2026年苏科版八升九年级数学暑期预习讲义（第9讲）——正多边形和圆（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第9讲）——正多边形和圆 （知识梳理+题型精析+同步自测）（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】正多边形的定义 1 【知识点二】正多边形与圆的关系 2 【知识点三】正多边形五大核心要素（必考） 2 【知识点四】核心几何模型：直角三角形模型 2 【知识点五】正多边形周长与面积公式 2 【知识点六】常见特殊正多边形结论（直接套用） 3 【知识点七】高频易错点汇总 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】正多边形角度计算（中心角、内角、外角） 3 【题型 2】利用直角三角形模型计算边长、边心距 4 【题型 3】正多边形周长与面积计算 4 三.经典题型精析（综合提升） 5 【题型 4】正多边形与圆 + 垂径定理综合 5 【题型 5】正多边形与圆 + 圆周角定理综合 6 【题型 6】正多边形与圆 + 切线性质定理综合 7 四.同步自测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.教材知识梳理 【知识点一】正多边形的定义 各边相等、各内角相等的多边形叫做正多边形。 易错提醒：缺一不可！仅边相等或仅角相等的多边形，不是正多边形。 常见正多边形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形等。 【知识点二】正多边形与圆的关系 1. 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心，圆心为正多边形的中心； 2. 把一个圆等分（），依次连接各分点，可得到圆的内接正n边形； 3. 经过圆的各等分点作圆的切线，相邻切线相交可得到圆的外切正n边形。 【知识点三】正多边形五大核心要素（必考） 设正多边形的边数为（且为整数），外接圆半径为： 1. 中心：正多边形外接圆和内切圆的公共圆心。 2. 半径（外接圆半径）R：中心到正多边形顶点的距离。 3. 边心距r：中心到正多边形一条边的距离（也是内切圆半径）。 4. 中心角：正多边形相邻两个顶点与中心连线的夹角。 公式： 5. 内角与外角 内角公式： 外角公式：（正多边形外角和恒为360°） 【知识点四】核心几何模型：直角三角形模型 正多边形的半径、边心距、边长的一半，可构成直角三角形，满足勾股定理： （为正多边形边长） 核心用途：已知半径、边心距、边长任意一个量，可求另外两个量。 【知识点五】正多边形周长与面积公式 1. 周长：（为边数，为边长） 2. 面积：（周长×边心距÷2） 【知识点六】常见特殊正多边形结论（直接套用） 1.正六边形：边长 = 外接圆半径（），中心角60°； 2. 正四边形（正方形）：中心角90°，边长； 3. 正三角形：中心角120°，边长。 【知识点七】高频易错点汇总 1. 正多边形外角和恒为360°，与边数无关；内角和随边数增加而增大； 2. 中心角与正多边形外角度数相等，均为； 3. 边心距是内切圆半径，小于外接圆半径，不可混淆； 4. 面积公式仅适用于正多边形，普通多边形不可套用。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】正多边形角度计算（中心角、内角、外角） 【例题1】（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【变式1】（2026·河南漯河·一模）如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 【题型 2】利用直角三角形模型计算边长、边心距 【例题2】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 【变式1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知正六边形的边心距为，则它的外接圆半径为______． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）半径为的正六边形，中心角_________，边心距_________，面积_________． 【题型 3】正多边形周长与面积计算 【例题3】（24.3正多边形和圆（习题）-2022-2023学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版））如图所示，正的外接圆的圆心为O，半径为2，求的边长a，周长P，边心距r，面积S． 【变式1】（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，正三角形和正方形分别内接于等圆和，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（24-25九年级下·上海·阶段检测）周长相等的正方形与正六边形的面积分为，则的值为___________． 【变式3】（24.3正多边形和圆（分层练习）-2022-2023学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版））如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 4】正多边形与圆 + 垂径定理综合 【例题4】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： （1）如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； （2）如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 【变式1】（2025年江苏省南京市中考数学试题）如图，是正五边形的外接圆，这个五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系是错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海·二模）已知正六边形的边长为4，其外接圆被顶点分为六条小劣弧，那么任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是________． 【变式3】（2025·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）； （2）． 【题型 5】正多边形与圆 + 圆周角定理综合 【例题5】（2024·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于． （1）若P是上的动点，连接，，求的度数； （2）已知的面积为，求的面积． 【变式1】（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2020·广东佛山·模拟预测）如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 【变式3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若， （1）弧的长为_____； （2）连接，则与的面积比为_____． 【题型 6】正多边形与圆 + 切线性质定理综合 【例题6】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数． 【变式1】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽马鞍山·三模）如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 5．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 6．（25-26九年级上·福建福州·期末）中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（   ）． A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知正六边形外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是（   ） A． B．3 C．2 D． 8．（2026·广东广州·二模）如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏徐州·一模）如图，倒马井位于徐州市泉山区夹河街西侧，其井壁外壁为正八边形，内壁为圆形，且圆与四边形各边均相切．若雨滴落在井口区域各点的机会相等，则雨滴落在圆形区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2022·上海浦东新·二模）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 12．（24-25九年级下·山东德州·开学考试）如图，正五边形内接于，则的度数为________． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）正方形的外接圆半径为，则正方形的边长为_____． 14．（25-26九年级上·北京·期末）如图，为正八边形的中心，连接，以为圆心的圆弧经过点，，与交于点，连接，则的大小为_________________． 15．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，四边形是的内接正方形，若是上一点，则_______°． 16．（23-24九年级下·上海·阶段检测）正三角形外接圆和内切圆的周长之比为___________ 17．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 18．（2026·河北石家庄·一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·西藏林芝·期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． （1）求证：； （2）连接，求的度数． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． （1）求证：是正六边形的一边； （2）请在图上继续画出这个正六边形． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，正方形内接于，为的中点． （1）作等边三角形，使点，分别在和上（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求的度数； （3）若正方形的边长为4，求（1）中等边三角形的边长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第9讲）——正多边形和圆 （知识梳理+题型精析+同步自测）（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】正多边形的定义 1 【知识点二】正多边形与圆的关系 2 【知识点三】正多边形五大核心要素（必考） 2 【知识点四】核心几何模型：直角三角形模型 2 【知识点五】正多边形周长与面积公式 2 【知识点六】常见特殊正多边形结论（直接套用） 3 【知识点七】高频易错点汇总 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】正多边形角度计算（中心角、内角、外角） 3 【题型 2】利用直角三角形模型计算边长、边心距 6 【题型 3】正多边形周长与面积计算 9 三.经典题型精析（综合提升） 12 【题型 4】正多边形与圆 + 垂径定理综合 12 【题型 5】正多边形与圆 + 圆周角定理综合 18 【题型 6】正多边形与圆 + 切线性质定理综合 22 四.同步自测 25 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 25 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 32 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 38 一.教材知识梳理 【知识点一】正多边形的定义 各边相等、各内角相等的多边形叫做正多边形。 易错提醒：缺一不可！仅边相等或仅角相等的多边形，不是正多边形。 常见正多边形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形等。 【知识点二】正多边形与圆的关系 1. 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心，圆心为正多边形的中心； 2. 把一个圆等分（），依次连接各分点，可得到圆的内接正n边形； 3. 经过圆的各等分点作圆的切线，相邻切线相交可得到圆的外切正n边形。 【知识点三】正多边形五大核心要素（必考） 设正多边形的边数为（且为整数），外接圆半径为： 1. 中心：正多边形外接圆和内切圆的公共圆心。 2. 半径（外接圆半径）R：中心到正多边形顶点的距离。 3. 边心距r：中心到正多边形一条边的距离（也是内切圆半径）。 4. 中心角：正多边形相邻两个顶点与中心连线的夹角。 公式： 5. 内角与外角 内角公式： 外角公式：（正多边形外角和恒为360°） 【知识点四】核心几何模型：直角三角形模型 正多边形的半径、边心距、边长的一半，可构成直角三角形，满足勾股定理： （为正多边形边长） 核心用途：已知半径、边心距、边长任意一个量，可求另外两个量。 【知识点五】正多边形周长与面积公式 1. 周长：（为边数，为边长） 2. 面积：（周长×边心距÷2） 【知识点六】常见特殊正多边形结论（直接套用） 1.正六边形：边长 = 外接圆半径（），中心角60°； 2. 正四边形（正方形）：中心角90°，边长； 3. 正三角形：中心角120°，边长。 【知识点七】高频易错点汇总 1. 正多边形外角和恒为360°，与边数无关；内角和随边数增加而增大； 2. 中心角与正多边形外角度数相等，均为； 3. 边心距是内切圆半径，小于外接圆半径，不可混淆； 4. 面积公式仅适用于正多边形，普通多边形不可套用。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】正多边形角度计算（中心角、内角、外角） 【例题1】（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 【变式1】（2026·河南漯河·一模）如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 【变式2】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先求出中心角的度数，即可求出的度数，再根据切线的性质可得，然后根据正多边形的外角和定理求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 【答案】等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 【分析】设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，再解直角三角形即可. 解：如图， 设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，则 ，，． ． ． 设 ，则 ． 在 中，， 即 ． 解得 （负值已舍去）． ，． 等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 ． 【点拨】本题考查的是正多边形的中心角、半径和边心距，锐角三角函数的应用，熟记概念是解本题的关键. 【题型 2】利用直角三角形模型计算边长、边心距 【例题2】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，． 【变式1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知正六边形的边心距为，则它的外接圆半径为______． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形的计算问题，设正六边形的中心是，一边是，过作与，在直角中，根据三角函数即可求得． 解：如图，过作与， ，， ， 在中，，， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）半径为的正六边形，中心角_________，边心距_________，面积_________． 【答案】 /度 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识．了解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解题的关键．正六边形的中心角等于除以边数，边心距是从正多边形的中心到边的距离，可利用三角函数求出，面积可通过将正六边形分割成六个全等的正三角形来计算即可． 解：如图， 正六边形的边数，根据正多边形中心角，得； 正六边形半径，由于正六边形的边心距等于半径乘以，即； 将正六边形分割成六个全等的正三角形，每个正三角形的底边长等于正六边形的边长，为，高为边心距，所以一个正三角形的面积为，所以正六边形的面积． 故答案为：，，． 【题型 3】正多边形周长与面积计算 【例题3】（24.3正多边形和圆（习题）-2022-2023学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版））如图所示，正的外接圆的圆心为O，半径为2，求的边长a，周长P，边心距r，面积S． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积， 作AD⊥BC于D，根据等边三角形性质得出，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，的三倍即为周长，根据三角形的面积公式求出即可． 解：作于D． ∵是正三角形， ∴点O在上，， 在中，， ， ∴，． 又∵， ∴， ∴，，，． 【变式1】（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，正三角形和正方形分别内接于等圆和，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，设圆的半径为，分别求出正三角形，正方形的边长，进而求出的值，即可得出结果． 解：设等圆和的半径为，如图，作于点C，连接，连接， ∵正三角形和正方形分别内接于等圆和， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【变式2】（24-25九年级下·上海·阶段检测）周长相等的正方形与正六边形的面积分为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的相关计算，涉及解直角三角形，中心角，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 设周长为，则正方形的边长为，正六边形的边长为，则，对于正六边形，由6个等边三角形组成，分割出一个等边，过点O作于点D，解直角三角形求出高，即可求出一个等边三角形的面积，再乘以6就是正六边形的面积． 解：设周长为，则正方形的边长为，正六边形的边长为， ∴， 对于正六边形，由6个等边三角形组成，分割出一个等边，过点O作于点D， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24.3正多边形和圆（分层练习）-2022-2023学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版））如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S． 【答案】；； 【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积求得答案． 解：∵正n边形边长为a，，，   ∴． ∵边心距为r， ∴正n边形的半径 ， ∴周长， ∴面积． 【点拨】本题考查了正多边形与圆的知识．理解正多边形面积的求法是解答关键．注意掌握数形结合思想的应用． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 4】正多边形与圆 + 垂径定理综合 【例题4】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： （1）如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； （2）如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 【答案】（1）∵是直径， ∴， ∴四边形是矩形； （2）四边形即为所求． 【分析】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，垂径定理，圆周角定理，矩形与正方形的判定； （1）根据直径所对的圆周角是直角得出，即可得证； （2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与互相垂直，即可得到的内接 解：（1）略 （2）解：如图所示，连接，并延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于，，连接，，，，则四边形即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，经过的中点， ∴是的直径， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 【变式1】（2025年江苏省南京市中考数学试题）如图，是正五边形的外接圆，这个五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系是错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆和正多边形的结合，垂径定理，勾股定理，利用锐角三角函数解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用垂径定理，勾股定理，利用锐角三角函数解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识点逐项进行判断即可． 解：如图所示，，交于点， A.由垂径定理和勾股定理可得，该选项正确，故不符合题意； B.由题意可得，，由等腰三角形的三线合一性质可得， ∴， 由垂径定理得， 该选项正确，故不符合题意； C. 由题意可得，，由等腰三角形的三线合一性质可得， ∴， 由垂径定理得， 该选项正确，故不符合题意； D. 由题意可得，，由等腰三角形的三线合一性质可得， ∴， 即 该选项错误，故符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·上海·二模）已知正六边形的边长为4，其外接圆被顶点分为六条小劣弧，那么任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形外接圆的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确地画出图形是解决本题的关键． 先画出正六边形和外接圆，再取的中点G，连接，根据等边三角形的性质和含的直角三角形的性质求解即可． 解：∵正六边形的边长为4， ∴外接圆半径， ∵正六边形的每条边都是外接圆的一条弦， ∴对应的圆心角为， 又∵， ∴为等边三角形， 取的中点G，连接并延长交弧于点H，则是点H到弦的最大距离； ∵为等边三角形， ∴，，， ∴， 在含的中，， ∴， ∴任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是， 故答案为：． 【变式3】（2025·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）； （2）． 【答案】（1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2） 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 解：（1）略 （2）略 【题型 5】正多边形与圆 + 圆周角定理综合 【例题5】（2024·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于． （1）若P是上的动点，连接，，求的度数； （2）已知的面积为，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． （）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积． 解：（1）如图所示，在取一点，连接 ， ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 面积为： 【变式1】（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 【变式2】（2020·广东佛山·模拟预测）如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 【答案】/36度 【分析】连接，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 解：如图，连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． 【变式3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若， （1）弧的长为_____； （2）连接，则与的面积比为_____． 【答案】 / 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，弧长的计算，三角形的面积，关键是掌握圆内接正多边形的性质． （1）设圆的圆心是，连接，根据是圆内接正六边形的一边，算出的度数，得出圆的半径为2，根据 是圆内接正方形的一边，算出的度数，即可求解； （2）设半径是，作交延长线于，根据解三角形算出根据垂径定理求出根据角平分线的性质得出根据即可求解； 解：（1）设圆的圆心是，连接， ∵是圆内接正六边形的一边， ∴的度数， ∴是等边三角形， ∴， ∴该圆的半径为2； ∵是圆内接正方形的一边， ∴的度数， 的长； （2）设半径是，作交延长线于， 由（1）解得的度数， ∵是圆内接正三边形的一边， ∴的度数， ∴的度数， ∴的度数， 平分 平分 【题型 6】正多边形与圆 + 切线性质定理综合 【例题6】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的性质，由正六边形的性质可得是等边三角形，即得，由切线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：连接， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先求出中心角的度数，即可求出的度数，再根据切线的性质可得，然后根据正多边形的外角和定理求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． 【变式2】（2026·安徽马鞍山·三模）如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】设与的切点是点，连接，则，首先根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 解：如下图所示， 设与的切点是点，连接， 则， 在正六边形中，，， 是等边三角形， 正六边形的边长为， ， ， ， ， ． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 3．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，利用中心角和边的关系求解是解题的关键；根据中心角是，得到等边三角形即可求解． 解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B ． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查圆内接正多边形的性质，熟练掌握圆心角与边数的关系是解决本题的关键． 设边数为，根据所有圆心角之和为，列式求解即可． 解：∵圆内接正多边形每条边所对的圆心角相等，且所有圆心角之和为， ∴设边数为，则， 解得， ∴该正多边形边数为9． 故选：B． 5．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形以及三角函数，连接，利用正六边形的性质得到圆心角的度数，证明是等边三角形后利用三角函数即可． 解：连接， 正六边形内接于， ， ， ， 是等边三角形， ， 是边心距， ， ． 故选：B． 6．（25-26九年级上·福建福州·期末）中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，勾股定理，熟练把正多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键．正六边形的面积由个全等的边长为的等边三角形面积组成，计算一个等边三角形的面积，乘以即可． 解：如图，过点作交于点， ∵正六边形， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，． ∵在中，，，， ∴， ∴． ∵正六边形含有全等的个正三角形， ∴． 故选：C． 7．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知正六边形外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，等边三角形的判定与性质． 正六边形外接圆的半径等于其边长，故正六边形可划分为六个等边三角形，据此进行分析，即可作答． 解：∵正六边形外接圆的半径为2， ∴正六边形的中心角为， ∵外接圆半径相等， ∴每个分成的三角形均为等边三角形， ∴边长等于外接圆半径， ∵外接圆半径为2， ∴边长为2， 故选：C． 8．（2026·广东广州·二模）如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质求出旋转的周期，确定第2026次旋转结束时点的位置相当于初始位置顺时针旋转，再利用正六边形的性质和三角函数（或勾股定理）求出坐标即可． 解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 9．（2026·江苏徐州·一模）如图，倒马井位于徐州市泉山区夹河街西侧，其井壁外壁为正八边形，内壁为圆形，且圆与四边形各边均相切．若雨滴落在井口区域各点的机会相等，则雨滴落在圆形区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，进一步可得，如图，令正八边形的中心为点O，连接，，交于点P，设，再进一步求解即可． 解：∵多边形为正八边形， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形， 如图，令正八边形的中心为点O，连接，，交于点P，设， ，， ， ， ∴P（雨滴落在圆形区域内）． 10．（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 解：∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2022·上海浦东新·二模）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】10 【分析】用除以单个中心角的度数即可得到正多边形的边数． 解：根据正多边形中心角与边数的关系，得： 该正多边形的边数为：． 12．（24-25九年级下·山东德州·开学考试）如图，正五边形内接于，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据正多边形内角公式求出，根据三角形内角和及等边对等角得到，即可求出的度数． 解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）正方形的外接圆半径为，则正方形的边长为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查正多边形与圆；由题意易得正方形的对角线长为，然后问题可求解． 解：如图，正方形是的内接正多边形， ∴正方形外接圆直径为正方形的对角线长，即为． ∵正方形的外接圆半径为， ∴正方形的对角线长， ∴正方形的边长为； 故答案为：． 14．（25-26九年级上·北京·期末）如图，为正八边形的中心，连接，以为圆心的圆弧经过点，，与交于点，连接，则的大小为_________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形内角和定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练运用内角和公式、三角形内角和公式、等腰三角形的性质是解题的关键． 根据正多边形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 解：∵八边形是正八边形， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，四边形是的内接正方形，若是上一点，则_______°． 【答案】45 【分析】连接，，根据同弦所对的圆周角与圆心角的关系求解即可． 解：如图，连接，， ∵正方形内接于， ∴=， ∴． 故答案为45． 16．（23-24九年级下·上海·阶段检测）正三角形外接圆和内切圆的周长之比为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了正三角形的外接圆和内接圆的周长．设点O是正三角形的内心，连接，过点O作于点D，则，可得，即可求解． 解：如图，设点O是正三角形的内心，连接，过点O作于点D，则， ∴， ∴正三角形外接圆和内接圆的周长之比为． 故答案为： 17．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，，，，，，，首先得出当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度，然后得到，是等边三角形，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 解：如图所示，连接，，，，，，， ∵点A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴，是直径，点B和点F关于对称， ∴， ∴的周长， ∴当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度， ∵的直径为4， ∴， ，， 是等边三角形， ，， ∵点G为弦的中点， ∴， ∴， 在中，， 是直径， ， ， 在中，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 18．（2026·河北石家庄·一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 【答案】 【分析】过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则，根据正六边形的性质可得为等边三角形，，从而得到， ，进而得到，，继而得到，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 解：如图，过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则， ∵正多边形为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， ， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， 即螺纹孔的半径为， ∴螺纹孔的直径为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·西藏林芝·期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长． 【答案】3 【分析】本题考查正多边形的计算，解题关键是理解正六边形被半径分成了六个全等的等边三角形．先得到，，再利用余弦的含义解答即可． 解：∵边心距， ∴， ∵正六边形的边长为， ∴正六边形的半径为， 即， ∴， ∴正六边形的边心距是； 故答案为3． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 解：正六边形内接于， ， ， 是等边三角形， ， 如图，过O作的垂线， 则，， ， ． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． （1）求证：； （2）连接，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． （1）求证：是正六边形的一边； （2）请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 解：（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，正方形内接于，为的中点． （1）作等边三角形，使点，分别在和上（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求的度数； （3）若正方形的边长为4，求（1）中等边三角形的边长． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）等边三角形的边长为． 【分析】（1）如图所示，连接并延长交于，以为圆心，为半径画圆，交于点，，点，即为所求； （2）利用等边三角形的性质及圆周角定理求得，，据此即可求解； （3）如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据勾股定理计算半径的长，再利用勾股定理求的长，可得等边三角形的边长． 解：（1）解：如图所示，连接并延长交于，以为圆心，为半径画圆，交于点，，点，即为所求，即得到等边三角形．    （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过O作于N，    ∵， ∴， 中，， ∴， 中，，， ∴， ∴， ∴， ∴等边三角形的边长为． 【点拨】本题考查了作图-复杂作图：作等边三角形，圆内接三角形，还考查了正方形和等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $