5.2二次函数的图像（四）y=a（x-h）2+k的图像和性质预习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册21

本初中数学讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质，系统梳理从y=ax²到y=ax²+k、y=a(x-h)²再到y=a(x-h)²+k的图像变换脉络，构建平移规律、顶点坐标、对称轴及增减性的知识支架。 资料以中考真题为载体，通过分层例题与练习强化图像变换推理，如平移方向判断、逆向求解析式等，培养数学思维中的推理能力和数学语言中的模型意识，课中辅助教师突破难点，课后助力学生查漏补缺。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册21 《第5章二次函数第2节二次函数的图像（四）y=a（x-h）2+k的图像和性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h) 2 +k的图像，对比y=ax 2 ，理解图像经过左右、上下两次平移后的变换规律。 2.熟练掌握顶点式y=a(x-h) 2 +k的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值。 3.理解参数h、k分别控制水平、竖直方向平移，牢记完整平移口诀 “ 左加右减，上加下减 ” ，能实现平移前后解析式互推。 4.能够利用顶点式性质比较函数值、求解自变量范围，解决简单的区间最值问题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.y=a(x-h) 2 +k的图像性质，顶点坐标(h,k)、对称轴直线x=h； 2.抛物线的综合平移规律（左右、上下平移结合）。 （二） 难点 1.区分h、k对图像的影响，括号内改变h（左右平移），括号外改变k（上下平移）； 2.逆向平移问题：由平移后的函数反求原始抛物线解析式； 3.结合对称轴，利用增减性求解限定区间内函数的最值。 ) 三．知识梳理 （一）函数 y = a(x - h)2 +k的图象和性质 1.绘制函数y = a(x - h)2 +k的图像 （1）描点法画y = 2(x-1)2 +3和y= -2(x+1)2 +3=-2x2-4x+1的图像 ①列出下表. ②描点，③连线. 2.y=a(x-h)²+k的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 （二）函数 y = a(x - h)2 +k和y = ax2 、y = ax2 +k、y = a(x - h)2的图象关系 在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=x2，y=(x-2)2和y==(x-2)2+1的图象. 观察图象，说出抛物线y=(x-2)2怎样平移得到抛物线y==(x-2)2+1?抛物线y=x2怎样平移得到抛物线y==(x-2)2+1? 2.函数 y=a(x-h)2+k和y=ax2 、y=ax2 +k、y=a(x - h)2的图象关系 （1）y=a(x-h)2+k和y=ax2 、y=ax2 +k、y=a(x-h)2的图象的形状，开口方向相同，只是位置不同。 （2）y=a(x-h)2+k、y=ax2 +k、y=a(x-h)2的图象都可以由y=ax2 的图像平移得到。 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是（ ） A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4) 例2.（2026南明区一模）抛物线y=-3(x+1)2-2由y=-3x2平移得到，平移过程正确的是（ ） A.向左平移1个单位，向下平移2个单位 B.向右平移1个单位，向下平移2个单位 C.向左平移1个单位，向上平移2个单位 D.向右平移1个单位，向上平移2个单位 例3．二次函数的图象是（　　） A． B． C． D．   例4.（2025花溪区期末）对于二次函数y=-(x+2)2+3，下列说法错误的是（ ） A.开口向下 B.对称轴为直线x=-2 C.顶点(-2,3) D.当x>-2时，y随x的增大而增大 例5.（2024-2025清镇市期末）抛物线y=4(x-5)2-7的对称轴是________。 例6.（2026乌当区一模）抛物线y=-2(x-h)2+7经过点(0,-1)，则h=________。 例7.（2025修文县期末）将抛物线y=(x-2)2-1向上平移3个单位，新抛物线解析式为______。 例8.（2026开阳县二模）二次函数y=3(x+4)2-5，当x=时，y取得最小值为____。 例9.（2024‑2025南明区期末·改编）已知二次函数y=-2(x+1)2+8。 (1)写出抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与x轴的交点坐标。 例10.（2026花溪区三模·改编，3小问）抛物线y=a(x-2)2-3经过点(4,5)。 (1)求a的值； (2)写出该抛物线的增减性； (3)若点Q(n,13)在此抛物线上，求n的值。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）抛物线y=-7(x-5)2+1的开口方向是（ ） A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 2.（2026云岩区一模）抛物线y=4(x+2)2-6是由y=4x2如何平移得到（ ） A.向左平移2个单位，向下平移6个单位 B.向右平移2个单位，向下平移6个单位 C.向左平移2个单位，向上平移6个单位 D.向右平移2个单位，向上平移6个单位 3.（2025花溪区期末）二次函数y=2(x-7)2+9的最小值是（ ） A.2 B.7 C.9 D.-9 4.（2026清镇市二模）已知C(-4,y1)，D(-1,y2)在抛物线y=-(x+2)2+5上，则（ ） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定 5.（2025乌当区期末）抛物线y=a(x+1)2-5经过(0,-3)，则a=（ ） A.3 B.-3 C.2 D.-2 6.（2026息烽县一模）下列关于y=-5(x-4)2+3的结论错误的是（ ） A.对称轴是直线x=4 B.顶点(4,3) C.当x>4时，y随x增大而增大 D.最大值为3 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是(　　) A．h>0，k>0　　B．h<0，k>0 C．h<0，k<0　　　D．h>0，k<0 8．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1m的喷水管喷水最大高度为3m，此时喷水水平距离为m，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是(　　) A.y＝－（x-）2＋3 B.y＝3（x+）2＋1 C.y＝－8（x-）2＋3 D.y＝－8（x+）2＋3 （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）抛物线y=-(x-8)2+11顶点坐标：________。 10.（2026修文县一模）抛物线y=-2x2向左平移6个单位，再向上平移4个单位后的解析式：________。 11.（2025开阳县期末）二次函数y=6(x+3)2-2，当x________时，y随x增大而减小。 12.（2026云岩区二模）抛物线y=a(x-1)2+7，若它经过点(2,5)，则a=________。 13.（2025花溪区期末）抛物线y=(x+5)2-4与x轴交点坐标为________。 14.（2026观山湖区三模）已知二次函数y=-4(x-h)2+k有最大值‑1，则k=________。 15．当 时，二次函数有最小值． 16.如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)．若点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为_______. （三）解答题 17．已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 18.（2024-2025清镇市期末，2小问）已知二次函数y=-2(x-4)2+12。 (1)求顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标。 19.（2025息烽县期末）将抛物线y=3x2平移后得到抛物线y=3(x-7)2+4。 (1)说明平移过程； (2)求平移后抛物线的最值。 20.（2026乌当区一模，3小问）抛物线y=a(x+2)2-5过点P(-1,-4)。 (1)求a的值； (2)写出增减性； (3)当-5≤x≤1时，求y的取值范围。 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）对于抛物线y=-6(x+5)2-1，下列说法正确的是（ ） A.开口向上 B.对称轴为直线x=5 C.顶点(-5,-1) D.有最小值-1 2.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=(x-6)2+3由y=x2如何平移得到（ ） A.向上平移6个单位，向右平移3个单位 B.向右平移6个单位，向上平移3个单位 C.向左平移6个单位，向下平移3个单位 D.向右平移6个单位，向下平移3个单位 3.（2026观山湖区一模）已知点P(-5,y1)，Q(-2,y2)在抛物线y=4(x-1)2+2上，则（ ） A.y1>y B.y1<y2 C.y1=y D.无法比较 【答案】：A 【解析】：对称轴直线x=1，开口向上；P距离对称轴6，Q距离对称轴3；离对称轴越远函数值越大，y1>y2。 4.（2025清镇市期末）抛物线y=-2(x-h)2+k与x轴交于(4,0)，顶点纵坐标为6，则该抛物线解析式为（ ） A.y=-2(x-4)2+6 B.y=-2(x+4)2+6 C.y=-2(x-4)2-6 D.y=-2(x+4)2-6 5.（2026开阳县一模）二次函数y=7(x-3)2-4，当x<3时，y随x增大而（ ） A.增大 B.减小 C.不变 D.先增后减 6.（2025乌当区期末）抛物线y=-(x-7)2+9的最大值为（ ） A.7 B.-7 C.9 D.-9 7.（2026修文县二模）将抛物线y=-3x2先向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线解析式为（ ） A.y=-3(x+52)-2 B.y=-3(x-5)2-2 C.y=-3x2+5-2 D.y=-3x2-5-2 8．已知二次函数，可知一定正确的是（   ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．其最小值为1 9．如图，抛物线y＝x2与直线y＝x相交于点A，沿直线y＝x平移该抛物线，使得平移后的抛物线的顶点恰好为点A，则平移后抛物线的函数表达式是(　　) A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1 10．如图将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是(　D　) A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－2)2＋7 C．y＝(x－2)2－5 D．y＝(x－2)2＋4 （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）抛物线y=-9(x-12)2+15的顶点坐标为________。 12.（2026云岩区三模）抛物线y=8(x-h)2+k有最小值-4，则k=________。 13.（2025观山湖区期末）抛物线y=2(x+6)2-8与y轴交点坐标为________。 14.（2026息烽县二模）将抛物线y=x2向右平移8个单位，再向下平移3个单位，解析式为________。 15.（2025清镇市期末）已知A(4,m)在抛物线y=-(x-2)2+5上，则m=________。 16.（2026乌当区三模）二次函数y=-5(x-1)2+6，当x________时，y随x增大而增大。 17.（2025开阳县期末）抛物线y=a(x+4)2-7经过(2,29)，则a=________。 18.（2026南明区一模）对于抛物线y=(x+9)2-2，当y≥-2时，x的取值范围是________。 19.在同一平面直角坐标系中,如果两个二次函数y1=a1(x+h1)2+k1与y2=a2(x+h2)2+k2的图象的形状相同,并且对称轴关于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互为梦函数.如二次函数y=(x+1)2-1与y=(x-1)2-1互为梦函数,写出二次函数y=2(x+3)2+2的其中一个梦函数:　　　　　　.  20．已知二次函数y＝a(x－1)2＋6－3a的图象如图所示，则整数a的值为_____． （三）解答题 21.（2026花溪区三模）抛物线y=-2(x-k)2+m经过点M(-1,-8)，顶点纵坐标为0。 (1)求k、m的值； (2)写出抛物线的增减性； (3)当-3≤x≤2时，求y的取值范围。 22.（2026观山湖区二模）抛物线y=a(x-h)2+k，当x=3时，y=2，顶点为(1,-2)。 (1)求抛物线解析式； (2)说明抛物线由y=ax2如何平移得到； (3)当y<-2时，判断x是否存在取值。 23.如图,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD.已知点A的坐标为(-1,0). (1)求抛物线的函数表达式; (2)求梯形COBD的面积. 24．如图已知二次函数y＝－(x－h)2＋的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴； (2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，点A′是不是该二次函数图象的顶点？ 25.如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B. (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围． 26.某公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，连喷头在内柱高为1 m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线形路径落下，如图①所示．已知在图②中，抛物线的最高点M距离柱子OA为1 m，距离地面OB为2 m. (1)求图②中抛物线的函数表达式(不必求x的取值范围)． (2)如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内(精确到0.01 m)? 27.如图所示，已知抛物线C0的函数表达式为y=x2-2x. (1)求抛物线C0的顶点坐标. (2)将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1，C2，C3，…，Cn(n为正整数). ①求抛物线C1与x轴的交点A1，A2的坐标. ②试确定抛物线Cn的函数表达式.(直接写出答案，不需要解题过程) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册21 《第5章二次函数第2节二次函数的图像（四）y=a（x-h）2+k的图像和性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h) 2 +k的图像，对比y=ax 2 ，理解图像经过左右、上下两次平移后的变换规律。 2.熟练掌握顶点式y=a(x-h) 2 +k的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值。 3.理解参数h、k分别控制水平、竖直方向平移，牢记完整平移口诀 “ 左加右减，上加下减 ” ，能实现平移前后解析式互推。 4.能够利用顶点式性质比较函数值、求解自变量范围，解决简单的区间最值问题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.y=a(x-h) 2 +k的图像性质，顶点坐标(h,k)、对称轴直线x=h； 2.抛物线的综合平移规律（左右、上下平移结合）。 （二） 难点 1.区分h、k对图像的影响，括号内改变h（左右平移），括号外改变k（上下平移）； 2.逆向平移问题：由平移后的函数反求原始抛物线解析式； 3.结合对称轴，利用增减性求解限定区间内函数的最值。 ) 三．知识梳理 （一）函数 y = a(x - h)2 +k的图象和性质 1.绘制函数y = a(x - h)2 +k的图像 （1）描点法画y = 2(x-1)2 +3和y= -2(x+1)2 +3=-2x2-4x+1的图像 ①列出下表. ②描点，③连线. 2.y=a(x-h)²+k的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 （二）函数 y = a(x - h)2 +k和y = ax2 、y = ax2 +k、y = a(x - h)2的图象关系 在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=x2，y=(x-2)2和y==(x-2)2+1的图象. 观察图象，说出抛物线y=(x-2)2怎样平移得到抛物线y==(x-2)2+1?抛物线y=x2怎样平移得到抛物线y==(x-2)2+1? 【解析】：抛物线y=(x-2)2向上平移1个单位长度得到抛物线y==(x-2)2+1,抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线y==(x-2)2+1. 2.函数 y=a(x-h)2+k和y=ax2 、y=ax2 +k、y=a(x - h)2的图象关系 （1）y=a(x-h)2+k和y=ax2 、y=ax2 +k、y=a(x-h)2的图象的形状，开口方向相同，只是位置不同。 （2）y=a(x-h)2+k、y=ax2 +k、y=a(x-h)2的图象都可以由y=ax2 的图像平移得到。 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是（ ） A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4) 【答案】：A 【解析】：顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k)，本题h=3，k=4，因此顶点坐标(3,4)。 例2.（2026南明区一模）抛物线y=-3(x+1)2-2由y=-3x2平移得到，平移过程正确的是（ ） A.向左平移1个单位，向下平移2个单位 B.向右平移1个单位，向下平移2个单位 C.向左平移1个单位，向上平移2个单位 D.向右平移1个单位，向上平移2个单位 【答案】：A 【解析】：平移口诀：括号内“左加右减”，括号外“上加下减”；y=-3x2变为y=-3(x+1)2-2，x加上1（左移1个单位），常数项减2（下移2个单位）。 例3．二次函数的图象是（　　） A． B． C． D．   【答案】D 【解析】，抛物线开口方向向下，二次函数解析式为， 顶点坐标为，对称轴为，故选：D． 例4.（2025花溪区期末）对于二次函数y=-(x+2)2+3，下列说法错误的是（ ） A.开口向下 B.对称轴为直线x=-2 C.顶点(-2,3) D.当x>-2时，y随x的增大而增大 【答案】：D 【解析】：a=-1<0，开口向下，对称轴x=-2；当x>-2（对称轴右侧）时，y随x增大而减小，D选项错误。 例5.（2024-2025清镇市期末）抛物线y=4(x-5)2-7的对称轴是________。 【答案】：直线x=5 【解析】：顶点式y=a(x-h)2+k，对称轴为直线x=h，本题h=5。 例6.（2026乌当区一模）抛物线y=-2(x-h)2+7经过点(0,-1)，则h=________。 【答案】：±2 【解析】：将(0,-1)代入解析式：-1=-2(0-h)2+7，-2h2=-8，h2=4，解得h=±2。 例7.（2025修文县期末）将抛物线y=(x-2)2-1向上平移3个单位，新抛物线解析式为______。 【答案】：y=(x-2)2+2 【解析】：上下平移改变括号外常数项，“上加下减”，-1+3=2。 例8.（2026开阳县二模）二次函数y=3(x+4)2-5，当x=时，y取得最小值为____。 【答案】：-4；-5 【解析】：a=3>0，开口向上，在对称轴x=-4（顶点处）取得最小值，最小值为顶点纵坐标-5。 例9.（2024‑2025南明区期末·改编）已知二次函数y=-2(x+1)2+8。 (1)写出抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与x轴的交点坐标。 解：(1)a=-2<0，开口向下；顶点(-1,8)；对称轴：直线x=-1。 (2)令y=0，-2(x+1)2+8=0，(x+1)2=4，x+1=±2；解得x1=1，x2=-3；与x轴交点为(1,0)、(-3,0) 例10.（2026花溪区三模·改编，3小问）抛物线y=a(x-2)2-3经过点(4,5)。 (1)求a的值； (2)写出该抛物线的增减性； (3)若点Q(n,13)在此抛物线上，求n的值。 解：(1)把(4,5)代入解析式：5=a(4-2)2-3，4a-3=5，解得a=2。 (2)解析式为y=2(x-2)2-3；a=2>0，对称轴直线x=2；当x<2时，y随x增大而减小；当x>2时，y随x增大而增大。 (3)把y=13代入y=2(x-2)2-3，13=2(n-2)2-3，(n-2)2=8，解得n=2±2。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）抛物线y=-7(x-5)2+1的开口方向是（ ） A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 【答案】：B 【解析】：a=-7<0，二次函数开口向下。 2.（2026云岩区一模）抛物线y=4(x+2)2-6是由y=4x2如何平移得到（ ） A.向左平移2个单位，向下平移6个单位 B.向右平移2个单位，向下平移6个单位 C.向左平移2个单位，向上平移6个单位 D.向右平移2个单位，向上平移6个单位 【答案】：A 【解析】：括号内x+2，向左平移2个单位；括号外-6，向下平移6个单位。 3.（2025花溪区期末）二次函数y=2(x-7)2+9的最小值是（ ） A.2 B.7 C.9 D.-9 【答案】：C 【解析】：a=2>0，开口向上，顶点纵坐标为9，函数最小值为9。 4.（2026清镇市二模）已知C(-4,y1)，D(-1,y2)在抛物线y=-(x+2)2+5上，则（ ） A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定 【答案】：B 【解析】：对称轴为直线x=-2，开口向下；C到对称轴距离|-4-(-2)|=2，D到对称轴距离|-1-(-2)|=1；开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，y1<y2。 5.（2025乌当区期末）抛物线y=a(x+1)2-5经过(0,-3)，则a=（ ） A.3 B.-3 C.2 D.-2 【答案】：C 【解析】：将(0,-3)代入解析式，-3=a(0+1)2-5，解得a=2。 6.（2026息烽县一模）下列关于y=-5(x-4)2+3的结论错误的是（ ） A.对称轴是直线x=4 B.顶点(4,3) C.当x>4时，y随x增大而增大 D.最大值为3 【答案】：C 【解析】：a=-5<0，开口向下；x>4时，y随x增大而减小，C选项错误。 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是(　　) A．h>0，k>0　　B．h<0，k>0 C．h<0，k<0　　　D．h>0，k<0 【答案】：A 【解析】：a=-2<0，抛物线开口向下。顶点(h,k)：由图像观察，顶点在第一象限，横坐标h>0，纵坐标k>0。所以h>0,k>0，选A。 8．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1m的喷水管喷水最大高度为3m，此时喷水水平距离为m，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是(　　) A.y＝－（x-）2＋3 B.y＝3（x+）2＋1 C.y＝－8（x-）2＋3 D.y＝－8（x+）2＋3 【答案】：C 【解析】：已知条件：喷水高度初始为1m（x=0,y=1）；最大高度3m，水平距离m，即顶点(,3)。设顶点式：y=a(x-)2+3,把(0,1)代入：1=a(0-)2+3,a=-8 （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）抛物线y=-(x-8)2+11顶点坐标：________。 【答案】：(8,11) 【解析】：y=a(x-h)2+k顶点坐标(h,k)，h=8，k=11。 10.（2026修文县一模）抛物线y=-2x2向左平移6个单位，再向上平移4个单位后的解析式：________。 【答案】：y=-2(x+6)2+4 【解析】：左平移6个单位，括号内x加6；向上平移4个单位，括号外加4。 11.（2025开阳县期末）二次函数y=6(x+3)2-2，当x________时，y随x增大而减小。 【答案】：<-3 【解析】：开口向上，对称轴x=-3；对称轴左侧（x<-3），y随x增大而减小。 12.（2026云岩区二模）抛物线y=a(x-1)2+7，若它经过点(2,5)，则a=________。 【答案】：-2 【解析】：代入(2,5)，5=a(2-1)2+7，解得a=-2。 13.（2025花溪区期末）抛物线y=(x+5)2-4与x轴交点坐标为________。 【答案】：(-3,0)、(-7,0) 【解析】：令y=0，(x+5)2-4=0，(x+5)2=4，x+5=±2，解得x1=-3，x2=-7。 14.（2026观山湖区三模）已知二次函数y=-4(x-h)2+k有最大值‑1，则k=________。 【答案】：-1 【解析】：a<0，函数最大值为顶点纵坐标k，所以k=-1。 15．当 时，二次函数有最小值． 【答案】 【解析】当时，二次函数有最小值．故答案为：． 16.如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)．若点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为_______. 【答案】8 【解析】　当点A(1，4)为顶点时，点C的坐标为(－3，0)，∴y＝a(x－1)2＋4.将点C的坐标代入，得0＝a(－3－1)2＋4，∴a＝－.当点B(4，4)为顶点时，点D的横坐标有最大值，此时y＝－(x－4)2＋4.当y＝0时，可求得x1＝0，x2＝8.∴此时点D的坐标为(8，0)． （三）解答题 17．已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 解：（1）由抛物线可知，a＝﹣1＜0，开口向下，对称轴是：直线x＝2， 顶点坐标为：（2，3）；故答案为：下，直线x＝2，（2，3）； （2）①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 … 故答案为：（0，﹣1），（1，2），（2，3），（3，2），（4，﹣1）； ②描点、连线： 18.（2024-2025清镇市期末，2小问）已知二次函数y=-2(x-4)2+12。 (1)求顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标。 解：(1)顶点(4,12)，对称轴：直线x=4。 (2)与y轴交点：令x=0，y=-2(0-4)2+12=-20，交点(0,-20)；与x轴交点：令y=0，-2(x-4)2+12=0，(x-4)2=6，x=4±，交点(4+,0)、(4-,0)。 19.（2025息烽县期末）将抛物线y=3x2平移后得到抛物线y=3(x-7)2+4。 (1)说明平移过程； (2)求平移后抛物线的最值。 解：(1)由y=3x2向右平移7个单位，再向上平移4个单位得到y=3(x-7)2+4。 (2)a=3>0，开口向上，当x=7时，取得最小值4，无最大值。 20.（2026乌当区一模，3小问）抛物线y=a(x+2)2-5过点P(-1,-4)。 (1)求a的值； (2)写出增减性； (3)当-5≤x≤1时，求y的取值范围。 解：(1)代入P(-1,-4)：-4=a(-1+2)2-5，解得a=1。 (2)解析式为y=(x+2)2-5；a=1>0，对称轴直线x=-2；当x<-2时，y随x增大而减小；当x>-2时，y随x增大而增大。 (3)开口向上，顶点(-2,-5)为最低点；x=-5时，y=(-5+2)2-5=4；x=1时，y=(1+2)^2-5=4； ∴y取值范围：-5≤y≤4。 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）对于抛物线y=-6(x+5)2-1，下列说法正确的是（ ） A.开口向上 B.对称轴为直线x=5 C.顶点(-5,-1) D.有最小值-1 【答案】：C 【解析】：a=-6<0，开口向下；对称轴为直线x=-5；顶点(-5,-1)；函数有最大值‑1，C正确。 2.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=(x-6)2+3由y=x2如何平移得到（ ） A.向上平移6个单位，向右平移3个单位 B.向右平移6个单位，向上平移3个单位 C.向左平移6个单位，向下平移3个单位 D.向右平移6个单位，向下平移3个单位 【答案】：B 【解析】：括号内x-6，向右平移6个单位；括号外+3，向上平移3个单位。 3.（2026观山湖区一模）已知点P(-5,y1)，Q(-2,y2)在抛物线y=4(x-1)2+2上，则（ ） A.y1>y B.y1<y2 C.y1=y D.无法比较 【答案】：A 【解析】：对称轴直线x=1，开口向上；P距离对称轴6，Q距离对称轴3；离对称轴越远函数值越大，y1>y2。 4.（2025清镇市期末）抛物线y=-2(x-h)2+k与x轴交于(4,0)，顶点纵坐标为6，则该抛物线解析式为（ ） A.y=-2(x-4)2+6 B.y=-2(x+4)2+6 C.y=-2(x-4)2-6 D.y=-2(x+4)2-6 【答案】：A 【解析】：顶点横坐标为h，顶点纵坐标k=6，抛物线过(4,0)，所以h=4，解析式y=-2(x-4)2+6 5.（2026开阳县一模）二次函数y=7(x-3)2-4，当x<3时，y随x增大而（ ） A.增大 B.减小 C.不变 D.先增后减 【答案】：B 【解析】：开口向上，对称轴x=3；x<3在对称轴左侧，y随x增大而减小。 6.（2025乌当区期末）抛物线y=-(x-7)2+9的最大值为（ ） A.7 B.-7 C.9 D.-9 【答案】：C 【解析】：a=-1<0，开口向下，顶点纵坐标9即为函数最大值。 7.（2026修文县二模）将抛物线y=-3x2先向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线解析式为（ ） A.y=-3(x+52)-2 B.y=-3(x-5)2-2 C.y=-3x2+5-2 D.y=-3x2-5-2 【答案】：A 【解析】：左平移5个单位，括号内x加5；向下平移2个单位，括号外减2。 8．已知二次函数，可知一定正确的是（   ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．其最小值为1 【答案】D 【解析】二次函数中， ，图象开口向上， 故A错误；令得，即其图象的对称轴为直线，故B错误；由，对称轴为直线，得抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，故C错误；当时，y取最小值为1，故D本选项正确．故答案为：D． 9．如图，抛物线y＝x2与直线y＝x相交于点A，沿直线y＝x平移该抛物线，使得平移后的抛物线的顶点恰好为点A，则平移后抛物线的函数表达式是(　　) A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1 【答案】：C 【解析】：联立y=x2和y＝x，x2=x,x(x-1)=0，解得x=0或x=1。A点坐标(1,1)。原抛物线y=x2顶点(0,0)，平移后顶点变为A(1,1)。根据平移规律“左加右减，上加下减”，向右平移1个单位，向上平移1个单位。解析式：y=(x-1)2+1，对应选项C。 10．如图将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是(　D　) A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－2)2＋7 C．y＝(x－2)2－5 D．y＝(x－2)2＋4 【答案】D 【解析】原抛物线：y=(x-2)2+1。点A(1,m)、B(4,n)沿y轴竖直向上平移，线段AB扫过的阴影面积=水平线段长度×竖直平移距离。计算A、B水平距离：4-1=3。设向上平移了t个单位。面积：3×t=9，解得t=3。原顶点纵坐标为1，新顶点纵坐标：1+3=4。新解析式：y=(x-2)2+4，对应选项D。 （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）抛物线y=-9(x-12)2+15的顶点坐标为________。 【答案】：(12,15) 【解析】：y=a(x-h)2+k顶点坐标(h,k)，h=12，k=15。 12.（2026云岩区三模）抛物线y=8(x-h)2+k有最小值-4，则k=________。 【答案】：-4 【解析】：a>0，开口向上，最小值为顶点纵坐标k。 13.（2025观山湖区期末）抛物线y=2(x+6)2-8与y轴交点坐标为________。 【答案】：(0,64) 【解析】：令x=0，y=2(0+6)2-8=72-8=64，交点(0,64)。 14.（2026息烽县二模）将抛物线y=x2向右平移8个单位，再向下平移3个单位，解析式为________。 【答案】：y=(x-8)2-3 【解析】：右平移8个单位，括号内x减去8；向下平移3个单位，括号外减3。 15.（2025清镇市期末）已知A(4,m)在抛物线y=-(x-2)2+5上，则m=________。 【答案】：1 【解析】：代入x=4，m=-(4-2)2+5=-4+5=1。 16.（2026乌当区三模）二次函数y=-5(x-1)2+6，当x________时，y随x增大而增大。 【答案】：<1 【解析】：开口向下，对称轴x=1；x<1时，y随x增大而增大。 17.（2025开阳县期末）抛物线y=a(x+4)2-7经过(2,29)，则a=________。 【答案】：1 【解析】：代入(2,29)，29=a(2+4)2-7，36a=36，a=1。 18.（2026南明区一模）对于抛物线y=(x+9)2-2，当y≥-2时，x的取值范围是________。 【答案】：全体实数 【解析】：a=1>0，开口向上，最小值为-2，所以y≥-2对所有实数x恒成立。 19.在同一平面直角坐标系中,如果两个二次函数y1=a1(x+h1)2+k1与y2=a2(x+h2)2+k2的图象的形状相同,并且对称轴关于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互为梦函数.如二次函数y=(x+1)2-1与y=(x-1)2-1互为梦函数,写出二次函数y=2(x+3)2+2的其中一个梦函数:　　　　　　.  【答案】y=2(x-3)2+2(答案不唯一) 【解析】梦函数要符合两个条件:①二次项系数的绝对值相同;②图象的对称轴关于y轴对称. 20．已知二次函数y＝a(x－1)2＋6－3a的图象如图所示，则整数a的值为_____． 【答案】1 【解析】由抛物线的开口方向知a>0，由抛物线顶点的纵坐标知6－3a＞0，即a＜2，所以0＜a＜2，所以整数a的值为1. （三）解答题 21.（2026花溪区三模）抛物线y=-2(x-k)2+m经过点M(-1,-8)，顶点纵坐标为0。 (1)求k、m的值； (2)写出抛物线的增减性； (3)当-3≤x≤2时，求y的取值范围。 解：(1)由顶点纵坐标为0，得m=0；把M(-1,-8)代入解析式：-8=-2(-1-k)2，(-1-k)2=4，-1-k=±2，解得k=1或k=-3。 (2)①k=1时，y=-2(x-1)2；a=-2<0，开口向下；顶点(1,0)，最大值为0；当x<1时，y随x增大而增大；当x>1时，y随x增大而减小。 ②k=-3时，y=-2(x+3)2；a=-2<0，开口向下；顶点(-3,0)，最大值为0；当x<-3时，y随x增大而增大；当x>-3时，y随x增大而减小。 (3)以k=1，y=-2(x-1)2为例：开口向下，顶点(1,0)；x=-3时，y=-2(-3-1)2=-32；x=2时，y=-2(2-1)2=-2；在-3≤x≤2内，最大值为0，最小值为-32；∴y取值范围：-32≤y≤0}。 22.（2026观山湖区二模）抛物线y=a(x-h)2+k，当x=3时，y=2，顶点为(1,-2)。 (1)求抛物线解析式； (2)说明抛物线由y=ax2如何平移得到； (3)当y<-2时，判断x是否存在取值。 解：(1)顶点(1,-2)，则h=1，k=-2；把(3,2)代入y=a(x-1)2-2，2=a(3-1)2-2，4a=4，a=1；解析式：y=(x-1)2-2。 (2)y=(x-1)2-2可由抛物线y=x^2向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到。 (3)y=(x-1)2-2开口向上，最小值为‑2，y≥-2；因此不存在x使得y<-2。 23.如图,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD.已知点A的坐标为(-1,0). (1)求抛物线的函数表达式; (2)求梯形COBD的面积. 解:(1)把A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4,得0=4a+4,解得a=-1,∴抛物线的函数表达式为y=-(x-1)2+4. (2)在y=-(x-1)2+4中,令x=0,得y=3,∴OC=3.∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴是直线x=1,∴CD=1.又∵A(-1,0),∴B(3,0).∴OB=3.∴S梯形COBD==6. 24．如图已知二次函数y＝－(x－h)2＋的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴； (2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，点A′是不是该二次函数图象的顶点？ 解：(1)该二次函数图象的对称轴为直线x＝1. (2)由图形的旋转性质，得OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°.连接AA′，可知△OAA′为等边三角形．过点A′作A′B⊥x轴于点B，可求得OB＝1，A′B＝，∴A′(1，)．由图像的对称轴为直线x＝1，得二次函数的表达式为y＝－(x－1)2＋， 25.如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B. (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围． 解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1.∴二次函数表达式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3，∴点C的坐标为(0，3)，对称轴为直线x＝－2.∵点B，C关于抛物线的对称轴对称，∴点B的坐标为(－4，3)．∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点A，B，∴解得∴一次函数表达式为y＝－x－1. (2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围为x≤－4或x≥－1. 26.某公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，连喷头在内柱高为1 m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线形路径落下，如图①所示．已知在图②中，抛物线的最高点M距离柱子OA为1 m，距离地面OB为2 m. (1)求图②中抛物线的函数表达式(不必求x的取值范围)． (2)如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内(精确到0.01 m)? 解：(1)设题图②中的抛物线的函数表达式为y＝a(x－m)2＋k.由题意，得此抛物线的顶点坐标为(1，2)，∴m＝1，k＝2，即y＝a(x－1)2＋2.把点A(0，1)的坐标代入y＝a(x－1)2＋2，解得a＝－1.∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋2. (2)当y＝0时，－(x－1)2＋2＝0，解得x1≈2.41，x2≈－0.41(舍去)．∴水池的半径至少为2.41 m时，才能使喷出的水流都落在水池内． 27.如图所示，已知抛物线C0的函数表达式为y=x2-2x. (1)求抛物线C0的顶点坐标. (2)将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1，C2，C3，…，Cn(n为正整数). ①求抛物线C1与x轴的交点A1，A2的坐标. ②试确定抛物线Cn的函数表达式.(直接写出答案，不需要解题过程) 解：(1)∵y=x2-2x=(x-1)2-1，∴抛物线C0的顶点坐标W为(1，-1). (2)①当y=0时，则有x2-2x=0，解得x1=0，x2=2，则O(0，0)，A1(2，0).∵将抛物线C0向右平移2个单位，得到抛物线C1，∴此时抛物线C0与x轴的交点O(0，0)，A1(2，0)也随之向右平移2个单位.∴抛物线C1与x轴的交点A1，A2的坐标分别为A1(2，0)，A2(4，0). ②抛物线Cn的顶点坐标为(1+2n，-1)，则抛物线Cn的表达式为y=［x-(1+2n)］2-1， 即y=x2-(4n+2)x+4n2+4n. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $