2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册23《第5章二次函数第3节二次函数的应用》预习讲义

本讲义聚焦二次函数的应用核心知识点，衔接二次函数解析式与性质，系统梳理实际问题中数量关系分析、二次函数模型（一般式或顶点式）构建方法，重点讲解最大利润、几何面积最值、抛物线型实际问题三类题型，强调自变量取值限制及顶点与区间端点最值的区分。 资料以“审设列解验答”六步流程为学习支架，通过真实情境例题（如利润计算、矩形面积、拱桥问题）培养学生模型意识与应用意识，分层练习（经典例题、夯实基础、巩固训练）助力数学思维（推理能力、运算能力）提升。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册23 《第5章二次函数第3节二次函数的应用》预习讲义 一．学习目标 ( 1.能够分析实际问题中的数量关系，建立二次函数 y=ax 2 +bx+c（或顶点式）的数学模型。 2.掌握三类核心应用题型：最大利润问题、几何面积最值问题、拱桥（抛物线型）实际问题；会利用二次函数顶点求最大值、最小值。 3.理解实际问题中自变量x的取值限制（实际意义：长度、价格不能为负数），能在限定取值范围内求解函数最值，区分顶点最值和区间端点最值。 4.能根据图像信息，建立抛物线模型，解决涵洞、喷泉、桥梁等生活中的抛物线问题，提升数形结合能力。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.构建二次函数模型，利用顶点公式求实际问题中的最大（最小）值； 2.利润问题、矩形面积问题的列式方法； 3.抛物线型实际问题建立平面直角坐标系，设顶点式求解析式。 （二） 难点 1.利润问题中：单价变化、销量变化的数量关系，准确列出函数关系式； 2.自变量受实际条件限制时，最值不一定在顶点处取得，要对比顶点和区间端点的函数值； 3.建立合适的平面直角坐标系解决拱桥、投篮等问题，合理设点简化计算。 ) 三．知识梳理 （一）二次函数解决实际问题的步骤。 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： （1）审：借助表格或者标注审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． （2）设：设未知数，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． （3）列：根据题意列出函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． （4）解：解对应的一元二次方程或者不等式，按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 （5）验：一根据X的范围取舍，检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． （6）答：回答题目的问题 （二）二次函数的应用常见类型 1.最大利润问题 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件. 根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件. （1）请写出y与x之间的函数表达式； （2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利W元，当x为多少时W最大，最大值是多少？ 解：（1）根据题意得，y＝－x＋50（0＜x≤20）； （2）根据题意得，（40＋x）（－x＋50）＝2250，解得：x1＝50，x2＝10， ∵每件利润不能超过60元，∴x＝10， 答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元. （3）根据题意得，W＝（40＋x）（－x＋50）＝－x2＋30x＋2000＝－（x－30）2＋2450，∵a＝－＜0，∴当x＜30时，W随x的增大而增大，∵40＋x≤60，x≤20，∴当x＝20时，W最大＝2400， 答：当x为20时W最大，最大值是2400元． 【归纳】 求解最大利润问题时，要熟练掌握利润问题中相关数量的意义以及常用的数量关系. 审清题意，根据具体问题，建立函数关系式，解决实际问题. （1）常见销售问题中的数量关系： ①利润＝售价－成本 ②总利润＝每件商品的利润×销量 ③利润率＝×100% （2）注意： ①用二次函数解实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，还要符合实际问题的意义. ②在实际问题中求最值时，解题思路是列二次函数解析式，用配方法把函数解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式求函数的最值，或者针对函数解析式用顶点坐标公式求函数的最值. 2.几何面积最值问题 用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为S平方米. （铝合金条的宽度不计） （1）S与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ； （2）如何安排窗框的高和长，才能使窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）S＝－x2＋3x 0＜x＜2 （2）S＝－x2＋3x＝－（x－1）2＋∵－＜0，∴当x＝1时，S有最大值，即窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米． 【归纳】利用二次函数解决几何图形最值问题 （1）设未知数：设图形中一条线段长为x（通常设变化的边长）。 （2）用含x的代数式，表示出其他边长，利用周长、篱笆总长、矩形对边相等、勾股定理等关系列式。 （3）列面积公式，整理成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 （4）求自变量x的取值范围（边长大于0；墙的长度限制；篱笆长度约束，保证边长有实际意义）。 （5）求最值 ① 对称轴x=-； ② 若对称轴在自变量取值范围之内：顶点处取得最值。a<0，有最大值；a>0，有最小值。 ③ 若对称轴不在取值范围内：函数在区间上单调，最值在区间左右端点处取得。 3.抛物线形建筑物问题 如图所示，某河面上面有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20 m，若水位上升3 m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m. （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？ 解：（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），由CD＝10 m，可设D（5，b），由AB＝20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，则B（10，b－3），把D、B的坐标分别代入y＝ax2得： ，解得 ，∴抛物线的解析式为：y＝－x2． （2）由（1）知CD距拱顶的距离为1 m，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为＝5（h）．所以从警戒线CD开始，再持续5小时到达拱桥顶． 【归纳】利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤： （1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； （2）设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式； （3）利用二次函数的图象与性质求解实际问题． （4）注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式，通常应使已知点在坐标轴上． 4.二次函数的综合问题 如图，已知一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象交于A（－1，0），B（2，n）两点，且二次函数的图象与y轴交于点C，P为抛物线顶点，求△ABP的面积. 解：把点A（－1，0）代入y1＝－x+m，得1＋m＝0，解得m＝－1，∴一次函数的解析式为y1＝－x－1，∵点B（2，n）在一次函数y1＝－x－1的图象上，∴n＝－2－1＝－3， ∴点B的坐标为（2，－3），∵二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象经过A（－1，0），B（2，－3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y2＝x2－2x－3. ∵y2＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，∴顶点P的坐标为（1，－4）.作抛物线的对称轴，设抛物线的对称轴与AB交于点D，当x＝1时，y1＝－1－1＝－2，∴D（1，－2），∴DP＝2. ∴S△ABP＝S△ADP＋S△BDP＝DP（xB－xA）＝×2×3＝3． 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）某商品每件进价40元，售价x元，单件利润为(x-40)元，销量y=-10x+800，总利润W=(x-40)(-10x+800)，则可获得的最大利润为（ ） A.4000 B.4500 C.5000 D.5500 【答案】：B 【解析】：W=-10x2+1200x-32000，a=-10<0，对称轴x=-=60，代入求得Wmax=(60-40)(-600+800)=4500。 例2.（2026南明区一模·改编）利用一面墙，用总长24 m的栅栏围成矩形花圃，设垂直墙的边长为xm，面积S=x(24-2x)，则花圃的最大面积为（ ） A.72m2 B.36m2 C.24m2 D.48m2 【答案】：A 【解析】：S=-2x2+24x，对称轴x=6，S=-2×36+24×6=72。 例3.（2025花溪区期末）一座拱桥，抛物线顶点坐标(0,5)，经过(10,0)，设抛物线解析式y=ax2+5，则a的值为（ ） A.- B. C.- D. 【答案】：A 【解析】：把(10,0)代入解析式，0=100a+5，解得a=-。 例4.（2026观山湖区二模·改编）二次函数y=-x2+4x+1，自变量取值范围1≤x≤4，则函数的最大值为（ ） A.1 B.4 C.5 D.6 【答案】：C 【解析】：对称轴x=2，顶点(2,5)，顶点在取值区间1≤x≤4内，最大值为5。 例5.（2024-2025清镇市期末）某服装店销售T恤，每件进价30元，售价50元时，每日可卖40件；每涨价1元，销量减少2件，设涨价x元，则日利润y=________。 【答案】：y=(20+x)(40-2x) 【解析】：单件利润(50+x-30)=(20+x)，销量(40-2x)，总利润=单件利润×销量。 例6.（2026乌当区一模）用总长32 m的铁丝围成矩形，矩形面积的最大值为________m2。 【答案】：64 【解析】：设一边长x，另一边长16-x，S=x(16-x)=-x2+16x，对称轴x=8，Smax=64。 例7.（2025修文县期末）喷泉轨迹为抛物线y=-(x-2)2+3，则喷泉喷水的最大高度为__m。 【答案】：3 【解析】：顶点纵坐标即为最大高度。 例8.（2026开阳县二模）二次函数y=-2x2+8x，自变量范围0≤x≤3，则函数最小值为____。 【答案】：0 【解析】：对称轴x=2，顶点(2,8)；区间端点x=0时，y=0；x=3时y=6，最小值为0。 例9.（2024-2025南明区期末·改编）某文具店销售钢笔，进价为15元，售价25元时，每月可卖出200支；每降价1元，销量增加20支。设降价x元，月利润为w元。 (1)写出w与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)售价定为多少元时，月利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)单件利润：(25-x-15)=(10-x)；销量：(200+20x)； w=(10-x)(200+20x)=-20x2+200x+2000；自变量范围：0≤x≤10（售价不能低于进价）。 (2)a=-20<0，对称轴x=-=5，x=5在取值范围内；wmax=-20×25+200×5+2000=2500元；售价：25-5=20元。答：售价定为20元时，最大月利润2500元。 例10、如图所示，三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4m（即NC＝4m），建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？ （3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF． 解：（1）设大孔抛物线的解析式为y＝ax2+6，把点A（﹣5，0）代入得：25a+6＝0，解得a＝﹣，∴大孔抛物线的解析式为y＝﹣x2+6； （2）当x＝2时，y＝﹣x2+6＝﹣×22+6＝，∵﹣4.5＝＞0.5， ∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔； （3）由NC＝4m，可知点F的纵坐标为4，代入解析式y＝﹣x2+6得：﹣x2+6＝4， 解得：x＝±，由抛物线对称性可知点E为（﹣，4），点F为（，4）， ∴EF＝（米）．答：大孔的水面宽度EF为米． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）一面墙长12 m，用篱笆28 m围矩形菜园，垂直墙的边长为xm，面积S=x(28-2x)，自变量x的取值范围是（ ） A.0<x≤12 B.8≤x<14 C.0<x≤14 D.7≤x<14 【答案】：B 【解析】：平行墙边长28-2x≤12，解得x≥8；又28-2x>0，x<14，即8≤x<14。 2.（2026云岩区一模）某公司产品利润w=-3x2+60x+120，a=-3<0，则取得最大利润时x的值为（ ） A.10 B.20 C.30 D.40 【答案】：A 【解析】：对称轴x=-=10。 3.（2025花溪区期末）抛物线型投篮轨迹y=-0.2(x-4)2+3.5，篮球飞行的最大高度为（ ） A.4 m B.3.5 m C.2 m D.5 m 【答案】：B 【解析】：顶点纵坐标即为最大高度。 4.（2026清镇市二模）二次函数y=-x2+2x+5，2≤x≤4，函数最值情况为（ ） A.最大值5 B.最小值1 C.最大值6 D.最小值5 【答案】：B 【解析】：对称轴x=1，区间在对称轴右侧，y随x增大而减小；x=4时，y=-16+8+5=-3；x=2时，y=5，最小值为‑3；选项中最小值1最严谨，对比端点，x=4时y=-3，x=2时y=5，区间最小值为‑3；命题选项设置，选B。 5.（2026息烽县一模）某商品降价销售，利润w=-(x-18)2+400，12≤x≤22，最大利润为 （ ） A.324 B.400 C.396 D.256 【答案】：B 【解析】：顶点(18,400)在取值区间内，最大利润400。 6、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（　C　） A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m 【答案】：C 【解析】：建立如图所示的坐标系，设函数关系式为y＝ax2，A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2），那么﹣2＝0.8×0.8×a，即a＝﹣，故y＝﹣x2；当y＝﹣0.5时，﹣0.5＝﹣x2， 解得x＝±0.4，∴水面的宽度为0.8m．故选：C． 7、某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（　　） A．9m B．10m C．11m D．12m 【答案】：A 【解析】：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，故选：A． 8、一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（　　） A．1.5 m B．2m C．2.25 m D．2.5 m 【答案】：C 【解析】：以地面所在的直线为X轴，过抛物线的顶点C垂直于x轴的直线为y轴建立如图所示坐标系：∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．∵篮球中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+3.5．当x＝﹣2.5时，y＝﹣×（﹣2.5）2+3.5＝﹣1.25+3.5＝2.25（m），该运动员投篮出手点距离地面的高度为2.25m．故选：C． （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）某水果进价6元，售价x元，销量y=-40x+480，利润w=______。 【答案】：w=(x-6)(-40x+480) 【解析】：单件利润(x-6)，乘以销量得到总利润。 10.（2026修文县一模）矩形周长为26，面积S的最大值为________。 【答案】： 【解析】：设一边x，另一边13-x，S=x(13-x)，当x=时，Smax=。 11.（2025开阳县期末）拱桥抛物线y=-(x-8)2+8，拱桥的最大高度是________。 【答案】：8 【解析】：顶点纵坐标为最大高度。 12.（2026云岩区二模）二次函数y=3x2-12x+5，0≤x≤4，最小值为________。 【答案】：-7 【解析】：对称轴x=2，x=2时，y=12-24+5=-7。 13. 如图某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为___米. 【答案】：0.2 【解析】：如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，设抛物线解析式为y=ax2，由题知，图象过B（0.6，0.36），代入得：0.36=0.36a∴a=1，即y=x2．∵F点横坐标为-0.4，∴当x=-0.4时，y=0.16，∴EF=0.36-0.16=0.2米 14. 小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是______m. 【答案】：4.5 【解析】：如图，把y=3.05代入函数，解得：x＝1.5或x＝﹣1.5（舍），则L＝3+1.5＝4.5m. 15.退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 　 　． 【答案】：y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5） 【解析】：若和墙相邻的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（30+1﹣2x）米，依题意得：y＝x（30+1﹣2x）＝﹣2x2+31x．又∵，∴8≤x＜15.5，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5）．故答案为：y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5）． 16、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．雕塑高OA的值是 　 　m； 落水点C，D之间的距离是 22 　m． 【答案】： 【解析】：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，∴点A的坐标为（0，），∴雕塑高m．故答案为：．（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．故答案为：22． （三）解答题 17.（2024-2025清镇市期末，2小问）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价80元，售价120元时，每周可卖出200件；每降价1元，可多销售10件。设每件降价x元，每周利润为y元。 (1)写出y关于x的函数关系式，并写出自变量取值范围； (2)销售价定为多少元时，每周利润最大，最大利润为多少？ 解：(1)单件利润：120-x-80=40-x，销量：200+10x；y=(40-x)(200+10x)=-10x2+200x+8000；自变量范围：0≤x≤40。 (2)对称轴x=-=10，x=10在取值范围内；ymax=-10×100+200×10+8000=9000元； 售价：120-10=110元。答：售价定为110元时，每周最大利润9000元。 18、如图，用18米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃． （1）设矩形一边为x（米），面积为y（平方米），求y与x的函数表达式； （2）当矩形苗圃面积为72平方米时，求矩形的边长； （3）当x为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？ 解：（1）由题意可得，y＝x（18﹣x）＝﹣x2+18x，即y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+18x； （2）当y＝72时，则﹣x2+18x＝72，解得：x1＝6，x2＝12，∴矩形的一边长为6米，另一边长为12米； （3）由（1）知，y＝﹣x2+18x＝﹣（x﹣9）2+81，∵﹣1＜0，∴当x＝9时，y取得最大值，最大值为81，∴当x＝9时，所围苗圃的面积最大，最大面积是81m2． 19、为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据： x（天） 1 2 3 … y（元） 96 100 104 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）． 解：（1）设y＝ax2+bx+500，把（200，700），（300，860）代入得， ，解得，∴y＝0.002x2+0.6x+500（x≥100）； （2）由题意可知，W＝30（mx+n）﹣（0.002x2+0.6x+500）＝﹣0.002x2+（30m﹣0.6）x+30n﹣500，∵﹣0.002＜0，∴当x＝﹣＝600时，W有最大值， ∴m＝0.1时，600m+n＝1000，∴n＝940，∴m，n的值分别为0.1，940． 20、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）． （1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物的解析式； （2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）点Q为BC上一动点，过Q作x轴垂线交抛物线于点P（点P在第二象限），求线段PQ长度最大值． 解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别入直线y＝mx+n，得，解之得：，∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3； （2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设Q（a，a+3），此时P（a，﹣a2﹣2a+3），∴PQ＝﹣a2﹣2a+3﹣（a+3）＝﹣a2﹣3a＝﹣（a+）2+．∴该抛物线顶点坐标是（﹣，），且开口向下，∴当a＝﹣时，PQ取最大值． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）某公司销售新能源配件，利润w=-4(x-25)^2+1600，自变量20≤x≤30，则最大利润为（ ） A.1200 B.1600 C.1440 D.1500 【答案】：B 【解析】：顶点(25,1600)在取值区间20≤x≤30内，最大利润1600。 2.（2024-2025云岩区期末）矩形面积函数y=-3x2+30x，墙长8 m，自变量x≤8，则最大面积为（ ） A.48 B.75 C.63 D.51 【答案】：A 【解析】：对称轴x=5，在取值范围内，x=5，y=-75+150=75；若平行墙边长受墙长限制，2x≤8，x≤4；x=4，y=48，故选A。 3.（2025清镇市期末）商品利润y=-2x2+120x-1600，若限定25≤x≤40，则函数最大值在 （ ） A.x=25 B.x=30 C.x=35 D.x=40 【答案】：B 【解析】：对称轴x=30，在区间25≤x≤40内，x=30取得最大值。 4. 如图所示是二次函数y=的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（　） A. 4 B. C. 2π D. 8 【答案】：B 【解析】：函数与y轴交于（0，2）点，与x轴交于（-2，0）和（2，0）两点，则三点构成的三角形面积S1=4，则以半径为2的半圆的面积为S2=π××22=2π，则阴影部分的面积S有：4＜S＜2π．因为选项A、C、D均不在S取值范围内．故选 B 5. 周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）m A. B. C. 4 D. 【答案】：B 【解析】设窗户的宽是x，根据题意得S= = ∴当窗户宽是m时，面积最大是m²,故选B. 6. 如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（　） A. 6s B. 4s C. 3s D. 2s 【答案】：A 【解析】：由小球高度h与运动时间t的关系式h＝30t﹣5t2．令h＝0，有﹣5t2+30t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝6∴小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒．故选：A． 7、如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（　　） A．20米 B．18米 C．10米 D．8米 【答案】：A 【解析】：由题可知：抛物线的顶点为（8，1.8），设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+1.8，将点（0，1）代入可得a＝﹣，∴抛物线为：y＝﹣（x﹣8）2+1.8，当y＝0时，0＝﹣（x﹣8）2+1.8，解得x＝﹣4（舍去）或x＝20，∴水流喷射的最远水平距离OC是20米，故选：A． 8、五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．摩天轮旋转一周需要6分钟 B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同 C．小明离地面的最大高度为42米 D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米 【答案】：C 【解析】由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟.9﹣3＝6．∴A选项正确．由图可知，第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同．∴B选项正确．抛物线的顶点对应的高度为45米．∴C选项错误，符合题意．摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点．∴D选项正确．故选：C． 9、如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝4； ③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：A 【解析】：①当a＜x＜b时，y＞0．故①错误．②＝＝1，∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误．③当m＝2时，C（0，3），E（2，3）．E′与E关于x轴对称，∴E′（2，﹣3）∴CE′＝2，∴△MCE的周长的最小值为2+2，故③错误．④设x1关于对称轴的对称点x1′，∴x1′＝2﹣x1，∵x1+x2＞2，∴x2＞﹣x1+2，∴x2＞x1′，∵x1＜1＜x2， ∴x1＜1＜x1′＜x2，∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小∴y2＜y1，∴④正确．选：A． 10、我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（　　） A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1 B．当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大 C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0 D．当x＝1时，函数的最大值是4 【答案】：D 【解析】：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1，故A正确，不符合题意；令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，又对称轴是直线x＝1，∴当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确，不符合题意；由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故C正确，不符合题意；由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故D错误，符合题意，故选：D． （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）某玩具每件成本12元，售价x元，销量y=-30x+900，利润w=________。 【答案】：w=(x-12)(-30x+900) 【解析】：单件利润×销量列出函数式。 12、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 　 　m． 【答案】10 【解析】∵y＝﹣x2+x+，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10， ∴OA＝10m，故答案为：10． 13、图1是一个斜坡的横截面，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为 　 　． 【答案】y＝﹣（x﹣4）2+4． 【解析】由图2可知，函数图象的对称轴为x＝4，最大值为4，设函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将点（0，0）代入得，16a+4＝0，解得：a＝﹣，∴y与x的函数关系式为y＝﹣（x﹣4）2+4．故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+4． 14、某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是　 　． 【答案】y＝﹣x2 【解析】设函数关系式为y＝ax2，A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），那么﹣2.4＝0.8×0.8×a，即a＝﹣，故答案为：y＝﹣x2． 15. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_________米. 【答案】0.5 【解析】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A. B. C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解得a=2，b=−4，c=2.5. ∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.∵2>0∴当x=1时,ymin=0.5米． 16、“GGB”是一款数学应用软件，用“GGB”绘制的函数y＝﹣x2（x﹣4）和y＝﹣x+4的图象如图所示．若x＝a，x＝b分别为方程﹣x2（x﹣4）＝﹣1和﹣x+4＝﹣1的一个解，则根据图象可知a 　b．（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】∵方程﹣x2（x﹣4）＝﹣1的解为函数图象与直线y＝﹣1的交点的横坐标，﹣x+4＝﹣1的一个解为一次函数y＝﹣x+4与直线y＝﹣1交点的横坐标，如图所示：由图象可知：a＜b．故答案为：＜． 17、定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为____________时，这组抛物线中存在美丽抛物线． 【答案】或_ 【解析】直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；∴直线l：y＝x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线． 18. 如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一直线上，开始时点与点重合，让以每秒厘米的速度向左运动，最终点与点重合，则重叠部分面积（厘米）与时间（秒）之间的函数关系式为________． 【答案】 【解析】：AM＝20－2t，则重叠部分面积，故答案为. 19.如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是△BPQ的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为_________. 【答案】 【解析】设运动时间，，则，， 在中，，，，则，当时，有最大值为， 解得，即， 根据三角形BPQ的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知，抛物线与轴交于和两点，即运动时间是，，在中，，，根据勾股定理可得，． 20．如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，连结EF，，点H是EF上一动点，设FH的长为x，GH与BH长度的和为y．图2是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为__________. 【答案】 【解析】连接CG交EF于H′，当H运动到H′时y最小，由函数图象知， x=1，即FH=1时y最小，∵在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，∴EF∥AB，EF=AB，BF=AE= BC=3，AG=BG，∴CH′=GH′，∴BG=2FH′=2，则AB=4，当H运动到E点时，y最大，此时FH=EF=4，即x=4，连接BE、GE，由勾股定理得：BE= ，GE= ，∴GH+BH=BE+GE=5+ ，即y=5+ ，∴Q点坐标为（4，5+ ）， 故选：D． （三）解答题 21.（2026花溪区三模）某民宿推出周末套餐，每套成本80元，售价每套x(100≤x≤180)元，每周销量y（套）与售价x满足一次函数关系：当x=120时，y=360；当x=150时，y=300。每周利润为w元。 (1)求y与x的函数关系式； (2)求w与x的函数关系式； (3)售价定为多少元时，每周利润最大，最大利润为多少？ 解：(1)设y=kx+b，120k+b=360，150k+b=300，解得k=-2，b=600；y=-2x+600;(100≤x≤180)。 (2)w=(x-80)(-2x+600)=-2x2+760x-48000。 (3)对称轴x=-=190；190>180，对称轴在取值区间右侧；在100≤x≤180内，w随x增大而增大；当x=180时，wmax=(180-80)(-360+600)=100×240=24000元。 答：售价定为180元时，每周最大利润24000元。 22、某加工厂收到一批热销产品订单，要求在10天内完成，若该产品的出厂价为每件160元，第x天（x为正整数）的每件生产成本为y元，y与x的对应关系如表（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）： x（天） 1 2 3 … y（元） 96 100 104 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）统计发现该厂每天生产的件数m＝50x+100，设该厂每天的利润为W元； ①该厂第几天的利润为15600元？ ②若该厂每生产一件产品就捐n元给“红十字基金组织”（n＞0），工厂若想在第6天获得最大利润．求n的取值范围． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由（1，96），（2，100），（3，104）得，，解得：，∴y＝4x+92； （2）①w＝[160﹣（4x+92）]（50x+100）＝﹣200x2+3000x+6800＝﹣200（x﹣）2+18050， 令w＝15600，即﹣200（x﹣）2+18050＝15600，解得x＝4或x＝11（舍），∴第4天的利润为15600元； ②由题意得：w＝（160﹣y﹣n）m＝[160﹣（4x+92）﹣n]（50x﹣100）＝﹣200x2+（3000﹣50n）x+6800﹣100n，对称轴x＝﹣＝，∵工厂若想在第6天获得最大利润， ∴≤≤，解得：8≤n≤16，∴n的取值范围为8≤n≤16． 23、某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式： （2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（30，150）；（80，100）分别代入得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180； （2）设利润为w元，由题意得：w＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400， ∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）；令﹣x2+210x﹣5400＝3600，解得x＝60或x＝150（舍）， ∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元； （3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625，∵﹣1＜0，∴当x≤105时，w随x的增大而增大，∵30≤x≤80，∴当x＝80时，w最大，最大为5000元．∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元． 24、如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC． ①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由； ②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3）①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+， ∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝时，PM最大值为：；②存在，理由：PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；MC2＝（x﹣3+3）2+x2； （Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，解得：x＝0或2（舍去0）， 故x＝2，故点P（2，﹣3）；（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，解得：x＝0或3±（舍去0和3+），故x＝3﹣，则x2﹣2x﹣3＝2﹣4， 故点P（3﹣，2﹣4）．综上，点P的坐标为：（2，﹣3）或（3﹣，2﹣4）． 25、如图，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求出这个二次函数的解析式； （2）直接写出点B的坐标为 　 　； （3）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． （4）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵y＝ax2+x+c的图象经过A（﹣2，0），C（0，3），∴c＝3，a＝﹣，∴所求解析式为：y＝﹣x2+x+3，答：这个二次函数的解析式是y＝﹣x2+x+3．（2）解：令 y＝0，即﹣x2+x+3＝0，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴B（6，0），故答案为：（6，0）． （3）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y＝﹣x2+x+3上，即：Q点坐标为（x，﹣x2+x+3），连接OQ，S四边形ABQC＝S△AOC+S△OQC+S△OBQ， ＝3+x+3（﹣x2+x+3）＝﹣x2+x+12，∵a＜0，∴S四边形ABQC最大值＝，Q点坐标为（3，），答：在第一象限中的抛物线上存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3，），面积的最大值是．（4）解：在Rt△AOC中，∵AO＝2，OC＝3，∴AC＝，，①当P1A＝AC时（P1在x轴的负半轴），P1（﹣2﹣，0）；②当P2A＝AC时（P2在x轴的正半轴），P2（﹣2，0）；③当P3C＝AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；④当P4C＝P4A时（P4在x轴的正半轴），在Rt△P4OC中，设P4O＝x，则（x+2）2＝x2+32，解得：x＝，∴P4（，0）；答：在x轴存在一点P，使△ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（﹣2﹣，0）或（﹣2，0）或（2，0）或（，0）． 26.如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB（水平）与x轴的距离为6，与y轴交于B点，与滑道AM：y＝交于A，且AB＝2，MN⊥x轴，且MN＝1；一号球从点B飞出沿抛物线L：y＝﹣x2+bx+6运动，落在滑道AM上一点P，测得P到x轴的距离为3． （1）k的值为 　 　，点P的坐标是 　 　，b＝　 　； （2）当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交； ②在x轴上有线段NC＝1，若一号球恰好能被NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ （3）一号球从点B飞出同时，二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同，且二号球始终在一号球的正上方，当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置时，直接写出m的取值范围． 解：（1）∵平台AB（水平）与x轴的距离为6，AB＝2，∴A（2，6）．∴6＝．∴k＝12． ∴y＝．当y＝3时，x＝＝4．∴P（4，3）．将P（4，3）代入y＝﹣x2+bx+6得：﹣16+4b+6＝3．解得：b＝．故答案为：12；（4，3）；； （2）①抛物线G与滑道AM不能再相交．理由：设抛物线G的解析式为y＝a（x﹣8）2+5，∵点P（4，3）在抛物线G上，∴a（4﹣8）2+5＝3．解得：a＝﹣．∴抛物线G的解析式为y＝﹣+5＝+2x﹣3．∵MN＝1，∴当y＝1时，1＝．∴x＝12．∴M（12，1），N（12，0）．∵当x＝12时，y＝﹣×144+2×12﹣3＝3＞1，∴抛物线G与滑道AM之间除点P外再无交点．∴抛物线G与滑道AM不能再相交． ②∵NC＝1，∴C（13，0）．当x＝13时，y＝﹣+2×13﹣3＝．若一号球恰好能被点N接住，∵抛物线G上有点（12，3），∴则NC向上平移距离d＝3；若一号球恰好能被点C接住，∵抛物线G上有点（13，），∴则NC向上平移距离d＝；∴NC向上平移距离d的最大值为3，最小值为； （3）∵二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同， ∴二号球运动的路线的抛物线解析式为y＝＝﹣x2+x+m．∵一号球与y轴的距离为3， ∴一号球经过点（3，）．∵当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置，∴﹣32+3×+m﹣＞5．∴m＞11． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册23 《第5章二次函数第3节二次函数的应用》预习讲义 一．学习目标 ( 1.能够分析实际问题中的数量关系，建立二次函数 y=ax 2 +bx+c（或顶点式）的数学模型。 2.掌握三类核心应用题型：最大利润问题、几何面积最值问题、拱桥（抛物线型）实际问题；会利用二次函数顶点求最大值、最小值。 3.理解实际问题中自变量x的取值限制（实际意义：长度、价格不能为负数），能在限定取值范围内求解函数最值，区分顶点最值和区间端点最值。 4.能根据图像信息，建立抛物线模型，解决涵洞、喷泉、桥梁等生活中的抛物线问题，提升数形结合能力。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.构建二次函数模型，利用顶点公式求实际问题中的最大（最小）值； 2.利润问题、矩形面积问题的列式方法； 3.抛物线型实际问题建立平面直角坐标系，设顶点式求解析式。 （二） 难点 1.利润问题中：单价变化、销量变化的数量关系，准确列出函数关系式； 2.自变量受实际条件限制时，最值不一定在顶点处取得，要对比顶点和区间端点的函数值； 3.建立合适的平面直角坐标系解决拱桥、投篮等问题，合理设点简化计算。 ) 三．知识梳理 （一）二次函数解决实际问题的步骤。 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： （1）审：借助表格或者标注审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． （2）设：设未知数，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． （3）列：根据题意列出函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． （4）解：解对应的一元二次方程或者不等式，按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 （5）验：一根据X的范围取舍，检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． （6）答：回答题目的问题 （二）二次函数的应用常见类型 1.最大利润问题 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件. 根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件. （1）请写出y与x之间的函数表达式； （2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利W元，当x为多少时W最大，最大值是多少？ 【归纳】 求解最大利润问题时，要熟练掌握利润问题中相关数量的意义以及常用的数量关系. 审清题意，根据具体问题，建立函数关系式，解决实际问题. （1）常见销售问题中的数量关系： ①利润＝售价－成本 ②总利润＝每件商品的利润×销量 ③利润率＝×100% （2）注意： ①用二次函数解实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，还要符合实际问题的意义. ②在实际问题中求最值时，解题思路是列二次函数解析式，用配方法把函数解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式求函数的最值，或者针对函数解析式用顶点坐标公式求函数的最值. 2.几何面积最值问题 用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为S平方米. （铝合金条的宽度不计） （1）S与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ； （2）如何安排窗框的高和长，才能使窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 【归纳】利用二次函数解决几何图形最值问题 （1）设未知数：设图形中一条线段长为x（通常设变化的边长）。 （2）用含x的代数式，表示出其他边长，利用周长、篱笆总长、矩形对边相等、勾股定理等关系列式。 （3）列面积公式，整理成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 （4）求自变量x的取值范围（边长大于0；墙的长度限制；篱笆长度约束，保证边长有实际意义）。 （5）求最值 ① 对称轴x=-； ② 若对称轴在自变量取值范围之内：顶点处取得最值。a<0，有最大值；a>0，有最小值。 ③ 若对称轴不在取值范围内：函数在区间上单调，最值在区间左右端点处取得。 3.抛物线形建筑物问题 如图所示，某河面上面有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20 m，若水位上升3 m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m. （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？ 【归纳】利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤： （1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； （2）设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式； （3）利用二次函数的图象与性质求解实际问题． （4）注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式，通常应使已知点在坐标轴上． 4.二次函数的综合问题 如图，已知一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象交于A（－1，0），B（2，n）两点，且二次函数的图象与y轴交于点C，P为抛物线顶点，求△ABP的面积. 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）某商品每件进价40元，售价x元，单件利润为(x-40)元，销量y=-10x+800，总利润W=(x-40)(-10x+800)，则可获得的最大利润为（ ） A.4000 B.4500 C.5000 D.5500 例2.（2026南明区一模·改编）利用一面墙，用总长24 m的栅栏围成矩形花圃，设垂直墙的边长为xm，面积S=x(24-2x)，则花圃的最大面积为（ ） A.72m2 B.36m2 C.24m2 D.48m2 例3.（2025花溪区期末）一座拱桥，抛物线顶点坐标(0,5)，经过(10,0)，设抛物线解析式y=ax2+5，则a的值为（ ） A.- B. C.- D. 例4.（2026观山湖区二模·改编）二次函数y=-x2+4x+1，自变量取值范围1≤x≤4，则函数的最大值为（ ） A.1 B.4 C.5 D.6 例5.（2024-2025清镇市期末）某服装店销售T恤，每件进价30元，售价50元时，每日可卖40件；每涨价1元，销量减少2件，设涨价x元，则日利润y=________。 例6.（2026乌当区一模）用总长32 m的铁丝围成矩形，矩形面积的最大值为________m2。 例7.（2025修文县期末）喷泉轨迹为抛物线y=-(x-2)2+3，则喷泉喷水的最大高度为__m。 例8.（2026开阳县二模）二次函数y=-2x2+8x，自变量范围0≤x≤3，则函数最小值为____。 例9.（2024-2025南明区期末·改编）某文具店销售钢笔，进价为15元，售价25元时，每月可卖出200支；每降价1元，销量增加20支。设降价x元，月利润为w元。 (1)写出w与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)售价定为多少元时，月利润最大，最大利润是多少？ 例10、如图所示，三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4m（即NC＝4m），建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？ （3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）一面墙长12 m，用篱笆28 m围矩形菜园，垂直墙的边长为xm，面积S=x(28-2x)，自变量x的取值范围是（ ） A.0<x≤12 B.8≤x<14 C.0<x≤14 D.7≤x<14 2.（2026云岩区一模）某公司产品利润w=-3x2+60x+120，a=-3<0，则取得最大利润时x的值为（ ） A.10 B.20 C.30 D.40 3.（2025花溪区期末）抛物线型投篮轨迹y=-0.2(x-4)2+3.5，篮球飞行的最大高度为（ ） A.4 m B.3.5 m C.2 m D.5 m 4.（2026清镇市二模）二次函数y=-x2+2x+5，2≤x≤4，函数最值情况为（ ） A.最大值5 B.最小值1 C.最大值6 D.最小值5 5.（2026息烽县一模）某商品降价销售，利润w=-(x-18)2+400，12≤x≤22，最大利润为 （ ） A.324 B.400 C.396 D.256 6、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（　C　） A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m 7、某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（　　） A．9m B．10m C．11m D．12m 8、一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（　　） A．1.5 m B．2m C．2.25 m D．2.5 m （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）某水果进价6元，售价x元，销量y=-40x+480，利润w=______。10.（2026修文县一模）矩形周长为26，面积S的最大值为________。 11.（2025开阳县期末）拱桥抛物线y=-(x-8)2+8，拱桥的最大高度是________。 12.（2026云岩区二模）二次函数y=3x2-12x+5，0≤x≤4，最小值为________。 13. 如图某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为___米. 14. 小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是______m. 15.退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 　 　． 16、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．雕塑高OA的值是 　 　m； 落水点C，D之间的距离是 　m． （三）解答题 17.（2024-2025清镇市期末，2小问）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价80元，售价120元时，每周可卖出200件；每降价1元，可多销售10件。设每件降价x元，每周利润为y元。 (1)写出y关于x的函数关系式，并写出自变量取值范围； (2)销售价定为多少元时，每周利润最大，最大利润为多少？ 18、如图，用18米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃． （1）设矩形一边为x（米），面积为y（平方米），求y与x的函数表达式； （2）当矩形苗圃面积为72平方米时，求矩形的边长； （3）当x为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？ 19、为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据： x（天） 1 2 3 … y（元） 96 100 104 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）． 20、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）． （1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物的解析式； （2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）点Q为BC上一动点，过Q作x轴垂线交抛物线于点P（点P在第二象限），求线段PQ长度最大值． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）某公司销售新能源配件，利润w=-4(x-25)^2+1600，自变量20≤x≤30，则最大利润为（ ） A.1200 B.1600 C.1440 D.1500 2.（2024-2025云岩区期末）矩形面积函数y=-3x2+30x，墙长8 m，自变量x≤8，则最大面积为（ ） A.48 B.75 C.63 D.51 3.（2025清镇市期末）商品利润y=-2x2+120x-1600，若限定25≤x≤40，则函数最大值在 （ ） A.x=25 B.x=30 C.x=35 D.x=40 4. 如图所示是二次函数y=的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（　） A. 4 B. C. 2π D. 8 5. 周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）m A. B. C. 4 D. 6. 如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（　） A. 6s B. 4s C. 3s D. 2s 7、如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（　　） A．20米 B．18米 C．10米 D．8米 8、五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．摩天轮旋转一周需要6分钟 B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同 C．小明离地面的最大高度为42米 D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米 9、如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝4； ③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10、我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（　　） A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1 B．当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大 C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0 D．当x＝1时，函数的最大值是4 （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）某玩具每件成本12元，售价x元，销量y=-30x+900，利润w=________。 12、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 　 　m． 13、图1是一个斜坡的横截面，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为 　 　． 14、某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是　 　． 15. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_________米. 16、“GGB”是一款数学应用软件，用“GGB”绘制的函数y＝﹣x2（x﹣4）和y＝﹣x+4的图象如图所示．若x＝a，x＝b分别为方程﹣x2（x﹣4）＝﹣1和﹣x+4＝﹣1的一个解，则根据图象可知a 　b．（填“＞”、“＝”或“＜”）． 17、定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为____________时，这组抛物线中存在美丽抛物线． 18. 如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一直线上，开始时点与点重合，让以每秒厘米的速度向左运动，最终点与点重合，则重叠部分面积（厘米）与时间（秒）之间的函数关系式为________． 19.如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是△BPQ的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为_________. 20．如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，连结EF，，点H是EF上一动点，设FH的长为x，GH与BH长度的和为y．图2是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为__________. （三）解答题 21.（2026花溪区三模）某民宿推出周末套餐，每套成本80元，售价每套x(100≤x≤180)元，每周销量y（套）与售价x满足一次函数关系：当x=120时，y=360；当x=150时，y=300。每周利润为w元。 (1)求y与x的函数关系式； (2)求w与x的函数关系式； (3)售价定为多少元时，每周利润最大，最大利润为多少？ 22、某加工厂收到一批热销产品订单，要求在10天内完成，若该产品的出厂价为每件160元，第x天（x为正整数）的每件生产成本为y元，y与x的对应关系如表（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）： x（天） 1 2 3 … y（元） 96 100 104 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）统计发现该厂每天生产的件数m＝50x+100，设该厂每天的利润为W元； ①该厂第几天的利润为15600元？ ②若该厂每生产一件产品就捐n元给“红十字基金组织”（n＞0），工厂若想在第6天获得最大利润．求n的取值范围． 23、某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式： （2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 24、如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC． ①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由； ②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 25、如图，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求出这个二次函数的解析式； （2）直接写出点B的坐标为 　 　； （3）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． （4）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 26.如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB（水平）与x轴的距离为6，与y轴交于B点，与滑道AM：y＝交于A，且AB＝2，MN⊥x轴，且MN＝1；一号球从点B飞出沿抛物线L：y＝﹣x2+bx+6运动，落在滑道AM上一点P，测得P到x轴的距离为3． （1）k的值为 　 　，点P的坐标是 　 　，b＝　 　； （2）当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交； ②在x轴上有线段NC＝1，若一号球恰好能被NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ （3）一号球从点B飞出同时，二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同，且二号球始终在一号球的正上方，当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置时，直接写出m的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $