16.3.1 平方差公式-课件-人教版2026-2027学年数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过正方形剪拼问题引导学生从几何面积（a² - b²）和代数运算（(a+b)(a-b)）推导公式，衔接多项式乘多项式法则，构建知识支架帮助学生理解公式来源。 其亮点在于以几何直观和代数推理结合培养数学眼光，通过判断练习、变形应用发展推理意识与运算能力，典例涵盖简便计算、环形面积等问题强化模型意识。小结分类梳理公式要点，学生能深化理解与应用，教师可高效开展教学。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 16.3.1 平方差公式 第十六章 整式的乘法 人教版八年级上册16.3.1 平方差公式同步练习题 知识点核心：平方差公式推导、标准形式、公式特征、正用、逆用、简便运算、整体代值。核心公式：(a＋b)(a－b)＝a²－b²。口诀：同平方、减反平方。适用条件：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列式子能直接用平方差公式计算的是（） A. (a＋b)(a＋b) B. (a－b)(b－a) C. (a＋b)(a－b) D. (a＋2)(b－2) 2. 计算(x＋5)(x－5)的结果是（） A. x²－25 B. x²＋25 C. x²－10x＋25 D. x²＋10x＋25 3. 计算(2a－3)(2a＋3)的结果是（） A. 4a²－9 B. 4a²＋9 C. 2a²－9 D. 4a²－6 4. 下列计算正确的是（） A. (x＋1)(x－2)＝x²－2 B. (3x－4)(3x＋4)＝9x²－16 C. (2x＋3)(2x－3)＝2x²－9 D. (a＋b)(－a＋b)＝a²－b² 5. 计算99×101的简便结果是（） A. 9900 B. 10001 C. 9999 D. 10100 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________。 2. 计算：(m＋4)(m－4)＝________。 3. 计算：(3x－y)(3x＋y)＝________。 4. 化简：(－2a＋5)(2a＋5)＝________。 5. 若x²－16＝(x＋4)(________)。 三、解答题（共60分） 1.（15分）利用平方差公式计算：（1）(x－6)(x＋6) （2）(4a＋1)(4a－1) （3）(5x－2y)(5x＋2y) 2.（15分）简便运算：（1）98×102 （2）2024²－2023×2025 3.（15分）化简：(x＋2)(x－2)－(x－1)(x＋1) 4.（15分）先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)，其中x＝－2。 参考答案与解析 一、选择题：1.C 2.A 3.A 4.B 5.C 解析：平方差公式只识别“一同一反”，相同项为a，相反项为b；结果一定是同项平方减去反项平方，严禁颠倒顺序、漏平方系数。 二、填空题：1.a²－b² 2.m²－16 3.9x²－y² 4.25－4a² 5.x－4 解析：公式可灵活变形，位置颠倒、符号互换不影响结果，做题优先找出“相同部分”和“相反部分”，再套公式。 三、解答题： 1. 解：（1）原式＝x²－6²＝x²－36；（2）原式＝(4a)²－1²＝16a²－1；（3）原式＝(5x)²－(2y)²＝25x²－4y²。 2. 解：（1）原式＝(100－2)(100＋2)＝100²－2²＝10000－4＝9996；（2）原式＝2024²－(2024－1)(2024＋1)＝2024²－(2024²－1)＝1。 3. 解：原式＝(x²－4)－(x²－1)＝x²－4－x²＋1＝－3。 4. 解：原式＝4x²－9－4x²＋4x＝4x－9，代入x＝－2，原式＝4×(－2)－9＝－8－9＝－17。 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 记忆口诀 多乘多，来计算， 多项式各项都见面， 乘后结果要相加， 化简、排列才算完. 复习回顾 FU XI HUI GU 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 边长为a的正方形纸片，剪去边长为b（b<a）的正方形，剩余纸片的面积为多少？ b a a b a2−b2 剩余纸片的面积为 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 还有别的计算方法吗？ b a a b a b a-b a2−b2 剩余纸片的面积为 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 还有别的计算方法吗？ b a a b 剩余纸片的面积为 b a b 1 2 (a+b)(a-b) 1 2 (a+b)(a-b) (a+b)(a-b) 当堂练习 QING JING YIN RU 平方差公式 (a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： 1. (a – b)(a + b) = a2 – b2； 2. (b + a)(–b + a) = a2 – b2. 由于剩余纸片面积相等，于是有： 当堂练习 QING JING YIN RU 对平方差公式的理解 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等． (a + b)(a - b) = a2 - b2 相同为 a 相反为 b 顺序可以不同，只关注相同的符号 可以合理加括号，只关注相反的符号 字母不对应 符号都是相反 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 判断下列式子是否可用平方差公式？ (1)(-a+b)(a+b) (2) (-a+b)(a-b) (3)(a+b)(a-c) (4)(2+a)(a-2) (5) (6) (1-x)(-x-1) (7) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 常见的平方差公式及其变形 新知探究 XIN ZHI TAN JIU (l) (－a + b)(a + b) =_________. (2) (a－b)(b + a) = _________. (3) (－a－b)(－a + b) = ________. (4) (a－b)(－a－b) = _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 关注字母（或多项式）的符号 与顺序无关！ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ 两个字母符号相同， 不能运用公式 公式运用错误 符号识别错误 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 (0.3x)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x) (1 + a)(-1 + a) 根据平方差公式填表： 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 (1)(a+3b)(a– 3b)； =4p2–9； =16x4–y2. 原式=(2p+3)(2p–3) =a2–9b2 ； =(2p)2–32 原式=(–4x2 )2–y2 原式=(a)2–(3b)2 (2)(3+2p)(–3+2p)； (3)(–4x2–y)(–4x2+y). 计算： (4) (－7m＋8n)(－8n－7m)． 原式＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 归纳总结 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同， 另一项互为相反数； (2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 归纳总结 ①位置变化 ②符号变化 ③系数变化 ④指数变化 ⑤增项变化 ⑥连用公式变化 1. 下列各式能用平方差公式计算的是( ) C A. B. C. D. 2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 15 3. 已知，则 的值为 ( ) A A. 13 B. 3 C. D. 5 4. 若，则 的值为( ) D A. 4 B. 2 C. D. 返回 中考考法 16 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 观察是否满足使用平方差公式的条件 计算： (1) (a+3b)(a － 3b); (2) (3+2a)(－ 3+2a); (3) 51 × 49; (4) (3x+4)(3x－4)－(2x+3)(2x－3). (1) 原式=a2－9b2； (2) 原式=4a2－9； (3) 原式=(50+1)×(50-1)=502-12=2499； (4) 原式=(3x)2－42－[(2x)2－32]=5x2－7. 解： 可使用平方差公式快速计算 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) . 解： (1)原式=a2(a2－b2)+a2b2 =a4－a2b2+a2b2 =a4; (2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25. 典例精析 DIAN LI JING XI 可以写成(2025－1)×(2025 + 1) 进而使用平方差公式 例3 (3) 20252－2024×2026; 解： 20252－2024×2026 = 20252－(2025－1)×(2025 + 1) = 20252 －(20252－12 ) = 20252－20252 + 12 = 1. 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 观察：哪些代数式可以使用平方差公式简便运算？ 解方程或不等式: （1）(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1) （2）求(x+5)(x+2)-(x+2)(x-2)<28的正整数解. 解:(1) 4x2-1+3(x2-4)=7x2-6x-1 4x2-1+3x2-12= 7x2-6x-1 6x=12 x=2 (2) x2+7x+10-x2+4 <28 7x +14<28 x <2 因为x为正整数， 所以不等式的解取1. 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：   ； 图②阴影部分面积为：   ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式 为    . a2－b2 (a+b)(a－b) (a2－b2)=(a+b)(a－b) 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 思考哪些部分可以使用平方差公式 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝，y＝2. 原式＝5×2－5×22＝－10. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2. 当 x＝，y＝2 时， 典例精析 DIAN LI JING XI 连续使用平方差公式 例7 果果同学在计算时，把3写成4-1，发现可以连续运用平方差公式计算： = = = 请你借鉴果果同学的经验， 计算： 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 计算： = = = = 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 某公园的环形绿化带的外圆半径为 a米，内圆半径为b米． (1)用关于 a，b的代数式表示这个环形绿化带的面积； (2)若 a=6.25，b=4.25（单位：米），求这个环形绿化带的面积． 解：(1)由题意得，环形绿化带的面 积为πa2-πb2（平方米）； (2)当 a=6.25，b=4.25时， πa2-πb2=π(a2-b2)=π(a+b)(a－b) =(6.25+4.25)×(6.25-4.25)π=10.5×2π=21π（平方米）， 答：这个环形绿化带的面积为21π平方米． 典例精析 DIAN LI JING XI 例9 已知 x≠1，计算： (1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3， (1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4…… (1) 观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________ ( n 为正整数)； (2) 根据你的猜想计算： ① (1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝______； ② 2＋22＋23＋…＋2n＝__________ (n 为正整数)； ③ (x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________； 1－xn+1 －63 2n＋1－2 x100－1 (3) 通过以上规律请你进行下面的探索： ① (a－b)(a＋b)＝_______； ② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝________； a2－b2　 a3－b3　 5. 已知，，则与 的大小关 系是( ) A A. B. C. D. 不能确定 【点拨】 ， ， . 6.若，则， 的值分别为 _________. ， 返回 中考考法 27 7. 教材P117习题 计算： （1） ; 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 中考考法 28 8.［2025厦门校级期中］先化简，再求值： ，其中， . 【解】 ， 当， 时，原式 . 中考考法 29 9. 三个连续偶数，中间一个数为 ，则这三个数的积为 ( ) A A. B. C. D. 10. 已知,则 的值是( ) A A. B. C. 9 D. 27 【点拨】 . 返回 中考考法 30 11. 如果，那么 的值 为( ) D A. B. C. 2 D. 12.［2025福州校级期中］若，满足 则式子 的值为____. 返回 中考考法 31 13. 在一个艺术工作室中， 设计师正在进行一幅拼图作品的创作.他使用 了大小不同的正方形纸片来构建图案.如图， 12 其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起 时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么 阴影部分的面积是____. 中考考法 32 课堂小结 QING JING YIN RU 内容 分类 1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2 2.抓住 “一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 $