第2天 因式分解-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

参考答案与解析 第1天绝对值方程和不等式 10.2.[x=±5，y=士1，原式=||x-y|- 1.A2.D3.C 1x-(-y)1川=|±2=2.] 4.A[当x≤-3时，m=-3x-2≥7； 11.9;1.[.c-d=(c-b)+(b-a)+(a-d), 当-3Kx<2时m=-x十4，号<m<7, 7 (*) :.c-d<Ic-b1+1b-al+a-d=9, 当x≥过时m=x十 当a=4,b=6,c=9,d=0可取等号， 最大值为9. 综上m≥名，故m十1的最小值为2] 由(*)式可知，c一d必定是一个整数，且是一 6<号或>5.[当2x3≥0，即≥8时， 个奇数. .c-d|≥1，a=0,b=2,c=5,d=4可取 去绝对值得2.x-3-x>2,解得x>5;当2x 等号 30,即z<号时，去绝对值得-2x十3-> .最小值为1.] 第2天因式分解 2,解得x<日则解为<名或x>5 1.D2.B3.D 6.a<2.[|x十2|+|x一a|的几何意义为数轴 4.(1)原式=(b-a)(2x十3y). 上一点x到点a和点一2距离的和，因此当点 (2)原式=2m(n4-81)=2m(n2+9)(n2-9) x在两点a,一2之间时距离之和取得最小值， =2m(n2+9)(n+3)(n-3). 则a≤0时，恒成立；a>0时，需满足a十2> (3)原式=(x-2y)(x5-x2) 2a,即0<a<2.故a的取值范围为a<2.] =x2(x-2y)(x3-1) 7.(1)x=-2或x=-3 1 =x2(x-2y)(x-1)(x2+x十1). 5.(1)原式=x(y3+x3) 1 (2)x=3或x= =x(x+y)(y2-xy十x2). 39 (2)原式=x"(x3-y3) 33 33 x= 5, 5, =x"(x-y)(x2+xy+y2). (3) 或 4 16 (3)原式=y2[(x2-2x)3+1] y=- y= 5 =y2(x2-2x+1)[(x2-2x)2-(x2-2x)+1] 11 2 2 =y2(x-1)2(x4-4x3+3x2+2x+1). x=4, x=-4, (4) 或 或 或 6.(x+1)3-(x-1)3 y三一 1y=1. y= 2 y= =x3+3x2+3x+1-(x3-3x2+3x-1) 8.A =x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1 9.C[当a<0<b时，|a-b|=b-a=2028, =6x2+2. 一a=2b,则a+b=一676；当b<0<a时， 又因x2+x-1=0,所以x2=1-x,故6x2十 |a-b|=a-b=2028,a=-2b,a十b=676.] 2=6(1-x)+2=8-6x. 1 所以(x+1)3一(x一1)3=8-6x,得证. 7.D8.B9.C 58[由62+20256+5=0得5(})'+205+ 10.(1)2x2-5xy-3y2,因为 9=0, a,6可以看作方程5z2+2025x十 1 一(-3) 2 1 9=0的两根，∴.a· (-6)+1=-5 所以2x2-5xy-3y2=(x-3y)(2x+y). x1十x2=一p, 6.-1;-3.[由题意，得 x1x2=q, (2)3x2+8xy-3y2,因为 x1十x2十2=-q, 1 (x1+1)(x2+1)=p, 9+(-1)=8 力=一1， 所以( -p十2=一9， 解得 所以3x2+8xy-3y2=(x十3y)(3x-y). -p+q+1=p, q=-3. 11.x2-3xy+2y2-2x+3y+1 经验证，p=一1,9=一3满足题意.] =x2-(3y+2)x+2y2+3y+1 7..x1和x2分别是一元二次方程2x2十6x一 =x2-(3y+2)x+(y+1)(2y+1) 3=0的两个实数根， =(x-y-1)(x-2y-1). x1十x2=-3,x1x2=- 2 12方法一由题意得 (1).x1-x22 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =x7十x3-2x1x2 -[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 =(x1十x2)2-4x1x2 =(n2+3n)[(n2+3n)+2]+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 -(-3)-4X(-》 =(n2+3n+1)2. =9+6 所以得证. =15, 方法二由题意得n(n+1)(n+2)(n+3)+ .|x1-x2=√15 1,化简得n4+6n3+11n2+6n+1. x1x6-3(2x11x3x+II+(a) 要证明上式是完全平方数，只要证明上式等于 xixt (x1x2)2 一个式子的平方. (-3-2x(-) 9+316 令上式=(n2+an+1)2,从而求得a=3,所以 (-9 93 得证 4 第3天一元二次方程根与系数的关系 (3)x十x 1.C[.△=(-2√3k)2-4X1×3k2=0, =(x1十x2)(x一x1x2十x) =(x1+x2)[(x1十x2)2-3x1x2] 方程有两个相等的实根.] 2.C[由韦达定理得x1x2=1·x2=-2. -3×[(-3-3x(-2)】 ∴.x2=-2.] 3.C[由x1x2=0,得a=-1,a=0(舍去).] 4.C[(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+ 8.A[由at2+bt+c=0,得at2+bt=-c,所以 1=--2+1=-别 M=(2at+b)2=4a212+4abt+62 =4a(at2+ bt)+b2=-4ac+b2=△.] 2第 2 天 因式分解 衔接财照 初中知识解读 高中知识解读 將 高中阶段，因式分解从单一知识点深化为核 初中阶段，因式分解是核心学 心代数工具，其应用范围和方法复杂度显著提升. 习内容学生需理解其为整式乘法的 总体要求是从“会分解”到能快速、准确解决复杂 逆运算，掌握提公因式法、公式法 代数问题. (平方差、完全平方)和十字相乘法 1.立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab十b2) (初步应用)： 2.立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2十ab十b2). 1.平方差公式：a2-b2=(a+b)· 3.三数和平方公式：a2十b2+c2+2ab十2ac+ (a-b) 2bc=(a+b+c)2. 2.完全平方公式：a2士2ab+b2= 4.两数和立方公式：a3+3a2b+3ab2+b3= (a±b)2. (a+b)3. 任务一 探学新知 知识点1 提取公因式法：am十bm=m(a十b) 利用提取公因式法和公式法进行分解因式，但 即将多项式中各单项式相同的数字因数 是我们观察到该式前两项有公因式x,后两项有 或字母因式提出来进行因式分解的方法， 公因式y,分别提取后得到x(m十n)+y(m+ n).这时又有了公因式m十n,因此能把多项式 知识点2公式法：运用乘法公式进行逆推 xm+xm十ym+ym分解因式.分解过程为 常见的公式有： xm+xn+ym十ym (1)a2-b2=(a+b)(a-b). =x(m+n)+y(m+n) (2)a2±2ab+b2=(a士b)2. =(m+n)(x+y) (3)a3±b3=(a士b)(a2千ab+b2). (4)a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3. 般地，把多项式分组后，在各组分解因 (5)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc= 式的基础上，再完成整个多项式的因式分解， (a+b+c)2. 这种方法叫作分组分解法， (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+ 知识点4十字相乘法 b2+c2-ab-ac-bc). 我们知道，形如x2十(p十q)x十g的二 知识点3 分组分解法 次三项式，它的特点是二次项系数是1，常数 观察多项式xm十xn十ym十ym,它的各项 pq与一次项系数p十q可以通过如图的“十字 并没有公因式，也不能直接套用公式，因此不能 相乘，乘积相加”的方式建立联系，得到x2十 重难点手预备新高一 数学 (p十q)x十g=(x十p)(x十q).这种方法能 推广吗？ 发现“十字相乘，乘积相加”结果恰好为一 次项的系数mb十na,由于(mx+a)(nx十b)= 1×p+1×q=p十q mnx2+(mb+na)x+ab.从而有：mnx2+ 下面来看二次三项式mn.x2+(mb+na)x (mb+na)x+ab=(mx+a)(nx+b). 十ab,将其二次项系数mn、常数项ab写成下 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三 列十字形式： 项式分解因式的方法，叫作十字相乘法， 任务二 精研典例 题型1 利用公式因式分解 (2)2x2-5x-3,因为 2 1 例]分解因式。 (1)x2-y2+a.x+ay; 1+（-6)=-5 (2)a2(b-5)+a(5-b); 所以2x2-5x-3=(2x+1)(x-3). (3)x3+9+3x2+3x. 方法归纳！业 分析对于第(1)小题，可把第一、二项为一组， 1.常数项为正数时，应分解为两个同号因数， 这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解 它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负 因式，其中一个因式是x十y,把第三、四项作为另一 数时，应分解为两个异号因数，其中绝对值较大的 组，在提出公因式a后，另一个因式也是x十y 因数与一次项系数的符号相同 解析(1)x2-y2十a.x十ay=(x十y)(x-y)+ 2.二次项系数不等于1的二次三项式用十字相 a(x十y)=(x+y)(x-y十a). 乘法分解因式时，二次项系数的分解和常数项的分 (2)a2(b-5)+a(5-b)=a(b-5)(a-1). 解随机性较大，往往要尝试多次.这是利用十字相 (3)x3+9+3x2+3x=(x3+3x2)+(3x+9)= 乘法进行因式分解的难点。 x2(x+3)+3(x十3)=(x十3)(x2+3) 题型3综合运用多种方法因式分解 题型2利用十字相乘法因式分解 例2把下列各式分解因式. 例3因式分解。 (1)(x2+x+1)(x2+x+2)-12; (1)x2+5x-24; (2)x2y-y2之+之2x-x2x+xy2+yz2 (2)2x2-5x-3. 解析(1)因为-24=(-3)×8，(-3)十8=5，即 2xyzi x2+5.x-24 (3)x3+2x2-5x-6; (4)(c-a)2-4(b-c)(a-b) 1<（-3) 1 8 分析(1)可采用换元法，将原式展开，原式是关 (-3)+8=5 于x的四次多项式，分解因式较困难，我们不妨将 所以x2+5x-24=[x+(-3)](x+8)=(x-3)· x2十x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题 (x+8). 转化为关于y的二次三项式的因式分解问题. 第2天因式分解 (2)可采用主元法，将原式整理成按x的降暴排 (x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5). 列，寻找分解思路. (2)原式=(y-x)x2+(y-z)2x十yz(x-y) (3)可采用“0”值法，式子较为简单时，可以寻找 (y-z)[x2+(y-x)x-yx]=(y-x)(x-z)(x+y). 当原式值为0时字母的值，常见的有士1，士2，士3，代 (3)当x=-1,2,-3时，原式值为0， 入计算发现当x=一1,2，一3时，原式值为0. ∴.原式=(x-2)(x十3)(x+1). (4)可采用换元法求解. (4)设x=b-c,y=a-b,则c-a=-(x十y), 解析(1)设y=x2+x,原式=(y十1)(y十2) 原式=(x+y)2-4xy=(x-y)2=(b-c-a十 鹊 12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)· b)2=(a+c-2b)2. 任务三 自主测评 A基础练 (3)x5(x-2y)+x2(2y-x). 1,多项式x2-3x+a因式分解为(x-5)(x b),则a,b的值分别为( ）. A.10和-2 B.一10和2 C.10和2 D.一10和-2 2.当a+b=8,ab=2,则a3+b3=( 5.把下列各式因式分解 A.128 B.464 C.496 D.512 (1)xy3+x4; 3.已知a,b,c是△ABC的三边，且a4+b4+ c4+2a2b2-2a2c2-2b2c2=0,则△ABC 为( ) A.锐角三角形 B.等边三角形 C等腰三角形 D.直角三角形 4因式分解。 (1)(b-a)(y-x)-(a-b)(3x+2y); (2)xn+3-xy3; (2)2mn4-162m; (3)y2(x2-2x)3+y2 重难点手预备新高一 数学 6.已知x2十x-1=0,求证：(x+1)3一(x (2)3x2+8xy-3y2. 1)3=8-6x. 11,.分解因式：x2-3xy+2y2-2x+3y+1. B能力练 7.如果x2-px十q=(x十a)(x十b),那么p 等于(). A.ab B.a+b C.-ab D.-(a+b) 8.如果x2+(a+b)x+5b=x2-x-30,则b 12.求证：四个连续正整数n,n+1,n十2，n+3 等于(. 的积与1的和是完全平方数. A.5 B.-6 C.-5 D.6 9.把多项式2a(a2十a十1)十a4十a2+1分解 因式，所得的结果为( ) A.(a2+a-1)2 B.(a2-a+1)2 C.(a2+a+1)2 D.(a2-a-1)2 10.把下列各式分解因式： (1)2x2-5xy-3y2; 8