专题14 视图（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦“视图”核心知识点，系统梳理视图定义、三视图（主视图、左视图、俯视图）概念及几何特征，明确“长对正、高平齐、宽相等”关系，构建从概念理解到画图步骤、几何体还原及易错点总结的完整学习支架。 该资料以表格口诀强化概念记忆，设计15种分层题型及变式，结合易错点解析培养空间观念与几何直观。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过典例变式巩固知识，查漏补缺，提升推理意识与应用能力。

专题14 视图 1. 了解视图及主视图、左视图、俯视图的概念； 2. 会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图； 3. 会根据视图描述简单的几何体，知道三种视图在现实生活中的应用； 4. 经历由实物抽象出几何体的过程，进一步发展空间观念。 1. 核心概念梳理： 视图的定义: 从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图。 物体在正面、水平面和侧面三个互相垂直的投影面内同时进行正投影，分别得到三个视图： 视图名称 观察方向 投影面 主视图 由前向后观察物体 正面 俯视图 由上向下观察物体 水平面 左视图 由左向右观察物体 侧面 主视图、左视图、俯视图统称为物体的三视图。 💡 理解关键：三视图的本质是用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形。视图是特殊的正投影——物体在三个互相垂直的投影面上的正投影。 三种视图反映的几何特征: 视图 反映的几何特征 主视图 物体的长和高 俯视图 物体的长和宽 左视图 物体的高和宽 💡 记忆口诀：主视图——长高；俯视图——长宽；左视图——高宽。 2. 三视图之间的关系 ⭐ 核心考点： 三视图之间遵循 “长对正、高平齐、宽相等” 的原则： 关系 具体含义 长对正 主视图与俯视图的长度对应相等 高平齐 主视图与左视图的高度对应相等 宽相等 左视图与俯视图的宽度对应相等 位置关系：三视图的位置有严格规定——主视图在左边，它的下方是俯视图，左视图在其右边。 ⚠️ 易错提醒：三视图的位置有严格规定，不能随意乱放。俯视图必须画在主视图的正下方，左视图必须画在主视图的正右方。 3. 画几何体的三视图: 画图步骤: 步骤 操作 ①确定主视图位置 先画出主视图 ②画俯视图 在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图 “长对正” ③画左视图 在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图 “高平齐” ，与俯视图 “宽相等” 画图注意事项: 观察时视线与观察面垂直，即观察到的是该图的正投影； 看得见部分的轮廓线通常画成实线； 看不见部分的轮廓线通常画成虚线； 要充分发挥空间想象能力。 💡 理解关键：画三视图时，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察所得的视图画出来。 4. 由三视图想象几何体: 方法步骤: 步骤 操作 ①分别想象 根据主视图、俯视图、左视图分别想象几何体的前面、上面和左侧面的形状 ②综合判断 将三个方向的形状综合起来，考虑整体图形 ③注意虚实线 根据实线和虚线判断看得见和看不见的轮廓线 基本几何体的三视图: 几何体 主视图 左视图 俯视图 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（含圆心） 球 圆 圆 圆 正方体 正方形 正方形 正方形 💡 记忆技巧：熟记一些简单几何体的三视图，有助于对复杂几何体视图的想象。 5. 易错点总结: 易错点 说明与预防 ① 三视图位置放错 俯视图必须在主视图正下方，左视图必须在主视图正右方，不能随意摆放 ② 混淆“长对正、高平齐、宽相等” 牢记：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等 ③ 虚实线使用不当 看得见的轮廓线用实线，看不见的用虚线，不能混用 ④ 画圆锥俯视图时漏画圆心 圆锥的俯视图是圆（含圆心） ，圆心代表顶点，不可遗漏 ⑤ 由三视图想象几何体时考虑不全面 必须综合三个视图的信息整体判断，不能只看其中一个或两个 ⑥ 三视图与投影概念混淆 三视图是正投影的特殊应用，是在三个互相垂直的投影面上同时进行正投影得到的 题型01判断简单几何体的三视图 【典例】下面图示的四个物体中，正视图如图所示的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左到右第一、第三和第四的物体的主视图均为： 第二个的物体的主视图为： 【变式】将如图所示的绕直角边AC旋转一周，所得几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何体的旋转与俯视图，掌握直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，圆锥的俯视图是圆是解题的关键． 先确定直角三角形绕直角边旋转一周所得的几何体，再分析该几何体的俯视图形状，进而判断选项． 【详解】解：绕直角边旋转一周，所得几何体是圆锥，圆锥的俯视图是一个圆． A、是圆且含圆心，符合圆锥俯视图的形状，符合题意； B、是直角三角形，不符合题意； C、是正方形，不符合题意； D、是三角形，不符合题意． 故选：A． 题型02判断简单组合体的三视图 【典例】如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体A移到小正方体B上方后，新的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将小正方体A移到小正方体B上方后，得到俯视图为 ． 【变式】由8个大小相同的正方体搭成的几何体，被嘉琪拿掉1个后，得到如图1所示的几何体，图2是原几何体的三视图．请你判断嘉琪拿掉的那个正方体原来放在（     ） A．①号的前面 B．②号的前面 C．③号的前面 D．④号的右边 【答案】B 【分析】先分析原几何体总数：原几何体共8个正方体，拿掉1个后剩7个（即图1），结合三视图可知：原几何体底层共6个正方体（前后两排，每排3个，左右共三列），上层共2个正方体（都在后排的左右两列上方），总和正好为8个，再对比原几何体的三视图与图1（拿掉后的几何体）后的图形即可． 【详解】原几何体的三视图对比图1（拿掉后的几何体）：观察俯视图发现缺少前排中间位置的正方体，再结合左视图这个位置正好是后排中间的②号的正前方． 题型03判断非实心几何体的三视图 【典例】如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 【变式】如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图，从几何体的左边看到的图形是左视图．根据几何体的左视图的定义，结合看的见的棱是实线，看不见的棱是虚线即可得到答案． 【详解】 解：几何体的左视图是， 故选：C ． 题型04已知一种或两种视图，判断其他视图 【典例】已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图的投影规律“长对正，高平齐，宽相等”进行分析，由主视图和俯视图确定几何体的形状及内部结构的位置，进而推断左视图的形状． 【详解】解：∵主视图为矩形且内部有两条竖直虚线，俯视图为大圆内部有一个小圆， ∴该几何体为大圆柱，中间挖去了一个圆柱形的孔， ∵主视图中虚线左右对称，俯视图中内部小圆左右居中， ∴小圆柱孔在左右方向上位于大圆柱中心， ∵俯视图中内部小圆靠下（即靠近观察者，位于前方）， ∴根据“宽相等”及左视图的投影规律（左视图的右侧对应几何体的前方），左视图中表示小圆柱孔的虚线应靠右， ∴左视图应为 【变式】如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看看到的图形分为上中下三层，共两列，从左边数起，第一列，中下两层各有一个小正方形，第二列上中下各有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：B． 题型05画简单几何体的三视图 【典例】分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的有（    ） A．1个 B．2个 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别得出三棱柱、球、圆柱体、正方体的三视图的形状，再判断即可． 【详解】解：三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，三种视图不相同， 球的主视图、左视图都是圆，俯视图都是圆，三种视图相同， 圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，三种视图不相同； 正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，三种视图相同； 所以三种视图相同的有2种， 故选：B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，明确球、圆柱、三棱柱、正方体的三视图的形状和大小是正确判断的前提． 【变式】有一个几何体如图所示，该几何体的俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示． 【详解】解：从上面可看，左上有一条横向的实线． ∴俯视图是： 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键． 题型06画简单组合体的三视图 【典例】如图是某个几何体的表面展开图． (1)画出该几何体的三视图； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1)见解析 (2)120π 【分析】本题主要考查几何展开图还原组合体、三视图及组合体体积问题，还原组合体图形是解题的关键． （1）根据几何透视原理作出三视图； （2）由展开图可知该几何体是圆柱和圆锥的组合体，先利用展开图以及三视图求出圆锥的高，然后求出圆锥的体积，再求出圆柱的体积，最后得到几何体的体积． 【详解】（1）解：由这个几何体的表面展开图可知，这个组合体上面是底面半径为3， 母线为5的圆锥体，下面是底面半径为3，高为12的圆柱体的组合体， 所以它的三视图如下： （2）由勾股定理可得，上面圆锥的高为4， 所以这个组合体的体积为． 【变式】分别画出如图1、图2所示几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握三视图中看得见的用实线，看不见的用虚线是解题的关键．根据看得见的用实线，看不见的用虚线画图即可． 【详解】解：题图1、题图2中几何体的三视图分别如图1、图2所示：      题型07画小立方块堆砌图形的三视图 【典例】如图是由7个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】它的俯视图如图所示： 【变式】如图，是由7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多可以再添加__________个小正方体． 【答案】(1) 解：如图所示： (2)2 【分析】此题主要考查了几何体三视图画法，注意观察角度是解题关键． （1）从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右4列正方形的个数依次为1，2，1，2，依此画出图形即可； （2）根据保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添一个即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添一个，即最多可再添加2个小正方体． 故答案为：2 题型08由三视图还原几何体 【典例】图中三种视图对应的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从四个选项中立体图形的俯视图判断，只有B选项的俯视图与题中所给三视图的俯视图一致． 【变式】某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了它的三视图．请你根据如图所示的三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积（结果精确到，参考数据：）． 【答案】． 【分析】本题考查了三视图，解题关键是根据密封罐的三视图得到密封罐的形状． 根据三视图可知，该密封罐是一个正六棱柱，即可求面积． 【详解】解：根据三视图可知，该密封罐是一个正六棱柱， 易得组成其底面六边形的六个正三角形的高为， 该正六棱柱的底面面积为， 该正六棱柱的表面积为． 故制作每个密封罐所需钢板的面积约为． 题型09已知三视图求边长 【典例】如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从左向右看，看到的宽度是底面中顶点E到边的垂直距离，过点E作于点Q，则，在中，，得到，从而求出长． 【详解】解：过点E作于点Q，则是边上的高，且， 在中，，， ， 即． 【变式】如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了俯视图，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题的关键在于根据题意得出为等腰直角三角形．根据题意得到为等腰直角三角形， 设，进而得到，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 即为等腰直角三角形，且， 设，则， ， 解得， 则图中线段的长度为， 故答案为：． 题型10已知三视图求侧面积或表面积 【典例】一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（   ） A．50 B．66 C．70 D．76 【答案】B 【详解】解：由主视图和俯视图可知，底面正方形的对角线长为，长方体的高为， ∴底面边长为， ∴这个长方体的表面积为． 【变式】下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据俯视图和左视图的面积求得相应的边长，即可求解． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键． 【详解】解：设长方体的长为x，宽为y，高为m， 根据题意，得，，， 故，， 故， 解得， 解得或（舍去）， 故选：B． 题型11求小立方块堆砌图形的表面积 【典例】下图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数． (1)请画出它的主视图和左视图． (2)若小正方体的棱长为1，则该几何体的表面积为________． 【答案】(1)（1）如图所示． (2)32 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图和简单组合体的表面积，画三视图时需要注意“长对正，宽相等，高平齐”． （1）根据俯视图以及俯视图中每个位置所摆放的小立方体的个数，即可看画出其主视图和左视图； （2）根据三视图的面积以及被挡住的面继续计算即可． 【详解】（1）解：俯视图中的数字表示在该位置上小正方体的个数；主视图从正面看，显示从左到右依次为个、个、个小正方体的高度；左视图从左侧看，显示从左往右依次为个、个小正方体的高度，可以得出以下主视图、左视图： （2）解：俯视图和仰视图的面积为， 主视图和后视图的面积为， 左视图和右视图的面积为， 因此，该几何体的表面积为． 故答案为：． 【变式】下图所示的是由棱长为1cm的小正方体摆成的图形，第1个图形的主视图有1个正方形，其表面积为；第2个图形的主视图有3个正方形，其表面积为；第3个图形的主视图有6个正方形，其表面积为；…… (1)第6个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (2)第个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (3)按照上图规律摆下去，是否存在某个图形的主视图和俯视图一共有90个正方形？若存在，则这个图形一共用了多少个小正方体？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（个）正方形， (2)个正方形， (3)存在，（个）小正方体 【分析】本题考查了图形的变化规律，读懂题意，根据题意得出图形的变化规律是解本题的关键． (1)根据题意可知第个图中，从正面看有个正方形，据此解答即可； (2)正面看到的正方形个数有个，据此解答即可； (3)因为从正面和上面一共看到个正方形，则，据此解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第6个图形的主视图有（个）正方形， 其表面积为． （2）解：由题意可知，第个图形的主视图有个正方形， 其表面积为． （3）解：存在． 主视图和俯视图一共有90个正方形，且这两个视图的正方形的个数是相同的， ， 解得（负值已舍去）， 这个图形一共用了（个）小正方体． 题型12求几何体视图的面积 【典例】3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的形状画出对应几何体的左视图，进而求出对应几何体的左视图面积，比较即可得到答案． 【详解】解：设小正方体的棱长为1， A选项中左视图为，则左视图面积为， B选项中左视图为，则左视图面积为， C选项中左视图为，则左视图面积为， D选项中左视图为，则左视图面积为， ∵， ∴A选项中的左视图面积最小． 【变式】如图是两个大小不等的正方体拼成的几何体，该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小正方体一个面的面积为，大正方体一个面的面积为，且，再根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：设小正方体一个面的面积为，大正方体一个面的面积为，且， 主视图面积：从正方向看，可以同时看到小正方体1个面和大正方体1个面， ， 俯视图面积：从上往下看，可以同时看到小正方体1个顶面和大正方体1个顶面， ， ， 左视图面积：从左向右看，小正方体边长小于大正方体，左视图中只能看到大正方体的1个整面（小正方体完全落在大正方体的轮廓内，总看到的面积就是大正方体一个面的面积）， ， ， ． 题型13已知三视图求体积 【典例】小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示，该工件的体积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆柱体体积的计算，正确得到几何体的形状是解题关键． 根据工件三视图的形状和所标注的尺寸可知，这个工件是底面直径为，高为与底面直径为，高为的圆柱体的组合体，根据圆柱体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由这个工件的三视图可知，这个工件是底面直径为，高为与底面直径为，高为的圆柱体的组合体， 所以工件的体积为． 故答案为：． 【变式】某工厂要加工一批上、下底面密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图①． (1)密封纸盒的形状为_______． (2)根据该几何体的三视图，在图②中补全它的表面展开图． (3)请你根据图①中的数据，计算这个密封纸盒的表面积和体积（结果保留根号）． 【答案】(1)正六棱柱 (2)见解析 (3)表面积为，体积为 【分析】（1）通过观察三视图的形状，判断密封纸盒的几何体类型； （2）正六棱柱的表面展开图由两个正六边形底面和六个矩形侧面组成，按照此结构补全图②的展开图即可； （3）先确定正六棱柱的底面边长、高，再分别计算侧面积、两个底面积得到表面积，计算底面积与高的乘积得到体积． 【详解】（1）解：由三视图可知，密封纸盒的形状为正六棱柱．   （2）解：如图所示： （3）解：由（2）可知，密封纸盒的高为，底面边长为， ∴密封纸盒的表面积为， 体积为． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体及正六棱柱的表面积、体积计算，掌握根据三视图确定几何体形状，结合正六棱柱的边长、高计算表面积和体积是解题的关键． 题型14由三视图，判断小立方体的个数 【典例】如图所示的是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．若该几何体的主视图与左视图相同，则a，b的值分别为（    ） A．2，2 B．2，1 C．1，2 D．1，1 【答案】D 【分析】本题考查由俯视图和三视图的关系确定小正方体个数，掌握根据俯视图分析主视图和左视图的层数，结合两者相同的条件确定参数是解题的关键． 先根据俯视图确定主视图和左视图的列数及每列层数，再结合主视图与左视图相同的条件，分析的可能值． 【详解】解：主视图有3列，从左到右层数分别为， 左视图有3列，从左到右层数分别为， 因为主视图与左视图相同， 所以． 故选：D． 【变式】用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，如果需要的小正方体个数最多为个，最少为个，则的值为_____________． 【答案】22 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，解题的关键是发展空间想象能力． 根据从正面看到的图形易得这个几何体共有3层，由从上面看到的图形可得第一层立方体的个数，由从正面看到的图形可得第二层立方体的可能的个数，从而求出m、n的值，再相加即可． 【详解】解：综合从正面和上面看到的图形，这个几何体的底层有6个小正方体， 第二层最少有2个，第3层最少有1个， 因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：， 第二层最多有5个，第3层最多有2个， 因此搭成这样的一个几何体至多需要小正方体木块的个数为：， ∴， 故答案为：22． 题型15已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【典例】如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是_____，最多是_____． 【答案】 【分析】根据三视图的特点分析即可求解． 【详解】解：俯视图中， 能组成这个几何体的小正方体的个数最少是个， 俯视图中， 能组成这个几何体的小正方体的个数最多是个． 【变式】根据要求完成下列题目． (1)图中有______个小正方体； (2)请在网格中分别画出它的左视图和俯视图； (3)用小正方体搭一个不同于上面的几何体，使得它的左视图和俯视图与你在网格中所画的视图一致，则组成这样的几何体最少需要几个小正方体？最多呢？ 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)8个小正方体；13个小正方体． 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提． （1）观察图形可知，该几何体的下面一层有块小正方体，第二层有块小正方体，最上面一层有块小正方体，即共有块小正方体； （2）观察几何体，作出左视图和俯视图即可； （3）由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最少个数和最多个数相加即可． 【详解】（1）解：由分析可知：图中有个小正方体， 故答案为：． （2）解：如图所示． （3）解：组成这样的几何体所需小正方体最少的分布情况如图所示． 共需要个小正方体； 组成这样的几何体所需小正方体最多的分布情况如图所示． 共需要个小正方体． 【巩固训练】 1．如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：主视图是． 2．《九章算术·商功》中的“斜解立方，得两堑堵”，指的是将一个立方体沿着斜对角切开，得到两个相同的三棱柱，即“堑堵”．如图放置的“堑堵”的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：如图放置的“堑堵”的左视图是． 3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是下列的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察主视图发现右上角缺失三角形，排除B、C选项； 观察俯视图发现右下角缺失三角形，D选项俯视图缺失长方形，排除D选项； ∴该几何体可能是A选项． 4．月壤砖是利用模拟月壤或真实月壤原料烧制的建筑材料，如图水平放置的月壤砖的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图的定义，左视图是从物体的左面看所得到的图形；观察几何体可知，该几何体左侧为开口，从左面看能看到凹槽的棱，且为可见轮廓线，应画为实线． 【详解】解：∵该几何体左侧为开口状，右侧为封闭平面 ∴从左面看时，视线正对开口处 ∴能看到凹槽上下两条水平棱 ∵这两条棱未被遮挡，属于可见轮廓线 ∴在左视图中应画为实线 ∴左视图为一个矩形，中间有两条横向实线，故选B． 5．榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三视图的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项不是图形的俯视图，故不符合题意； B. 该选项是图形的俯视图，故符合题意； C. 该选项是图形的左视图，故不符合题意； D. 该选项是图形的主视图，故不符合题意． 6．如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从左侧看到的图形进行作答即可． 【详解】解：左视图为： 7．如图，图是图中长方体的三视图，若该长方体主视图的面积是，左视图的面积是，则其俯视图的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为，宽为， ∴． 8．在一个几何体的主视图、左视图和俯视图中，至少有一个视图中存在圆，则这个几何体可以是_________（写出一个符合题意的几何体即可）． 【答案】 球（答案不唯一） 【分析】本题要求找出三视图中至少有一个视图存在圆的几何体，结合常见几何体的三视图特征即可作答，答案不唯一． 【详解】解：常见几何体中，球的主视图、左视图、俯视图均为圆，满足“至少有一个视图中存在圆”的要求，符合题意．因此这个几何体可以是球．　 9．如图所示的几何体由六块相同的小正方体搭成，若移走一块小正方体，几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：通过左视图可知，②为单独的一块正方体，移走②则改变左视图． 10．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 111．由两个正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：它的俯视图为 ． 12．填写如图直六棱柱的三个视图的名称______，______，______． 【答案】 俯视图 左视图 主视图 【分析】由三视图的概念填空即可． 【详解】略． 13．如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为的正方形，左视图是宽为的矩形，俯视图是直径为的半圆，这个几何体的表面积是________． 【答案】 【分析】根据三视图特征得到该几何体为底面半径、高为的半圆柱，进而求出这个几何体的表面积． 【详解】解：由三视图可得，该几何体是底面为半圆的半圆柱， 底面半圆直径为，因此半径；由主视图为边长的正方形，可知半圆柱的高（母线长）， 半圆柱的表面积由三部分组成： 两个半圆形底面：两个半圆可拼接为个完整的圆， 面积：， 曲面侧面积：等于完整圆柱侧面积的一半， 面积：， 轴截面（矩形平面）：即半圆柱的截面，长为圆柱的高，宽为底面直径， 面积：， 总表面积：． 14．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的表面积是_________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据已知得出母线长，再利用圆锥侧面积公式求出圆锥的侧面积是解决问题的关键．根据圆锥侧面积公式，首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，相加即可得出该几何体的表面积． 【详解】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为10，底面圆的直径为8， ∴圆锥的母线为：， ∴圆锥的侧面积为：， 底面圆的面积为：， ∴该几何体的表面积为：． 15．如图，有由28块小正方体搭成的几何体，如果要拿走其中部分小正方体，但拿完后的几何体从正面看、从上面看、从左面看时视图跟原来的几何体从三个不同方向看的视图分别保持不变，那么最多可以拿走___________小正方体． 【答案】7 【分析】本题考查了简单组合体三视图，熟练掌握简单组合体三视图的画法是解题的关键． 根据简单组合体三视图的形状进行解答即可． 【详解】解：如图，在相应位置标注可以拿掉的小正方体的个数，使三视图不变， ∴所能拿掉的小正方体的个数为． 故答案为：7 ． 16．由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 【答案】9 【分析】本题考查了三视图，根据俯视图和左视图确定各个位置最少的小正方体的个数，即可求解． 【详解】解：结合俯视图和左视图，各个位置最少的小正方体的个数如下图： 或， 故答案为：． 17．如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】如图所示 【分析】结合俯视图中小正方体的个数，分别从正面和左面观察组合体得出平面图形． 【详解】略 18．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 【分析】（1）首先，应分别根据主视图、左视图和俯视图想象几何体的前面、左侧面和上面的形状，然后综合起来考虑整体形状； （2）根据形状求表面积即可． 【详解】（1）解：该几何体是一个三棱柱， （2）解：如图，底面等边三角形边长为，过点作于点， ， ， 底面三角形的面积为， 该几何体的表面积为． 19．一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并求其表面积S． 【答案】三棱柱，图见解析； 【分析】本题考查三视图，棱柱的表面积，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 有2个视图的轮廓是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是三角形，那么该几何体是三棱柱；根据勾股定理求出等腰三角形的腰长，再根据三棱柱的表面积公式求解即可． 【详解】解：这个几何体的名称是三棱柱，其平面展开图如图①所示(画法不唯一)．由三视图，可知三棱柱的底面是等腰三角形，如图②，过点A作于点D． 由题意，得， ∴ ∴． 20．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)要保持主视图、俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查三视图的画法，解题关键是根据三视图的定义和画法解答． （1）根据三视图的画法，画出图形即可求解； （2）从俯视图的角度出发，同时考虑主视图和左视图的情况，即可求解． 【详解】（1）解：画出这个几何体的主视图和左视图，如图所示： （2）解：如图，要保持主视图、俯视图和左视图都不变，则最多可以添加2个小立方块． 故答案为：2． 21．从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． (1)请画出该几何体的三视图； (2)计算该几何体的表面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)24 【分析】本题考查了画几何体的三视图及几何体表面积的计算． （1）根据题中所给出的几何体正确将正视图、左视图及俯视图画出即可； （2）观察整个几何体发现有3个边长为2的正方形，3个六边形及3个边长为1的小正方形，分别计算其表面积后最终相加即可得到． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：该几何体中有3个边长为2的正方形，表面积为， 有3个六边形，其表面积为， 有3个边长为1的小正方形，表面积为， ∴该几何体的表面积为． 【强化训练】 1．一个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的，它的主（正）视图与俯视图如图所示，则符合下面两个视图要求的几何体有（     ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据主视图，俯视图的意义，求解即可； 【详解】解：根据主视图，俯视图，得这个几何体的构建方式有如下方式， ， 2．如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动最上面的一块小正方体使得移动后的左视图和俯视图与移动前均相同，则这样的位置有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】根据移动前后左视图和俯视图不变选择适当的位置解答． 【详解】解：移动最上面的一块小正方体到1，2位置，其左视图和俯视图均相同， 所以这样的位置有2处． 3．如图所示的是某几何体的主视图．若该几何体的左视图和主视图相同，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的三视图，解题关键在于掌握几何体的基本性质． 根据主视图的形状，分析每个俯视图对应的左视图是否与主视图相同，找出不符合的选项． 【详解】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体为圆柱，则俯视图为A； 若上边的几何体为正四棱柱，下边的几何体为圆柱，则俯视图为B； 若俯视图为C，则主视图中上面的矩形中间应有虚线，故该几何体俯视图不可能是C； 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱，下边的几何体为正四棱柱时，俯视图为D． 故选：C． 4．如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走的小立方块的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】C 【分析】此题主要考查了几何体的表面积，熟知几何体表面积的定义以及正方体的表面积公式是解答本题的关键． 根据表面积不变，只需留11个，分别是中心的3个和四角上各2个． 【详解】解：若新几何体与原正方体表面积相等， 根据表面积不变，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个． 则最多可取走16个小立方块，剩余小立方块搭成的几何体的俯视图如图所示， 其中小正方形内的数字表示该位置上小立方块的个数． 故选：C． 5．一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm）如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为_______． 【答案】80 【分析】本题考查直四棱柱侧面积的计算，掌握先由三视图确定底面菱形的边长，再利用侧面积公式计算是解题的关键． 先根据三视图确定直四棱柱的底面菱形的边长，再结合直四棱柱的高，计算侧面积． 【详解】解：由主视图、左视图和俯视图可知，底面菱形的对角线长分别为和， 根据菱形的性质，边长为， 直四棱柱的高为，侧面积为底面周长乘以高，即． 故答案为：80． 6．如图所示的是一个长方体的主视图和左视图，其中左视图的面积是，主视图的面积是．请用含x的式子填空． （1）长方体的高为_______． （2）俯视图的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，整式的混合运算和几何体的表面积，读懂三视图是解题的关键． （1）根据左视图的面积计算即可； （2）根据主视图的面积和高求出底面的长，再根据左视图中的数据计算即可． 【详解】解：（1）长方体的高为：， 故答案为：； （2）底面的长为：， 所以俯视图的面积为：． 故答案为：． 7．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为______． 【答案】 【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可． 本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三视图中的数据确定圆柱的底面直径和高是解本题的关键． 【详解】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成， 圆柱底面直径为，高为，长方体的长为，宽为，高为， 故该几何体的体积为：． 故答案为：． 8．一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的是，搭这个立体图形最少要_______块小方块，最多可以有______块小方块． 【答案】 4 6 【详解】解：根据题意得：第一层3块小方块， 第二层最少1块小方块，则最少4块小方块， 第二层最多3块小方块，则最多6块小方块． 9．一个由若干棱长为2的小正方体搭成的几何体，从上面看它得到的形状图如图所示，数字表示该位置的正方体个数．求该几何体的表面积． 【答案】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从正面看有3列，小正方形的个数分别为，，；从左边看有2列，小正方形的个数为，，从上面看有3列，小正方形的个数为，，，最后再加上4个小正方形，进而求得该几何体的表面积． 【详解】解：如图， ∴该几何体的表面积为 10．下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)④⑤ (3) 【分析】本题考查作图-三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义． （1）根据展开图判断几何体即可； （2）根据三视图的定义判断即可； （3）根据表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：展开图由两个等腰直角三角形和三个矩形组成，这是直三棱柱的典型展开图，直三棱柱的两个底面是等腰直角三角形，侧面是矩形，所以这个几何体模型的最确切的名称是直三棱柱， （2）故答案为：直三棱柱； 解：主视图显示的是直三棱柱的侧面，即一个矩形，俯视图应该显示的是直三棱柱的底面，即一个等腰直角三角形，左视图则应该显示的是直三棱柱的另一个侧面，也是一个矩形，但其高度为，宽度为等腰直角三角形的斜边长度，即，根据这些信息，可以判断图④和图⑤不正确， 故答案为：④⑤； （3）解：由题意可知， ， 该几何体的表面积为． 11．某玩具店根据乐高积木数量的不同，订制了不同型号的外包装盒，所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图①），长方体纸箱的长为，宽为，高为． (1)制作一个长方体纸箱需要________纸板（用含的代数式表示）； (2)如图②所示的是由若干个同型号的长方体纸箱堆成的一个几何体的三视图，则组成这个几何体的长方体纸箱个数最少为多少？ (3)店铺要将两个装有相同数量乐高积木的同一型号的小外包装盒包装在一个更大的外包装盒内．已知单个小外包装盒的长和高相等，且宽小于长．如图③所示，现有甲、乙两种摆放方式，请分别计算甲、乙两种摆放方式所需大外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； 【答案】(1) (2)组成这个几何体的长方体纸箱个数最少为 (3)甲：，乙：；甲种摆放方式所需大外包装盒的纸板面积更少 【分析】本题考查了几何体的表面积问题，掌握长方体的表面积公式是解题的关键． （1）根据长方体的表面积公式求解即可； （2）根据三视图求解即可； （3）根据不同摆放方式的纸板面积进行判断即可． 【详解】（1）解：长方体的表面积为，上盖纸板面积为， ∴需要； 故答案为：； （2）解：根据三视图知，组成这个几何体的长方体纸箱个数最少的分布情况如图所示，图中所示数字表示该位置上长方体纸箱的个数， 组成这个几何体的长方体纸箱个数最少为． （3）解：由题意，得． 甲：． 乙：． ． 甲所需纸板面积-乙所需纸板面积， 甲种摆放方式所需大外包装盒的纸板面积更少． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 视图 1. 了解视图及主视图、左视图、俯视图的概念； 2. 会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图； 3. 会根据视图描述简单的几何体，知道三种视图在现实生活中的应用； 4. 经历由实物抽象出几何体的过程，进一步发展空间观念。 1. 核心概念梳理： 视图的定义: 从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图。 物体在正面、水平面和侧面三个互相垂直的投影面内同时进行正投影，分别得到三个视图： 视图名称 观察方向 投影面 主视图 由前向后观察物体 正面 俯视图 由上向下观察物体 水平面 左视图 由左向右观察物体 侧面 主视图、左视图、俯视图统称为物体的三视图。 💡 理解关键：三视图的本质是用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形。视图是特殊的正投影——物体在三个互相垂直的投影面上的正投影。 三种视图反映的几何特征: 视图 反映的几何特征 主视图 物体的长和高 俯视图 物体的长和宽 左视图 物体的高和宽 💡 记忆口诀：主视图——长高；俯视图——长宽；左视图——高宽。 2. 三视图之间的关系 ⭐ 核心考点： 三视图之间遵循 “长对正、高平齐、宽相等” 的原则： 关系 具体含义 长对正 主视图与俯视图的长度对应相等 高平齐 主视图与左视图的高度对应相等 宽相等 左视图与俯视图的宽度对应相等 位置关系：三视图的位置有严格规定——主视图在左边，它的下方是俯视图，左视图在其右边。 ⚠️ 易错提醒：三视图的位置有严格规定，不能随意乱放。俯视图必须画在主视图的正下方，左视图必须画在主视图的正右方。 3. 画几何体的三视图: 画图步骤: 步骤 操作 ①确定主视图位置 先画出主视图 ②画俯视图 在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图 “长对正” ③画左视图 在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图 “高平齐” ，与俯视图 “宽相等” 画图注意事项: 观察时视线与观察面垂直，即观察到的是该图的正投影； 看得见部分的轮廓线通常画成实线； 看不见部分的轮廓线通常画成虚线； 要充分发挥空间想象能力。 💡 理解关键：画三视图时，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察所得的视图画出来。 4. 由三视图想象几何体: 方法步骤: 步骤 操作 ①分别想象 根据主视图、俯视图、左视图分别想象几何体的前面、上面和左侧面的形状 ②综合判断 将三个方向的形状综合起来，考虑整体图形 ③注意虚实线 根据实线和虚线判断看得见和看不见的轮廓线 基本几何体的三视图: 几何体 主视图 左视图 俯视图 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（含圆心） 球 圆 圆 圆 正方体 正方形 正方形 正方形 💡 记忆技巧：熟记一些简单几何体的三视图，有助于对复杂几何体视图的想象。 5. 易错点总结: 易错点 说明与预防 ① 三视图位置放错 俯视图必须在主视图正下方，左视图必须在主视图正右方，不能随意摆放 ② 混淆“长对正、高平齐、宽相等” 牢记：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等 ③ 虚实线使用不当 看得见的轮廓线用实线，看不见的用虚线，不能混用 ④ 画圆锥俯视图时漏画圆心 圆锥的俯视图是圆（含圆心） ，圆心代表顶点，不可遗漏 ⑤ 由三视图想象几何体时考虑不全面 必须综合三个视图的信息整体判断，不能只看其中一个或两个 ⑥ 三视图与投影概念混淆 三视图是正投影的特殊应用，是在三个互相垂直的投影面上同时进行正投影得到的 题型01判断简单几何体的三视图 【典例】下面图示的四个物体中，正视图如图所示的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】将如图所示的绕直角边AC旋转一周，所得几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 题型02判断简单组合体的三视图 【典例】如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体A移到小正方体B上方后，新的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【变式】由8个大小相同的正方体搭成的几何体，被嘉琪拿掉1个后，得到如图1所示的几何体，图2是原几何体的三视图．请你判断嘉琪拿掉的那个正方体原来放在（     ） A．①号的前面 B．②号的前面 C．③号的前面 D．④号的右边 题型03判断非实心几何体的三视图 【典例】如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 题型04已知一种或两种视图，判断其他视图 【典例】已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 【变式】如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 题型05画简单几何体的三视图 【典例】分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的有（    ） A．1个 B．2个 C．3 D．4 【变式】有一个几何体如图所示，该几何体的俯视图为（    ） A． B． C． D． 题型06画简单组合体的三视图 【典例】如图是某个几何体的表面展开图． (1)画出该几何体的三视图； (2)求该几何体的体积． 【变式】分别画出如图1、图2所示几何体的三视图． 题型07画小立方块堆砌图形的三视图 【典例】如图是由7个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式】如图，是由7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多可以再添加__________个小正方体． 【典例】图中三种视图对应的几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式】某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了它的三视图．请你根据如图所示的三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积（结果精确到，参考数据：）． 题型09已知三视图求边长 【典例】如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 【变式】如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 题型10已知三视图求侧面积或表面积 【典例】一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（   ） A．50 B．66 C．70 D．76 【变式】下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型11求小立方块堆砌图形的表面积 【典例】下图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数． (1)请画出它的主视图和左视图． (2)若小正方体的棱长为1，则该几何体的表面积为________． 【变式】下图所示的是由棱长为1cm的小正方体摆成的图形，第1个图形的主视图有1个正方形，其表面积为；第2个图形的主视图有3个正方形，其表面积为；第3个图形的主视图有6个正方形，其表面积为；…… (1)第6个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (2)第个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (3)按照上图规律摆下去，是否存在某个图形的主视图和俯视图一共有90个正方形？若存在，则这个图形一共用了多少个小正方体？若不存在，请说明理由． 题型12求几何体视图的面积 【典例】3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 【变式】如图是两个大小不等的正方体拼成的几何体，该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型13已知三视图求体积 【典例】小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示，该工件的体积是______． 【变式】某工厂要加工一批上、下底面密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图①． (1)密封纸盒的形状为_______． (2)根据该几何体的三视图，在图②中补全它的表面展开图． (3)请你根据图①中的数据，计算这个密封纸盒的表面积和体积（结果保留根号）． 题型14由三视图，判断小立方体的个数 【典例】如图所示的是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．若该几何体的主视图与左视图相同，则a，b的值分别为（    ） A．2，2 B．2，1 C．1，2 D．1，1 【变式】用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，如果需要的小正方体个数最多为个，最少为个，则的值为_____________． 题型15已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【典例】如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是_____，最多是_____． 【变式】根据要求完成下列题目． (1)图中有______个小正方体； (2)请在网格中分别画出它的左视图和俯视图； (3)用小正方体搭一个不同于上面的几何体，使得它的左视图和俯视图与你在网格中所画的视图一致，则组成这样的几何体最少需要几个小正方体？最多呢？ 【巩固训练】 1．如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（     ） A． B． C． D． 2．《九章算术·商功》中的“斜解立方，得两堑堵”，指的是将一个立方体沿着斜对角切开，得到两个相同的三棱柱，即“堑堵”．如图放置的“堑堵”的左视图是（     ） A． B． C． D． 3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是下列的（     ） A． B． C． D． 4．月壤砖是利用模拟月壤或真实月壤原料烧制的建筑材料，如图水平放置的月壤砖的左视图为（   ） A． B． C． D． 5．榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 6．如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 7．如图，图是图中长方体的三视图，若该长方体主视图的面积是，左视图的面积是，则其俯视图的面积是（     ） A． B． C． D． 8．在一个几何体的主视图、左视图和俯视图中，至少有一个视图中存在圆，则这个几何体可以是_________（写出一个符合题意的几何体即可）． 9．如图所示的几何体由六块相同的小正方体搭成，若移走一块小正方体，几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 10．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 111．由两个正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图为（     ） A． B． C． D． 12．填写如图直六棱柱的三个视图的名称______，______，______． 13．如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为的正方形，左视图是宽为的矩形，俯视图是直径为的半圆，这个几何体的表面积是________． 14．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的表面积是_________．（结果保留） 15．如图，有由28块小正方体搭成的几何体，如果要拿走其中部分小正方体，但拿完后的几何体从正面看、从上面看、从左面看时视图跟原来的几何体从三个不同方向看的视图分别保持不变，那么最多可以拿走___________小正方体． 16．由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 17．如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 18．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 19．一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并求其表面积S． 20．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)要保持主视图、俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 21．从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． (1)请画出该几何体的三视图； (2)计算该几何体的表面积． 【强化训练】 1．一个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的，它的主（正）视图与俯视图如图所示，则符合下面两个视图要求的几何体有（     ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动最上面的一块小正方体使得移动后的左视图和俯视图与移动前均相同，则这样的位置有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 3．如图所示的是某几何体的主视图．若该几何体的左视图和主视图相同，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走的小立方块的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 5．一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm）如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为_______． 6．如图所示的是一个长方体的主视图和左视图，其中左视图的面积是，主视图的面积是．请用含x的式子填空． （1）长方体的高为_______． （2）俯视图的面积为_________． 7．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为______． 8．一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的是，搭这个立体图形最少要_______块小方块，最多可以有______块小方块． 9．一个由若干棱长为2的小正方体搭成的几何体，从上面看它得到的形状图如图所示，数字表示该位置的正方体个数．求该几何体的表面积． 10．下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 11．某玩具店根据乐高积木数量的不同，订制了不同型号的外包装盒，所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图①），长方体纸箱的长为，宽为，高为． (1)制作一个长方体纸箱需要________纸板（用含的代数式表示）； (2)如图②所示的是由若干个同型号的长方体纸箱堆成的一个几何体的三视图，则组成这个几何体的长方体纸箱个数最少为多少？ (3)店铺要将两个装有相同数量乐高积木的同一型号的小外包装盒包装在一个更大的外包装盒内．已知单个小外包装盒的长和高相等，且宽小于长．如图③所示，现有甲、乙两种摆放方式，请分别计算甲、乙两种摆放方式所需大外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $