专题19 用树状图或表格求概率（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦用树状图或表格求概率核心知识点，系统梳理列举法定义、概率公式，对比树状图（适用于三步及以上试验）与列表法（适用于两步试验）的适用条件和操作要点，明确等可能性判断、放回与不放回区分等重难点，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过表格对比强化方法选择，结合击鼓传花、非遗体验等典例培养抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维），以游戏公平性、抽奖概率等实际问题发展数据意识与应用意识（数学语言），课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固易错点，提升解决实际问题能力。

专题19 用树状图或表格求概率 1. 会运用树状图和列表法计算随机事件发生的概率； 2. 能灵活选择树状图或列表法，根据不同情境选择适当的方法； 3. 能利用概率解决一些简单的实际问题，理解概率对日常生活和生产实践的指导作用； 4. 掌握判断游戏公平性的方法。 1. 核心概念梳理： 列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫列举法。 概率公式： 列表法（表格法）： 定义：当一次试验涉及两个因素（如掷两枚骰子、连续两次摸球），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 操作要点：将表格的“行”和“列”分别对应两个相互独立的操作步骤或对象，行表示第一个对象的结果，列表示第二个对象的结果。 适用条件：适用于涉及两个因素且结果可能性相等的概率计算。 画树状图法： 定义：用树状图的形式反映各种事件发生所有可能出现的结果和次数，以及某一事件发生出现的结果和次数，并求出概率的方法。 操作要点：将试验中的第一步的结果写在第一层，第二步的结果写在第二层，依次类推，像树的枝丫形式展开，最末端的枝丫个数就是总的可能结果数。 适用条件：当一次试验要涉及3个或更多个因素时（如从3个口袋中取球），列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。 2. 树状图法与列表法的对比： 对比项 树状图法 列表法 适用步骤 两步及两步以上（含三步） 主要适用于两步 优势 能清晰体现事件发生的步骤性与顺序性 简洁紧凑，突出结果的组合性 劣势 步骤越多，分支越繁琐，效率降低 不易体现事件的先后顺序 核心要求 确保所列出的所有结果是等可能的 确保所列出的所有结果是等可能的 💡 选择策略：两步试验两种方法均可；三步及以上试验首选树状图法。 3. 重难点突破 ⭐ 核心考点： 判断结果的“等可能性” —— 列举法的基石： 情形 是否等可能 说明 掷一枚均匀硬币，正反两面 ✅ 等可能 质地均匀，两面出现机会相同 掷一枚图钉，钉尖朝上/朝下 ❌ 不等可能 形状不对称，不能直接用列举法 掷两枚相同硬币，结果“一正一反”与“两正” ❌ 直接看不等可能 需将两枚硬币视为可区分（如硬币A、硬币B），才能得到等可能的4种结果 💡 核心原则：在列举时，必须将看似相同的元素转化为可区分元素，确保结果集的等可能性。 区分“放回”与“不放回” ⭐ 高频易错点： 类型 特征 对概率的影响 有放回 每次抽取后放回，样本总数不变，两次事件相互独立 每次摸球概率独立不变 不放回 第一次抽取后不放回，样本总数改变，两次事件相互影响 概率受前次结果影响 注意事项： 有放回：样本数恒定 不放回：列举时需剔除不可能出现的情况（如自己与自己配对） 处理“至少” “至多”类问题 —— 对立事件法： 直接计算较复杂时，常用对立事件来简化计算： 💡 关键提醒：列表或画树状图后，务必检查结果总数是否与理论计算一致。 4. 易错点总结： 易错点 说明与预防 ① 忽略“等可能性”前提 列举法只能在所有结果等可能时使用。掷图钉等不对称物体不能直接用列举法 ② 混淆“放回”与“不放回” 有放回时概率独立不变；不放回时样本总数变化，需剔除不可能情况 ③ 结果遗漏或重复 列举时必须做到不重不漏，树状图和表格是保证这一点的有效工具 ④ 游戏公平性判断错误 游戏公平 ≠ 每个人都能赢，而是每人获胜的概率相等 ⑤ 混淆频率与概率 频率是波动的，概率是稳定的；频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 ⑥ 用频率估计概率时表述不当 答案应表述为“约为”或“估计是”，不能写成精确值 题型01几何概率 【典例】如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式】如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 题型02列举法求概率 【典例】某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式】从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 题型03列表法或树状图法求概率 【典例】盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 【变式】某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书． (1)将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________； (2)将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率． 题型04游戏的公平性 【典例】五四青年节，需要在主持班上挑选一位小小主持人，甲、乙两位同学都比较优秀，难以抉择，于是老师决定以抽签的方式决定谁去．游戏规则如下：将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，组成的两位数是的倍数则甲同学去，两位数是的倍数，则乙同学去． (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求出所有可能出现的结果． (2)你认为这个游戏对甲乙两位同学公平吗？为什么？ 【变式】甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 题型05利用概率计算随机事件发生的平均次数 【典例】樱桃番茄又称圣女果，果皮颜色有红、黄色之分，因维生素含量高而广受喜爱．某农科所希望通过杂交育种的方式培育需要的圣女果品种． 【知识理解】 根据遗传学知识，红色果皮圣女果的基因组成是或，黄色果皮圣女果的基因组成是．若将一株红色果皮圣女果作为父本，与一株黄色果皮圣女果作为母本进行杂交，我们可以通过列表法或树状图法表示子一代圣女果的基因组成． 列表法 父本基因组成母本基因组成 A A a Aa Aa a Aa Aa 【知识应用】 (1)若实验员将一株红色果皮圣女果与一株黄色果皮圣女果进行杂交，请通过列表法或树状图法，求子一代圣女果是红色果皮的概率． (2)农科所计划扩大圣女果杂交规模．将基因组成与基因组成的圣女果进行杂交（排除其他因素干扰），培育得到5000株后代，请估计圣女果是红色果皮的有多少株？ 