第9讲 圆周角 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第9讲 圆周角 目录 知识点1 圆周角的定义 2 知识点2 圆心角与圆周角对比表格 2 知识点3 圆周角定理（核心） 2 知识点4 圆周角两大必考推论 2 知识点5 圆内接四边形性质 3 题型1 圆周角 3 题型2 圆周角定理 4 题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等 5 题型4 半圆（直径）所对的圆周角是直角 6 题型5 90度的圆周角所对的弦是直径 7 题型6 已知圆内接四边形求角度 9 解答题 10 1. 知识目标：掌握圆周角的定义，熟记圆周角定理及三大核心推论，明晰圆心角与圆周角的区别与关联。 2. 能力目标：能准确识别圆周角，熟练利用定理、推论进行角度计算与几何证明，掌握圆内接四边形的角度求解方法。 3. 素养目标：建立圆的角度转化思维，熟练圆中直角构造、等角转化技巧，提升圆的几何推理与计算能力。 知识点1 圆周角的定义 同时满足三个条件的角为圆周角：①顶点在圆上；②角的两边都是圆的弦；③两边均与圆相交。 如图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角叫作圆周角 易错区分：顶点在圆心为圆心角，顶点在圆外/圆内均不是圆周角。 知识点2 圆心角与圆周角对比表格 角的类型 顶点位置 边的特征 度数关系 圆心角 圆心 两边为半径 等于所对弧的度数 圆周角 圆上 两边为弦 等于所对圆心角的一半 知识点3 圆周角定理（核心） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且圆周角的度数等于这条弧所对圆心角度数的一半。 公式： 关键前提：必须是同弧、等弧，同弦不一定对应相等圆周角。 知识点4 圆周角两大必考推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是90°（直角）。 推论2：90°的圆周角所对的弦是圆的直径。（可判定直径、直角） 知识点5 圆内接四边形性质 四个顶点都在圆上的四边形为圆内接四边形，核心性质：对角互补（和为180°），外角等于内对角。 题型1 圆周角 解题技巧（三要素判定、快速排除） 1. 三步判定法：顶点在圆上、两边为弦、两边与圆相交，三条件缺一不可； 2. 快速排除：顶点在圆心（圆心角）、顶点在圆内/外、一边与圆相切均不是圆周角； 3. 识图关键：找准角的两边所对的圆弧，为后续角度计算铺垫。 1．如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 2．下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解题技巧（找对弧、定倍半、精准换算） 1. 解题核心：锁定圆周角与圆心角对应同一条弧； 2. 度数换算：已知圆心角÷2得圆周角，已知圆周角×2得圆心角； 3. 弧度关联：圆周角度数×2=对应弧的度数，整圆弧度为360°； 4. 避坑要点：不同弧对应的角，无倍数关系，不可直接套用定理。 题型2 圆周角定理 5．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，点，，在上，若，则______度． 8．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等 解题技巧（抓公共弧、等角转化、倒角求值） 1. 核心依据：同弧、等弧→所有对应圆周角全部相等； 2. 识图技巧：多个圆周角共享一段弧，直接判定角度相等； 3. 解题应用：通过等角替换，转移已知角度，求解未知角； 4. 高频易错：同弦所对圆周角不一定相等，分优弧、劣弧两种，角度互补。 9．如图，在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，点，，，均在上，连接，，，，于点，若，则的度数是（） A． B． C． D． 11．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 12．如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 题型4 半圆（直径）所对的圆周角是直角 解题技巧（遇直径、构直角、解直角三角形） 1. 固定辅助线：题干出现直径，优先连接直径端点与圆上任意一点，构造90°直角； 2. 解题模型：直径→直角三角形，结合三角形内角和、等腰性质求角度、边长； 3. 快速结论：只要弦为直径，所对任意圆周角均为90°，无需重复推导。 13．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 15．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 16．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 题型5 90度的圆周角所对的弦是直径 解题技巧（见直角、判直径、证半圆） 1. 判定核心：圆中出现90°圆周角，可直接判定对边弦为圆的直径； 2. 几何应用：用于证明线段为直径、确定圆心位置； 3. 拓展推理：可反推圆弧为半圆，辅助证明垂直、共圆等结论。 17．下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 18．小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 19．古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 20．如图，⊙O半径为4，在Rt△ABC中，，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，且．当点A在圆上运动时，则线段OC的最小值为____________． 题型6 已知圆内接四边形求角度 解题技巧（对角互补、外角等内对角、直接求值） 1. 核心公式：圆内接四边形对角和=180°； 2. 外角性质：四边形外角=不相邻的内对角，快速倒角； 3. 解题步骤：找准对角→列互补等式→解方程求未知角度； 4. 综合应用：结合三角形内角、圆周角定理，叠加求解复杂角度。 21．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 22．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 24．如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 解答题 25．如图所示，为的直径，弦于E，．求证：为等边三角形． 26．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 27．仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的顶点都在圆O上，请找出圆心O． (2)如图2，以平行四边形边为直径的与边相交，请找出圆心O． 28．已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．求证：是等腰三角形． 29．如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点． (1)求证：； (2)探究，的数量关系，并证明； (3)当面积最大时，请直接写出的值． 30．已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 圆周角 目录 知识点1 圆周角的定义 2 知识点2 圆心角与圆周角对比表格 2 知识点3 圆周角定理（核心） 2 知识点4 圆周角两大必考推论 2 知识点5 圆内接四边形性质 3 题型1 圆周角 3 题型2 圆周角定理 5 题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等 8 题型4 半圆（直径）所对的圆周角是直角 11 题型5 90度的圆周角所对的弦是直径 13 题型6 已知圆内接四边形求角度 17 解答题 19 1. 知识目标：掌握圆周角的定义，熟记圆周角定理及三大核心推论，明晰圆心角与圆周角的区别与关联。 2. 能力目标：能准确识别圆周角，熟练利用定理、推论进行角度计算与几何证明，掌握圆内接四边形的角度求解方法。 3. 素养目标：建立圆的角度转化思维，熟练圆中直角构造、等角转化技巧，提升圆的几何推理与计算能力。 知识点1 圆周角的定义 同时满足三个条件的角为圆周角：①顶点在圆上；②角的两边都是圆的弦；③两边均与圆相交。 如图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角叫作圆周角 易错区分：顶点在圆心为圆心角，顶点在圆外/圆内均不是圆周角。 知识点2 圆心角与圆周角对比表格 角的类型 顶点位置 边的特征 度数关系 圆心角 圆心 两边为半径 等于所对弧的度数 圆周角 圆上 两边为弦 等于所对圆心角的一半 知识点3 圆周角定理（核心） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且圆周角的度数等于这条弧所对圆心角度数的一半。 公式： 关键前提：必须是同弧、等弧，同弦不一定对应相等圆周角。 知识点4 圆周角两大必考推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是90°（直角）。 推论2：90°的圆周角所对的弦是圆的直径。（可判定直径、直角） 知识点5 圆内接四边形性质 四个顶点都在圆上的四边形为圆内接四边形，核心性质：对角互补（和为180°），外角等于内对角。 题型1 圆周角 解题技巧（三要素判定、快速排除） 1. 三步判定法：顶点在圆上、两边为弦、两边与圆相交，三条件缺一不可； 2. 快速排除：顶点在圆心（圆心角）、顶点在圆内/外、一边与圆相切均不是圆周角； 3. 识图关键：找准角的两边所对的圆弧，为后续角度计算铺垫。 1．如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 2．下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义判断即可． 【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角， 选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角． 故选C． 【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角． 3．如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断． 【详解】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念． 4．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 解题技巧（找对弧、定倍半、精准换算） 1. 解题核心：锁定圆周角与圆心角对应同一条弧； 2. 度数换算：已知圆心角÷2得圆周角，已知圆周角×2得圆心角； 3. 弧度关联：圆周角度数×2=对应弧的度数，整圆弧度为360°； 4. 避坑要点：不同弧对应的角，无倍数关系，不可直接套用定理。 题型2 圆周角定理 5．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 6．如图中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用垂径定理及圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ． 7．如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 8．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 【答案】 【分析】由垂径定理可知，根据同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可解答． 【详解】解：是的直径，弦， ， ． 题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等 解题技巧（抓公共弧、等角转化、倒角求值） 1. 核心依据：同弧、等弧→所有对应圆周角全部相等； 2. 识图技巧：多个圆周角共享一段弧，直接判定角度相等； 3. 解题应用：通过等角替换，转移已知角度，求解未知角； 4. 高频易错：同弦所对圆周角不一定相等，分优弧、劣弧两种，角度互补。 9．如图，在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同圆中，等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 10．如图，点，，，均在上，连接，，，，于点，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，先证明，得出，再结合同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行作答即可． 【详解】解：如图，连接，，， 点，，，均在上，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 12．如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 【答案】/100度 【分析】先求出∠ADB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠AOB的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型4 半圆（直径）所对的圆周角是直角 解题技巧（遇直径、构直角、解直角三角形） 1. 固定辅助线：题干出现直径，优先连接直径端点与圆上任意一点，构造90°直角； 2. 解题模型：直径→直角三角形，结合三角形内角和、等腰性质求角度、边长； 3. 快速结论：只要弦为直径，所对任意圆周角均为90°，无需重复推导。 13．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出 【详解】解：是的直径 与所对的弧相同 ． 14．如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用直径所对的圆周角为直角确定为直角三角形，再结合角的性质与勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵是的直径，点C在上， ∴，即是直角三角形． 在中，， ∴， ∴． 15．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 16．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 题型5 90度的圆周角所对的弦是直径 解题技巧（见直角、判直径、证半圆） 1. 判定核心：圆中出现90°圆周角，可直接判定对边弦为圆的直径； 2. 几何应用：用于证明线段为直径、确定圆心位置； 3. 拓展推理：可反推圆弧为半圆，辅助证明垂直、共圆等结论。 17．下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 18．小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形、圆周角定理，掌握相关知识是解题的关键．设圆的圆心为点，连接，，求得，即为等边三角形，从而求出的长即为圆的半径长，故①正确；通过直角顶点在圆上，求出为圆的直径，则长的一半即为圆的半径长，故②正确． 【详解】解：设圆的圆心为点，连接，， ， 角的顶点在圆上， ，即为等边三角形， ， 的长即为圆的半径长，故①正确； 直角顶点在圆上， 为圆的直径， 长的一半即为圆的半径长，故②正确； 故选：C． 19．古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，根据的圆周角所对的弦是直径解答即可． 【详解】解：这种方法的数学依据是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 20．如图，⊙O半径为4，在Rt△ABC中，，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，且．当点A在圆上运动时，则线段OC的最小值为____________． 【答案】2 【分析】延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得是的直径，从而可得，再根据为定理可得当时，的值最小，然后根据线段垂直平分线的判定与性质可得，设，则，最后在中，利用勾股定理求出的值，从而可得的值，在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点，连接， ， 是的直径，经过点， ， ， 是定值， 为定值， 当时，的值最小， ， 设，则， ， 又， 垂直平分， ， ， 在中，，即， 解得， ， ， 即线段的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质、正切等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 题型6 已知圆内接四边形求角度 解题技巧（对角互补、外角等内对角、直接求值） 1. 核心公式：圆内接四边形对角和=180°； 2. 外角性质：四边形外角=不相邻的内对角，快速倒角； 3. 解题步骤：找准对角→列互补等式→解方程求未知角度； 4. 综合应用：结合三角形内角、圆周角定理，叠加求解复杂角度。 21．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接、， ， ， ． 22．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 23．如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 【答案】125 【分析】由圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 24．如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 【答案】/52度 【分析】根据三角形外角的性质可求出，根据圆内接四边形的性质可求出，最后再次利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 解答题 25．如图所示，为的直径，弦于E，．求证：为等边三角形． 【答案】证明：∵为的直径，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】由垂径定理得到，因此是的垂直平分线，故，根据同弧所对圆周角相等得到，即可证明结论． 【详解】略 26．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 27．仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的顶点都在圆O上，请找出圆心O． (2)如图2，以平行四边形边为直径的与边相交，请找出圆心O． 【答案】(1)如图所示，点O即为所求： (2)如图所示，点O即为所求： 方法一 方法二 【分析】（1）根据圆周角所对的弦是直径得到矩形的对角线都是直径，连接对角线交点即为圆心； （2）直线与分别交圆于点、，连接与交点即为圆心；由为直径可得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，最后根据圆周角所对的弦是直径得到是直径，直径与交点即为圆心． 【详解】（1）略 （2）略 28．已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵，，，是上的四点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，又，所以，根据等腰三角形的判定和性质定理证明． 【详解】略． 29．如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点． (1)求证：； (2)探究，的数量关系，并证明； (3)当面积最大时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵由折叠的性质得， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵，， ∴． (2)证明：，理由如下： 如图所示，过点作交于点，连接， ， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， 由（1）知，， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ， ∴， 又， ∴， 由折叠知，所在直线是线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用折叠的性质，得到，根据“等角减去相等的角仍相等”证明即可； （2）过点作交于点，利用正方形的性质证得与，从而证得，再根据折叠的性质证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可； （3）由（2）可知多边形的面积，根据，边上的高等于正方形的边长得到当时，最小，此时最大，然后利用正方形的性质与等腰三角形及勾股定理求解． 【详解】（1）证明：见答案 （2）证明：见答案 （3）解：由（2）知，，， ∴，多边形的面积， 在中，，边上的高等于正方形的边长， ∴作的外接圆，连接，过点作， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，则， 欲最小，则需最小， 当过圆心时，最小，最小，此时， ∴当时，最小，此时最大， 如图所示， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 由折叠的性质知，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的边长为， ∴， ∴． 30．已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的直径； (2)证明： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即平分； (3) 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，，，结合已知进而证明，从而得出是的直径； （2）根据，结合已知得出，根据等边对等角可得，进而可得平分； （3）延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，证明，得出，，设，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ， ∵ ∴ 由（2）知， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ 又， ∴ ∴， 又∵已知， ∴ ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∵ ∴ 解得： ∴且， ∴ ∴ ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $