专题09 探索三角形相似的条件（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦三角形相似的判定这一核心知识点，从定义与性质切入，对比全等三角形明确特殊与一般关系，通过类比全等的ASA、SAS、SSS引出相似的两角法、两边夹角法、三边法，结合公共角、对顶角等隐含条件挖掘，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以类比迁移构建知识网络，通过表格对比全等与相似培养推理意识，设计从基础判定到黄金分割应用的多题型典例与变式，发展几何直观与模型意识。课中助力教师分层教学，课后通过巩固强化训练帮助学生查漏补缺，提升问题解决能力。

专题09 探索三角形相似的条件 1、熟记三角形相似的三种判定定理，能够结合图形特征选取合适定理判定三角形相似。 2、学会挖掘图形中的公共角、对顶角、平行线产生的等角，寻找相似的有效条件。 3、能够借助三角形相似推导边长比例式，完成线段长度的计算与证明。 4、区分三角形相似与全等的判定方法，规避判定条件混淆、对应边对应角找错等常见错误。 1. 相似三角形的定义与性质： 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。 定义的双重作用：相似三角形的定义既是性质，又是判定： 作为性质：如果两个三角形相似，则它们的对应角相等、对应边成比例； 作为判定：如果两个三角形的对应角相等且对应边成比例，则这两个三角形相似。 相似三角形与全等三角形的关系： 对比项 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 对应边 相等 成比例 相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数 全等是相似的特殊情况（相似比为1） 2. 三角形相似的判定定理：探索三角形相似的条件，核心思想是类比三角形全等的判定方法（如ASA、SAS、SSS等）。全等是相似的特殊情况（相似比为1），因此全等的判定条件可以“放宽”为相似的条件。 定理1（两角法）⭐ 最常用: 两角分别相等的两个三角形相似。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中，若∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，则△ABC ∽ △A′B′C′。 核心地位：这是判定三角形相似最常用的方法。 定理2（两边夹角法）: 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中，若 ，且∠A = ∠A′，则△ABC ∽ △A′B′C′。 定理3（三边法）: 三边对应成比例的两个三角形相似。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中，若 ，则△ABC ∽ △A′B′C′。 预备定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 💡 对比全等记忆： 全等“ASA” → 相似“两角相等”（AA） 全等“SAS” → 相似“两边成比例且夹角相等” 全等“SSS” → 相似“三边成比例” 3. 应用技巧与常见隐含条件： 定理1（两角法）的应用关键: 运用定理1的关键是在两个三角形中找到两对对应角相等。注意发现题目中隐含的相等角： 隐含条件 说明 公共角 两个三角形共用同一个角 对顶角 两条直线相交形成的对顶角相等 同角的余角（或补角） 同一个角的余角（或补角）相等 平行线 同位角相等、内错角相等 定理2（两边夹角法）的应用关键: 当已知条件中（或经过探索后得到）两个三角形的某两条边成比例时，需确认其夹角是否相等。 定理3（三边法）的应用关键: 将两个三角形的三边长按大小排列，大比大、小比小、中比中，看三个比值是否相等。 题型01利用两角对应相等判定相似 【典例】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【变式】已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 题型02用数轴上的点表示有理数 【典例】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 3．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【变式】学完《图形的相似》这一单元后，小明发现，两个三角形相似的判定方法和两个三角形全等的判定方法很像，于是突发奇想，是否也存在类似于“”的方法判定两个直角三角形相似呢？即：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．于是他开始画图证明．请你帮小明完成证明，分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 题型03利用三边对应成比例判定相似 【典例】如图，在8×8的正方形网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，与网格上的直线相交于点M． (1)填空： ， ； (2)求的度数和的值； (3)判断和是否相似？并说明理由． 【变式】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 题型04选择或补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，在中，点在上，，请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式】如图，为平行四边形的对角线，E为的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，在上作一点F，连接，使得． (2)如图2，在上作一点G，连接，使得． 题型05相似三角形的判定综合 【典例】如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【变式】中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． (1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； (2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； (3)若，试探究，的数量关系． 题型06黄金分割 【典例】一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【变式】【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【巩固训练】 1．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 2．如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 4．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 6．我们把方程的正根称为黄金分割数，长期以来，一些美术家认为：如果人的上、下半身之比接近黄金分割数，那么可以增加美感，为了找出该，也可以构造，其中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则是线段（    ）的长 A． B． C． D． 7．已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（   ） A．都相似 B．都不相似 C．只有相似 D．只有相似 8．