专题15 认识二次函数（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数概念及应用，系统梳理二次函数的定义（整式形式、最高次数为2、二次项系数不为0）、一般形式（二次项、一次项、常数项），并通过几何面积、利润问题等实际模型构建从具体到抽象的学习支架，衔接概念理解与问题解决。 资料以表格结构化呈现核心要点与易错点，助力学生精准把握概念本质，通过典例与变式训练发展抽象能力和模型观念。课中辅助教师高效授课，课后学生可依托易错总结与分层练习查漏补缺，强化知识应用。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15 认识二次函数 攻 重难目标 1.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，发展抽象能力； 2.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，发展模型观念； 3.理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式： 4.会列二次函数表达式解决简单的实际问题。 重难知识 1.核心概念梳理： 二次函数的概念：一般地，若两个变量X、y之间的对应关系可以表示成y=ax+bx+c(a、b、c 是常数，a≠0)的形式，则称y是X的二次函数。 概念解析 -一三个核心要点： 要点 说明 ①整式形式 函数关系式必须是关于自变量的整式 ②最高次数为2 化简后，自变量的最高次数必须是2 ③二次项系数Q≠0 这是必要条件，也是判断的关键 了理解关键：判断一个函数是否为二次函数，不能只看表面形式，必须先化简整理，再看是否满足以 上三个条件。 二次函数的一般形式： y=ax+bx+c(a≠0） 组成部分 名称 说明 ax? 二次项 a为二次项系数，a≠0是必要条件 bx 次项 b为一次项系数（可以为0） 常数项c为常数项（可以为0） △特别注意：二次函数的一般形式中，只要求Q≠0，b和c都可以为0。因此，y=ax2、 y=ax+bx、y=ax2+c等都属于二次函数。 2.从实际问题抽象出二次函数☆核心过程： 常见实际问题模型： 119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题类型 变量关系 二次函数形式 几何面积 矩形面积=长×宽 y=x20-x) 利润问题 总利润=单件利润×销售量 展开后含x2项 增长问题 两次增长后的总量 展开后含x2项 △易错提醒：实际问题中， 自变量的取值往往受到实际意义的限制，不能随意取值。例如橙子树 问题中，x必须满足0≤x<120(保证每棵树结的橙子数不为负)。 3.易错点总结： 易错点 说明与预防 ①忽略a≠0 判断二次函数时，必须首先确认二次项系数不为0，这是最关键的判断依据 ②未化简就判断 有些函数表面看含有x项，但化简后可能抵消，需先化简整理再判断 ③误认为b、c必须 次函数的一般形式中，只要求a≠0，b、c可以为0 存在 ④忽略自变量的取值范 实际问题中的二次函数，自变量的取值受实际意义限制，不能只从数学角度考 围 虑 ⑤混淆二次函数与一元 二次函数是两个变量之间的关系(y=ax2+bx+c),一元二次方程是一个变 二次方程 量的方程(ax2+bx+c=0) 重难题型 题型01列二次函数关系式 【典例】已知长方形的长是x,宽是长的一半，面积是y,那么y关于x的解析式是 (不要求 写定义域). 【变式】一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米0<x<10,则正方形的面积随之减少y 平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 题型02二次函数的识别 【典例】下列函数中，属于二次函数的是() A. ·y=V2x2-3 B.y=(x+22-x2 219 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.y= 5 C.y=-3x2+1 【变式】下列函数中，哪些是二次函数？ 1)y法 (2)y=x(2x-1): (3) y=(x+2}2-3 （4)y=x+42-x2 (5)y=ax+bx+c(a,b,c为常数). 题型03根据二次函数的定义求参数 【典例】如果函数y=k-3X2:7+4x+1是关于x的二次函数，则k= 【变式】函数y=m+2x:2是关于x的二次函数，则m= 练 分层训练 【巩固训练】 1.长为20cm,宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，做成 底面积为yCm的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数关系式为() A.y=10-x20-x(0<x<5) B. y=200-4x2(0<x<5) c.y=10-2x20-2x(0<x<5 D.y=200+4x2(0<x<5) 2.若y=(2-m)X是二次函数，且开口向上，则m的值为〈） A.3 B.-1 C.±3 D.4 3.若y=a+3X1-X+1是关于x的二次函数.则。的值是（） A.-3 B.2 c.3 D.-3或3 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，四边形ABCD中，AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上的动点（不与点B、C重合）， AE⊥ED,随着点E的运动，CD的长度也随之变化，已知AB=3,BC=4,设BE=x,CD=y,则y关 于x的函数图象大致是() D. 5.在平整的路面上，某型号汽车紧急制车后仍将滑行S(m),一般造有经验公式s= 290,其中v表示刹 车前汽车的速度（单位：kmh),下列说法正确的是(） A.S是V的一次函数 B.S与V是变量 C.v的取值为全体实数 D.S是自变量 6.在高中的有机化学中，存在一种CHy的有机物，其中y和n满足某种函数关系，如图i、ⅱ、i,观 察该类有机物的结构简式，由结构简式知y与n满足函数关系式() H H一C一H CHCH2CH:CH:CH2CHCH: H 公 iii A.y=2n B.y=2n+2 C.y=2n2 D.y=3n 7.如图，矩形ABCD的面积为10cm2,点E在AB边上，点F在CD边上，四边形AEFD是正方形，记线 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 段AD的长为xcm,AB的长为y,cm,正方形AEFD的面积为y,cm2,当x在一定范围内变化时， y1,y2随X的变化而变化，则y1,y2与X满足的函数关系分别是() D B A.一次函数关系，二次函数关系 B.反比例函数关系，一次函数关系 C.二次函数关系，一次函数关系 D.反比例函数关系，二次函数关系 8.如果函数 y=m-3X2-3m*2是二次函数，那么m的值一定是(） A.0 B.3 C.0或3 D.1或2 9.若y=2-mx2是二次函数，则m= 10.若y=(m-4)x2-5m6+mx是关于x的二次函数，则m= 11.在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传 染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为 12.两个正方形的周长之和是32cm: 若以两个正方形面积之 ycm2为因变量，其中一个正方形的边长 x(单位：Cm)为自变量，则它们之间的关系式是 13.已知y=m-4xm+2x-3x-1 (1)当m的值为时，它是y关于x的一次函数. (2)当m的值为时，它是y关于x的二次函数. 14.我们发现：6+3=3'V6+6+3=3'6+6+6+3=3'…, 6+6+6+.+V6+6+3=3,一般地，对于正整数a,b,如果满足 b+b+Vb+…+Vb+b+a=a时，称(a,b)为一组完美方根数对.如上面3,6)是一组完美方根 数对，则下面4个结论：①(4,12)是完美方根数对：②(9,91)是完美方根数对：③若(a,380)是完 美方根数对，则a=20:④若(x,y)是完美方根数对，则点P(x,y)在抛物线y=x-X上，其中正确的 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论有 (填序号) 15.若y=y1+y2,且y1与x+1成正比例，y2与x成正比例，当x=1时，y=0;当x=2时，y=5: (1)求y与x的函数关系式： 2)x=-2时，函数的值为多少？ 16.设圆的半径为r,面积为S. (1)试写出S与r之间的函数关系式： (2)画出这个函数的图象. 3 2 9元 S 4π 17.已知直角三角形两条直角边的长的和为10cm (1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积： (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为xcm,面积为Scm2,求S与x之间的函数关系式. 18.已知函数y=m2+mX-2m+m-3x+m2-11是关于x的二次函数. (1)求m的值： (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项. 【强化训练】 1.寒假九(1)班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的 总次数m与n的函数关系式可以表示为() A.m=号n(n+1)B.m=号n(n-1 C.m=In D.m=n(n-1) 2.用一根长60m的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积y(cm2)与它的一边长xam之间的函数关系式 为() A. y=x2-30x(0<x<30 B. y=-x2+30x(0≤x<30) C.y=-x2+30x(0<x<30) D.y=-X+30x{0<x≤30 6/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.定义运算“※”为：a※b=式，如：1※（-2)=-1×（-2)2=-4.则函数y=2※x的图象大致是 4.如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，PQ=6Cm,P,Q两点分别从点B,点M同时出发，并都以 1Cm/s的速度沿着B→C一D方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动.在P,Q两点运动的过 程中，与△OPQ的面积S随时间t变化的图象最接近的是() BP→MQ→C S S 18 18 18 12 12 12 10.5 10.5 A. 06712147 B.06812147 067 12147 D 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S 18 12 10- 06812147 5.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,AC+BD=10,点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和 CD的延长线交于点P,则△PMN面积的最大值等于 6.若函数图象上存在点a,b与点-b,-a(其中db0》则称该函数为“关联函数”，如函数 的图象上，存在25利科-5，-2.所以函数y称作“关联函数” ~10 (1)己知关于x的一次函数y=kx+2026k≠0是“关联函数”，则k的值为一， (2)若关于x的=次函数y=1x-3(m≠0是“关联函数”，则m的取值范围为 m 7.如图，在腰长为4的等腰△ABC中，∠C=90°，动点P从点A出发，沿A→C→B运动，到点B后停 止，将线段CP绕点C顺时针方向旋转90°到CQ,设点P的运动的路程为X,△BPQ面积的4倍为y. y B 8 6 012345678x (1)求y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： (2)在己给平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质： (3)根据(2)中图象，当y=8时，直接写出X的值. 8.已知抛物线y=mx+2mx-1. (1)若抛物线过点2，-1，求m的值： 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②抛物线经过AX1,y,BX,y,两点，若对于1<X<3且x,=2-m都有y>y,'求m的取值范围. 9/9 专题15 认识二次函数 1. 经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，发展抽象能力； 2. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，发展模型观念； 3. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式； 4. 会列二次函数表达式解决简单的实际问题。 1. 核心概念梳理： 二次函数的概念: 一般地，若两个变量 、 之间的对应关系可以表示成 （、、 是常数，）的形式，则称 是 的二次函数。 概念解析——三个核心要点: 要点 说明 ①整式形式 函数关系式必须是关于自变量的整式 ②最高次数为2 化简后，自变量的最高次数必须是2 ③二次项系数 这是必要条件，也是判断的关键 💡 理解关键：判断一个函数是否为二次函数，不能只看表面形式，必须先化简整理，再看是否满足以上三个条件。 二次函数的一般形式: 组成部分 名称 说明 二次项 为二次项系数， 是必要条件 一次项 为一次项系数（可以为0） 常数项 为常数项（可以为0） ⚠️ 特别注意：二次函数的一般形式中，只要求 ， 和 都可以为0。因此，、、 等都属于二次函数。 2. 从实际问题抽象出二次函数 ⭐ 核心过程: 常见实际问题模型: 问题类型 变量关系 二次函数形式 几何面积 矩形面积 = 长 × 宽 利润问题 总利润 = 单件利润 × 销售量 展开后含 项 增长问题 两次增长后的总量 展开后含 项 ⚠️ 易错提醒：实际问题中，自变量的取值往往受到实际意义的限制，不能随意取值。例如橙子树问题中， 必须满足 （保证每棵树结的橙子数不为负）。 3. 易错点总结: 易错点 说明与预防 ① 忽略 判断二次函数时，必须首先确认二次项系数不为0，这是最关键的判断依据 ② 未化简就判断 有些函数表面看含有 项，但化简后可能抵消，需先化简整理再判断 ③ 误认为 、 必须存在 二次函数的一般形式中，只要求 ，、 可以为0 ④ 忽略自变量的取值范围 实际问题中的二次函数，自变量的取值受实际意义限制，不能只从数学角度考虑 ⑤ 混淆二次函数与一元二次方程 二次函数是两个变量之间的关系（），一元二次方程是一个变量的方程（） 题型01列二次函数关系式 【典例】已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 【变式】一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 题型02二次函数的识别 【典例】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 【变式】下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 题型03根据二次函数的定义求参数 【典例】如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 【变式】函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 【巩固训练】 1．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 2．若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 3．若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 4．如图，四边形中，，，是上的动点（不与点B、C重合），，随着点的运动，的长度也随之变化，已知，，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据题意列出函数的关系式是解题的关键．先证明，得出，根据相似三角形的性质得出，代入得出，整理式子即可得出 ，这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下，即可得出答案． 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴， 在 中，， ∴ ， ∴， ∴， ∵，，设， ∴， 设 ， ∴， 整理得： ， 这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下， 故选：B 5．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行（），一般地有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：）．下列说法正确的是（    ） A．是的一次函数 B．与是变量 C．的取值为全体实数 D．是自变量 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念理解，熟悉掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念逐一判断即可． 【详解】A：一次函数的形式为，而属于二次函数，故A错误； B：变量是指可以取不同值的量，在公式中，的变化会导致变化，因此和均为变量，描述正确，故B正确； C：速度表示刹车前的实际速度，物理上不可能为负数，取值范围应为，而非全体实数，故C错误； D：自变量是主动变化的量，此处是自变量，是因变量，故D错误； 故选：B． 6．在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，由图ⅰ可知时，，将代入各项函数解析式中求解并判断，即可解题． 【详解】解：由图ⅰ可知时，， 时，，，， 选项A、C、D不是与的函数关系式，不符合题意； 时，， 选项B是与的函数关系式， 故选：B． 7．如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，分别根据题意得，即可得与满足的函数关系． 【详解】解：矩形的面积为，线段的长为，的长为， ， ， 正方形的面积为， ， 与满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系， 故选：． 8．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．先根据二次函数的定义可得，且，再解一元二次方程即可得． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， 解得或（舍去）， 故选：A． 9．若是二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 10．若是关于的二次函数，则_______． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的定义，解一元二次方程，掌握好二次函数的概念是解题关键． 根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项且其系数不为零，因此令指数部分等于2，解方程并验证系数是否非零． 【详解】解：由题意，函数是关于的二次函数，则的最高次数为 2，且二次项系数不为零． 令，得方程， 因式分解，得 ， 解得，或， 当时，二次项系数 ，不符合二次函数定义； 当时，二次项系数 ，符合要求． 故答案为：1． 11．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 12．两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 根据两个正方形的周长之和为，可求出另一个正方形的边长为 ，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式． 【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则其周长为， 由于两个正方形的周长之和为， 因此另一个正方形的周长为， 故另一个正方形的边长为， 第一个正方形的面积为， 第二个正方形的面积为， 所以两个正方形的面积之和，即． 故答案为：． 13．已知． （1）当的值为______时，它是关于的一次函数． （2）当的值为______时，它是关于的二次函数． 【答案】 或或或或或 【分析】（1）根据一次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值； （2）根据二次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值． 【详解】解：（1）要使该函数为关于的一次函数，则化简后含的最高次项的次数为，原式中存在项，因此必须使二次项系数之和为，且不存在更高次项， 故需满足，解得， 当时，原函数为，是一次函数， 故答案为：． （2）可分以下四种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得； ③当时，解得； ④当时，解得． 综上所述，当的值为4或或或或0或1时，它是关于的二次函数． 故答案为：或或或或或． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题关键是根据函数定义，分情况讨论各项的次数和系数的取值条件，确保函数符合一次或二次函数的形式． 14．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对，则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上，其中正确的结论有______（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据定义逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴是完美方根数对；故①正确； ∵ ， ∴不是完美方根数对；故②不正确； 若是完美方根数对，则， 即， 解得或， ∵是正整数， 则，故③正确； 若是完美方根数对，则， ∴, 即，故④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键． 15．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． 16．设圆的半径为r，面积为S． (1)试写出S与r之间的函数关系式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1). (2) 【分析】（1）由圆的面积公式写出函数关系式即可； （2）根据函数关系式，列表描点连线，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：由圆的面积公式可得，； （2）解：由（1）得， 列表可得， 描点连线，图象略 17．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 18．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 【强化训练】 1．寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】握手（无向）：只算1次，总次数根据互发信息（有向）问题：A发B、B发A是2次，无需除以2，得出结论． 【详解】解：名同学每人给人发信息，总次数． 2．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可． 【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x， 矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）． 故选：C． 【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键． 3．定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义运算“※” 为: a※b=，可得y=2※x的函数解析式,根据函数解析式,可得函数图象. 【详解】解:y=2※x=， 当x>0时,图象是y=对称轴右侧的部分; 当x＜0时,图象是y=对称轴左侧的部分， 所以C选项是正确的. 【点睛】本题考查了二次函数的图象,利用定义运算“※”为: a※b= 得出分段函数是解题关键. 4．如图，在矩形中，M是的中点，，P，Q两点分别从点B，点M同时出发，并都以的速度沿着方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，二次函数的图象，矩形的性质，求二次函数关系式， 先根据矩形的性质，再结合图象可知，再分三种情况求出关系式，然后结合关系式可得图象． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，点M是的中点， ∴，， ∴． 当点P与点B重合时，此时； 当点P与点M重合时，运动时间是，则， ∴， 解得． 当时，即线段在上运动时， ； 当时，即线段在，上运动时， 可知，则，， ∴ ； ， 抛物线开口向上，当时，； 当时，即线段在上运动时， ． 所以图B符合题意 故选：B． 5．如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形面积问题，根据题意列二次函数求最值，先根据中位线问题得到三角形面积的关系，然后根据四边形面积列出二次函数，即可求得最值，准确找到三角形面积与四边形面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 又点M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴ ， 设，边长， ∵， 则， ∵， ∴， 则， 当时，取得最大值为， 故答案为：． 6．若函数图象上存在点与点（其中 ，则称该函数为“关联函数”，如函数 的图象上，存在点和，所以函数 称作“关联函数”． （1）已知关于x的一次函数是“关联函数”，则k的值为_____． （2）若关于x的二次函数 是“关联函数”，则m的取值范围为_____． 【答案】 1 或 【分析】（1）根据“关联函数”的定义求解即可； （2）方法同（1）得，进而得m的取值范围． 【详解】解：（1）把点与点代入得 由得 ∵， ∴, ∴； （2） 把点与点代入 得： ， 由得， ， 即， 把③代入①得： ， 整理得： ， 由得， ∴ ∴ ∵， ∴， 又，代入可知： ， ∴ ∴m的取值范围为或． 7．如图，在腰长为的等腰中，，动点从点出发，沿运动，到点后停止，将线段绕点顺时针方向旋转到，设点的运动的路程为，面积的倍为． (1)求关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在已给平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据（2）中图象，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 解：函数的图象如图所示；整个函数图象关于直线对称； (3)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、图形旋转的性质、动点问题的分段函数应用，根据点的运动位置进行分段讨论，利用旋转全等转化线段长度并准确计算面积是解题的关键 （1）由点沿运动，分点在上和点在上两段，分别用含的式子表示的底和高，进而根据三角形面积公式计算出，由面积的倍为即可得出； （2）取点、、（顶点）、、，取点、、（顶点）、、，用平滑的曲线顺次连接即得函数的图象；由图可得，整个函数图象关于直线对称； （3）观察函数图象即可得出． 【详解】（1）解：分两种情况讨论： ①如图，当点在上时， 由题意得，则， 由旋转得， ∴， ∴， ∵面积的倍为， ∴； ②如图，当点在上时， 由题意得，则， ∴， 由旋转得， ∴， ∵面积的倍为， ∴； ∴关于的函数表达式为； （2）略 （3）解：由图可知，当时，或． 8．已知抛物线． (1)若抛物线过点，求的值； (2)抛物线经过，两点，若对于，且都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线过点，得且，求解即可； （2）当时，则，即可求解；当时，当时；当即时，只要满足即可；当即时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴且， 解得：或（舍去）， 即； （2）∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∴抛物线开口向上，点与关于直线对称， ∵，在抛物线上，且对于，都有， ∴， 解得：， ∴； 当时，抛物线开口向下， ∵，在抛物线上，且对于，都有， 又∵， ∴在对称轴的右侧； 当，即， 此时，即， ∵， ∴与对称轴的距离小于与对称轴的距离， ∴， 则； 当即时，则， 解得：； 此时不合题意； 当即时，， 解得：； 此时不合题意； 综上，； 综上所述，的取值范围或． 【点睛】本题考查二次函数的定义，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $