专题16 二次函数的图象（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数的图象这一核心知识点，系统梳理从描点法作图步骤，到y=ax²、y=ax²+k等四种基本形式的图象性质，再到平移规律、一般式与顶点式转化及系数a,b,c对图象影响的递进知识脉络，构建完整学习支架。 该资料通过表格对比性质、口诀记忆规律等结构化设计，结合典例与变式题分层训练，培养学生几何直观与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过巩固训练查漏补缺，强化数学语言表达与知识应用能力。

专题16 二次函数的图象 1. 会用描点法画出二次函数的图象； 2. 掌握二次函数 、、、 的图象与性质； 3. 理解二次函数 的图象与 的图象之间的关系，掌握抛物线的平移规律； 4. 掌握二次函数一般式 的顶点坐标、对称轴的求法； 5. 体会数形结合思想在研究函数图象与性质中的重要作用。 1. 核心概念梳理： 二次函数的图象——抛物线: 用描点法画二次函数图象的步骤： 步骤 操作 ①列表 在自变量取值范围内，选取适当的值，计算对应的函数值 ②描点 在平面直角坐标系中描出这些点 ③连线 用平滑的曲线顺次连接各点 💡 理解关键：二次函数 （）的图象是一条抛物线，顶点在原点(0，0)，对称轴是y轴（直线x = 0）。 抛物线 的图象与性质: 性质 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线 x = 0） y轴（直线 x = 0） 顶点坐标 (0，0) (0，0) 增减性 x<0时y随x增大而减小；x>0时y随x增大而增大 x<0时y随x增大而增大；x>0时y随x增大而减小 最值 x=0时，有最小值0 x=0时，有最大值0 💡 重要结论： 越大，抛物线的开口越小（越窄）； 越小，抛物线的开口越大（越宽）。 的符号决定开口方向， 的大小决定开口大小。 2. 二次函数图象的变换规律 ⭐ 核心考点： 四种基本形式的图象特征: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0向上，a<0向下 x = 0（y轴） (0，0) a>0向上，a<0向下 x = 0（y轴） (0，k) a>0向上，a<0向下 x = h (h，0) a>0向上，a<0向下 x = h (h，k) 抛物线平移规律 ⭐ 高频考点 二次函数 的图象可由 的图象平移得到： 平移方向 操作 口诀 左右平移 左加右减：向左平移 个单位， 变为 ；向右平移 个单位， 变为 左加右减（括号内） 上下平移 上加下减：向上平移 个单位，函数值加 ；向下平移 个单位，函数值减 上加下减（括号外） 💡 关键结论：平移过程中，二次项系数 不变。例如： 的图象向右平移1个单位、再向上平移3个单位，得到 的图象。 3. 二次函数一般式的图象与性质 ⭐ 重难点: 一般式与顶点式的转化: 二次函数的一般式：（） 用配方法可将其化为顶点式： 其中： 一般式 的图象特征: 特征 公式 开口方向 a>0向上，a<0向下 对称轴 直线 顶点坐标 系数 a、b、c 对图象的影响 ⭐ 核心难点: 系数 对图象的影响 决定开口方向（a>0向上，a<0向下）和大小（ 与 共同决定对称轴的位置：①b=0时，对称轴为y轴；②a、b同号时，对称轴在y轴左侧；③a、b异号时，对称轴在y轴右侧 决定抛物线与y轴的交点位置：当x=0时，y=c，即与y轴交于(0，c) 💡 记忆口诀：a定开口（方向大小），b定左右（与a配合定对称轴位置），c定上下（与y轴交点位置）。 4. 易错点总结: 易错点 说明与预防 ① 忽略二次项系数 二次函数图象的研究以 为前提，若 则不是二次函数 ② 混淆平移方向 牢记口诀：左加右减（括号内x的变化），上加下减（括号外y的变化） ③ 顶点坐标符号写错 的顶点为 (h，k)，注意括号内是 ，顶点横坐标为 +h ④ 对称轴位置判断错误 对称轴 ，注意负号，不要漏掉 ⑤ 求最值时忽略顶点是否在取值范围内 给定自变量范围求最值时，必须考虑顶点是否在范围内，不能只代入端点值 ⑥ 混淆 与开口大小的关系 越大，开口越小（越窄）； 越小，开口越大（越宽） ⑦ 误认为所有抛物线形状相同 只有 相等时，抛物线的开口大小、形状才相同 题型01 y=ax2的图象和性质 【典例】如图6，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径、均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分面积是（　　） A． B． C． D．条件不足，无法求解 【答案】B 【分析】观察图形在y轴两边阴影部分面积，将y轴左边的阴影对称到右边得到一个半圆的阴影，就是所求的图中阴影面积． 【详解】解：∵半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径、均和x轴垂直， ∴半圆A和半圆B关于y轴对称， ∵两条抛物线的顶点是原点O， ∴两条抛物线的对称轴是y轴， ∴y轴左右两边的花瓣形关于y轴对称，其面积相等， ∴阴影面积等于半圆的面积，半圆的半径， 则． 【变式】观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标确定和的横坐标，代入函数解析式求出纵坐标，进而表示出线段的长度． 【详解】解：点的坐标为，且轴， 点和的横坐标均为， 点在抛物线上，点在直线上， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， ． 题型02y=ax2+k的图象和性质 【典例】对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 【变式】若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 题型03 y=a（x-h）2的图象和性质 【典例】已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 【变式】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，对称轴为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下，即可进行解答． 【详解】解：A、∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意； C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意； D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意． 题型04 y=a（x-h）2+k的图象和性质 【典例】已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 【变式】已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 【答案】(1) 解：填表如下， … 0 1 … … 0 2 0 … (2)解：顶点坐标，对称轴是直线，开口向下，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小． 【详解】（1）略； （2）略． 题型05把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例】在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 【变式】已知二次函数的表达式为：． (1)将该二次函数配方成顶点式； (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2) 图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）根据顶点式直接写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可. 【详解】（1）解：． （2）略 题型06 y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例】二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 【变式】若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 题型07 y=ax2+bx+c的最值 【典例】设，分别是函数，图象上的点，当时，恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”， 为“逼近区间”．则下列结论： ①函数，在上是“逼近函数”； ②函数，在上是“逼近函数”； ③是函数，的“逼近区间”； ④是函数，的“逼近区间”． 其中，正确的有（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BC 【分析】对每一条结论构造差值函数，求出在对应区间内最大值和最小值，检验是否成立即可． 【详解】解：①，在上，当时，最大，最大值为，当时，最小，最小值为，即，故函数，在上是“逼近函数”不正确； ②，在上，当时，最大，最大值为1，当时，最，小最小值为，即，故函数，在上是“逼近函数”正确； ③，在上，当时，最大，最大值为，当或时，最小，最小值为，即，满足，故是函数，的“逼近区间”正确； ④，在上，当时，最大，最大值为，当或时，最小，最小值为1，即，故是函数，的“逼近区间”不正确； 综上所述，正确的有②③，故选BC． 【变式】已知抛物线（a为常数，），设． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线有最小值，求T的值． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式，代入系数即可求出对称轴； （2）先根据抛物线有最小值确定，再将顶点纵坐标用表示，结合最小值为得到的关系式，再通过整式变形化简，即可求出的值． 【详解】（1）解：由抛物线为， 抛物线对称轴为直线 ； （2）解：∵抛物线有最小值， ∴抛物线开口向上，即，抛物线的最小值为顶点纵坐标，顶点横坐标为， 将代入解析式得： ， 由最小值为得， ， 整理得， ∵， ， ， 题型08二次函数图象与各项系数及符号判断 【典例】已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 【变式】如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 题型09一次函数、二次函数图象综合判断 【典例】抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 【变式】已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． 题型10两个二次函数图象综合判断 【典例】已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 【变式】设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值； （2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出； （3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可． 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键． 题型11已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例】抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 【变式】已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1) （ⅰ）；（ⅱ） (2) 成立，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C两点横坐标的平均值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、C两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小； （2）首先如果，那么代入可得到和的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据和，可确定的符号；之后计算的表达式，结合的条件和对称轴的位置，判断的符号，即可验证结论是否成立． 【详解】（1）（ⅰ）∵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点、， ∴对称轴为：； （ⅱ）到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵，开口向下， ∴点离对称轴越远纵坐标越小， ∵， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，将代入抛物线得：， 整理得， ∴对称轴为：， ∵，开口向下， ∴当时，随增大而减小， 又∵ ， ∴， ∵， ∴异号， 结合得：， ∴． 题型12根据二次函数的对称性求函数值 【典例】二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 由表格得时，， 当时，． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 题型13利用二次函数对称性求最短路径 【典例】如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，则的最小值是多少？ 【答案】 【分析】连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值为的长，求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值， 由抛物线的对称性可知，， ， 的最小值为的长， 抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点， 令，则， 令，则，解得：或， ，，， ， 即的最小值是． 【点睛】利用抛物线的对称性将求的最小值转化为求线段的长． 题型14二次函数图象的平移 【典例】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 【变式】将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)对称轴为直线，与轴交点坐标为 (4)当时，随着的增大而减小 【分析】（1）利用配方法将原一般式抛物线化为顶点式即可； （2）根据抛物线平移“左加右减．上加下减”的规律得到平移后的解析式； （3）利用二次函数性质求解对称轴与y轴交点坐标； （4）根据开口方向和对称轴判断y随x变化的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：根据抛物线平移规律可知平移后的解析式为： ； （3）解：平移后的抛物线顶点式为， 可得对称轴为直线， 令，代入得， 因此平移后抛物线与轴的交点坐标为； （4）解：平移后抛物线中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 因此当时，随着的增大而减小． 题型15待定系数法求二次函数解析式 【典例】如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用顶点式求二次函数解析式即可； （2）根据解析式画出图像即可； （3）求出当时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， ∵抛物线过点，代入得： ， ∴； （2）略； （3）解：当时， ； 当时， ； ∵抛物线开口向下，顶点坐标， 即当时，的最大值为4， ∴抛物线上点到轴的距离不大于2时，． 【变式】已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 【巩固训练】 1．已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根可能是（     ） A．0，4 B．1，5 C．1， D．，5 【答案】D 【分析】先根据抛物线对称轴公式求出的值，再整理得到一元二次方程，结合的非负性验证选项得到结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 将代入方程得， 整理得， 设方程的两根为，， 则，， ∵， ∴． A、∵，不满足，故此选项不符合题意； B、∵，不满足，故此选项不符合题意； C、∵，不满足，故此选项不符合题意； D、∵，，令，得，存在，符合条件，故此选项符合题意． 2．如图，分别过点（、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得：，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知、、的横坐标相同， ∵， ∴，， ∴， ， ∴ ． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 4．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 5．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式确定开口方向和对称轴，然后根据离抛物线的对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵，，， 又，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∴． 6．我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】先根据新运算的定义求出与之间的关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又∵当时，， 当时，， ∴的最大值是8．7．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） 7．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 8．在下列函数图象上任取不同两点、，当时，的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目要求当时，即函数在给定区间内随的增大而减小，只需根据一次函数、二次函数、反比例函数的增减性，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵ 题目要求时，即函数在给定区间内随的增大而减小. 对选项A：是一次函数，， ∴ 随的增大而增大，不符合要求； 对选项B：，开口向上，对称轴为， ∴ 当时，随的增大而增大，不符合要求； 对选项C：是反比例函数，， ∴ 当时，随的增大而减小，符合要求； 对选项D：，开口向下，对称轴为， ∴ 当时，随的增大而增大，不符合要求． 9．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 10．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式确定顶点坐标，利用抛物线的轴对称性求出点的坐标，代入解析式求及、坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 11．当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 12．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 13．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：，点到对称轴的距离：， ，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ． 14．请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的增减性确定对称轴为直线，选取满足条件的参数即可得到符合要求的解析式． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线， ∴满足题意的二次函数的解析式可以是． 15．在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 16．若二次函数的图象顶点在 轴的上方，则实数的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】求得对称轴为直线，代入解析式得到，根据题意，解不等式即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， 将代入得， 所以抛物线的顶点为， ， ． 17．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 18．写出下面抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)． 【答案】(1) 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵，， 19．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 【答案】(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 20．已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 【答案】(1)是， (2)0或 【分析】（1）根据二次函数的函数表达式求得该函数的顶点坐标P (，)，利用代换法即可求得顶点坐标所在的函数表达式； （2）因为直线经过二次函数图象的顶点P，所以顶点坐标也满足直线方程，故而将其代入直线方程，求解即可； 【详解】（1）解：P是在某条抛物线上， ∵二次函数，m是常数， ∴ ， ∴顶点坐标是． 设 ， 则， ∴ ， ∴所在轨迹的函数表达式是； （2）解：∵直线经过该二次函数的顶点， ∴ ， ∴， ∴或， ∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是−2或0； 21．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 22．已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)正确 (3)或 【分析】（1）直接利用对称轴的计算公式即可； （2）首先利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，然后根据最值为确定的值，由的符号判断是否为最小值即可； （3）首先确定平移后新二次函数图象对称轴的位置，然后根据二次函数图象的增减性，对的值分类讨论即可． 【详解】（1）解：由二次函数的对称轴公式，得对称轴． （2）解：二次函数图象的顶点纵坐标为． 令，则． ∵， ∴该值为最小值，即亮亮的判断正确． （3）解：或， 理由：由（1）、（2）可知原二次函数图象的顶点坐标为， 平移后新二次函数的表达式为，顶点坐标为， ①若， ∵， ∴新二次函数图象的对称轴位于直线和轴之间， 当时，时取得最大值． ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，时取得最大值， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ②若 ， 则新二次函数在的范围内的最大值始终为， 根据题意，得， 解得，与题设矛盾，故此种情况的值不存在． 综上可知，m的值为或． 23．已知抛物线关于直线对称． (1)求a的值． (2)若点在此抛物线上，当时，求的最大值与最小值的差． (3)若点，都在此抛物线上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)1 (2)16 (3) 【分析】（1）根据对称轴的公式直接列式作答即可； （2）先得出抛物线的解析式，根据抛物线开口确定的值随x的大小而变化的情况，问题即可求解； （3）抛物线的开口向上，且距离抛物线对称轴越近的点，其函数值越小，根据可知点距离对称轴的距离更远，据此列出带绝对值的不等式，再分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：根据题意有：，解得：； （2）∵， ∴抛物线解析式为：； ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的最大值为，,最小值为， ∴的最大值与最小值的差：； （3）点，都在此抛物线上，且， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，且距离抛物线对称轴越近的点，其函数值越小， ∵， ∴， 即：， 当时，去绝对值为：， ∴恒成立，即此时满足要求； 当时，去绝对值为：， 解得：， ∴当时，满足要求； 当时，去绝对值为：， 即此时不等式无解，故此种情况舍去； 综上：的取值范围为：． 24．【概念阅读】 在平面直角坐标系中，对于任意两点和（，），以线段为对角线作各边平行于坐标轴的矩形，我们称这个矩形为点，的“关联矩形”，记为．显然，的周长． (1)【初步理解】已知点，． ①点，的“关联矩形”的周长为 ； ②若点满足的周长为，求的值． (2)【深入探究】已知直线：，点是直线在第一象限内的一个动点，为坐标原点．求证：的周长是一个定值，并求出该定值； (3)已知点，点在点的右上方（即且），且的周长始终保持为，求动点运动轨迹的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (4)【拓展与延伸】已知抛物线的顶点为，点是该抛物线上的一点．若的周长为，求点的坐标． 【答案】(1)①14；②或 (2)证明：定值为， 由题意可设 ∵点在第一象限， ∴ ∴ ∵为坐标原点， ∴ ， ∴的周长是一个定值，定值为； (3)， (4)或 【分析】（1）根据公式直接列式计算或列方程求解即可； （2）由题意可设，由点在第一象限，得到不等式组求出的取值范围，再由公式求解即可； （3）根据公式得到，再化简求解即可； （4）先求出顶点，设，则得到，再因式分解求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，； ②由题意得，， 或 解得或； （2）略 （3）解：由题意得， ∵且 ∴ 整理得， ∴ 解得， ∴； （4）解： ∴顶点， 设 则 ∴或（舍去） ∴或 解得或 ∴点的坐标为或． 25．如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可； （2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将绕点按顺时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵抛物线过点，， ∴可设抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 26．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式，再化为顶点式即可解答； （2）作轴交于，作轴交于，由抛物线的对称性得，则，结合（1）得抛物线关于对称，则，求得，即，根据求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得 解得 ∴顶点坐标： （2）解：作轴交于，作轴交于， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于对称，令交于D， ∴， 又为中点 ， 由题意得， 由抛物线的对称性得， ， ∴ 解得： ∴，， 代入 把代入，得 ． 【强化训练】 1．已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解析式写出和，作差整理后结合已知绝对值的关系即可得到结论． 【详解】解：由题意，得 ，， 两式作差，得 ， 等式两边同乘，得 ． ∵ ， ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即，故C符合题意． 2．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【答案】D 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 3．如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，，，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求出，根据勾股定理求出，再比较可解答①；设，，即可得，然后设矩形的面积为，可得，即可得出，求出解判断②；接下来结合，再讨论最大值即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据勾股定理，得． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴的长可以是，所以①正确； ∵四边形是矩形， ∴． 设，， ∴． 设矩形的面积为，则， 当矩形的面积为时，即 ， 解得， 所以当时，矩形的面积为； 当时，矩形的面积为，则②正确； ∵， ∴当时，函数有最大值，最大值为，则③不正确， 所以正确的有2个． 4．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 5．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 6．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 【答案】 【分析】根据已知点坐标得到的表达式，由推出和异号，结合确定两者正负，再通过作差法比较三个纵坐标的大小． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， ， ，即， 与异号， ， ，即， ，， 点，，在抛物线上， ，，， ∴， ， ，即， ∴， ， ，即， 综上可得． 7．如图，抛物线的对称轴为直线，该抛物线交轴于点，交过点且平行于轴的直线于另一点，过点且平行于轴的直线交该抛物线于、两点（点在点右边），连结．若点关于直线的对称点恰好落在线段上，则长为________． 【答案】8 【分析】根据抛物线对称轴及与轴交点求出点、的坐标及的长，利用轴对称性质得出，，在中利用勾股定理求出的长，设长为，利用两点间距离公式及构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 当时，，则点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 点坐标为，可得， 由轴对称性质可知，，， 点， ， 在中，， 点落在线段上，且为， 点坐标为， 设的长为，则点坐标为， ， ， 即， 解得， 的长为． 8．探究函数数图象的性质，下列结论正确的有__________（填写序号） ①该函数图象一定过原点； ②若，，则随增大而增大； ③若，，则函数有最大值； ④若大于时随增大而减小，则； ⑤若，则函数图象与直线仅有一个交点． 【答案】①②③⑤ 【分析】①根据过原点，判断时对应的方程，即可求解； ②分情况讨论，当时，，则可判断一次函数的增减性，当时，将，的值代入，再根据二次函数的性质判断即可； ③分情况讨论，当时，，则可判断一次函数的最大值，当时，根据，的取值范围，判断开口方向和对称轴的大小，最后根据二次函数的性质判断即可； ④若大于时随增大而减小，判断开口方向，对称轴的取值范围即可求解； ⑤分情况讨论，当时，与没有交点，当，，再根据，分别画出，，与的草图，即可判断． 【详解】①当时，，则该函数图象一定过原点，故符合题意； ②∵当时，，，则随增大而增大， 又∵当时，若，，，对称轴为轴，且，则随增大而增大， ∴综上，无论取任何值，随增大而增大，故符合题意； ③∵当时，，，当时，存在最大值， ∵当时，若，，开口向下，那么对称轴直线，则在存在最大值， ∴综上，函数有最大值为，故符合题意； ④若大于，则，当随增大而减小，那么对称轴直线，解得，故不符合题意； ⑤∵若，当时，此时， 即当时，与没有交点； ∵当时，，， ∴（）如图，， （）， （）， 综上，若，则函数图象与直线仅有一个交点． 9．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 10．在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或． 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 11．探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)；；（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①根据二次函数的顶点式，即可得到顶点坐标． ②同①解答即可． （2）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，根据在轴上和轴上的坐标特征，得到此时的顶点坐标，即可得出答案，当顶点在轴上时根据写出满足条件的解析式即可． （3）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，对称轴和开口方向，根据已知条件得出当时，此时，继而得到当时，的取值范围． 【详解】（1）解：①∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； ②∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； 故答案为：①；②； （2）解：∵二次函数，因为，此二次函数的顶点坐标为， ∴当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 此时二次函数的解析式为， 当时，此时二次函数的解析式为，（答案不唯一） 当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 故答案为：；；（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， ∵与轴平行的直线与交于，两点， ∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，到对称轴的距离相等， 当时，到对称轴的距离为， ∵点在左侧， ∴点的横坐标为， ∴当时，点到对称轴的距离不超过，且点在对称轴左侧， ∴的取值范围为. 12．对于平面内三个不同的点，，，给出如下定义：若为直角三角形且，则称为线段的关联点，特别的如果，称为线段的强关联点，在平面直角坐标系中，已知， (1)如图1在点，，，中，线段的关联点是_____________________； (2)已知点，． ①如图2，当时，若直线上存在线段的强关联点，求的取值范围； ②如图3，若存在点既是线段的关联点又是线段的强关联点，直接写出的取值范围是_____________________． 【答案】(1)，； (2)①且；②且， ，，，， 【分析】（1）直角在、时，在竖直线上，逐一验证各点坐标，即可判断； （2）①强关联点需满足直角在或，且，即直角边、．分别推导两种直角下所在直线及横坐标范围，再联立直线，根据交点横坐标的约束列不等式，最终得且；②点需同时是的关联点与的强关联点．的关联点在两条竖线上，分别设的坐标，结合强关联点的直角条件与角度约束列方程与不等式，分四类情况讨论求解，整合范围并排除点重合的特殊值，得且． 【详解】（1）解：由题意得，为直角三角形且直角顶点是或，则是线段的关联点， ∵，， ∴是水平线段， 当时，则，为竖直线，即在直线上（点除外）； 当时，则，为竖直线，即在直线上（点除外）， ：不在上，不是关联点； ：不在上，不是关联点； ：在上，且，是关联点； ：在上，且，是关联点； （2）解：①当时，，， 当直角在点时，即， ∴， 设， ∴，， 又∵ ∴ 解得， ∴当直角在点时，点在直线上， ∵点G为线段的强关联点， ∴， ∴， ∴，即， 将代入，则， ∵， ∴关于的抛物线开口向上，如图， 令，此时 解得， 由图可得，当时，即时，此时x为， ∴强关联点G是直线上的线段， 同理可得，直角在时，由，可得， ∵， ∴， ∴ 同理可得，， ∴强关联点G是直线上的线段， ∵强关联点G在上， ∴， 解得， ∵， ∴ 解得； ， 解得， ∵， ∴ 解得， 综上所述，的取值范围为且； ②由题意得，的关联点G，直角顶点在或上， ∴在竖直线（不与重合）或（不与重合）上， 的强关联点G，直角顶点在或上，且， 当在竖直线时，设，当直角顶点为点时，即， ∴， ∵，，， ∴ 解得， ∵， ∴，即， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时，（舍去）； 当直角顶点为点时，即， 由，同理可得，， ∵， ∴，即， ∴， 同理可得，． 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时， 解得（舍去）； 当在竖直线时，设， 当直角顶点为点时，即， 由勾股定理，同理可得，． ∵， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时，（舍去）； 当直角顶点为时，即， 由勾股定理，同理可得，， ∵， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时， 解得（舍去）； 综上所述，t的范围为，． 【点睛】先拆解定义，将“关联点”转化为过线段端点的垂线（直角在端点），“强关联点”增加的约束；解题时按直角顶点分类讨论，联立方程结合范围求解．常见错误：遗漏分类情况、忽略点不可重合的约束、角度与边长转化出错． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16。 二次函数的图象 重难目标 1.会用描点法画出二次函数的图象； 2.掌握二次函数y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h?+k的图象与性质； 3.理解二次函数y=α(x-h+k的图象与y=ax2的图像之间的关系，掌握抛物线的平移规律； 4.掌握二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴的求法： 5.体会数形结合思想在研究函数图像与性质中的重要作用。 重难知识 1.核心概念梳理： 二次函数的图象一一抛物线：用描点法画二次函数图象的步骤： 步骤 操作 ①列 在自变量取值范围内，选取适当的值，计算对应的函数值 表 ②描 在平面直角坐标系中描出这些点 点 ③连 用平滑的曲线顺次连接各点 线 ?理解关键：二次函数y=Qx(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点在原点(0，O),对称轴是y 轴（直线x=0) 抛物线y=aX的图象与性质： 性质 a>0 a<0 开口方 向上 向下 向 对称轴 y轴（直线x=0) y轴（直线x=0) 顶点坐 (0,0) (0,0) 1/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 性质 a>0 a<0 标 增减性 x<O时y随x增大而减小；x>O时y随x增大而 x<O时y随x增大而增大；x>0时y随x增大而 增大 减小 最值 x=0时，有最小值0 x=0时，有最大值0 了重要结论：a越大，抛物线的开口越小（越窄）；|a越小，抛物线的开口越大（越宽）。a 的符号决定开口方向，a的大小决定开口大小。 2.二次函数图象的变换规律☆核心考点： 四种基本形式的图象特征： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax2 a>0向上，a<0向下 x=0(y轴) (0,0) y=ax-+k a>0向上，a<0向下 x=0(y轴) (0,k) y=a(x-h)2 a>0向上，a<0向下 x =h (h,0) y=a(x-h)2+k a>0向上，a<0向下 x =h (h,k) 抛物线平移规律☆高频考点 二次函数 y=a(x-hP+k的图象可由 y=ax2的图象平移得到： 平移方 向 操作 口诀 左右平 左加右减：向左平移h个单位，x变为x+h:向右平移h个单位， 左加右减（括号 移 x变为x-h 内) 上下平 上加下减：向上平移k个单位，函数值加k;向下平移k个单位，函 上加下减（括号 移 数值减k 外) 了关键结论：平移过程中，二次项系数a不变。例如：y=2x的图象向右平移1个单位、再向 上平移3个单位，得到y=2x-1+3的图象。 3.二次函数一般式的图象与性质☆重难点： 般式与顶点式的转化：二次函数的一般式：y=ax+bx+c(a≠0) 用配方法可将其化为顶点式： y=a(x-h)2+k 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中： h=2b,k=462 4a 一般式y=ax+bx+c的图象特征： 特征 公式 开口方 a>0向上，a<0向下 向 对称轴 直线X=- b 2a 顶点坐 b 4ac-b2 标 2a’ 4a 系数a、b、c对图象的影响☆核心难点： 系 数 对图象的影响 a 决定开口方向(a>0向上，a<0向下)和大小( b 与a共同决定对称轴的位置：①b=0时，对称轴为y轴；②a、b同号时，对称轴在y轴左侧： ③a、b异号时，对称轴在y轴右侧 决定抛物线与y轴的交点位置：当x=O时，y=c,即与y轴交于(O,c) ?记忆口诀：a定开口（方向大小），b定左右（与a配合定对称轴位置），c定上下（与y轴交点位 置)。 4易错点总结： 易错点 说明与预防 ①忽略二次项系数a≠0 二次函数图象的研究以a≠0为前提，若Q=0则不是二次函数 ②混淆平移方向 牢记口诀：左加右减（括号内x的变化），上加下减（括号外y的变 化) ③顶点坐标符号写错 y=a(x-hP+k的顶点为，k,注意括号内是X-h 顶点横坐 标为+h ④对称轴位置判断错误 对称拍X2名注意负号，不要漏抛 b ⑤求最值时忽略项点是否在取值 给定自变量范围求最值时，必须考虑顶点是否在范围内，不能只代 范围内 入端点值 ⑥混淆a与开口大小的关系 |a越大，开口越小（越窄）；a越小，开口越大（越宽） 3/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错点 说明与预防 ⑦误认为所有抛物线形状相同 只有|a相等时，抛物线的开口大小、形状才相同 斩 重难题型 题型01y=ax的图象和性质 【典例】如图6，半圆A和半圆B均与y轴相切于O,其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛 物线分别经过点C、E和点D、F,则图中阴影部分面积是() A.π C. D.条件不足，无法求解 送试1双农提体1女21宁女3日3这4日 ，…,运用你观察到的规律解决以下问题： 如图，分别过点p,n,0（n=12、)作x轴的垂线，交y=X的图象于点A,:交直线y=-x于点B,: 1 1 1 则A,B1A,B, A5B2的值为 …十一 P B B 题型02y=ax+k的图象和性质 4/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例】对于二次函 y=-2X+5:当2<x≤1时，y的取值范国是 【变式】若点AX1,y小B2,y,是函数y=aX+c(a>0)上的两点，若x>x,且x+x,>0:则y, (填“、”、 Y2 > “<”或“=”) < 题型03y=a(x-h)2的图象和性质 【典例】已知二次函数y=2(x-h,当x>3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（） A.h=3 B.h<3 c.h≤3 D.h≥3 【变式】对于二次函 y=-2x+32的图象，下列说法不正确的是() A.开口向下 B.对称轴是直线X=-3 C.顶点坐标为-3,0 D.当x<-3时，y随x的增大而减小 题型04y=a(x-h)2+k的图象和性质 【典例】已知二次函数y=-X-1P+k〈k为常数)，若点A-1,yB2,y,C4,y,部在该函数的图 象上，则y,y,'y,的大小关系是（） A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3 C.y3>y2>y1 D.y2>y3>y1 【变式】已知二次函数y=-2x+1+2 … … 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象.（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 题型05把y=ax+bx+c化成顶点式 【典例】在平面直角坐标系0y中，函数y=X+4x+4的图象经过点m,y和m+1,y小若m>0则 y y, (填“≥”“=”或“<”) 【变式】已知二次函数的表达式为：y=-2x2+4x+5. (1)将该二次函数配方成顶点式： (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 题型06y=ax+bx+c的图象与性质 【典例】二次函 y=aX+bx+c（o,6,c为常数，。<0)中，×与y的部分对应值如表 若m>0 且点Am,yBm+2,y,在该二次函数的图象上，则y,一y,（填“>"<或“=) 【变式】若点A-1,y小B2,y,小C4,y,在二次函数y=aX2-2ax+1a>0的图象上，则yyy 的大小关系是() A.y2<y1<y3B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y1<y2<y3 题型07y=ax2+bx+c的最值 【典例】设PX,y,小QX,y,分别是函数C:C图象上的点，当a≤x≤b时，-1≤yy,≤1恒成立，则 称函数C1,C2在a≤X≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”.则下列结论： ①函数y=x-5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”： ②函数y=X-5,y=x2-4x在3≤x≤4上是“逼近函数”； ③0≤x≤1是函数y=x2-1,y=2x-x的“逼近区间”： ④2≤x≤3是函数y=x-5,y=x2-4x的“逼近区间”. 其中，正确的有() 6/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.① B.② C.③ D.④ 【变式】已知抛物线 y-=ax2-2ax+a2-2 (a为常数， a≠0)，设T=36a a2+1 (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线y=ax2-2ax+a2-2有最小值-1，求T的值. 题型08二次函数图象与各项系数及符号判断 【典例】已知点A2,c小'B1b,n'D1,d都在二次函数y=aX+bx+ca>0的图象上，则下列结论正 确的是() A.a+d>c B.a-b<0 C.d-n>0 D.n-c>0 【变式】如图，二次函数， 数y=aX+bx+cla≠0的图象与x轴交于点A-L,0:对称轴为直线x=1'则下列 讨论中错误的是() A A.abc<0 B.2a+b=0 C.4a+2b+c>0 D.c+8a>0 题型09一次函数、二次函数图象综合判断 【典例】抛物 y=aX+bx和直线y=ax+b在同一坐标系的图象可能是() 7/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知二次函数， y=aX+bx+cla≠0的图象如图所示，则函数y=oX+c的图象可能为() 0 3衣 题型10两个二次函数图象综合判断 【典例】已知y与y,是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数y=y,y, 图象可能是() 8/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 【变式】设二次函数y,=aX+bx+c'y,=cX2+bx+aab'c是实数，ac<0): 1)若a=-1,函数y1的对称轴为直线x=1,且函数y1的图象经过点1,0，求b,c的值. (2)设函数y1的最大值为m,函数y2的最小值为n,若a+c=0,求证：m+n=0 (3)若函数y1的图象与函数y2的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：b<0. 题型11已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例】抛物线 我y=aX+bx+ca≠0经过四点：m-1,-t0,-k1,t2-m,-t小其中t≠0则下 列选项中，值不变的是() t A.t-k B.k-2t C.k D.tk 【变式】已知抛物线y=aX2+bx+cla<0过A-4,yB2,yC3,yD15,y.四点 (1)若y2=y3. (ⅰ)求该抛物线的对称轴； (ii)比较y1,y3的大小. (2)若y2=C,y2y3<0,判断y4<0是否成立，并说明理由. 题型12根据二次函数的对称性求函数值 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例】二次函数y=ax+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表： x的 -2 -1 0 2 值 y的 … -22 -7 2 2 值 当x=3时， 函数y的值是( A.2 B.5 c.-7 D.-22 【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函 y=aX+bx+cla≠01的图象上有点A-2,yB0,y2 C5,y小则y'y,'y,的大小关系是 (请用“<”符号连接) X=2 题型13利用二次函数对称性求最短路径 【典例】如图，抛物线y=aX+bx+c与×轴交于A-3,08两点，与y轴交于C0,3点.M点在抛物线 的对称轴X=-1上，当△MBC周长最小时，点M的坐标为 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+2x+3与X轴交于A、B两点(A在B左侧)，与y 轴交于点C.点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接PA、PC,则PA+PC的最小值是多少？ 10123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型14二次函数图象的平移 【典例】将抛物 y=X+8X+15向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解 析式是() A. y=x+12-3 B. y=x+72-3 C.y=x+12+1 D.y=x+7+1 【变式】将抛物线y=-3x2+6x+5先向左平移2个单位，再向上平移1个单位. (用配方法将y=-3X+6x+5写成y=ax-h}+k的形式： (2)求平移后的解析式： (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与V轴的交点坐标： (4)对于平移后的抛物线，当x取何值时，y随着x的增大而减小？ 题型15待定系数法求二次函数解析式 【典例】如图是某个二次函数的图象. (1)求该二次函数关系式： (2)补全函数图象： (3)若抛物线上点P(m,n)到y轴的距离不大于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 11/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知函数 y=-x2+bx+c (b,c为常数)的图象经过点0，-3}'(-6，-3 (1)求b,c的值. (2)当-4≤x≤0时，求y的最大值. (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之差为9，求m的取值范围. 练 分层训练 【巩固训练】 1.已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+mx=n2+1的根可能是() A.0,4 B.1,5 C.1,-5 D.-1,5 2.如图，分别过点P,01=1、2、、m)作x辅的垂线，交y号x的图象于点A,交直线y=X 12+,1t…+1 于点B.则ABA,B,…+AB的值为(） P 6 4. 2 B.2 n+1 C. nn+1 0. n+1 3.关于抛物线y=-2X2+4x+1,下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=2 c.顶点坐标是1,1)】 D.x>2时，y随x增大而减小 4.关于二次函数y=-x+2x+3的图象与性质.下列四个结论中正确的是（) A.其图象顶点坐标为1，-4 12123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.y随着X的增大而减小 C.其图象可以看作是抛物线y=-x2平移得到 D.当x>-1时，y的值都大于0 5.已知抛物线y=3x-1+1上有三点A(1.5,y)B(2,y,小C(-5,y,则y'y,的大小关系 为() A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 6.我们规定：若ā=x,y小万=X2,y2小则a-i=XX+yy例如，a=1,3’6=2,4则 a6-1×2+3×4=2+12=14已知a=x+1,x-16=x-3,4且.2≤x≤3：则a-6的最大值是 () A.14 B.12 C.8 D.6 7.己知二次函数y=-x+bx+c的图象如图.其中b,c的值可能是() A.b=-3,c=1B.b=1,c=-3 C.b=3,c=3 D.b=-3,c=-3 8.在下列函数图象上任取不同两点A1X1,y小A,X,y,当x<x,时，y>y,的是（） A.y=2x+1 B.y=X+2x-1x>-1 c.y D.y=-2x2+4x+1x<1 9.函数y=ax-a与y=ax-aa≠0在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 13123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.如图，抛物线X-3P+1与y=ax+3-1交于点A.分别交y轴于点P,Q,过点A作x轴的平 行线，分别交两条抛物线于点B,C.已知B5,3,则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称： ②A2,3: ③C-7,3； ④PQ=2. 其中正确结论是() 12 A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 11.当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x+5的最大值为 12.如图，二次函数 y=aX+bx+cla≠0的图象与直线y=mx+nln≠0有两个交点，交点横坐标分别为 1、3,则关于x的不等式aX+b-mx+c-n≥0的解集为 14123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.若点A-3,yB1,y,C2,y在二次函数y=X-2x的图象上，则y'y,'y,的大小关系用“ ”连接为」 14.请选择一组你喜欢的a,6,c的值，使二次函数y=aX+bx+ca≠0的图象同时满足下列条件： ①开口向下： ②当x<3时，y随x的增大而增大：当x>3时，y随x的增大而减小. 这样的二次函数的解析式可以是 15.在二次函数y=x-m+1中，当x>1时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是一· (写出 一个满足条件的m值) 16.若二次函数y=x2-4x+n的图象顶点在x轴的上方，则实数n的取值范围是一一 17.已知二次函数的图象经过点A0,-3,B2,-3,C-1,0,则此二次函数的解析式是 18.写出下面抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 y=-2x2+3x-2: 2 2y=3x-2x+4 19.已知二次函数y=x2-2x-3. (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出y=x2-2x-3的图象： (3)当x取何值时，y随x增大而减小. 0 2 3 15123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 -4 -3 0 0 1 2 3 0 -3 -4 -3 0 20.己知二次函数 y=x2+2m+1x-m+1 (1)随着的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达 式：如果不是，请说明理由 (2)如果直线、，」 y=X+1经过二次函数y=X+2m+1X-m+1图象的顶点P,求此时m的值. 21.如图，抛物线y=-x+4与x轴交于A、B两点，直线1与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为 1. (1)求直线/的表达式： (2)点P是线段AC上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E,求PE 的最大值 22.已知关于x的二次函数」 xy=ax2+6ax+8aa≠0 (1)该二次函数的对称轴为X=_。 (2)亮亮说：“若二次函数存在最值-1，则该值为最小值.”请通过计算说明亮亮的判断是否正确 (3)将二次函数的图象向右平移m0<m<3个单位长度，平移后的新二次函数的图象在-3≤x≤0的范围内 1 的最大值为4 a,直接写出m的值， 23.已知抛物 y=aX2.4x+3a0关于直线x=2对称。 (1)求a的值. 16123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若点DXo,yn在此抛物线上，当2≤Xn≤3时，求y,的最大值与最小值的差. 3)若点Pm,y小Qm+1,y,都在此抛物线上，且y≥y请直接写出m的取值范围。 24.【概念阅读】 在平面直角坐标系中，对于任意两点Px1,y,和Qx,y,x≠x,'y,≠y,),以线段PQ为对角线作各 边平行于坐标轴的矩形，我们称这个矩形为点P,Q的“关联矩形”，记为RctP,Q.显然， Rect(P,Q的周长C=2x1-x2+y1y2l (1)【初步理解】已知点A1,2,B4,-2. ①点A,B的“关联矩形”Rect(A,B的周长为_； ②若点Cm,3满足Rect(A,C的周长为l0,求m的值. (2)【深入探究】已知直线l:y=-x+4,点P是直线l在第一象限内的一个动点，O为坐标原点.求证： Rect P,O的周长是一个定值，并求出该定值： 3)已知点K2,1,点Qx,y在点K的右上方（即x>2且y>1),且RctK,Q的周长始终保持为12，求 动点Q运动轨迹的函数表达式，并写出自变量X的取值范围. (4)【拓展与延伸】已知抛物线y=-x+4x的顶点为M,点P是该抛物线上的一点.若RctP,M的周长 为4，求点P的坐标 25.如图，己知△OAB的顶点A-6,0,B0,2,0是坐标原点，将△OAB绕点0按顺时针旋转90°，得 到△ODC (1)写出C,D两点的坐标： (2)求过A,D,C三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标； 26.已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点2,4，(5,1. 17123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标. (2)点A,B在抛物线上且AB‖x轴，线段AB先向上平移m(m>0)个单位长度，再向左平移n(n>0)个单 位长度，点A与y轴上的点A重合，点B和抛物线上的点B重合，AB与抛物线交于点C,若点C是AB 的中点，求m,n的值. 【强化训练】 1.已知二次函 y=ax-4}+c当x=x时，函数值为y,:当x=x,时函数值为y,若x1-4X,4 则下列表达式正确的是() A.y1+y2>0 B.y1y2>0 c.ay1-y2>0 D.a(y+y2>0 2.已知二次函数 文y=-x-h(h为常数)，当2≤X<5时，函数y的最大值为.1'则h的值为() A.1或3 B.4或6 C.3或6 D.1或6 3.如图，某公司准备在一个△ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧CEDF,其中∠C=90°， ∠A=30°，BC=6m,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上.有下列结论：①DF的长可以为8m;②点 D在两个不同位置可使得休闲书吧CEDF的面积为83m2;③休闲书吧CEDF面积的最大值为10V3m 其中，正确结论的个数是() B D E A.0 B.1 C.2 D.3 4。二次函数y=a+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x=子且图象经过点2,0。下列说法：① 18123 函学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 6c<0:@c-2b=0©2y 是抛物线上的两点，则y,<y,:④ +c>mam+b+c(共中m分：⑤0-b+c<0.其中正确的结论是(） 2 A.①②③ B.①③⑤ C.②④⑤ D.①②④ 5.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc<0,②b<a+c,③4a+2b+c>0, ④2c<3b,⑤a+b<mam+bm≠1中正确的是() A.②④⑤ B.①③④ C.①③⑤ D.①③④⑤ 6.在平面直角坐标系中，点(2，m和点(4，n)在抛物 y=aX+bx(a>0)上，若nmm<0点 1,y3,y,5,y在该抛物线上，则y1,y2,y,的大小关系为 7图。抛物线y=a+bx-2a>0的对称轴为直线x=号该抛物线交y轴于点A,交过点A且平行于 x轴的直线于另一点B,过点MO,2且平行于x轴的直线交该抛物线于C、D两点（点C在点D右边），连 结AC若点B关于直线AC的对称点B恰好落在线段MC上，则CM长为一 19123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y个 M B C O A 的 8.探究函数y=(数图象的性质，下列结论正确的有」 (填写序号) ①该函数图象一定过原点： ②若a=1,b=0,则y随x增大而增大： ③若a<0,b≥0，则函数有最大值 4a9 ④若X大于2时y随x增大而减小，则b=-4a: ⑤若a>0,则函数图象与直线y=x+1仅有一个交点. 9.如图，已知二次函数y=aX2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A-10?与y轴的交点B在0，-2和 0,-1之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1.下列结论：①abc>0:②4a+2b+c>0:③ 4c-b<-4a:④3Q<⑤b>c,其中正确结论有填写所有正确结论的序号) 10.在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当x<m时，它们 对应的函数值互为相反数：当x≥m时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“m-相关函 数” 20123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y 4 3 2 2 D A D -6-54-3-2-1@1234x -6-5-4-3-2-10 1234x -1 C B -2 -2 -3 -4 -4 @在点P,-1,-2P,-1,2'P,1,-2P41,2中. 在正比例函数y=2x的“1-相关函数”图象上的点是 ②若一次函数y=2x+b的“2-相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为 2已知A2,1,B2,-1,C-4,-1,D-4,1. ①若二次函数y=X-hP的“m相关函数”图象与四边形ABCD始终有2个公共点，求h的取值范围： ②若二次函数y=X+2X+n的“1.相关函数”的图象与线段AD有2个公共点，直按写出n的取值范围. 11.探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标， ①y= -5的项点坐标为： ②y=-4x-3的顶点坐标为· 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”. 2继续研究发现，对于y=aX-hP+K因为a≠0当=0时，y=aX-h+k的顶点在轴上：当=0时， y=ax-hP+k的顶点在y轴上.请你写出一个顶点在，轴上的二次函数解析式：一 )与x轴平行的直线与y=-4X-3交于M'N两点（点M在点N的左侧），若MN≤8：请直接写出M点 横坐标XM的取值范围 12.对于平面内三个不同的点A,B,G,给出如下定义：若△ABG为直角三角形且∠G≠90°，则称G 为线段AB的关联点，特别的如果∠G≥45°，称G为线段AB的强关联点，在平面直角坐标系Oy中，已 21123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知A-2,1,B2,1 (1)如图1在点C0,3,D1,2,E2,-3,F-2,-1中，线段AB的关联点是 并 4 3.c 2 ●D A● B -5-4-3-2-1012345元 F●-1 -2 -3 。E -4 -5 图1 (2)已知点Pt,1,Qt+2,0. ①如图2，当t=0时，若直线)y=x+b上存在线段PQ的限关联点，求的取值范国： 2 方4时支i0”4 -3 -4 -5 图2 ②如图3，若存在点G既是线段AB的关联点又是线段PQ的强关联点，直接写出t的取值范围是 22123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 并 2 A● ●B 5-4-3-2102345 2 图3 23123