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 9．将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 11．如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 12．结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 13．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 14．如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上．以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤．其中结论正确的是：______．(填序号) 15．将一张矩形纸片进行如图所示的操作：沿对角线折叠，得到折痕；折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；过点折叠纸片，使点分别落在边、上，展开得到折痕．如果矩形是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边______． 16．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 17．在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为的等腰三角形称为黄金三角形，它具有 的美妙性质．请运用上述信息，解决下列问题： (1)填空：等腰的顶角，且，那么底边________． (2)如图1，在中，，，且，求的长． (3)如图2，已知点P是线段的黄金分割点（），在的延长线上截取，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，请判断是否是黄金三角形？并说明理由． 18．综合与实践 实验操作 (1)如图1，点O为中点，点B在上方，连接，． 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形； 拓展应用 (2)如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：． 19．定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． (1)请你写出的其中一个互倒一次函数___________； (2)如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上的任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； (3)如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 20．某研究小组由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为．若，则直线l为该图形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，若D是AB的黄金分割点，直线CD是否是的“黄金分割线”？请说明理由． (2)在图①的基础上，过点C作直线CE交AB于点E，过点D作，交AC于点F，连接EF，得到图②，则直线EF是否也是的“黄金分割线”？请说明理由． 【强化训练】 1．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 4．下列各命题：①两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；②两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形相似；③两边及第三边的中线对应成比例的两个三角形相似；④两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形相似，真命题的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．①② 5．如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 6．如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，下列结论∶①；②点B到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（　　）    A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 7．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点，与轴交于点，点是内任意一点，且，则的最小值为____． 9．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 10．【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 11．综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 12．综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题． (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． 13．如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)当时，求的比值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 探索三角形相似的条件 1、熟记三角形相似的三种判定定理，能够结合图形特征选取合适定理判定三角形相似。 2、学会挖掘图形中的公共角、对顶角、平行线产生的等角，寻找相似的有效条件。 3、能够借助三角形相似推导边长比例式，完成线段长度的计算与证明。 4、区分三角形相似与全等的判定方法，规避判定条件混淆、对应边对应角找错等常见错误。 1. 相似三角形的定义与性质： 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。 定义的双重作用：相似三角形的定义既是性质，又是判定： 作为性质：如果两个三角形相似，则它们的对应角相等、对应边成比例； 作为判定：如果两个三角形的对应角相等且对应边成比例，则这两个三角形相似。 相似三角形与全等三角形的关系： 对比项 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 对应边 相等 成比例 相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数 全等是相似的特殊情况（相似比为1） 2. 三角形相似的判定定理：探索三角形相似的条件，核心思想是类比三角形全等的判定方法（如ASA、SAS、SSS等）。全等是相似的特殊情况（相似比为1），因此全等的判定条件可以“放宽”为相似的条件。 定理1（两角法）⭐ 最常用: 两角分别相等的两个三角形相似。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中，若∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，则△ABC ∽ △A′B′C′。 核心地位：这是判定三角形相似最常用的方法。 定理2（两边夹角法）: 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中，若 ，且∠A = ∠A′，则△ABC ∽ △A′B′C′。 定理3（三边法）: 三边对应成比例的两个三角形相似。 符号语言：在△ABC和△A′B′C′中，若 ，则△ABC ∽ △A′B′C′。 预备定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 💡 对比全等记忆： 全等“ASA” → 相似“两角相等”（AA） 全等“SAS” → 相似“两边成比例且夹角相等” 全等“SSS” → 相似“三边成比例” 3. 应用技巧与常见隐含条件： 定理1（两角法）的应用关键: 运用定理1的关键是在两个三角形中找到两对对应角相等。注意发现题目中隐含的相等角： 隐含条件 说明 公共角 两个三角形共用同一个角 对顶角 两条直线相交形成的对顶角相等 同角的余角（或补角） 同一个角的余角（或补角）相等 平行线 同位角相等、内错角相等 定理2（两边夹角法）的应用关键: 当已知条件中（或经过探索后得到）两个三角形的某两条边成比例时，需确认其夹角是否相等。 定理3（三边法）的应用关键: 将两个三角形的三边长按大小排列，大比大、小比小、中比中，看三个比值是否相等。 题型01利用两角对应相等判定相似 【典例】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 【变式】已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【答案】(1) (2)如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可得出结果； （2）先分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接交于，则垂直平分，此时，得到，再分别以、为圆心，长为半径画弧，交点即为，此时，连接，，即得到，证明，结合即可得证. 【详解】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； （2）略 题型02用数轴上的点表示有理数 【典例】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 3．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 【变式】学完《图形的相似》这一单元后，小明发现，两个三角形相似的判定方法和两个三角形全等的判定方法很像，于是突发奇想，是否也存在类似于“”的方法判定两个直角三角形相似呢？即：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．于是他开始画图证明．请你帮小明完成证明，分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 【答案】 解：已知：如图，在与中，，， 求证：． 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 根据题意写出已知，求证，然后通过设元，将问题转化为“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”证明即可． 【详解】略 题型03利用三边对应成比例判定相似 【典例】如图，在8×8的正方形网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，与网格上的直线相交于点M． (1)填空： ， ； (2)求的度数和的值； (3)判断和是否相似？并说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)相似，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正切函数，相似三角形的判定；能熟练利用勾股定理及其逆定理，正切函数，相似三角形的判定进行求解是解题的关键． （1）用勾股定理求解即可； （2）由勾股定理得，，，由勾股定理逆定理和正切函数即可求解； （3）由勾股定理求出各边的长，计算得，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， 是直角三角形， ， 由图得，， ． （3）解：相似，理由如下： ， ， ， ， ． 【变式】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 题型04选择或补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，在中，点在上，，请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与尺规作等角的基本操作；解题的关键是准确理解两个三角形的对应关系，进而确定需要作哪一个等角，已知为公共角，只需再找一组角相等即可证得，我们作． 【详解】 根据 已知为公共角， 只需再找一组角相等即可证得 ∴我们作 作等角：以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交射线于点；保持半径不变，以点为圆心画弧，交射线于点； 截取等弧长：以点为圆心，以线段的长为半径画弧，与上一步中以为圆心所画的弧相交于点； 作射线并确定点：作射线，该射线交线段于点 点E即为所求作的点． 【变式】如图，为平行四边形的对角线，E为的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，在上作一点F，连接，使得． (2)如图2，在上作一点G，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、重心的性质与判定、中位线定理，相似三角形德邦判定，根据相关性质正确作图是解题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质得点为的中点，所以是的中位线，则有，即可得出； （2）连接交于点，连接交于点，连接并延长交交于点，由平行四边形的性质得点为的中点，结合点E为的中点，可得点为的重心，再由重心的性质可得为的中线，即点为的中点，所以是的中位线，则有，即可得出． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求： （2）解：如图，点G即为所求： 题型05相似三角形的判定综合 【典例】如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】∽∽∽；证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 【详解】解：图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 【变式】中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． (1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； (2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； (3)若，试探究，的数量关系． 【答案】(1)； (2) 证明 ∶连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； (3)， 理由如下：当点D在上时，如图，过D作交于G， ∴， ∴，， ∵，，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D在AB延长线上时，如图，过D作交延长线于H， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，，的数量关系是． 【分析】（1）根据证明，得出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）分点D在上和点D在延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识求解即可． 【详解】（1）解∶ 连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，点E是的中点，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 题型06黄金分割 【典例】一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 【变式】【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则，再根据求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据矩形是“白银矩形”结合由（1）得白银比率为，推出，求解即可． 【详解】（1）设，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴，（负数不合题意，舍去）， ∴白银比率为：； （2）设正方形的边长为，则， ∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为， ∴，则，解得， ∴正方形的边长为． 【巩固训练】 1．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 2．如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 3．下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． 4．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 6．我们把方程的正根称为黄金分割数，长期以来，一些美术家认为：如果人的上、下半身之比接近黄金分割数，那么可以增加美感，为了找出该，也可以构造，其中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则是线段（    ）的长 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由作图得，，结合勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设， 由作图得，， ， ， ， 解得， ， 解方程得， 是线段的长． 7．已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（   ） A．都相似 B．都不相似 C．只有相似 D．只有相似 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：图中，∵， ， ∴两三角形中有两个角分别对应相等，故两三角形相似； ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上可知两对三角形都相似． 8．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 9．将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠性质得出，得出，证明，即可得出结论． 【详解】解：由折叠得：， ，故A、B都一定正确； ， ， ， ， ，故C一定正确； 无法得出，故D不一定正确． 10．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又 ， ， ， 四边形是矩形， ． 又 ， ， 则的长为． 11．如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 12．结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 【答案】或或或 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．根据为与的公共角，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹的两组对应边成比例． 【详解】解：∵为与的公共角， 当或时，； 当时，， 故答案为：或或或． 13．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 14．如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上．以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤．其中结论正确的是：______．(填序号) 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，相似三角形的判定；延长至点，使，通过证明，，然后结合全等三角形的性质判断①②，当时，根据角平分线的性质可得，即可判断③ ，根据，，即可得出结论④，根据正方形的性质以及已知条件可得，结合对顶角相等，即可证明． 【详解】解：如图，延长至点，使， 正方形中，，， ， ，， 又， ， ， ， ， ，， ，故①正确； ；故②正确； ∵， ∴ 当时， 又， ，故③不一定正确； ，， 的周长 ，故④正确； 四边形是正方形，是对角线， ， ， ， 又 ， ．故⑤正确 故答案为：①②④⑤． 15．将一张矩形纸片进行如图所示的操作：沿对角线折叠，得到折痕；折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；过点折叠纸片，使点分别落在边、上，展开得到折痕．如果矩形是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，翻折变换，黄金分割，相似三角形的判定和性质，设与交于点，由矩形的性质可得，，，，则，由折叠性质可知：，，故，设，，，根据勾股定理求出，则，再证明，最后由相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵矩形是一个黄金矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴设，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 17．在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为的等腰三角形称为黄金三角形，它具有 的美妙性质．请运用上述信息，解决下列问题： (1)填空：等腰的顶角，且，那么底边________． (2)如图1，在中，，，且，求的长． (3)如图2，已知点P是线段的黄金分割点（），在的延长线上截取，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，请判断是否是黄金三角形？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：是黄金三角形，理由如下： 连接， 由旋转的性质得 ，， ∴， ∴是黄金三角形，且腰长为较短边， ∴， 设， ∵点P是线段的黄金分割点（）， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是黄金三角形． 【分析】（1）由题意易得为黄金三角形，根据 即可求解； （2）取中点，连接，易证都是等腰三角形，再求出，证明是黄金三角形，且所对的边为较短边，根据 即可求解； （3）是黄金三角形，连接，由旋转的性质得，，证明是黄金三角形，设，求出，，，，推出，求出，进而求出，即可说明． 【详解】（1）解：∵等腰的顶角， ∴为黄金三角形，且所对的边为较短边， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：取中点，连接， ∵，， ∴， ∴都是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是黄金三角形，且所对的边为较短边， ∴，即， ∴； （3）略 18．综合与实践 实验操作 (1)如图1，点O为中点，点B在上方，连接，． 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形； 拓展应用 (2)如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：． 【答案】(1) 解：如图，点D即为所求， (2)证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【分析】（1）连接并延长，在的延长线上截取，即可得点B关于点O的对称点D，连接，，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据得出，，根据已知，可得． 【详解】（1）解：如图，连接并延长，以点为圆心以为半径画弧，交的延长线与点， ∵点O为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形． （2）略 【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定． 19．定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． (1)请你写出的其中一个互倒一次函数___________； (2)如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上的任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； (3)如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) 证明：设， ∵轴于点， ∴， ∵点在图像上，点在图像上， ∴点纵坐标为，点纵坐标为， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； (3) 是定值，为，理由： 由得，当时，， ∴与轴相交于点， 由，解得：， ∴， ∴，， ∴． 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，平面直角坐标系中两点间的距离，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）根据“互倒一次函数”定义即可求解； （）设，求得，，所以，，则，，所以，又，则； （）由得，当时，，所以与轴相交于点，由，解得：，得，则，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：由定义可得，的一个互倒一次函数为， 故答案为：（答案不唯一）； （2）略 （3）略 20．某研究小组由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为．若，则直线l为该图形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，若D是AB的黄金分割点，直线CD是否是的“黄金分割线”？请说明理由． (2)在图①的基础上，过点C作直线CE交AB于点E，过点D作，交AC于点F，连接EF，得到图②，则直线EF是否也是的“黄金分割线”？请说明理由． 【答案】(1)直线CD是的“黄金分割线”．理由见解析 (2)直线EF是的“黄金分割线”．理由见解析 【分析】本题是相似形的综合题，考查了黄金分割，黄金分割线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型． （1）根据点是的黄金分割点，得到，根据题意即可得到结论； （2）根据，得到，于是得到，，根据黄金分割线的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：直线CD是的“黄金分割线”，理由如下： 设的AB边上的高为h， 则． 是AB的黄金分割点， ∴， ， ∴直线CD是的“黄金分割线”． （2）解：直线EF是的“黄金分割线”．理由如下： ， ， ． 由（1）可得， ，即， ∴直线EF是的“黄金分割线”． 【强化训练】 1．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理求出，进而得到、、、的长度，根据黄金分割的定义逐一判断点、、、是否为所在某条线段的黄金分割点； 【详解】解：在正方形中，， 设， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵、、、在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵是的中点， ∴不是的黄金分割点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴不是的黄金分割点， 综上所述，点、、是黄金分割点，共3个． 2．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 3．如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 【答案】A 【分析】先证明，可得，如图，过点D作于M，于N，可得，证明，，，再进一步分析即可. 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作于M，于N， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故D正确，不符合题意； ∴， ∴ ； 故A错误，符合题意； ∵，， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴， 故C正确，不符合题意； 故选：A. 4．下列各命题：①两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；②两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形相似；③两边及第三边的中线对应成比例的两个三角形相似；④两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形相似，真命题的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．①② 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 根据三角形相似的判定方法即可判断． 【详解】解：①如图，，但，与不相似，故两边成比例且第三边上的高成比例的两个三角形不一定相似，故①为假命题；    ②如图，，，，则； ，，，则； ． 但，与不相似． 故两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形不一定相似，故②为假命题；    ③如图，，延长至点，使，连接， 则，， ，，． 同理可得，，，． ，． ，． ，． ， ． ． 故两边及第三边的中线对应成比例的两个三角形相似，故③为真命题；    ④如图，， ． ． ． ． 故两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形相似，故④为真命题．    ∴ 真命题为③④． 故选：C． 5．如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 令，根据勾股定理求出相关边长，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，， ∴； ， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴与不相似， 该选项错误，不符合题意； C.令，由勾股定理得， ∵， ∴，且， ∴， ∴该选项正确，符合题意； 故选：C． 6．如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，下列结论∶①；②点B到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（　　）    A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题利用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等，即可得到，且相似比为1；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【详解】解：①∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，且相似比为1；故①正确； ③， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ②过B作，交的延长线于F， ∵，， ∴， 又∵③中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ④∵，， ∴在中，， ∴，故④正确， 故选：C． 7．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 【答案】/ 【分析】连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则，在中，根据构造方程，求解得到，从而． 【详解】解：连接， ∵矩形是黄金矩形，，， ∴设，， ∵矩形是黄金矩形，， ∴， ∴， ∵四边形是四边形翻折得到， ∴，， ， ∴， ∵在矩形中，， 又 ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点，与轴交于点，点是内任意一点，且，则的最小值为____． 【答案】 【分析】根据一次函数解析式求出点和点的坐标，得到和的长度，在上取点使得，构造，从而得到，将求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短，当，，三点共线时和最小，最小值为线段的长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，如图所示： 把代入可得：， ∴， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 在中，． 9．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 【答案】 【分析】（1）根据正方形性质，在正方形中，，在正方形中，，，从而判定是等腰直角三角形，得到，数形结合表示出计算即可得到答案； （2）先根据等腰直角三角形性质得到、，进而判定，再由相似三角形的性质得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）在正方形中，， 在以为对角线作正方形，，，则是等腰直角三角形， ， 则； （2）在等腰中，；在等腰中，； 则， ，， ， 则， ，即， 解得． 【点睛】熟记等腰直角三角形的判定与性质，结合图形找准判定两个三角形相似的方法是解决问题的关键．尤其是第二问中，借助等腰直角三角形边的关系得到是判定两个三角形相似的核心． 10．【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 【答案】(1)米 (2)解：设正方形边长为， 由第一步折叠得是中点， ∴， 在中，， 由第二步折叠性质得， ∴， 设，则， 由折叠得，， 连接 ， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴在矩形中，长边，短边， ∴ ， ∴四边形是黄金矩形． (3)①②或 【分析】（1）首先明确黄金矩形短边与长边的比值为，因为已知短边长度，所以根据比值关系列方程即可求长边，过程中用到分母有理化化简结果； （2）先设正方形边长为参数，由第一步折叠得是中点，用勾股定理求的长度；根据第二步折叠的性质得，进而求出的长度，再结合角度关系推导，得到的长度；最后计算矩形的短边与长边的比值，验证其等于即可； （3）先判断分割线是垂直于长还是垂直于宽，分情况讨论两种分割方式下两个小矩形均为黄金矩形的条件，根据黄金矩形的比例关系列关于的方程求解，再统计解的个数和时的解． 【详解】（1）解：设长边为米， ∵短边为米， ∴ ， 解得 ， 分母有理化得：， ∴该画报的长边长度为米． （2）略 （3）①若，， 第一种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， ∴在矩形中，， ∴， 第二种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， 同理，在矩形中，， ∴， ②若，， 第一种情况：若， ∵， ∴ ∴， 解得，， ∵， ∴， 即， 解得， 第二种情况：若， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或或或， ∴的不同取值共有个； ②由①可得，当时，的值为或． 12．综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题． (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形； （2）先证明，则，则，解方程即可； 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下 ， ， 四边形是菱形，是的平分线， ， ， ， 四边形为平行四边形， 由旋转的性质可知， 平行四边形为菱形； （2）解：如图3，由题意可得， 设， 在菱形中，， ∴在中，， 又， ， 是的外角， ∴ 在和中， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 13．如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)当时，求的比值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质， 直角三角形的性质和勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理并添加正确的辅助线是解题关键． （1）根据夹角相等，两边对应成比例的相似判定进行证明即可； （2）作，垂足为G，容易证出，用相似三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出，进一步求出； （3）作，垂足为H，容易证出，得到的三边关系．根据可以证明，从而得到，利用相似的性质计算出，最后求得答案． 【详解】（1）证明：∵直角三角形的斜边为，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：如图，作，垂足为G，设， 在直角中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，解得，， ∴； （3）解：如图，作，垂足为H，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $