专题08 相似多边形（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦相似多边形核心知识点，系统梳理其定义（各角分别相等、各边成比例）、性质（对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比、面积比等于相似比平方等）及判定方法，衔接全等图形知识，为相似三角形学习奠定基础，通过概念辨析、表格对比等搭建学习支架。 资料亮点在于以核心素养为导向，通过相似与全等的联系区别培养抽象能力，分层题型（如成比例线段、特殊多边形相似性）提升推理意识，结合无人机测绘、风筝制作等实例发展模型意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题08 相似多边形 1、理解相似多边形的定义，掌握相似多边形对应角相等、对应边成比例两大核心性质。 2、准确识别相似多边形，能依据定义判定两个多边形是否相似，明晰判定必要条件。 3、理解相似比的含义，熟练利用相似多边形性质计算边长、角度相关线段。 4、区分相似多边形与全等多边形的联系与区别，厘清概念易混点，夯实相似三角形学习基础。 1. 相似图形的概念：把形状相同的图形叫做相似图形。 要点说明： 相似图形之间的互相变换称为相似变换； 相似图形的形状必须完全相同，但大小不一定相同； 两个物体形状相同、大小相同时，它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况（相似比为1）。 💡 理解关键：判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素（如位置、大小）无关。 2. 相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 两个关键条件（缺一不可）： 条件 说明 ①各角分别相等 两个多边形中，对应角都相等 ②各边成比例 两个多边形中，对应边的长度比都相等 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。 记法与读法： 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”； 例如：六边形ABCDEF ∽ 六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁； 在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 💡 全等与相似的关系：全等多边形一定是相似多边形（相似比为1），但相似多边形不一定是全等多边形。 3. 相似多边形的性质 如果两个多边形相似，则具有以下性质： 性质 具体内容 性质1 对应角相等，对应边成比例 性质2 周长比等于相似比 性质3 面积比等于相似比的平方 性质4 对应对角线的比等于相似比 性质5 相似比为1时，两个多边形全等 💡 核心公式：若两个相似多边形的相似比为 ，则： 周长之比 面积之比 4. 相似多边形的判定 判定方法：根据定义判定：两个边数相同的多边形，如果各角分别相等且各边成比例，则这两个多边形相似。 判定两个多边形是否相似的步骤： 观察两个多边形的边数是否相同； 判断对应角是否分别相等； 判断对应边是否成比例（即各对应边的比值是否相等）； 两个条件同时满足时，两个多边形相似。 5. 特殊多边形的相似性 一定相似的特殊多边形： 多边形 说明 所有正多边形 任意两个边数相同的正多边形都相似 所有等边三角形 任意两个等边三角形都相似 所有正方形 任意两个正方形都相似 所有等腰直角三角形 都相似 不一定相似的特殊多边形 多边形 不相似的原因 矩形 虽然对应角都相等（均为90°），但对应边不一定成比例 菱形 虽然对应边都成比例（四边相等），但对应角不一定相等 平行四边形 角和边均不能保证同时满足两个条件 等腰梯形 不能保证同时满足两个条件 ⚠️ 易错提醒：所有的矩形不一定相似（长宽比不同则不相似）；所有的菱形不一定相似（内角不同则不相似）。只有同时满足“对应角相等”和“对应边成比例”两个条件，才能判定相似。 💡 对比理解：全等只需“对应边相等+对应角相等”即可；相似则需要“对应角相等+对应边成比例”。全等是相似的特殊情况（相似比为1）。 题型01成比例线段 【典例】已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 【变式】数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 【答案】 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． 题型02与三角形有关的成比例线段 【典例】如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 【变式】如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型03相似多边形 【典例】如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 【变式】如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与，与，与，与之间的距离分别为，，，，，矩形和矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似；见解析． 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，欲判断矩形和矩形是否相似，需判断的值和的值是否相等，据此求解即可． 【详解】解：不相似．理由如下： ，，，，， ，． ，． ∴ 矩形和矩形不相似． 题型04相似多边形的性质 【典例】为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 【变式】风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 【答案】90 【分析】先说明大风筝和小风筝相似，且相似比为，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为， ∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， ∴大风筝较短的那条对角线长度为． 题型05相似多边形的性质与特殊平行四边形 【典例】如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，点在第一象限且坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一点，过作于点，作于点．若四边形四边形，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似的性质，坐标与图形等知识． 结合矩形的性质以及点B的坐标可得点A、C的坐标，证明四边形是矩形，即可确定点Q的横坐标、点R的纵坐标，设，表示出、，再利用相似的性质可知对应的边成比例，即可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴矩形中点A、C的坐标为：，， 即：，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，解得：，即， ∵点为线段上一点， ∴设，且， ∴，， ∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式】如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 【答案】 【分析】先证明，然后得到点在上，同理，点在上，由对称可设 ，根据，求出，，则，再由正方形正方形求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理， 由对称可得，， ∴ ∴点在上， 同理，点在上， 由对称可设 ， ∵ ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵正方形正方形， ∴， ∴． 题型06相似多边形的性质与矩形 【典例】综合与探究： 我们在现实生活中经常用到纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准纸．如图1是一张A4纸（矩形），对折后展开，折痕分别交于点M，N，连接． 【操作判断】 (1)①四边形都是矩形，请你对四边形是矩形进行证明； ②已知矩形和矩形相似，则纸长和宽的比为________； 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (2)①如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是________； ②如图3，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，证明点E是的中点． 【拓展应用】 (3)若，在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①证明：∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N，连接． ∴， ∴四边形是矩形； ②； (2) ① ②解：如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， 由旋转的性质，可知，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ∴点E是的中点． (3)线段的长为或． 【分析】（1）①根据折叠的性质及矩形的判定证明即可；②根据题意得出，再由相似多边形的性质求解即可； （2）①在直角三角形里，利用（1）②中的结果及三角函数算出，从而得到旋转角；②过、向作垂线，先证两个小三角形全等得到垂线段相等，再证包含、的两个三角形全等，从而得出； （3）分在线段上和延长线上两种情况，先证和是等边三角形，再结合勾股定理和（2）的结论，分别算出两种情况下的长度． 【详解】（1）解：②∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴即， ∴； （2）①解：当恰好经过点时， 由（1）②得， ∴， ∵旋转， ∴， ∵， ， ， ， ． ②略 （3）∵，， ∴， 解：①如图，当点在线段上时，， ，，， ， ， ， 连接，，则， ， ， 是等边三角形， ， 由（2）可知，， ，， ， ， 是等边三角形， 过点作于， ， ， ，， 在中，， ； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点， 同理可得是等边三角形， ， 综上所述，线段的长为或． 【变式】（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】（1），；（2）当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （1）利用因式分解法求解即可； （2）内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 解得，； （2）解：当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 解得； 答：当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【巩固训练】 1．点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段与一元二次方程的求解；设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设， ，且， ， ， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 2．如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 3．两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质． 利用相似多边形面积比与相似比的关系求出周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为， ∴它们的相似比为． ∵相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为． 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为． 故选：A． 4．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 5．已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似矩形，先求出小矩形的长都是，宽都是，再根据每个小矩形都和矩形相似，列方程求解即可． 【详解】解：将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，则三个相同的小矩形的长都是，宽都是， ∵每个小矩形都和矩形相似， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：B． 6．已知是、的比例中项，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段．根据比例中项的定义和已知条件，先求出a、b、c的值，再计算的值． 【详解】解：∵是、的比例中项， ∴， 又∵ ， ∴ ， 代入，得 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则 ，， ∴． 故选：B． 7．某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．的度数 C．六边形的面积 D．六边形的周长 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，利用相似图形的性质判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：用放大镜观察该分子结构，由相似图形的性质可得，保持不变的是的度数， 故选：． 8．下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 9．如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了相似多边形的性质，一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．由截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， 即， ， 解得或（舍去）， ， 故选：B． 10．在长，宽的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_____． 【答案】27 【分析】先确定原矩形的边长，根据相似多边形对应边成比例求出留下矩形的未知边长，再计算面积，舍去不符合题意的解。 【详解】解：由题意得，原矩形长为，宽为，截去一个矩形后，留下矩形的一条边长为原矩形的宽，设另一条边长为，且， 因为留下的矩形与原矩形相似， 根据相似多边形的对应边成比例，分两种情况讨论： 情况1： 解得，符合题意； 情况2： 解得，此时留下矩形与原矩形全等，不符合截去一个矩形的要求，舍去； 若留下矩形的一条边长为，设另一边长为（其中）， 根据题意得：， 解得，与的条件矛盾，舍去； 因此留下矩形的面积为 11．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 12．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． 13．如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，图形的变化规律，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键． 根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出矩形的面积，总结规律，根据规律解答． 【详解】解：矩形的面积， 由勾股定理得：， 则矩形和矩形的相似比为， 矩形 矩形， 矩形的面积； 同理，矩形的面积， 矩形的面积， 则的面积为； ∴矩形的面积为． 故答案为：． 14．图中的两个四边形相似，则______，______． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，多边形内角和定理，由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以，，则，，然后通过多边形内角和定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等， 所以，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 15．已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段长是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)，， (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，求一个数的算术平方根； （1）设，，，根据列方程求出即可； （2）根据比例中项的意义得出，然后开平方即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）∵是、的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即的值为． 16．已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了成比例线段． （1）将已知数据代入比例式，即可求解； （2）根据比例中项的定义列式，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得： （2）解：依题意， ∴ 17．如图，已知四边形四边形，，，且． (1)的度数为_____； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形性质，是解题的关键．相似多边形对应角相等，对应边成比例． （1）根据相似多边形对应角相等解答； （2）根据相似多边形对应边成比例解答． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴． 故答案为： （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【答案】(1)不相似 (2) 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 19．如图所示的与的方格都是由边长为1的小正方形组成的．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个画在图2、图3中，并画出相应变换后的格点图形（顶点均在格点上）． (1)从图1的①-⑦中选一个四边形，在图2中画出这个四边形，然后以点为对称中心，画出这个四边形的中心对称图形． (2)从图1的①~⑦中选一个合适的三角形，在图3中画出这个三角形，然后画出将它的各边长扩大到原来的倍后的三角形，并写出你选择的图形与扩大后图形的面积比：______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】此题主要考查了作图-位似变换，正确将三角形各边扩大是解题关键． （1）根据中心对称的性质作出图形即可； （2）根据相似形的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：选择图形④，如图1所示： （2）解：选择图形③，如图2所示： 扩大前面积：，扩大后面积：， ∴扩大前的图形与扩大后图形的面积比为：， 故答案为：； 【强化训练】 1．如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵四边形与为菱形， ∴对角线互相垂直平分， 即垂直平分线段，垂直平分线段， ∴B，E，F，D四点共线， 故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形，且相似比为2， ∴， ∴， 不满足三角形重心的性质， ∴点E不是的重心， 故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， 假设，由选项B可得，，， 由勾股定理得，， ∴， 故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 2．如图，矩形纸片的长，宽分别为两边的中点．若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则当时，b的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质“相似多边形的对应角相等，对应边成比例”，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．先根据题意可得矩形与矩形相似，再根据相似多边形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵矩形纸片的长，宽，分别为两边的中点， ∴，四边形是矩形， ∵将矩形纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似， ∴矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， 又∵均为正数， ∴， 故选：D． 3．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，根据矩形的性质求出，利用相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律即可求解，根据相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， 矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线， ∴， 故选：． 4．从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 【答案】22 【分析】根据比例中项的概念，依此找出不同的有序实数组共有多少组． 【详解】解：当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组， 当时，不同的有序实数组有6组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组，一共22组． 5．已知菱形的边长为2，，对角线，相交于点O，以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，…按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A，，，…，，则点的坐标为________．      【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似多边形的性质、勾股定理及坐标规律探究，掌握利用相似比与勾股定理递推坐标规律是解题的关键． 先由菱形性质和角度求出初始点的坐标，再利用相似菱形的边长比例与勾股定理，依次求出的坐标，归纳出的坐标规律． 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴是等边三角形，对角线 ∵对角线相交于点，且互相垂直平分， ∴ ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为 ∵在中，， ∴ ∵菱形菱形，且新菱形的对角线为， ∴新菱形的边长与原菱形的边长的比，等于新菱形的对角线与原菱形的对角线的比，即 ∵， ∴，解得 在中，斜边，直角边 ∴ ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为 同理，以为对角线作菱形菱形 ∵， ∴新菱形的边长满足 ，即 ，解得 在中， 再以为对角线作菱形菱形 ∵， ∴新菱形的边长满足 ，即，解得 在中， ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为 综上所述，我们得到一系列点的坐标： 点的坐标为 ，即 点的坐标为 ，即 点的坐标为，即 以此类推，可以得到点的坐标为 故答案为：． 6．如图所示，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，图形变化的规律，矩形的性质，勾股定理， 先根据勾股定理求出，再根据相似多边形的性质求出矩形的面积，进而总结规律，并根据规律解答． 【详解】解：∵矩形中，， ∴矩形的面积，根据勾股定理，得， ∴矩形和矩形的相似比是， ∴矩形的面积是； 同理矩形的面积是； 矩形的面积是； ∴矩形的面积是， ∴矩形的面积是． 故答案为：． 7．如图，演出场地的平面图是直角三角形，已知，现规划两个全等的矩形区域作为表演区．工作人员先划出（1）号矩形，然后在剩余的大三角形中划出（2）号矩形，则（1）号矩形的宽为_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，设，得到，推导出，得到，，继而证明，得到，，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】解：已知在中，，由勾股定理得： ， 设， ∵矩形与矩形全等， ∴． ∵， ∴， ∴． 代入得 ， 解得， ∵， ∴，即． ∵矩形对边平行且相等，，且，得， ∴， 因此． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 代入，得： ， 解得， ∴． 8．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 9．综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段AB，CD的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题（a，b，c，d都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 （1）该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了困难．请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求b的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）18． 【分析】本题主要考查了比例线段、比例的性质、三角形的周长等知识点，熟练掌握比例的性质是解题的关键 ． （1）根据比例的性质即可解答； （2）由四个数a，b，c，d成比例，得到，求得，然后代入相关数值计算即可； （3）由，根据比例的性质得到．求得，再结合题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）③④都真命题． ③证明：∵， ． ∵， ． ④证明：∵， ． ． ． （2）四个数a，b，c，d成比例， ∴． ∴， ∵，，且， ． ． （3）∵， ∴． ∴． ∵的周长与的周长的差为6， ， ． ．即的周长为18． 10．数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？ 思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为，面积为，若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为，此时新正方形的面积是①______． 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的②______． 结论：③______（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．④______ 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究． 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得． 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题． 思路二：借助一次函数与反比例函数的图象（画出简单的函数图象即可）研究． 结论：⑤______（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将【阶段一】中的①~④分别补充完整． (2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整． (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 【答案】(1)①；②；③不存在；④等边三角形（答案不唯一，如圆） (2)思路一：见解析；思路二：见解析；⑤不存在 (3)当时，存在 【分析】（1）①直接利用面积公式计算即可；②由所有的正方形是相似图形，结合相似图形的性质可得答案；③根据②的探究下结论即可；④仿照正方形的探究方法，探究等边三角形即可； （2）思路一：把方程组消元得到一元二次方程，利用根的判别式的情况可得答案；思路二：分别画出两个函数的简易图象，根据交点的情况判定即可； （3）根据前面的探究方法建立方程组，根据判别式大于或等于0可得成立的条件． 【详解】（1）解：①新正方形的边长为，此时新正方形的面积是； ②正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的； ③总结可得：不存在一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． ④除正方形外，上面的结论对等边三角形也成立； ∵等边三角形都是相似图形，新的等边三角形的面积为原来等边三角形的面积的， ∴新的等边三角形与原来等边三角形的相似比为， 而新的等边三角形的周长为原来等边三角形的周长的， ∴此时新的等边三角形原来等边三角形的相似比为， ∴不存在一个新等边三角形，其周长和面积都为给定等边三角形周长和面积的． （2）思路一： 设新矩形长和宽为，，根据题意，得 ∴， 整理得：， ∴， ∴原方程组无解，则不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 思路二：如图，函数与的图象如下： ∵两个函数图象没有交点， ∴无解， ∴不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 结论：不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； （3）∵矩形的长和宽分别为m和n， ∴矩形的周长为，面积为， ∴新的矩形的周长为，面积为， 设新矩形长和宽为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 存在新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为和的矩形周长和面积的； 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的灵活应用，矩形，正方形的性质，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，相似多边形的性质，选择合适的方法解题是关键； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08 相似多边形 攻 重难目标 1、理解相似多边形的定义，掌握相似多边形对应角相等、对应边成比例两大核心性质。 2、准确识别相似多边形，能依据定义判定两个多边形是否相似，明晰判定必要条件。 3、理解相似比的含义，熟练利用相似多边形性质计算边长、角度相关线段。 4、区分相似多边形与全等多边形的联系与区别，厘清概念易混点，夯实相似三角形学习基础。 重难知识 1.相似图形的概念：把形状相同的图形叫做相似图形。 要点说明： 相似图形之间的互相变换称为相似变换； 相似图形的形状必须完全相同，但大小不一定相同： 两个物体形状相同、大小相同时，它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况（相似比为1）。 了理解关键：判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素（如位置、大 小)无关。 2.相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 两个关键条件（缺一不可）： 条件 说明 ①各角分别相 两个多边形中，对应角都相等 等 ②各边成比例 两个多边形中，对应边的长度比都相等 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。 记法与读法： 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”： 例如：六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1: 在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 了全等与相似的关系：全等多边形一定是相似多边形（相似比为1），但相似多边形不一定是全等多边 形。 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.相似多边形的性质 如果两个多边形相似，则具有以下性质： 性质 具体内容 性质1 对应角相等，对应边成比例 性质2 周长比等于相似比 性质3 面积比等于相似比的平方 性质4 对应对角线的比等于相似比 性质5 相似比为1时，两个多边形全等 目核心公式：若两个相似多边形的相似比为k,则： 周长之比=k 面积之比=k2 4.相似多边形的判定 判定方法：根据定义判定：两个边数相同的多边形，如果各角分别相等且各边成比例，则这两个多边形 相似。 判定两个多边形是否相似的步骤： 观察两个多边形的边数是否相同； 判断对应角是否分别相等： 判断对应边是否成比例（即各对应边的比值是否相等）； 两个条件同时满足时，两个多边形相似。 5.特殊多边形的相似性 ·定相似的特殊多边形： 多边形 说明 所有正多边形 任意两个边数相同的正多边形都相似 所有等边三角形 任意两个等边三角形都相似 所有正方形 任意两个正方形都相似 所有等腰直角三角 都相似 形 不一定相似的特殊多边形 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 多边形 不相似的原因 矩形 虽然对应角都相等（均为90°），但对应边不一定成比例 菱形 虽然对应边都成比例（四边相等），但对应角不一定相等 平行四边形 角和边均不能保证同时满足两个条件 等腰梯形 不能保证同时满足两个条件 △易错提醒： 所有的矩形不一定相似（长宽比不同则不相似）；所有的菱形不一定相似（内角不同则 不相似)。只有同时满足“对应角相等”和“对应边成比例”两个条件，才能判定相似。 ?对比理解：全等只需“对应边相等+对应角相等”即可：相似则需要“对应角相等+对应边成比例”。 全等是相似的特殊情况（相似比为1）。 斩 重难题型 题型01成比例线段 【典例】已知线段、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d,使得这四条线段成比例，这条线段 的长度不能是() A.2 B.4.5 C.18 D.8 【变式】数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足BC=(AC>BC.则点C为线段AB的白 AC 2 银分割点.己知点C是线段AB的白银分割点(AC>BC),且BC=4,则AC= C B 题型02与三角形有关的成比例线段 【典例】如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且 AD_AE AB AC 若AD=20cm, BD=12cm,CE=9cm,AE=() B A.13cm B.15cm C.16cm D.18cm 【变式】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高. 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)求证：AC·BC=CD·AB: (②AC、CD、AB、BC是成比例线段吗？为什么？ 题型03相似多边形 【典例】如图，下列三个矩形相似的是() 16cm 9cm 12cm 12cm 甲 8cm 乙 12cm 丙 A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙、丙 【变式】如图，矩形ABCD在矩形ABCD的内部，AB‖AB,AD‖AD,且AD=12,AB=6, 设AB与AB,BC与BC,CD与CD,DA与DA之间的距离分别为a,b,c,d,a=b=c=d=2, 矩形ABCD和矩形ABCD相似吗？为什么？ A D D B' B b a C不 题型04相似多边形的性质 【典例】为调查某住宅区的实际1c占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1），其基本原 理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图 形.在本次测绘中，设定数字模型上的1cm代表实际距离50m.技术人员在数字模型上测得住宅区边界构 成的四边形ABCD各边长度分别为AB=4cm,BC=5cm,CD=7cm,DA=4.5cm,则该往宅区实 际边界四边形A1B,C1D1的周长是m, 4/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D B A B 图1 图2 图3 【变式】风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和 哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC上BD.已知大、小风 筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm,那么大风筝较短的那条对角线 长度为 cm. B 题型05相似多边形的性质与特殊平行四边形 【典例】如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，点A在X轴正半轴，点C在y轴正半轴，点B在第一 象限且坐标为8,6.直线y=- x+3与x轴交于点E,与y轴交于点F,点P为线段EF上一点，过P作 PQ⊥AB于点Q,作PR⊥BC于点R.若四边形PQBR一四边形OABC,则点P的坐标为一， 【变式】如图，正方形EFGH内接于正方形ABCD,即点E、F、G、H分别在正方形ABCD的四边上 请画出点A、B、C、D分别关于HE、EF、FG、GH的对称点P、Q、R、S,如果四边形PQRS的面积恰 EF 好是正方形ABCD面积的一半，那么AB的值是 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B 题型06相似多边形的性质与矩形 【典例】综合与探究： 我们在现实生活中经常用到A4纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准 纸.如图1是一张A4纸（矩形ABCD),对折后展开，折痕分别交AB,CD于点M,N,连接MN D C D D M B A M B M 图1 图2 图3 【操作判断】 (1)①四边形AMND、BCNM都是矩形，请你对四边形AMND是矩形进行证明； ②已知矩形AMND和矩形ABCD相似，则A4纸长和宽的比为 【深入探究】 将矩形BCNM绕点B顺时针旋转得到矩形BCNM. (2)①如图2，当MN恰好经过点C时，旋转角∠MBM的度数是 ②如图3，当矩形BCNM在平面内绕点B旋转时，连接CC,NN,直线CC与线段NN交于点E,证 明点E是NN的中点. 【拓展应用】 (3)若AB=2,在矩形BCNM旋转过程中，当A,M,N三点共线时，请直接写出线段CE的长. 【变式】(1)解方程：x2-3x=0 (2)如图，一个矩形广场的长为100m,宽为80m,广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m,如果两条横 向小路的宽都为Xm,那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 6/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +xm 1.5m 80m 100m 练 分层训练 d 【巩固训练】 1.点B把线段AC分成两部分，如果BC=A识=k,那么k的值为() AB AC V5+1 5-1 A. B. c.5+1 D.-1 2 2.如图，四边形ABCD,ABCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，己知点A,A的坐标分别为 2,0,3,0,若四边形ABCD的面积为8，则四边形ABCD的面积为() D A.12 B.18 C.24 D.27 3.两个相似多边形的面积之比为4：9，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为() A.60 B.40 C.36 D.16 4.如图，四边形ABCD一四边形EFGH,相似比为k,点B,F,C,G四点共线，则下列说法不一定正 确的是() H D G A.∠A=∠EB.DC‖HG C.BC⊥EF D.AD=kEH 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.己知：在矩形ABCD中，AD=1.将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩 形ABCD相似，则AB的长为() D B A.2 B.3 C.2 D.5 6.已知b是a、c的比例中项，且=， b+c=12,则a+b-c的值为() b 2 A.2 B.-2 C.4 D.-4 7.某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是 () A.AB的长度 B.∠FAB的度数 C.六边形ABCDEF的面积 D.六边形ABCDEF的周长 8.下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形：④两个菱形；⑤两个 正六边形，一定相似的有() A.4组 B.3组 C.2组 D.5组 9.如图，一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=2m,按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗， 且饺被出的每面彩斑的定与长的比与原绸布的宽与长的t相同。即恶-沿那么a的值是() F A.3 B.4 c.2V2 D.8 10.在长8cm,宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cm2. 11.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=10,点E,F分别在AD,BC上，若矩形ABFE一矩形BCDA, 则BF的长为一 A E D 12.小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示)，山上有三处观景台 A,B,C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若A、B两地的 实际直线距离为1000m,则B、C两地的实际直线距离为 ▲A 40 300 B 200 100 13.如图，在矩形ABCD中，AD=2,CD=1,连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形 ABCD的相似矩形AB1C1C,再连接AC1,以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1, …,按此规律继续下去，则矩形AB21C2021C220的面积为 C 14.图中的两个四边形相似，则x+y=, X= 18 115oa9 18 677° 83 77° y 15.己知线段a、b、c满足a:b:c=3:2:6,且a+2b+c=13. (1)求a、b、c的值： 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若线段长x是线段a、b的比例中项，求x的值。 16.已知线段a=3cm,b=12cm (1)若线段a,b,c,d满足9= ,c=2cm,求线段d的长度： (2)若线段k是线段a,b的比例中项，求线段k的长度 17.如图，已己知四边形ABCD一四边形EMFC,AB=4,BC=6,且∠A=130°. E M D B (但)∠E的度数为—一： (2)若ME=3,求MF的长. 18.如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园ABCD周围铺上石子路，己知矩形小花园ABCD的长 BC为6m,宽AB为4m,纵向石子路的宽为xcm,横向石子路的宽为ycm,石子路外边缘形成矩形 EFGH. G (1)若石子路的宽均为50cm(即x=y=50),石子路外边缘的矩形EFGH与矩形小花园ABCD相似吗？ (2)要使矩形ABCD一矩形EFGH,则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 19.如图所示的4×4与8×8的方格都是由边长为1的小正方形组成的.图1是绘成的七巧板图案，它由7 个图形组成，请按以下要求选择其中一个画在图2、图3中，并画出相应变换后的格点图形（顶点均在格 点上) ② ①月 5 (6 ④ ③ 图1 图2 图3 10116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)从图1的①-⑦中选一个四边形，在图2中画出这个四边形，然后以点P为对称中心，画出这个四边形 的中心对称图形 (2)从图1的①~⑦中选一个合适的三角形，在图3中画出这个三角形，然后画出将它的各边长扩大到原来 的2倍后的三角形，并写出你选择的图形与扩大后图形的面积比： 【强化训练】 1.如图，菱形ABCD一菱形EAFC,且相似比为2，则下列说法错误的是() B A.B,E,F,D四点共线 B.E为△ABC的重心 C.AB:AC=V5:2 D.AE⊥BC 2.如图，矩形纸片ABCD的长AD=a,宽AB=b,E,F分别为AD,BC两边的中点.若将这张纸片沿着 直线EF对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则当a=2时，b的值为() E F B.1 D.2 3.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形 ACC1B1,使矩形ACC1B1一矩形ADCB;再连接AC1,以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形 AC,CB,使矩形AC,C,B,一矩形ACC,B1,…按照此规律作下去，则边ACo的长为（） 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C3 C, B2 B A.95x 5 1202 B.2× /V522 C.5x2023 D.5x /V52w2 2 2 2 4.从1,2,3…20这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组a,b,C,使b为a,c的比例中 项，则不同的有序实数组a,b,c共有 组. 5.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O,以点O为坐标原点，分别 以OA,OB所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以BD为对角线作菱形BC1DA1一菱形 ABCD,再以A1C1为对角线作菱形A1B1C1D1一菱形BC1DA1,再以B1D1为对角线作菱形 B,C2D1A2一菱形A1B1C1D1,…按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A,A1,A2,…,An ,则点An的坐标为 B C C D 6.如图所示，在矩形ABCD中，AD=2,CD=1,连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形 ABCD的相似矩形AB,C1C,再连接AC1,以对角线AC1为边作矩形AB,C1C的相似矩形AB2C2C1, …,按此规律继续下去，则矩形AB024C2024C2023的面积为 C B 7.如图，演出场地的平面图是直角三角形ABC,已知AB=18m,BC=24m,现规划两个全等的矩形区 12116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 域作为表演区.工作人员先划出(1)号矩形BEDF,然后在剩余的大三角形AFD中划出(2)号矩形 GHMN,则(1)号矩形的宽ED为 2 D 1)G >0 E 8.如图，在口ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，连接AE,BF,AE平分∠BAD,CE=DF (1)求证：AE⊥BF: (2)若AF=4,四边形ABCD与四边形CEFD相似，求CE的长. 9.综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目 探究比例的性质 的 1.在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比.例如，如果 先用同一个长度单位测量得两条线段AB,CD的长度分别为，，那么这两 条线段的比就是它们长度的比，即AB:CD=m:n或 AB_m 其中，线段 CD n 知识储 AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把”表示成比值k,那么 备 n A5=k,即AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数值的比. C 2. 条线段a,b:c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即5=， 这四条线段，b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.反过来，如果四条 13116 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段a,b,c,d成比例， 那么8=定成立. b d 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题（α，b,c,d都是不 为0的数)： ①如果9-9 b d' 那么ad=bc; 猜想性 质 ②如果9-c b d 那么Qb c di ③如果8-S==k(其中b+d+f≠0)，那么a+c+e=k; bd f b+d+f ④如果号-号 那么a+b=c+d b d (1)该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真 证明猜 命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了 想 困难.请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； (2)四个数a,b,c,d成比例，其中a=3,d=6,且b=c,求b的值； 解决问 题 8》AA8cC△生，已是二--子△兰的长与△C 的周长的差为6，求△就的周长， 10.数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面 积分别是原矩形用长和面积的？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为 原正方形周长和面积的气 思路一：设给定的正方形的边长为a,则其周长为4a,面积为a2,若新正方形的周长 是原正方形周长的 则新正方形的边长为)a,此时新正方形的面积是① 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，如 14116 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 果新正方形的面积是原正方形面积的 则新正方形与原正方形相似比为1：V2,此时 新正方形周长应是原正方形周长的②」 结论：③ (“存在”或“不存在”)一个新正方形，其周长和面积都为给定正 方形周长和面积的 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形.④ 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究. 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面 分别是原矩形周长和面积时 分析：设新矩形长和宽分别为x,y,根据题意，得乙. 思路一：消去未知数y,得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题。 思路二：借助一次函数l1:y=-X+3与反比例函数L:y=-的图象（画出简单的函数图 象即可)研究. 结论：⑤ (“存在”或“不存在”)一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分 物？的矩形周长和正 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为和，是否存在一个新矩形，它的周长和面积 分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件：若不存在，请说明理由。 请你完成以下任务： (1)将【阶段一】中的①~④分别补充完整. (2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整. (3)完成对【阶段二】中活动二的研究. 15116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 16/16