【变式】为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 题型06概率在转盘抽奖中的应用 【典例】如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【变式】2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 题型07概率在比赛中的应用 【典例】某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【变式】根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2026年滇超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 任务解决 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【巩固训练】 1．从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，则关于x的方程有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 4．从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 5．为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 6．如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内，经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，，已知最大圆的半径是1，则阴影区域的总面积为（     ） A． B． C． D． 7．河南的应天书院、湖南的岳麓书院、江西的白鹿洞书院、河南的嵩阳书院是我国古代的四大书院，它们在古代文化史上地位极高． 如图有四张卡片，其正面分别印有四大书院，它们除正面外完全相同． 把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上的书院所在地都在河南的概率为（     ） A． B． C． D． 8．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗文化进校园”活动，计划从“剪纸体验”“皮影戏欣赏”“传统书法临摹”“民乐赏析”项活动中，随机选取项开展班级活动，则恰好选中“剪纸体验”和“民乐赏析”的概率是（   ）． A． B． C． D． 9．甲，乙，丙，丁四个同学玩传球游戏，每个同学按如图中箭头方向随机传球，若经过两次传球，球在丙手中的概率为，则下列符合条件的树状图是（    ） A． B． C． D． 10．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 11．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 12．天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 13．如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 14．三星堆文创盲盒是三星堆博物馆以其独特的出土文物为原型，结合现代潮流玩偶设计理念，所开发的一系列创意产品．它成功地将古老神秘的三星堆文化与现代消费潮流相结合，成为“让文物活起来”的典范之作．如图，已知一箱祈福神官系列内有4个盲盒，包括A款青铜大立人，B款铜鸟，C款平头金面青铜人头像，D款青铜戴冠纵目面具，则随机抽取的2个盲盒中有A款青铜大立人的概率为______________． 15．现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率是________； (2)若从中随机抽取1张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是中心对称图形的概率． 16．某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班，为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如下表所示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表： 最受欢迎兴趣班调查问卷 统计表 选项 兴趣班 请选择 兴趣班 频数 频率 A 绘画 A 0.35 B 音乐 B 18 0.30 C 舞蹈 C 15 b D 跆拳道 D 6 你好！请选择一个（只能选一个）你最喜欢的兴趣班，在其后空格内打“√”，谢谢你的合作 合计 a 1 (1)统计表中的_________，_________； (2)根据调查结果，请你估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数； (3)王姝和李要选择参加兴趣班，若他们每人从A、B、C、D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类的概率． 17．经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左转或右转．假设这三种可能性相同，现有嘉嘉和琪琪两人经过该路口． (1)嘉嘉从这三种情况中任选一个可能右转的概率是______； (2)利用树状图或列表法求两人之中至少有一人直行的概率． 18．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 19．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 20．为了探索契合新发展理念和新发展格局的语文课程改革路径，准确掌握全县中小学群文阅读实验与推广研究项目的现状，在阅读实践中培养学生语文能力、提升学生素养，渭源县龙亭学校举行了渭源县2022年中小学群文阅读课堂大赛活动．给学生推荐了《等你在清华》为A，《等你在北大》为B，《你不努力谁也给不了你想要的生活》为C，《余生很贵，请勿浪费》为D，这四本读物，小明、小刚两人从四本推荐书中随机选择一本进行研读，假设选择时不受四本书封面厚度等影响，且每一本被选到的可能性相同． (1)求小明选择读《你不努力谁也给不了你想要的生活》的概率； (2)若小明先从四本书中随机选择一本（不放回），小刚从剩余三本中随机选择一本，求小明、小刚两人选到的是《等你在清华》和《等你在北大》的概率． 【强化训练】 1．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 2．如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（    ） A． B． C． D． 3．从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 4．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 5．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 6．有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 7．如图，点、分别位于边、上，与交于点．已知，，现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在内的概率为___________ 8．现有四张正面分别标有数，，0，1的不透明卡片，它们除数外其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，随机抽取两张，记上面的数分别为m，n，则使得代数式无意义的概率为________． 9．如图是一个电路图，电灯和的规格相同．现从电阻值分别为，，，的四个电阻中，随机选取两个放置在，的位置上，则电灯比更亮的概率为__________． 10．有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为____． 11．某校在“推普周”组织了“说普通话，写规范字”测试，项目A“朗读”、B“硬笔书法”、C“即兴演讲”、D“毛笔字”、E“手抄报”．规定：每名学生测试三项，其中AB为必测项目，第三项从C、D、E随机抽取一项，每项满分10分（成绩均为整数且不低于0分）． (1)下表是分别是项目“C”和“D”6名学生的成绩； 学生 项目 1 2 3 4 5 6 平均分 众数 中位数 C x 6 7 8 8 9 a b c D 6 8 8 8 9 9 8 d 8 ①______； ②如果，且x不是这组中成绩最高的，求x的值： (2)完成必测项目A、B后，请用列表或树形图的方法分析甲和乙第三项选不同项目的概率． 12．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 13．某超市开展“五一”大酬宾，举行购物抽奖活动，奖项设置为面值不同的购物卡，分别是：一等奖120元，二等奖60元，三等奖10元，凡购买满200元及以上者，每200元可抽奖一次（不足200元一概不计入，每人当天购物最多可抽5次），每次抽奖过程如下：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“1”，“2”，“3”，它们除数字不同外没有任何区别．抽奖顾客先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为6，则获一等奖，数字之和为5，则获二等奖，数字之和为4，则获三等奖，其余均不获奖． （1）试利用树状图或列表法顾客每抽奖一次分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率； （2）若此次超市大酬宾中，超市业绩调查部分随机抽查了100位顾客的消费金额并绘制成条形统计图如下（金额折算为200元的整数倍，其中扣除200元的整数倍后不足200元的部分全部去掉不计入）： ①求上述样本数据中每位顾客消费金额的平均数； ②据“五一节”当天统计，共有2500位顾客参与该超市的购物抽奖活动，已知该超市每销售100元，平均可获利20元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金融外，估计这一天超市共盈利大约为多少元？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 用树状图或表格求概率 1. 会运用树状图和列表法计算随机事件发生的概率； 2. 能灵活选择树状图或列表法，根据不同情境选择适当的方法； 3. 能利用概率解决一些简单的实际问题，理解概率对日常生活和生产实践的指导作用； 4. 掌握判断游戏公平性的方法。 1. 核心概念梳理： 列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫列举法。 概率公式： 列表法（表格法）： 定义：当一次试验涉及两个因素（如掷两枚骰子、连续两次摸球），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 操作要点：将表格的“行”和“列”分别对应两个相互独立的操作步骤或对象，行表示第一个对象的结果，列表示第二个对象的结果。 适用条件：适用于涉及两个因素且结果可能性相等的概率计算。 画树状图法： 定义：用树状图的形式反映各种事件发生所有可能出现的结果和次数，以及某一事件发生出现的结果和次数，并求出概率的方法。 操作要点：将试验中的第一步的结果写在第一层，第二步的结果写在第二层，依次类推，像树的枝丫形式展开，最末端的枝丫个数就是总的可能结果数。 适用条件：当一次试验要涉及3个或更多个因素时（如从3个口袋中取球），列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。 2. 树状图法与列表法的对比： 对比项 树状图法 列表法 适用步骤 两步及两步以上（含三步） 主要适用于两步 优势 能清晰体现事件发生的步骤性与顺序性 简洁紧凑，突出结果的组合性 劣势 步骤越多，分支越繁琐，效率降低 不易体现事件的先后顺序 核心要求 确保所列出的所有结果是等可能的 确保所列出的所有结果是等可能的 💡 选择策略：两步试验两种方法均可；三步及以上试验首选树状图法。 3. 重难点突破 ⭐ 核心考点： 判断结果的“等可能性” —— 列举法的基石： 情形 是否等可能 说明 掷一枚均匀硬币，正反两面 ✅ 等可能 质地均匀，两面出现机会相同 掷一枚图钉，钉尖朝上/朝下 ❌ 不等可能 形状不对称，不能直接用列举法 掷两枚相同硬币，结果“一正一反”与“两正” ❌ 直接看不等可能 需将两枚硬币视为可区分（如硬币A、硬币B），才能得到等可能的4种结果 💡 核心原则：在列举时，必须将看似相同的元素转化为可区分元素，确保结果集的等可能性。 区分“放回”与“不放回” ⭐ 高频易错点： 类型 特征 对概率的影响 有放回 每次抽取后放回，样本总数不变，两次事件相互独立 每次摸球概率独立不变 不放回 第一次抽取后不放回，样本总数改变，两次事件相互影响 概率受前次结果影响 注意事项： 有放回：样本数恒定 不放回：列举时需剔除不可能出现的情况（如自己与自己配对） 处理“至少” “至多”类问题 —— 对立事件法： 直接计算较复杂时，常用对立事件来简化计算： 💡 关键提醒：列表或画树状图后，务必检查结果总数是否与理论计算一致。 4. 易错点总结： 易错点 说明与预防 ① 忽略“等可能性”前提 列举法只能在所有结果等可能时使用。掷图钉等不对称物体不能直接用列举法 ② 混淆“放回”与“不放回” 有放回时概率独立不变；不放回时样本总数变化，需剔除不可能情况 ③ 结果遗漏或重复 列举时必须做到不重不漏，树状图和表格是保证这一点的有效工具 ④ 游戏公平性判断错误 游戏公平 ≠ 每个人都能赢，而是每人获胜的概率相等 ⑤ 混淆频率与概率 频率是波动的，概率是稳定的；频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 ⑥ 用频率估计概率时表述不当 答案应表述为“约为”或“估计是”，不能写成精确值 题型01几何概率 【典例】如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作正方形两边的垂线，构造出两个全等的直角三角形，利用全等三角形面积相等将阴影部分面积转化为正方形面积的，再根据几何概率公式求解. 【详解】解：如图，过点作于，于， 点为正方形的中心， ，， ，， ， 在和中 ， ， ， . 【变式】如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】利用阴影部分的面积除以正方形的面积，即可得出结果. 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的面积为，以正方形各边为直径的半圆的半径为，四个半圆的面积和为 ， 阴影部分的面积等于四个半圆的面积和减去正方形的面积： ， ∴这个点取在阴影部分的概率是. 题型02列举法求概率 【典例】某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用列举法计算随机事件概率，先求出所有等可能的结果总数，再找出两人抽到同一个项目的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记三个体验项目“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”分别为，，． 小晨和小明各随机抽取一个，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，共种等可能结果． 其中两人恰好抽到同一个项目的结果有、、共种结果． 所求概率． 【变式】从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到方程有实数根的条件，再列举出所有等可能的选取结果，统计满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，若方程有实数根，则判别式 ，化简得 从1，2，3中随机选取两个不同的数记为，所有等可能的结果为：，共6种， 其中满足的结果有，共4种， 所求概率． 题型03列表法或树状图法求概率 【典例】盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 【答案】(1) (2) (3)甲 【分析】（1）列举1次传递的所有等可能结果，直接计算概率； （2）通过树状图列出2次传递的所有等可能结果，统计传到乙手中的结果数，计算概率； （3）通过列举前几次传递的结果找规律，判断2022次传递后可能性最大的对象． 【详解】（1）解：∵ 第1次传递从甲出发，有乙、丙2种等可能结果，传到乙手中的结果有1种， ∴ 经过1次传递后，花环传到乙手中的概率为． （2）解：画树状图可得所有等可能结果： 第1次传递：甲→乙，甲→丙； 第2次传递：乙→甲，乙→丙；丙→甲，丙→乙， 共有4种等可能的结果，其中经过2次传递后花环传到乙手中的结果有1种， ∴（传到乙手中）； （3）解：列举前几次传递的结果规律： 传递1次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递2次（偶数）：甲可能性最大； 传递3次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递4次（偶数）：甲可能性最大. 由此可猜想：当传递次数为偶数时，花环在甲手中的可能性最大； 当传递次数为奇数时，花环在乙、丙手中的可能性相同且最大． ∵ 2022是偶数， ∴经过2022次传递后，传到甲同学手中的可能性最大． 【变式】某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书． (1)将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________； (2)将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能的结果，再得出小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四个球，且每个球被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为； （2）解：列表如下： 小慧小智 由表格可知，一共有16种等可能的结果，其中小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果有7种， ∴小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率为． 题型04游戏的公平性 【典例】五四青年节，需要在主持班上挑选一位小小主持人，甲、乙两位同学都比较优秀，难以抉择，于是老师决定以抽签的方式决定谁去．游戏规则如下：将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，组成的两位数是的倍数则甲同学去，两位数是的倍数，则乙同学去． (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求出所有可能出现的结果． (2)你认为这个游戏对甲乙两位同学公平吗？为什么？ 【答案】(1) 共有种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，， (2)解：游戏对甲乙两位同学公平，理由如下： ∵组成的两位数是的倍数的结果有，，共种， ∴甲同学去的概率为 ， ∵组成的两位数是7的倍数的结果有，，共种， ∴乙同学去的概率为 ， ∵甲同学去的概率和乙同学去的概率相等， ∴这个游戏对甲乙两位同学公平． 【分析】（1）运用列表法列出所有情况即可． （2）分别计算甲乙同学去的概率，再进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，运用列表法可得       个位数 十位数                　 　 　 　 共有种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，，． 【变式】甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2) 这个游戏规则对双方不公平， 理由：由（1）树状图得， 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为奇数的情况有4种，两数之和为偶数的情况有5种， ，， ， 这个游戏规则对双方不公平． 【分析】（1）首先根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为6的情况有3种， ， 答：两数和为6的概率为； （2）略 题型05利用概率计算随机事件发生的平均次数 【典例】樱桃番茄又称圣女果，果皮颜色有红、黄色之分，因维生素含量高而广受喜爱．某农科所希望通过杂交育种的方式培育需要的圣女果品种． 【知识理解】 根据遗传学知识，红色果皮圣女果的基因组成是或，黄色果皮圣女果的基因组成是．若将一株红色果皮圣女果作为父本，与一株黄色果皮圣女果作为母本进行杂交，我们可以通过列表法或树状图法表示子一代圣女果的基因组成． 列表法 父本基因组成母本基因组成 A A a Aa Aa a Aa Aa 【知识应用】 (1)若实验员将一株红色果皮圣女果与一株黄色果皮圣女果进行杂交，请通过列表法或树状图法，求子一代圣女果是红色果皮的概率． (2)农科所计划扩大圣女果杂交规模．将基因组成与基因组成的圣女果进行杂交（排除其他因素干扰），培育得到5000株后代，请估计圣女果是红色果皮的有多少株？ 【答案】(1) (2)2500株 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，熟练掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）先画树状图，再根据树状图计算概率即可； （2）根据概率计算即可得到答案． 【详解】（1）解：利用树状图求概率如下： 由图可知，子一代的基因组成结果共有4种，这些结果出现的可能性相等，恰好是红色果皮的结果有2种， ． （2）解：由（1）可知，基因组成与基因组成的圣女果进行杂交，后代是红色果皮的概率为． 红色果皮的有（株）． 答：估计是红色果皮的有2500株． 【变式】为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 【答案】（1）10；35；（2）；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8，甲好． 【分析】（1）根据题意可求a+b=45，由的估计值为0.70，则解方程求出b，再求a即可； （2）根据样例给定的方法求即可； （3）由甲离子中位数5.96.3，甲离子众数6.06.3，从甲离子方差看甲离子方差1.381.8做决策即可． 【详解】解：（1）根据题意a+b=100-5-15-20-15=45， 因为的估计值为0.70， 则， 解得b=35，a=45-b=45-35=10， 故答案为：10；35； （2）； （3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8说明甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙离子甲好． 【点睛】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概率估计样本的数据，平均数，利用中位数，众数，方差进行决策是解题关键． 题型06概率在转盘抽奖中的应用 【典例】如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【答案】② 【分析】获胜概率大即为方案发生的概率大，因此需要分别计算三种方案发生的概率，这10个数字中有5个奇数，3的倍数为3，6，9，不小于5的数为5，6，7，8，9，10，据此计算概率即可． 【详解】解：分别计算三种方案发生的概率： ①奇数的概率为； ②3，6，9是3的倍数，故不是3的倍数的概率为， ③大于等于5的数共有6个，故不小于5的概率为， ， 获胜概率最大的方案为方案②． 【变式】2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 【详解】解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． 题型07概率在比赛中的应用 【典例】某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 【变式】根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2026年滇超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 任务解决 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】乙胜的概率为． 【分析】设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为． 【巩固训练】 1．从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，则关于x的方程有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图，共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程有实数根的有6种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程有实数根的有6种结果， ∴关于x的方程有实数根的概率为：． 2．一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个灰色小三角形的面积为，表示出相关图形的面积，最后利用简单概率公式求解． 【详解】解：设每个灰色小三角形的面积为，灰色区域的面积为，则每个小正方形的面积为，大正方形的面积为， ∴小球停在灰色区域的概率是． 3．如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数量，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种， 甲、乙两人座位相邻的概率为． 4．从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况， 一根标有A，一根标有C的有A，C与C，A两种情况， 一根标有A，一根标有C的概率是． 5．为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：两种方法： ①根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． ②用列表法，如下表所示： 第一名第二名 甲 乙 丙 甲 —— （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） —— （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） —— 由上表可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． 6．如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内，经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，，已知最大圆的半径是1，则阴影区域的总面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出整个图案的面积，再求出落在阴影区域内的总概率，最后根据几何概率公式可得答案． 【详解】解：∵最大圆的半径为1， ∴整个图案的面积为， ∵经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，， ∴落在阴影区域内的总概率为， ∴阴影区域的总面积为． 7．河南的应天书院、湖南的岳麓书院、江西的白鹿洞书院、河南的嵩阳书院是我国古代的四大书院，它们在古代文化史上地位极高． 如图有四张卡片，其正面分别印有四大书院，它们除正面外完全相同． 把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上的书院所在地都在河南的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将上述四个书院的图片制成编号分别为的四张卡片，画树状图得到所有的等可能的结果，找出符合题意的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：将上述四个书院的图片制成编号分别为的四张卡片， 画树状图，如图所示： 一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片上的书院所在地都在河南的结果有种， ∴抽到的两张卡片上的书院所在地都在河南的概率为． 8．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗文化进校园”活动，计划从“剪纸体验”“皮影戏欣赏”“传统书法临摹”“民乐赏析”项活动中，随机选取项开展班级活动，则恰好选中“剪纸体验”和“民乐赏析”的概率是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，先列出从4项活动中选2项的所有等可能结果，再找出符合题意的结果数，代入概率公式计算即可. 【详解】解：记项活动分别为：(剪纸体验)，(皮影戏欣赏)，(传统书法临摹)，(民乐赏析)， 从项中随机选取项，所有等可能的结果为：，，，，，，共种， ∵恰好选中“剪纸体验”和“民乐赏析”的结果只有种， ∴所求概率． 9．甲，乙，丙，丁四个同学玩传球游戏，每个同学按如图中箭头方向随机传球，若经过两次传球，球在丙手中的概率为，则下列符合条件的树状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定第一次传球的起始人，再根据规则列出所有可能的传球路径，最后计算球在丙手中的概率． 【详解】解：根据图中规则可知：甲只能传给乙或丁，乙只能传给丙或丁，丙只能传给甲，丁只能传给乙或丙； A项：从树状图可知，共有4种等可能情况，其中符合题意的有甲—丁—丙，甲—乙—丙，共2种，概率为，符合题意； B项：从树状图可知，共有3种等可能情况，而非4种，其中球在丙手中的有乙—丁—丙，共1种，概率为，不符合题意； C项：由于丙只能传给甲，两次传球的等可能结果共有2种，但第2次都未到丙手中，不符合题意； D项：从树状图可知，共有3种等可能情况，而非4种，其中球在丙手中的有丁—乙—丙，共1种，概率为，不符合题意． 10．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 【答案】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与这个两位数能被整除的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意画树状图得： 由图可知，共有种等可能的结果，这个两位数能被整除的有种情况， ∴这个两位数能被整除的概率是：． 11．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 12．天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡，使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：， ∴需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中和为的情况有种， ∴天平恢复平衡的概率为． 13．如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 【答案】 【分析】分析电路通路条件：因为电路是A、B并联部分与C、D并联部分串联，所以当A、B中至少闭合1个，且C、D中至少闭合1个时，灯泡发光，据此统计符合条件的情况数．用古典概型概率公式，将符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率． 【详解】解：任意闭合4个开关中的2个，所有等可能的闭合情况为：、、、、、，共种． 由电路图可知，左侧A、B为并联，右侧C、D为并联，两部分串联；要让灯泡发光，需要一个开关在左侧、一个开关在右侧闭合，才能形成通路． 满足条件的情况为：、、、，共种． 所以灯泡发光的概率为． 14．三星堆文创盲盒是三星堆博物馆以其独特的出土文物为原型，结合现代潮流玩偶设计理念，所开发的一系列创意产品．它成功地将古老神秘的三星堆文化与现代消费潮流相结合，成为“让文物活起来”的典范之作．如图，已知一箱祈福神官系列内有4个盲盒，包括A款青铜大立人，B款铜鸟，C款平头金面青铜人头像，D款青铜戴冠纵目面具，则随机抽取的2个盲盒中有A款青铜大立人的概率为______________． 【答案】/ 【分析】先算总共有多少种抽取2个的情况，然后再算含A的有多少种，根据概率公式 计算即可． 【详解】解：我们将4个盲盒分别记为A、B、C、D， 从4个盲盒中随机抽取2个， 所有等可能的组合共12种等可能结果，如图所示 其中包含A款的结果共6种符合条件的结果， ∴所求概率为 ． 15．现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率是________； (2)若从中随机抽取1张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片都是中心对称图形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）概率等于所求情况数与总情况数之比； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得A卡片上的图案是轴对称图形，B卡片上的图案不是轴对称图形，C卡片上的图案是轴对称图形，D卡片上的图案是轴对称图形， 故从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率是； （2）解：由题意可得A卡片上的图案是轴对称图形，不是中心对称图形，B卡片上的图案不是轴对称图形，是中心对称图形，C卡片上的图案是轴对称图形，也是中心对称图形，D卡片上的图案是轴对称图形，不是中心对称图形， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果， 其中两次所抽取的卡片都是中心对称图形的有，这2种结果， ∴两次抽取的卡片都是中心对称图形的概率为． 16．某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班，为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如下表所示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表： 最受欢迎兴趣班调查问卷 统计表 选项 兴趣班 请选择 兴趣班 频数 频率 A 绘画 A 0.35 B 音乐 B 18 0.30 C 舞蹈 C 15 b D 跆拳道 D 6 你好！请选择一个（只能选一个）你最喜欢的兴趣班，在其后空格内打“√”，谢谢你的合作 合计 a 1 (1)统计表中的_________，_________； (2)根据调查结果，请你估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数； (3)王姝和李要选择参加兴趣班，若他们每人从A、B、C、D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类的概率． 【答案】(1)60；0.25 (2)700人 (3) 【分析】（1）用B选项人数除以它所占的百分比得到a的值，然后用C选项的频数除以a得到b的值； （2）用2000乘以样本中最喜欢“绘画”兴趣班的人数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出恰好选中同一类的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：调查的总人数为（人），即， ； （2）解：， 答：估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数为700人； （3）解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为4， 所以两人恰好选中同一类的概率． 17．经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左转或右转．假设这三种可能性相同，现有嘉嘉和琪琪两人经过该路口． (1)嘉嘉从这三种情况中任选一个可能右转的概率是______； (2)利用树状图或列表法求两人之中至少有一人直行的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，经过路口共有3种等可能的情况，其中右转只有1种情况，因此嘉嘉右转的概率为； （2）解：画树状图为： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中至少有一人直行的结果有5种. 因此两人之中至少有一人直行的概率为． 18．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 19．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜，即可求解； （2）转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5，根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为； （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为． 20．为了探索契合新发展理念和新发展格局的语文课程改革路径，准确掌握全县中小学群文阅读实验与推广研究项目的现状，在阅读实践中培养学生语文能力、提升学生素养，渭源县龙亭学校举行了渭源县2022年中小学群文阅读课堂大赛活动．给学生推荐了《等你在清华》为A，《等你在北大》为B，《你不努力谁也给不了你想要的生活》为C，《余生很贵，请勿浪费》为D，这四本读物，小明、小刚两人从四本推荐书中随机选择一本进行研读，假设选择时不受四本书封面厚度等影响，且每一本被选到的可能性相同． (1)求小明选择读《你不努力谁也给不了你想要的生活》的概率； (2)若小明先从四本书中随机选择一本（不放回），小刚从剩余三本中随机选择一本，求小明、小刚两人选到的是《等你在清华》和《等你在北大》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列举出所有可能的情况和小明、小刚两人选到的是《等你在清华》和《等你在北大》的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：∵从四本推荐书中随机选择一本进行研读， ∴小明选择读《你不努力谁也给不了你想要的生活》的概率为； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中小明、小刚两人选到的是《等你在清华》和《等你在北大》的情况有2种， ∴小明、小刚两人选到的是《等你在清华》和《等你在北大》的概率为． 【强化训练】 1．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列举法求概率．先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出反应生成的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故选：B． 2．如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】根据题意，列表如下： √ × × × × × × × √ 由上表可知，所有等可能的情况有9种，其中电路能发生短路的情况有2种， ∴P（电路能发生短路）． 3．从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，概率公式求概率．简化不等式组得到解集范围，求整数解个数为，令其等于2得，再计算满足条件的概率． 【详解】解：∵不等式组 简化得和 ∴解集为 整数解个数为 令 得 从中选两个不同的数作为和， 总情况数 满足的对为、、，共3种 ∴概率 故选：C． 4．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图或者列表法求概率．要使棋子回到点A处，前两次掷得的点数之和必须为4，8或12．因此，所求事件中可能出现的结果数应该等于两次掷得的点数之和为4的结果数+两次掷得的点数之和为8的结果数+两次掷得的点数之和为12的结果数． 【详解】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12． 两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，； 两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，； 两次掷得的点数之和为12的结果有1种：， 所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）． 因此，棋子回到点A处的概率为． 故选：C． 5．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．． 【详解】解：反应的化学方程式为， 与的原子个数比为，与的原子个数比为， 反应后生成的中来自反应物C，而来自反应物O， 共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2， ∴反应生成的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 6．有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 【答案】 【分析】先确定两次操作的所有等可能基本事件总数，再根据题意推导3号盒子恰好比2号盒子多1个球的条件，求出符合条件的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式计算概率． 【详解】解：由题意，每次抽取卡片有种等可能结果，重复操作两次， 1 2 3 1 2 3 ∴共有种等可能的结果， 对单次操作，设抽取数字为时，2号盒子球的增量为，3号盒子球的增量为， 当时，，；当时，，；当时，，. ∵两次操作后，3号盒子恰好比2号盒子多个球，即满足. ∴设两次抽取中，抽的次数为，抽的次数为，抽的次数为， ∴，且：，， 代入条件得：. 联立方程， 其中为非负整数， ∴，，， 即符合条件的事件结果为和， ∴所求概率为． 7．如图，点、分别位于边、上，与交于点．已知，，现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在内的概率为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点D作，交于点H，利用相似三角形的判定与性质得，设，则，由已知条件求得，，再利用相似三角形的判定与性质和比例的性质解答即可得出结论． 【详解】解：如图，过点D作，交于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴随机向内投掷一枚小针，则针尖落在内的概率． 故答案为：． 8．现有四张正面分别标有数，，0，1的不透明卡片，它们除数外其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，随机抽取两张，记上面的数分别为m，n，则使得代数式无意义的概率为________． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 通过列表得出所有等可能结果，从中找到使代数式 无意义（即 ）的结果数，再根据概率公式求解． 【详解】解：列表如下： -2 -1 0 1 -2 —— -1 —— 0 —— 1 —— 由表知，共有种等可能结果，其中 的结果有：、、、、、、、，有种结果， 故使得代数式 无意义的概率为 ， 故答案为：． 9．如图是一个电路图，电灯和的规格相同．现从电阻值分别为，，，的四个电阻中，随机选取两个放置在，的位置上，则电灯比更亮的概率为__________． 【答案】 【分析】当时，电灯比更亮，列出树状图，找到所有等可能情况和符合题意的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，当时，电灯比更亮，画树状图如下： 根据列表可知，共有12种等可能情况，其中的情况共有4种， 故电灯比更亮的概率为． 10．有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为____． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求解概率，分式方程的无解问题，先求出分式方程无解时的取值，再利用树状图法表示出洗匀后从中任取两张时出现的所有情况，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得， 整理，得， 当，即时，整式方程无解，则分式方程也无解； 当，即时， ∵原分式方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴当或当时原分式方程无解， ∴当或时，原分式方程无解； 若，那么，解得， 若，那么，解得； 综上所述，当或或时，分式方程无解； 画树状图如图所示： 由树状图可知，共有个等可能的结果，使关于的分式方程无解的结果有个， 使关于的分式方程无解的概率为； 故答案为：． 11．某校在“推普周”组织了“说普通话，写规范字”测试，项目A“朗读”、B“硬笔书法”、C“即兴演讲”、D“毛笔字”、E“手抄报”．规定：每名学生测试三项，其中AB为必测项目，第三项从C、D、E随机抽取一项，每项满分10分（成绩均为整数且不低于0分）． (1)下表是分别是项目“C”和“D”6名学生的成绩； 学生 项目 1 2 3 4 5 6 平均分 众数 中位数 C x 6 7 8 8 9 a b c D 6 8 8 8 9 9 8 d 8 ①______； ②如果，且x不是这组中成绩最高的，求x的值： (2)完成必测项目A、B后，请用列表或树形图的方法分析甲和乙第三项选不同项目的概率． 【答案】(1)①8，②； (2)列表见解析， 【分析】（1）①根据众数是一组数据中出现次数最多的数值，找出众数即可知的值；②分两种情况求解：当x≤7时，则中位数，根据平均数的计算公式求解满足要求的值即可；当且为整数时，中位数，，根据平均数的计算公式求解满足要求的值即可； （2）根据要求列表格，求解概率即可． 【详解】（1）解：①观察表格可知众数 故答案为：8． ②当x≤7时，则中位数 ∵ ∴平均值 解得：； 当且为整数时， ∵x不是这组中成绩最高的 ∴中位数， ∵ ∴平均值 解得（舍去） ∴综上所述，x的值为7． （2）解：列表如下： C D E C （C、C） （C、D） （C、E） D （D、C） （D、D） （D、E） E （E、C） （E、D） （E、E） 由表格可知，甲和乙选第三项项目共有9种等可能的结果，其中，甲乙选择不同测试项目有6种可能， ∴概率． 【点睛】本题考查了众数、算术平均数、中位数，列举法求概率．解题的关键在于熟练掌握众数、算术平均数、中位数，列举法求概率的方法． 12．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，， 【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率； （2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率． 【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜． 此时，比赛的所有可能对阵为： ，， ，，共四种． 其中田忌获胜的对阵有 ，，共两种， 故此时田忌获胜的概率为． （2）不是． 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是． 综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ，，， ，，． 齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是 ，，， ，，， 共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵， 所以，此时田忌获胜的概率． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键． 13．某超市开展“五一”大酬宾，举行购物抽奖活动，奖项设置为面值不同的购物卡，分别是：一等奖120元，二等奖60元，三等奖10元，凡购买满200元及以上者，每200元可抽奖一次（不足200元一概不计入，每人当天购物最多可抽5次），每次抽奖过程如下：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“1”，“2”，“3”，它们除数字不同外没有任何区别．抽奖顾客先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为6，则获一等奖，数字之和为5，则获二等奖，数字之和为4，则获三等奖，其余均不获奖． （1）试利用树状图或列表法顾客每抽奖一次分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率； （2）若此次超市大酬宾中，超市业绩调查部分随机抽查了100位顾客的消费金额并绘制成条形统计图如下（金额折算为200元的整数倍，其中扣除200元的整数倍后不足200元的部分全部去掉不计入）： ①求上述样本数据中每位顾客消费金额的平均数； ②据“五一节”当天统计，共有2500位顾客参与该超市的购物抽奖活动，已知该超市每销售100元，平均可获利20元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金融外，估计这一天超市共盈利大约为多少元？ 【答案】（1），，；（2）①元，②元． 【分析】(1)列表表示出所有可能，再根据概率公式计算即可； (2) ①根据平均数公式计算即可；②根据超市每销售100元，平均可获利20元，求出利润，再减去购物卡金额即可． 【详解】解：(1)列表如图所示： 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 一共有9种等可能结果，和为6的有1种，和为5的有2种，和为4的有3种， 获得一等奖的概率为； 获得二等奖的概率为； 获得三等奖的概率为； (2) ① 样本数据中每位顾客消费金额的平均数为：（元） ②超市每销售100元，平均可获利20元，销售获利为（元）， 样本数据中可抽奖次数为（次）， 2500位顾客参与该超市的购物抽奖活动抽奖次数为（次） 兑现的购物卡金额为（元）， 这一天超市共盈利为（元）； 估计这一天超市共盈利大约为元． 【点睛】本题考查了是概率和样本平均数以及用样本估计总体，解题关键是熟练运用列表法求概率，准确的用样本数据估计总体数据． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $