3 第5天 不等式恒成立、能成立问题-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

3预备新高一数学8 的第5天 不等 第1步 知识点/1不等式恒成立、能成立问题的 转化策略 ★★★☆☆ 问题 结论 不等式y>0恒成立 Ymin>0 不等式y>0能成立（有解） Ymx>0 不等式y<0恒成立 ymax<O 不等式y<0能成立（有解） Ymin<0 知识点2不等式恒成立、 能成立问题的 求解方法 ★★★★☆ 1.判别式法（适用于一元二次不等式）】 (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意 ra>0, 实数x恒成立 △=b2-4ac<0; (2)一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意 ra<0, 实数x恒成立台 △=b2-4ac<0; (3)一元二次不等式ax2+bx+c>0能成立 a<0, (有解)台a>0或{ =b2-4ac>0; (4)一元二次不等式ax2+bx+c<0能成立 a>0, (有解)→a<0或{ 4=b2-4ac>0. 名师点晴 若题目中未强调是一元二次不等式，则一定要 讨论二次项系数是否为0；若已知不等式中含等 号，则△也需取等号. 66 恒成立、能成立问题 学新知 2.分离参数法 对于参数容易分离，且分离后相应函数的 最值容易求解的不等式，可以采取分离参数 法.其核心是通过恒等变形，将参数完全独立 拆分到不等式的一侧，另一侧整理为仅含自变 量的一元函数，进而等价转化为求该函数的最 大值或最小值的问题，以此确定参数的取值范 围.例如，对Vx∈{xl1≤x≤2}，不等式x+a>0 恒成立，求实数a的取值范围.解：由x+a>0 得，a>-x,所以若对Hx∈{x|1≤x≤2}，不等 式恒成立，则a>(-x)mx,即a>-1. 3.数形结合法 通过绘制函数图象，直观分析不等式成立 的条件.例如，对于一元二次不等式在给定范 围上恒成立，可结合二次函数的开口方向、对 称轴位置及给定范围的端点处函数值，判断不 等式是否恒成立；对于能成立问题，可通过图 象观察是否存在x使不等式成立， 4.主参换位法 在解含参不等式的恒成立或能成立问题 时，一定要明确选谁为主元，谁为参数.一般情 况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范 围，谁就是参数，即构造“以参数为变量”的函 数，再根据“变量”的取值范围列式求解.若构 造出来为一次函数，则直接将所给范围的两个 端点值代入，化简求解即可. 第三周一元二次 第2步 过典例 题型1)不等式的恒成立问题 重难 典例1设函数y=mx2-mx-1,若对于任意的1≤x≤3，y<-m+5 恒成立，则m的取值范围为 【解析】由y<-m+5,即mx2-mx-1<-m+5,得m(x2-x+1)-6<0. 因为对任意的1≤≤3，-m+5恒成立，且2x+1=()+骨>0， 3 所以当13时，<总合=1=广。 1≤≤3)的图象（图略）可知，当x=3时，取得最大值7，所以画数 6 y22-x+ 的最小值为号，所以m<号故m的取值范国是{mmc} I答案{mm<引 典例2若不等式x2-ax≥16-3x-4a对任意的-2≤a≤4恒成立， 则实数x的取值范围为 【解析】由题意得不等式x2-ax≥16-3x-4a,即(4-x)a+x2+3x-16≥0 对任意的-2≤a≤4恒成立.将a看作主元，构造关于a的一次函数y= (4-x)a+x2+3x-16,当a=-2时，y=x2+5x-24,当a=4时，y=x2-x,所 x2+5x-24≥0， 以 解得x≥3或x≤-8，故实数x的取值范围为{x|x≥3 x2-x≥0， 或x≤-8}. 【答案】{xx≥3或x≤-8} 题型2)不等式的能成立问题 典例3若关于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解，则实数a的取值 范围为( A.{ala≥-2} B.{ala≤-2} C.{ala≥-6 D.{ala≤-6} 【解析】方法一（判别式法）：若关于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解，则 △=16+4(2+a)≥0，解得a≥-6. 方法二（分离参数法）：因为关于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解，所以 关于x的不等式a≥x2-4x-2=(x-2)2-6有解，所以a≥[(x-2)2 6]min=-6. 【答案】C 函数、方程和不等式8 即学即练 [答案见P23 1.若不等式ax2-ax+a+1>0对 Hx∈R恒成立，则实数a的取 值范围为( A.a>0 B.a≥0 3或a>0 C.a< 4 D.a<-3或a≥0 2.若对任意实数x>0,不等式 a 2 恒成立，则a的最 xx2-x+4 小值是 3.若存在x∈R,使不等式 4x+m x2-2x+3 ≥2成立，求实数m 的取值范围。 67 3预备新高一数学8 典例4若关于x的不等式x2-6x+11-a<0在2<x<5上有解，则 实数a的取值范围为( 4.已知存在m∈{ml-1≤m≤ A.alax-2 B.ala>3 2},使得不等式x2+(m-3)x C.ala>6 D.ala>2 3m>0成立，则x的取值范围 【解析】要使不等式x2-6x+11-a<0在2<x<5上有解，只要a>x2-6x+11 为 在2<x<5上有解，设y=x2-6x+11(2<x<5),则只要a>ymim即可.易知y= x2-6x+11=(x-3)2+2,其图象开口向上，对称轴为直线x=3,所以当2<x< 5时，ymim=2,所以a>2,所以实数a的取值范围为{ala>2. 【答案】D 第3步 练新题 日答案见P23 Q建议用时：30分钟 9实际用时： 分钟 1.若命题“Hx∈{x|-1<x<1},x2-2x-a>0”为 C.x<1或x>3 D.1≤x≤3 真命题，则实数α的取值范围是( 9 4.已知当x>2时，不等式x+ A.a≤-1 B.a<-1 tx-2>m(m-2)恒 C.a≤3 D.a<3 成立，则实数m的取值范围是()》 2.若关于x的不等式x2-4x+4a≥a2在{x1≤x A.-2<m≤4 B.-2≤m<4 ≤6}上有解，则实数a的取值范围为( C.-2≤m≤4 D.-2<m<4 A.{al-2≤a≤3 5.已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0有解，则 B.{al1≤a≤6} 实数k的取值范围是 C.{al-2≤a≤6} 6.已知关于x的不等式x2-3kx+2k+1≥0对 D.{al3≤a≤6} 任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 3.若Hm∈{ml-1≤m≤1}，x2+(m-4)x+4 2m>0为真命题，则x的取值范围为( 7.当x>1时，不等式x2+ax+9>0恒成立，则实 A.x≤1 B.1<x<3 数a的取值范围为 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 1.不等式恒成立、能成立问题的转化策略 1、2、4、7 2.不等式恒成立、能成立问题的求解方法 1~7 今天的我：☐超级棒！ 还不错！ 需要继续努力。 68≤-2(-)-2当且仅当 -a=。即a=-1时等号成立. 4.{x|x≤-1或x≥3}【解析】根据二次函数 y=x2+bx+c的图象可知，-1,2为方程x2+ bx+c=0的两根，故-1+2=-b,-1×2=c,即 b=-1,c=-2,则bx2-cx+3≤0可化为-x2+ 2x+3≤0，即x2-2x-3≥0，即(x-3)(x+1)≥ 0,解得x≥3或x≤-1.故不等式的解集为 {x|x≤-1或x≥3}. 5.(1)因为不等式(a+1)x2-4x-6<0的解集是 {xl-1<x<3}, 所以-1和3是方程(a+1)x2-4x-6=0的两 个根 把x=-1代入方程(a+1)x2-4x-6=0,即 (a+1)-2=0,解得a=1,经验证满足题意. 综上，a=1. (2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解 集为R,即关于x的不等式x2+mx+4≥0的 解集为R, 则△=m2-16≤0，解得-4≤m≤4， 所以m的取值范围是-4≤m≤4. 第5天不等式恒成立、能成立问题 【即学即练】 1.B【解析】当a=0时，1>0恒成立；当a≠0 ra>0, 时，只需 解得a>0. 4=a2-4a(a+1)<0, 综上，a≥0，即实数a的取值范围为a≥0. 2号【解析】因为0，所以a产4 2x 4恒成立.又2 2 4 x-1+ x-1+ 2.x· 参考答案8 、3,当且仅当x=2时，等号成立，所以0之 2 所以a的最小值是了 3.由于x2-2x+3=(x-1)2+2>0,故原不等式可 化为4x+m≥2(x2-2x+3),即m≥2x2-8x+ 6.因为存在x∈R,使原不等式成立，所以 m≥(2x2-8x+6)mim·因为2x2-8x+6=2(x 2)2-2≥-2，所以实数m的取值范围为{ml m≥-2}. 4.{xx<1或x>3}【解析】由题意得，不等式 x2+(m-3)x-3m>0在m∈{ml-1≤m≤2} 上能成立可转化为(x-3)m+(x2-3x)>0在 me{ml-1≤m≤2}上能成立.将m看作主 元，令y=(x-3)m+(x2-3x),则需要函数y 在-1≤m≤2中的端点处的函数值至少有一 个满足大于0即可.当m=-1时，y=x2-4x+ 3,当m=2时，y=x2-x-6,所以x2-4x+3>0 或x2-x-6>0,解得x<1或x>3. 【练新题】 1.A【解析】由题意得，不等式a<x2-2x在 {x|-1<x<1}上恒成立 设y=x2-2x=(x-1)2-1(-1<x<1), 当x=1时，y=-1,根据二次函数的性质，可 得y>-1,所以a≤-1. 2.C【解析】根据题意，得x2-4x≥a2-4a在 {x11≤x≤6}上有解，所以只需a2-4a≤ (x2-4x)mx.设y=x2-4x=(x-2)2-4,1≤x≤ 6,则当x=6时，y取得最大值，ymax=12,所 以a2-4a≤12，解得-2≤a≤6，故实数a的 取值范围为{al-2≤a≤6}. 3.C【解析】由题意知，Hme{m|-1≤m≤ 23 3预备新高一数学8 1},x2+(m-4)x+4-2m>0,即(x-2)m+(x- 2)2>0恒成立.令y=(x-2)m+(x-2)2,即y 2-x+(x-2)2>0, 是关于m的一次函数，则{ x-2+(x-2)2>0, 解得x<1或x>3. 4.D【解析】由题意得，当x-2>0时，x+ 9 9 x-2 >m(m-2)恒成立.又x+ -2-2+ 9 9 x~2 2≥2，/(x-2)· -2+2=8,当且仅当 2s9 x-2即x=5时取等号，所以8>m2-2m 恒成立，即m2-2m-8<0,解得-2<m<4,所以 实数m的取值范围是-2<m<4. 5红6 【解析】当k≤0时，显然不等式有 解；当k>0时，不等式kx2-2x+6k<0有解等 价于方程kx2-2x+6k=0有两相异实根，所 4=4-24k2>0 以 k>0, 解得0<看综上，实数 k的取值范围是k< 6 6.0≤≤4【解析】由题意得，当k=0时，不 等式为1≥0，符合题意；当k≠0时，若要使 x2-3kx+2k+1≥0对任意的x∈R恒成立， k>0, 则 解得0<k≤4. △=(-3k)2-4k(2k+1)≤0， 综上，k的取值范围是0≤k≤4. 7.a>-6【解析】因为当x>1时，不等式x2+ ax+9>0恒成立，所以只需求出函数y=x2+ ax+9(x>1)的最小值，再令最小值大于0即 24 可.二次函数y=x2+ax+9的图象的对称轴 为直线x=受当号≤1，即a≥-2时，因 为x>1,所以y>a+10,所以a+10≥0，即a≥ -10,所以a≥-2；当-号>1，即a<-2时，函 数y=2++9在x=分处取得最小值，为 -9+9=9-Q 4,所以9 4>0,解得 -6<a<6,所以-6<a<-2.综上，实数a的取 值范围为a>-6. 第6天周末复盘与检测 【即学即练】 1.C【解析】因为x>0,y>0,x+3y=5y,所以 -5,所以3x+=写}+)3+ y x 号5，当且仅当兰2即=1，y=宁时，。 等号成立.故3x+4y的最小值是5. 2.{ml-4<m≤0}【解析】由题意知，不等式 mx2-mx-1<0恒成立.若m=0,显然-1<0； m<0 若m≠0，则 解得-4<m<0.所 4=m2+4m<0, 以m的取值范围为{ml-4<m≤0}. 【周小测】 1.D【解析】取a=2,b=-3,可知选项A,B和 C错误：因为a>6,所以号>分，放选项D 正确， 2.D【解析】因为a,b是正实数，所以①a+