 -32m-1m+14 素) ∴.实数m取值的范围是m≥-1. B a≤b 答案{mm≥-1}. 任务三 自主测评 A基础练 5.已知集合M={1,2,3,4,5,6,7},对于它的 非空子集A,将A中的每一个元素都乘 1.下列关系中正确的个数为(). (一1)再求和[如A={2,3,5},可求得和为 ①0∈{0}；②☑{0}；③{0,1}二{(0,1)}； 2×(-1)2+3×(-1)3+5×(-1)5=-6]. ④{(a,b)}={(b,a). 若对M的所有非空子集执行上述求和操作， A.1 B.2 C.3 D.4 则这些和的总和是 2.满足{1,2}M二{1,2,3,4,5}的集合M有 6.已知m为实数，A={x|x2-(m十1)x十 个 m=0},B={xmx-1=0}. 3.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}. (1)当A二B时，求m的取值集合； 若A二B,则a=(. (2)当B手A时，求m的取值集合 A.2 B.1 c D.-1 4,若集合M={x∈R(m十1)x2-mx+m 1=0}恰有1个真子集，则实数m的值为 (). A.-1 C￥ 3 D±23 或-1 26 第7天集合间的基本关系 B能力练 8.已知整数集合M={m|关于x的方程 x2十mx一36=0有整数解}，集合A满足 7.(多选)已知集合A={x|1<x<2},B={x 条件： 2a-一3<x<a一2}，下列结论正确的是 ①0手A二M; (). ②若a∈A,则-a∈A. A.不存在实数a使得A=B 求所有这样的集合A的个数 B.存在实数a使得A二B C.当0≤a≤4时，B二A D.存在实数a使得B二A 272x十1=0没有实数根，故△=4一4a<0,解得 a>1. .若A中至多有一个元素，则a≥1或a=0,即 a的取值范围是{aa=0或a≥1}， 8.C[在集合B中，x和y都来自集合A,不难 发现它们可能的组合方式不多，故考虑逐一罗 列来看.因为x∈A,y∈A,所以x,y的可能取 值如下表， x y x一y 0 0 由表可知满足|x一y∈A的有 x=1,x=1, y=2,y=3, |x=2,x=2,x=3,x=3, 共6种，所以集 y=1,y=3,y=1,y=2, 合B中有6个元素.] 9口a≤8，[A中至少有1个元素即方程 ax2-3x十2=0至少有1个实数解，该方程的 平方项系数为字母，其是否为0对方程类型有 影响，考虑的方法不同，故据此讨论.当a=0 时，a2-3x+2=0即为-3x十2=0，解得x= 号所以A=号}满足题意，当：≠0时，要使 方程ax2一3x+2=0至少有1个实数解，应有 △=(-32-4a·2≥0，解得a<号a≠0。 综上所述a的取值范围是ao≤}-】 10.因为集合A={xx2+px+q=x}={2},所 以方程x2十(p一1)x十g=0有两个相等的实 数根，即x1=x2=2. 2+2=-(p-1), 方法一由韦达定理，得{ 2X2=q, p=一3， 解得 所以集合B={x|(x一1)2+ q=4, p(x-1)+q=x+3}={x|x2-6x+5=0. 由x2-6x+5=0,得(x-1)(x-5)=0, 6 解得x=1或x=5,故集合B={1,5}. 方法二易得△=0， (-1)2-4q=0,① 所以 4+2(p-1)+q=0.② 由②，得q=-2p-2.把q=-2p-2代入①， 得p2+6p十9=0，解得p=-3, 所以二3 所以集合B={x|(x-1)2十 q=4, p(x-1)十q=x十3}={xx2-6x+5=0}. 由x2-6x十5=0，得(x-1)(x-5)=0,解得 x=1或x=5,故集合B={1,5}. 第7天集合间的基本关系 1.B[①②正确.] 2.7.[由{1,2}M二{1,2,3,4,5}可以确定集 合M中必含有元素1,2，且至少含有元素3,4， 5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类 如下，含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2， 5};含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1， 2,4,5};含有五个元素：{1,2,3,4,5}.故满足题 意的集合M共有7个.] 3.B[.AB,.0∈B且-a∈B. 若0=a-2,则a=2,故A={0,-2},B={1, 0,2},而一2￠B,故不满足条件. 若0=2a-2,则a=1,故A={0,-1},B={1, 一1,0}，满足条件.] 4.D[设集合M的元素个数为n,因为M有1个 真子集，所以2"一1=1，解得n=1,所以题设条 件等价于方程(m+1)x2一mx+m一1=0有且 仅有1个实数解. 当m+1=0时，m=一1，此时方程(m十1)x2一 mx十m一1=0即为x一2=0，解得x=2,满足 要求；当m+1≠0时，m≠-1，要使方程(m十 1)x2一mx十m一1=0有且仅有1个实数解，应 有△=(-m)2-4(m+1)(m-1)=4-3m2= 0,解得m=士综上所述，实数m的值为 士9或-1 5.一256.易知集合M={1,2,3,4,5,6,7}中的 每个元素在集合M的所有非空子集中均出现 2次，若对M的所有非空子集中的元素 都乘（一1）再求和，则这些和的总和是2× [(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)4X 4+(-1)5×5+(-1)6×6+(-1)7×7]= -256.] 6.(1)因为x2-(1+m)x十m=(x-1)(x-m),所 以当m=1时，A={1};当m≠1时，A={1,m}. 又A三B,所以m=1,此时B={1},满足 ACB. 所以当A二B时，m的取值集合为{1}. (2)当m=1时，A=B={1},B手A不成立；当 m=0时，A={1,0},B=,BA成立；当 m≠1，且m≠0时，B=}A=1,m,由 BA,得m=1,所以m=-1. m 综上，m的取值集合为{0，一1}. 7.AD[由集合相等的概念可得a一2=2， 2a-3=1, 此方 程组无解，故不存在实数a使得A=B,故A正 2a-3≤1，ma≤2， 确：由ACB得a-2≥2，即a≥4， 即 此不等式 组无解，故B错误；当2a-3≥a-2,即a≥1 时，B=二A,符合B二A,当a<1时，要使 2a-3≥1， B二A,需满足 解得2≤a≤4，不满 a-2≤2， 足a<1,故这样的实数a不存在，故当a≥1 时，B二A,故C错误；由C选项分析可得存在 实数a使得B二A,故D正确.] 8.由题意可得△=m2十144>0.设关于x的方程 x2+mx一36=0的两个根分别为x1,x2, 则区十xg=-m, x1x2=-36, 所以方程x2十x一36=0的整数解只能是36 的约数 结合两根的乘积为定值一36，且两根为整数，可列出两根的 所有可能情况，然后逐项分析即可 当方程的解为一1,36时，m=一35；当方程的 解为一2,18时，m=一16；当方程的解为一3， 12时，m=一9；当方程的解为一4,9时，m= 一5；当方程的解为一6,6时，m=0;当方程的 解为1，-36时，m=35;当方程的解为2，-18 时，m=16;当方程的解为3，一12时，m=9;当 方程的解为4，一9时，m=5. 故集合M={-35,-16,-9,-5,0,5,9,16,35. 由集合A满足条件：①手A二M,②若a∈ A,则一a∈A,得集合M中互为相反数的两个 元素同属于集合A或同不属于集合A.因为集 合M中有4对相反数和元素0，所以这样的非 空集合共有25-1=31个. 第8天并集与交集 1.D[x3=x台→x3-x=x(x2-1)=x(x+1)· (x-1)=0,解得x=0,一1或1，所以B={0, -1,1},又A={-4,0,1,2,8},所以A∩B= {0,1}.] 2.D[如图，AUB={x|-3<x<3}.] 02B+ -3-2 3.B[因为集合M={1,2,3,4,5},A二M,分别 列举出满足条件的集合A: (1)若集合A只有一个元素，则集合A为{1}， {2),{3},{4},{5};(2)若集合A有两个元素， 则集合A为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2， 3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},在这些 集合中，1,2,3,4,5每个数都出现4次；(3)若 集合A有3个元素，则集合A为{1,2,3}，{1， 2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2, 3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},在这些集合 中，1,2,3,4,5每个数都出现6次；(4)若集合 A有4个元素，则集合A为{1,2,3,4}，{1,2， 3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},在这 些集合中，1,2,3,4,5每个数都出现4次； (5)若集合A有5个元素，则A={1,2,3,4,5}. 综上所述，所有S(A)之和为(1+2+3十4十5)× 7