2.4《用一元二次方程解决问题3》教学设计 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用一元二次方程解决销售利润与分段收费问题，以饮品店降价促销情境导入，引导学生理解“单利润×销量=总利润”，衔接已学的方程解法与增长率问题，为后续二次函数最值学习铺垫。 资料突出数学建模与运算素养，通过例1销售降价、例3分段收费等实例，用表格梳理联动量关系，强化区间判断与根的检验。分层练习与作业设计满足不同学生需求，助力教师高效教学，提升学生用数学解决实际问题的能力。

苏科版（2024）九年级数学上册 教 学 设 计 2.4.3 用一元二次方程解决问题（3） — 销售利润问题 · 分段收费与图表问题 — 课题 2.4.3 用一元二次方程解决问题（3） 年级 九年级（初中） 版本 苏科版 2024 九年级数学上册 课时 第3课时（共3课时） 课型 新授课 授课教师 __________ 学校 __________ 一、教学内容分析 本课是苏科版（2024）九上第3章「一元二次方程」第4节「用一元二次方程解决问题」的第3课时，在学生已掌握列方程解应用问题一般步骤、以及增长率/传播/面积等问题的基础上，进一步研究两类典型实际情境：一是销售利润问题，二是分段收费与图表（表格）问题.两类问题都要求学生从文字或图表中提取数量关系，用含未知数的代数式表示联动变化的量，进而建立一元二次方程并求解、检验. 位置 内容 与前后知识的联系 已学（2.2、2.3、2.4.1、2.4.2） 一元二次方程三种解法、根与系数关系；增长率、传播、面积等应用建模 为本课「解方程」与「列方程」提供工具与经验 本课（2.4.3） 销售利润问题、分段收费/图表问题 深化「实际问题—列方程—求解—检验」的建模链条 后续（九下） 二次函数、最值问题 本课的函数思想（单价—销量联动）为后续最值研究埋下伏笔 二、学情分析 ▶ 教学策略 已学：一元一次方程、一元二次方程三种解法（配方法/因式分解法/公式法）、根的判别式、根与系数关系；具有列方程解简单应用题的经验. 本课：在「单利润×销量」「人数×人均单价」等联动关系中，用含参代数式表示变化的量，列出一元二次方程. 未学（本课不出现）：二次函数的最值公式（属九下）；使用本课知识即可求解，不需引入新概念. 维度 学情特点 教学对策 知识 能解一元二次方程，但面对「量随量联动」的实际情境易符号混淆 借助表格梳理「原价—变价—销量」对应关系 能力 有列方程经验，但分段条件、区间判断易失误 设置区间判断的「反例」与「极端值」强化 情感 对「用数学赚钱」类情境兴趣高 用饮品店、旅游团购等真实情境激发，培养检验与规范表述意识 三、教学目标（核心素养） 核心素养 目标描述 数学建模 能将销售利润、分段收费等实际问题抽象为一元二次方程模型，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型 数学运算 能根据情境列出一元二次方程，并熟练求解（配方法/因式分解法/公式法），正确进行根的检验与取舍 数学抽象 能从文字或图表（表格）中提取数量关系，用含参代数式表示单价、销量等联动变化的量 逻辑推理 能结合约束条件（盈利为正、单价不低于下限、人数为整数等）对方程的根进行筛选与说理 应用意识 体会函数思想（单价—销量联动）与分段思想，增强用数学解决身边实际问题的意识 四、教学重难点 类别 内容 教学重点 两类模型（销售利润、分段收费）的等量关系分析与一元二次方程的建立 教学难点 1 销量随售价变化的一次函数关系的表示；② 分段收费的区间判断与含参代数表示； ③ 结合实际意义对根进行检验与舍去 五、教学方法与教具 项目 内容 教学方法 问题驱动、启发引导、合作探究、讲练结合 教具准备 多媒体课件、思维导图、分段收费表格、课堂分层练习单 七、教学过程（40分钟） 本课按「导入—新授—巩固—小结—作业」五环节展开，各环节时间分配如下： 环节 时间 主要活动 导入 约4分钟 饮品店降价促销情境，引发「单利润×销量」关系思考 新授 约22分钟 例1 销售降价、例2 单位降价、例3 分段收费（图表）；提炼等量关系 巩固 约8分钟 分层练习 A/B/C，当堂反馈、同伴互评 小结 约3分钟 师生梳理「审—设—列—解—验—答」与两类模型（看思维导图） 作业 约3分钟 布置分层作业 A/B/C，明确要求 环节一　导入（约4分钟） 情境：小明家的饮品店原来每天卖出 200 杯鲜果茶，每杯赚 8 元.为吸引顾客，他计划降价促销.但他犯愁了：降价太少，多赚不到；降价太多，单杯利润又薄了.他想保证每天盈利 1800 元，该降价多少呢？ 追问：每天的盈利由哪两个量决定？它们之间是怎样的关系？引导学生说出「总利润 = 单杯利润 × 销售杯数」，并意识到「降价会改变单杯利润，也会改变销量」——两个量在联动变化.这就是我们今天要研究的「销售利润问题」. ▶ 设计意图 从学生熟悉的「小生意」入手，制造「降价多少才合适」的真实困惑，自然引出核心等量关系「单利润×销量=总利润」，并为后续「单价—销量联动」的函数思想埋下伏笔. 环节二　新授（约22分钟） 学习重点：从实际情境中找到等量关系，列出一元二次方程.学习难点（如何突破）：销量随售价变化，要用含未知数的代数式表示「变化后的销量」；分段问题要先判断区间，再选对应的代数式. 例1　销售降价问题（基础模型） 【审题】已知：某商场销售一批衬衫，平均每天售出 20 件，每件盈利 40 元；单价每降 1 元，平均每天多售出 2 件.所求：每天盈利达到 1250 元时，单价应降多少元？等量关系：单件利润 × 销售量 = 总利润.设元：设衬衫单价降低 x 元. ▶ 方法点拨 「每降1元多售2件」说明销量是关于降价的一次函数：降价 x 元，则多售 2x 件，销量变为 (20+2x) 件；单件利润变为 (40-x) 元.先列表再列式，避免符号写反. 【突破】根据等量关系列方程： 【解答】展开并整理： 检验：降价 15 元后，单件利润 25 元，日销量 20+30=50 件，25×50=1250（元），符合题意.答：衬衫单价应降低 15 元. ▶ 方法总结 本题是唯一解（完全平方式）.列方程的关键是把「降价 x 元」同时代入「单件利润」和「销量」两个量，再相乘等于目标利润. 例2　单位降价问题（化为整数系数） 【审题】已知：某冰箱每台进货价 2500 元；售价 2900 元时，平均每天售出 8 台；售价每降低 50 元，平均每天多售出 4 台.所求：使冰箱销售利润平均每天达到 5000 元，每台定价多少？等量关系：单台利润 × 销售量 = 总利润.设元：设每台冰箱降价 50x 元（x 为 50 元的个数）. ▶ 方法点拨 当「每降 50 元多售 4 台」时，直接设降价 50x 元，可把系数化为整数：单台利润 = (400-50x) 元，销量 = (8+4x) 台，避免分数运算.这是处理「每降 a 元」类问题的常用技巧. 【解答】 两边同除以 4： 降价 50×3=150 元，定价 = 2900-150 = 2750 元.检验：单台利润 250 元，日销量 8+12=20 台，250×20=5000（元），符合题意.答：每台冰箱定价 2750 元. 图1 单价—销量的一次函数关系（以例1为例，体现函数思想） 例3　分段收费问题（图表问题） 【审题】已知：某旅行社组团旅游，人数不超过 30 人时，人均收费 800 元；超过 30 人时，每多 1 人，人均收费降低 10 元（但人均收费不低于 500 元）.某校九年级师生共付门票费 28000 元.所求：参加旅游的人数.等量关系：人数 × 人均收费 = 总费用. 人数范围 人均收费（元/人） 总费用 不超过30人 800 800x 超过30人 800-10(x-30) = 1100-10x x(1100-10x) ▶ 方法点拨 分段问题的关键是「先判断区间，再列式」.先假设 x≤30，看 800x=28000 是否成立；若不成立（x>30），则进入第二段，用含参式 1100-10x 表示人均收费.最后务必用「人均不低于500」检验根的合理性. 【解答】若 x≤30，则 800x=28000，得 x=35，与 x≤30 矛盾，故 x>30. 解得： 检验：当 x=70 时，人均收费 = 1100-10×70 = 400（元）< 500，不合题意，舍去；当 x=40 时，人均收费 = 1100-400 = 700（元）≥ 500，符合题意.答：参加旅游的有 40 人. ▶ 易错警示 分段收费题最易漏掉「区间判断」和「根的检验」.x=70 是方程的数学解，却不满足「人均不低于500」的实际约束，必须舍去.养成「求出根后逐根代回原约束」的习惯. 环节三　巩固（约8分钟） 当堂分层练习，学生独立完成，教师巡视，同伴互评.建议完成范围：A层全员必做，B层多数学生做，C层挑战选做. 分层 题目 A1（基础） 某服装店每天售出 20 件衣服，每件盈利 44 元；若每件降价 1 元，则每天多售出 5 件.若想每天盈利 1600 元，每件应降价多少元？ A2（基础） 某商店 Water 产品成本 40 元/kg，售价 50 元/kg 时月售 500 kg；售价每涨 1 元，月销量减少 10 kg.若月销售利润达 8000 元，售价应定为多少？ B1（提升） 某商店售台灯，每天售出 20 盏，每盏盈利 24 元；每降价 1 元，每天多售 5 盏.若每天盈利 855 元，降价多少元？ B2（提升） 某旅行社：人数不超过 30 人，人均 750 元；超过 30 人，每多 1 人人均降 10 元（最低 450 元）.某团体付 26000 元，求人数. C1（拓展） 某童装成本 50 元.调查得：售价 60 元时日销 80 件，售价 70 元时日销 60 件，售价 80 元时日销 40 件（每涨 1 元少销 2 件）.若日利润目标 1200 元，售价应定多少？ 环节四　小结（约3分钟） 师生共同梳理：解实际问题的「六字诀」——审、设、列、解、验、答；并归纳两类模型的核心等量关系. 图2 本课模型体系与核心素养 图3 列方程解实际问题的步骤 环节五　作业（约3分钟） 层级 内容 要求 A（全员） HA1 衬衫降价盈利1200元；HA2 水产品涨价盈利9000元 必做，巩固基本等量关系 B（多数） HB1 文具降价盈利1000元；HB2 旅游分段收费24000元 必做，提升含参列式能力 C（挑战） HC1 童装读表求最值点；HC2 逆向设计付费金额 选做，拓展建模与分类讨论 八、板书设计 主板书（知识主干，左侧）：2.4.3 用一元二次方程解决问题（3）.一、销售利润问题：等量关系 单利润×销量=总利润；例1 (40-x)(20+2x)=1250 → x=15；例2 设降50x → 定价2750.二、分段收费/图表问题：区间判断→含参表示→人数×人均=总收入；例3 x(1100-10x)=28000 → x=40（70舍去）.步骤：审、设、列、解、验、答. 侧板书（生成性/易错，右侧）：易错提醒——① 销量随售价联动，勿漏「多售」；② 分段先判区间；③ 求出根后逐根检验实际意义（盈利为正、单价≥下限、人数为整数），不合题意必舍去. 主板书（左） 侧板书（右） 2.4.3 用一元二次方程解决问题（3） 易错提醒 一、销售利润：单利润×销量=总利润 · 销量随售价联动，勿漏「多售」 例1 (40-x)(20+2x)=1250 → x=15 · 分段先判区间再列式 例2 设降50x → 定价 2750 元 · 逐根检验：盈利为正、单价≥下限、人数为整数 二、分段收费：人数×人均=总收入 · 不合题意的根必须舍去 例3 x(1100-10x)=28000 → x=40（70舍） 步骤：审 设 列 解 验 答 九、分层作业与附加拓展提高 （一）分层作业 题号 题目 HA1 某商场售衬衫，每天 20 件、每件盈利 40 元；每降价 1 元多售 2 件.若每天盈利 1200 元，单价应降多少元？ HA2 某 Water 产品成本 40 元/kg，售价 50 元/kg 时月售 500 kg；每涨 1 元少售 10 kg.若月利润 9000 元，定价多少？ HB1 某商店售文具，每天 20 个、每个盈利 30 元；每降 1 元多售 4 个.若每天盈利 1000 元，降价多少？ HB2 某旅行社：不超 30 人人均 700 元；超 30 人每多 1 人人均降 10 元（最低 450 元）.某团体付 24000 元，求人数. HC1 某童装成本 50 元：售价 60 元日销 80 件，70 元日销 60 件，80 元日销 40 件（每涨1元少2件）.日利润 1250 元时售价多少？（提示：此时恰为唯一解） HC2 在 HB2 情境中，若要求「刚好只有一个整数人数解」，求此时的付费金额及对应人数.（逆向设计，用判别式思考） （二）附加拓展提高 ▶ 方法总结 以下三题对接不同核心素养，体现「知识→能力→素养」进阶：从实际意义取舍（运算），到图表读表建模（建模），再到逆向设计与分类讨论（推理）. 题号 题目（标注核心素养） 附加1 【数学运算·数学抽象】 某商店售手套，每天 20 双、每双盈利 17 元；每降 1 元多售 4 双.若每天盈利 420 元，降价多少？若要尽快减少库存（销量尽可能大），应降多少？ 附加2 【数学建模·数据分析】 某景区门票：不超 50 人，人均 120 元；超 50 人，每多 1 人人均降 2 元（最低 80 元）.某团体付 6000 元，求人数. 附加3 【数学建模·数据分析(图表)】 某商品调查：售价 30 元时周销 120 件，售价 35 元时周销 100 件（每涨 1 元少销 4 件），成本 20 元.若周利润 1200 元，售价多少？ 十、参考答案与详细解析 巩固 A1 解：设降价 x 元，则 (44-x)(20+5x)=1600. 得 x=4 或 x=36.两者均合理（降价越多销量越大）.答：降价 4 元或 36 元. 巩固 A2 解：设涨价 x 元，则单利 (10+x) 元，销量 (500-10x) kg. 得 x=10 或 x=30，定价 60 元或 80 元.答：定价 60 元或 80 元. 巩固 B1 解：设降价 x 元，则 (24-x)(20+5x)=855. 得 x=5 或 x=15.答：降价 5 元或 15 元. 巩固 B2 解：x≤30 时 750x=26000 得 x≈34.7，矛盾，故 x>30，人均 1050-10x. 检验：x=65 时人均 1050-650=400<450，舍去；x=40 符合.答：40 人. 巩固 C1 解：设售价 x 元，则销量 (200-2x) 件（每涨1元少2件），单利 (x-50) 元. 得 x=70 或 x=80.答：售价 70 元或 80 元. 作业 HA1 解：设降价 x 元，则 (40-x)(20+2x)=1200. 得 x=10 或 x=20.答：降价 10 元或 20 元. 作业 HA2 解：设涨价 x 元，则 (10+x)(500-10x)=9000. 定价 = 50+20 = 70（元）.答：定价 70 元. 作业 HB1 解：设降价 x 元，则 (30-x)(20+4x)=1000. 得 x=5 或 x=20.答：降价 5 元或 20 元. 作业 HB2 解：x≤30 时 700x=24000 得 x≈34.3，矛盾，故 x>30，人均 1000-10x. 检验：x=60 时人均 1000-600=400<450，舍去；x=40 符合.答：40 人. 作业 HC1 解：设售价 x 元，则销量 (200-2x) 件，单利 (x-50) 元. 答：售价 75 元（此时恰为利润唯一最大点，用「完全平方式」表示，未用到二次函数最值公式）. 作业 HC2 解：HB2 情境方程可化为 x^2-100x+T/10=0（T 为付费金额）.要「恰有一个整数人数解」，需判别式为 0. 答：付费 25000 元时，恰有 50 人. 附加1 解：设降价 x 元，则 (17-x)(20+4x)=420. 得 x=2 或 x=10.若要尽快减少库存（销量大），选降价 10 元（销量 20+40=60 双）.答：降价 10 元. 附加2 解：x≤50 时 120x=6000 得 x=50（符合）；x>50 时人均 220-2x. 检验：x=60 时人均 220-120=100≥80，符合；x=50 为边界也符合.答：50 人或 60 人. 附加3 解：设售价 x 元，由表知每涨 1 元少销 4 件，销量 (240-4x) 件，单利 (x-20) 元. 得 x=30 或 x=50.答：售价 30 元或 50 元. 学科网（北京）股份有限公司 $