1.2.5 有理数的大小比较 教学设计 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦有理数大小比较核心知识，涵盖借助数轴比较及利用绝对值比较两个负数大小的法则。通过温度比较实例导入，从温度计过渡到数轴，衔接小学正数比较基础，搭建新旧知识学习支架。 此资料以情境生活化激发兴趣，借助数轴直观教学培养逻辑推理与数学建模能力，分层次例题（整数到分数、两数到多数排序）强化数学运算。突出“绝对值大的反而小”等易错点辨析，助力学生建立数与形联系，提升比较能力，为教师提供系统教学方法与实例，提高课堂效率。

1.2.5 有理数的大小比较 教案 课题 1.2.5 有理数的大小比较 课型 新授课 备课人 授课班级 核心素养目标 1. 数学抽象：理解有理数大小比较的两个法则，能准确表述法则内容；2. 逻辑推理：借助数轴理解有理数的大小关系，体会数形结合思想；3. 数学建模：能利用数轴和绝对值比较有理数的大小，建立数与形的联系；4. 数学运算：掌握两个负数比较大小的步骤，能准确比较有理数的大小。 教学重难点 重点：有理数大小比较的两个法则，利用数轴和绝对值比较有理数的大小。难点：两个负数大小比较的方法，理解"绝对值大的反而小"的几何意义。突破策略：借助数轴直观理解数的大小关系，通过具体例子归纳比较法则，强化两个负数比较大小的步骤训练。 一、情境导入 【过渡语】同学们，在小学阶段我们已经学会了比较两个正数（或0）的大小。进入初中后，我们学习了负数，那么有理数之间该如何比较大小呢？今天我们就来学习有理数的大小比较。 教师提问：请同学们回顾一下，在小学阶段我们是如何比较两个正数的大小的？请举例说明。 学生回顾回答：两个正数比较大小，大的数就大。例如0小于1，1小于2，2小于3，依次类推。 例如，，，。这些是我们已经熟知的正数大小比较。 教师追问：那么，如果引入了负数，比如3和−4，0和−3，−3和−5，这几组数谁大谁小呢？我们该如何比较？ 学生思考讨论：有的同学认为3比−4大，因为3是正数；有的同学不确定−3和−5哪个大。 教师引导：同学们提出了很好的问题。要比较有理数的大小，我们可以借助一个直观的工具——数轴。下面我们通过一个生活中的实际例子来引入今天的内容。 教师出示问题：下图给出了未来一星期中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？ 学生观察后回答：最低气温是−4摄氏度，最高气温是9摄氏度。这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为：−4，−3，−2，−1，0，1，2。 教师追问：同学们观察一下，按照这个顺序排列的温度，在温度计上有什么特点？ 学生回答：在温度计上，温度从低到高排列，对应的刻度是从下到上的。越往上温度越高，数值也越大。 教师进一步引导：如果把这些数表示在水平的数轴上呢？表示它们的各点的顺序是怎样的？ 学生观察后回答：在水平的数轴上，表示这些数的点从左到右排列，顺序也是从小到大的。 教师总结：同学们观察得很仔细。在数轴上，表示有理数的点从左到右的顺序，就是从小到大的顺序。这就是我们今天要学习的核心内容——借助数轴比较有理数的大小。 【知识点】数轴上有理数的大小关系：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 【设计意图】通过生活中的温度比较实例，自然引入有理数大小比较的问题。从温度计（竖直）到数轴（水平）的过渡，帮助学生建立数形结合的直观感受，为后续学习比较法则做铺垫。 二、探究新知 1. 借助数轴比较有理数的大小 【过渡语】通过刚才的温度例子，我们发现数轴上表示有理数的点从左到右的顺序就是从小到大的顺序。下面我们系统地学习如何借助数轴比较有理数的大小。 【知识点】数轴法：在水平的数轴上表示有理数，数学中规定它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 教师解释：这个规定与我们在小学学过的正数及0的大小比较是一致的。在数轴上，正数在原点右侧，0在原点，负数在原点左侧，从左到右就是从小到大。 教师引导学生思考：你在小学学过的正数及0的大小比较符合这个规定吗？ 学生回答：符合。因为在数轴上，正数对应的点在0的右侧，所以正数大于0；较大的正数对应的点在较小正数的右侧，所以较大的正数更大。 教师进一步引导：根据数轴上的位置关系，我们可以得出一些重要的结论。 【知识点】特殊有理数的大小关系：由数轴可知，最小的自然数是0，无最大的自然数；最小的正整数是1，无最大的正整数；最大的负整数是−1，无最小的负整数。 教师解释：在数轴上，0是自然数的起点，所以最小的自然数是0。正整数从1开始向右排列，没有最大值。负整数从−1开始向左排列，−1是离原点最近的负整数，所以最大的负整数是−1，而负整数向左无限延伸，没有最小值。 例如，在数轴上，从左到右依次是：，，，，，，，所以 −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2。 ★ 重点强调：数轴法要点： ① 在数轴上，左边的数小于右边的数； ② 正数在原点右侧，0在原点，负数在原点左侧； ③ 从左到右，数越来越大； ④ 最小的自然数是0，最小的正整数是1，最大的负整数是 −1； ⑤ 数轴法是比较有理数大小最直观的方法。 学生活动：在数轴上表示下列各数，并用" < "连接：3，−2，0，−4，1。 学生回答：在数轴上从左到右排列为−4，−2，0，1，3，所以−4 < −2 < 0 < 1 < 3。 【设计意图】通过数轴直观展示有理数的大小关系，帮助学生建立"左小右大"的基本认知。结合特殊有理数的讨论，加深对数轴上数的大小关系的理解。 2. 有理数大小比较的法则一 【过渡语】通过数轴的观察，我们可以发现有理数大小比较的一个重要规律。对于正数、0和负数这三类数，它们之间有什么大小关系呢？ 教师引导学生思考：观察数轴，正数、0和负数分别在什么位置？它们之间的大小关系是什么？ 学生回答：正数在原点右侧，0在原点，负数在原点左侧。根据左边的数小于右边的数，可以得出：负数小于0，0小于正数，负数小于正数。 【知识点】法则一：正数大于0，0大于负数，正数大于负数。即正数 > 0 > 负数。 例如，（正数大于0），（0大于负数），（正数大于负数）。 教师引导学生从数轴角度理解：在数轴上，正数对应的点在0的右侧，所以正数大于0；0对应的点在负数对应点的右侧，所以0大于负数；正数对应的点在负数对应点的右侧，所以正数大于负数。 学生活动：比较下列各数的大小： 和，和，和。 学生回答：5 > 0（正数大于0），0 > −2（0大于负数），3 > −5（正数大于负数）。 🔍 概念辨析：法则一概念辨析： 正数 > 0 > 负数 在数轴上，右边的数总比左边的数大。 这个法则适用于正数与0、正数与负数、0与负数之间的比较。 本质：正数在0右侧，负数在0左侧，0是分界点。 教师强调：法则一解决了正数与0、正数与负数、0与负数之间的比较问题。但两个正数之间、两个负数之间如何比较呢？两个正数的比较在小学已经学过，而两个负数的比较则需要用到绝对值。 【设计意图】从数轴位置关系自然归纳出法则一，培养学生的观察归纳能力。强调法则一的适用范围，为引出法则二做铺垫。 3. 利用绝对值比较有理数的大小——法则二 【过渡语】正数与0、正数与负数的比较比较简单，可以直接用法则一。但两个负数之间如何比较大小呢？这就需要用到我们上节课学习的绝对值知识。 教师引导学生回顾：上节课我们学习了绝对值，请同学们回忆一下，绝对值的几何意义是什么？ 学生回答：绝对值表示数轴上表示数的点到原点的距离。 教师提问：观察数轴的负半轴，负数对应的点与原点的距离（即绝对值）越大，这个点在数轴上的位置如何变化？ 学生观察后回答：在数轴负半轴上，点与原点的距离越远（即绝对值越大），这个点越靠左。而数轴上越靠左的数越小，所以绝对值越大的负数反而越小。 【知识点】法则二：两个负数，绝对值大的反而小。 教师解释：为什么绝对值大的负数反而小？因为在数轴上，负数对应的点在原点左侧，绝对值越大，说明这个点离原点越远，也就是越靠左。而数轴上越靠左的数越小，所以绝对值大的负数反而小。 例如，比较和的大小。 教师引导学生按步骤分析： 第一步：分别求出两个负数的绝对值。 ，。 第二步：比较两个绝对值的大小。 （即3 < 5）。 第三步：根据法则二，绝对值大的负数反而小，所以−3 > −5。 📐 算理讲解：算理讲解：两个负数比较大小的步骤 ① 分别求出两个负数的绝对值； ② 比较两个绝对值的大小； ③ 绝对值大的负数反而小。 例如：比较 −3 和 −5 |−3| = 3，|−5| = 5 因为 3 < 5，所以 −3 > −5 本质：在数轴上，−3 在 −5 的右边，所以 −3 更大。 教师演示更多例子：比较−1和−2的大小。 分析：|−1|=1，|−2|=2，因为1 < 2，所以−1 > −2。 教师演示分数例子：比较−和−的大小。 分析：第一步，求绝对值。 ，。 第二步，比较绝对值。需要比较和的大小，通分后 < ，所以 < 。 第三步，根据法则二，绝对值大的负数反而小，所以− > −。 💡 解题技巧：两个负数比较大小的口诀： • 先求绝对值，再比大小； • 绝对值大的，反而小； • 绝对值小的，反而大； • 本质上就是看谁离原点更远（更靠左）。 注意：分数比较绝对值时，可能需要通分。 学生活动：比较下列各对负数的大小： 和，和，和。 学生回答：|−4|=4，|−6|=6，4 < 6，所以−4 > −6。|−1|=1，|−3|=3，1 < 3，所以−1 > −3。|−|=，|−|=， > ，所以− < −。 ，，。 ⚠ 易错提示：易错提醒： ① 两个负数比较大小，不要直接比较数值大小，要先求绝对值； ② "绝对值大的反而小"，不要搞反成"绝对值大的大"； ③ 分数比较绝对值时，要先通分再比较； ④ 负数比较的结果仍然用不等号表示，注意方向不要写反。 【设计意图】通过法则二的讲解和大量例子，帮助学生掌握两个负数大小比较的方法。强调"绝对值大的反而小"这一关键结论，从几何角度加深理解。通过整数和分数两种类型的例子，全面训练比较能力。 4. 两种方法的比较与选择 【过渡语】我们学习了两种比较有理数大小的方法：数轴法和绝对值法。在实际解题中，我们应该如何选择合适的方法呢？ 【知识点】方法选择：数轴法适用于需要在数轴上直观展示多个数的大小关系，或比较多个数的大小时使用；绝对值法（法则一和法则二）适用于比较两个数的大小时使用，特别是两个负数的比较。 教师解释：数轴法的优点是直观，可以一眼看出多个数的大小关系，但需要画数轴，比较繁琐。绝对值法的优点是快捷，不需要画图，但需要根据数的类型选择合适的法则。 教师总结比较有理数大小的策略： （1）正数与正数：按小学方法比较； （2）正数与0：正数大于0（法则一）； （3）正数与负数：正数大于负数（法则一）； （4）0与负数：0大于负数（法则一）； （5）负数与负数：求绝对值，绝对值大的反而小（法则二）； （6）多个数比较：可在数轴上标出各数，从左到右排列。 ★ 重点强调：方法总结： • 涉及正数与0、正数与负数、0与负数的比较——用法则一； • 涉及两个负数的比较——用法则二（先求绝对值）； • 涉及多个数的排序——用数轴法（画数轴，标点，从左到右排列）； • 分数比较时——可能需要通分后比较。 教师强调：在实际解题中，要根据题目的具体情况选择最合适的方法。对于两个数的比较，优先使用法则；对于多个数的排序，数轴法更直观。 【设计意图】通过两种方法的对比和选择策略的讲解，帮助学生形成完整的比较有理数大小的方法体系。培养学生的策略选择能力，做到灵活运用。 三、例题精讲 例1：用数轴比较有理数的大小 题目：在数轴上表示下列各数，并用" < "将它们连接起来： ，，，，1.5。 审题分析 本题要求在数轴上表示各数并比较大小。根据数轴法，在数轴上左边的数小于右边的数，所以只需在数轴上标出各数，然后从左到右用" < "连接即可。 解题过程 第一步：在数轴上标出各数对应的点。 −5在最左侧，然后依次是−2，0，1.5，3。 第二步：从左到右用" < "连接。 方法总结 💡 解题技巧：数轴法比较有理数大小的步骤： ① 画数轴（标出原点、正方向、单位长度）； ② 在数轴上标出各数对应的点； ③ 从左到右用" < "连接各数； ④ 注意：左边的数小，右边的数大。 例2：用绝对值比较两个负数的大小（整数） 题目：比较下列各组数的大小： (1) −3和−6 (2) −1和−4 审题分析 本题要求比较两组负数的大小。根据法则二，两个负数比较大小，先求绝对值，绝对值大的反而小。 解题过程 (1) 比较−3和−6： 第一步：求绝对值。 ，。 第二步：比较绝对值。3 < 6。 第三步：根据法则二，绝对值大的反而小，所以−3 > −6。 （同理，−3 > −6） (2) 比较−1和−4： 第一步：求绝对值。|−1|=1，|−4|=4。 第二步：比较绝对值。1 < 4。 第三步：根据法则二，绝对值大的反而小，所以−1 > −4。 方法总结 💡 解题技巧：两个负数比较大小的步骤： ① 分别求出两个负数的绝对值； ② 比较两个绝对值的大小； ③ 绝对值大的负数反而小； ④ 注意：绝对值小的负数反而大。 例3：用绝对值比较两个负数的大小（分数） 题目：比较下列各组数的大小： (1) 和 (2) 和 审题分析 本题要求比较两组负分数的大小。同样根据法则二，先求绝对值，再比较绝对值的大小。但分数比较绝对值时，可能需要通分。 解题过程 (1) 比较−和−： 第一步：求绝对值。 ，。 第二步：比较绝对值。通分： = ， = 。 ，即 < 。 第三步：根据法则二，绝对值大的反而小，所以− > −。 (2) 比较−和−： 第一步：求绝对值。 ，。 第二步：比较绝对值。 = ， = ，所以 > 。 第三步：根据法则二，绝对值大的反而小，所以− < −。 方法总结 💡 解题技巧：负分数比较大小的注意事项： ① 先求绝对值，将负分数的比较转化为正分数的比较； ② 正分数比较时，可能需要通分； ③ 通分后比较分子大小，分子大的分数大； ④ 最后根据法则二，绝对值大的负分数反而小。 例4：综合比较与排序 题目：比较下列各数的大小，并用" < "连接： ，，，，2，。 审题分析 本题要求比较多个有理数的大小并排序。可以采用数轴法，也可以分类比较。这里我们采用分类比较的方法：先分出正数、0、负数，然后在各类内部比较，最后综合排序。 解题过程 第一步：分类。正数有3和2；0；负数有−3，−5，−。 第二步：各类内部比较。正数中2 < 3；负数中需要用法则二比较。 比较负数：|−3|=3，|−5|=5，|−|=。 因为 < 3 < 5，所以− > −3 > −5。 第三步：综合排序。根据正数 > 0 > 负数，以及各类内部的比较结果： 方法总结 💡 解题技巧：多个有理数排序的方法： ① 分类法：先分正数、0、负数三类； ② 正数内部按小学方法比较； ③ 负数内部用法则二比较（绝对值大的反而小）； ④ 综合排序：负数 < 0 < 正数； ⑤ 也可以用数轴法：画数轴，标点，从左到右排列。 【设计意图】通过四个例题层层递进，从数轴法到绝对值法，从整数到分数，从两个数比较到多个数排序，全面训练学生比较有理数大小的能力。例4综合考查了分类讨论和综合运用的能力。 课堂小结 【过渡语】本节课我们学习了有理数大小比较的方法和两个法则。请同学们回顾一下本节课的主要内容。 ★ 重点强调：本节课核心要点： 1. 数轴法：在数轴上，左边的数小于右边的数，从左到右数越来越大。 2. 法则一：正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 3. 法则二：两个负数，绝对值大的反而小。 4. 两个负数比较大小的步骤：求绝对值，比绝对值，绝对值大的反而小。 5. 最小的自然数是0，最小的正整数是1，最大的负整数是 −1。 学生回顾与分享：请2-3名学生分享本节课的收获，说出有理数大小比较的两个法则和两个负数比较大小的步骤。 教师补充：比较有理数大小的方法本质上是利用数轴上的位置关系来确定的。数轴法直观，绝对值法快捷，两者相互补充。 教师强调：两个负数比较大小是本节课的重点和难点，关键是要记住"绝对值大的反而小"这一结论，并严格按照三个步骤进行比较。 📚 知识拓展：知识拓展：有理数大小比较的方法在后续学习中有广泛应用。在解不等式时，需要比较有理数的大小；在求函数的最大值和最小值时，也需要比较有理数的大小。掌握好有理数大小比较的方法，是学好初中数学的基础。 【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识脉络，强调两个法则和两个负数比较大小的步骤，为后续学习有理数的运算做铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $