2026年苏科版八升九年级数学暑期预习讲义（第8讲）——切线性质定理与判定定理（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第8讲）——切线性质定理与判定定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】直线与圆的三种位置关系 1 【知识点二】切线判定定理（证切线：已知直线，证相切） 2 【知识点三】切线性质定理（知切线：用性质，得结论） 2 【知识点四】切线证明两大必考辅助线模型 2 【知识点五】高频易错点汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】切线的基础判定（有交点型） 2 【题型 2】切线判定（无交点型） 6 【题型 3】切线性质的角度计算 11 【题型 4】切线性质与直角三角形综合计算 14 三.经典题型精析（综合提升） 17 【题型 5】切线的性质与判定综合 17 【题型 6】切线的性质与判定+垂直径定理综合 22 【题型 7】切线的性质与判定+圆周角定理综合 29 【题型 8】切线的性质与判定综合压轴 34 四.同步自测 40 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 40 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 49 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 55 一.教材知识梳理 【知识点一】直线与圆的三种位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为： 1. 相离：，直线与圆无交点； 2. 相切：，直线与圆有唯一公共点，直线为圆的切线； 3. 相交：，直线与圆有两个公共点。 易错提醒：切线的核心特征是有且只有一个公共点。 【知识点二】切线判定定理（证切线：已知直线，证相切） 文字定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两大必备条件（缺一不可） 1. 过半径的外端点（在圆上）； 2. 与这条半径互相垂直。 几何语言：∵ OA是⊙O半径，直线l过点A，且，∴ 直线l是⊙O的切线。 【知识点三】切线性质定理（知切线：用性质，得结论） 文字定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 核心结论：切线⊥过切点的半径/直径 几何语言：∵ 直线l是⊙O的切线，A为切点，∴ 。 【知识点四】切线证明两大必考辅助线模型 模型1：有交点，连半径，证垂直：题目已知直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点（半径），证明半径与直线垂直。（最常用） 模型2：无交点，作垂直，证半径：题目未说明直线与圆有公共点时，过圆心向直线作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。 【知识点五】高频易错点汇总 1. 判定切线时，只证垂直或只证过端点，条件不完整，不得分； 2. 用切线性质时，必须找准切点，只有过切点的半径才与切线垂直； 3. 判定定理是“证切线”，性质定理是“已知切线推垂直”，二者不可混用。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】切线的基础判定（有交点型） 解题技巧：有公共点，过切点任何半径，通过角度推导垂直关系。 【例题1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 解：证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，连接，作，交的延长线于点．求证：是的切线．    【答案】见分析 【分析】连接，利用圆周角定理可得，利用角平分线的性质及等量代换可得，利用等边对等角性质可得，进而可得，进而可求证结论． 解：证明：连接，如图所示：   是的直径， ，即， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 又是的半径， 是的切线． 【点拨】本题考查了圆周角定理、角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，以等边三角形的边为直径画，交于点于点．求证：是的切线．    【答案】见分析 【分析】连接，根据等边三角形和等腰三角形的性质证明，推出，进而可得结论． 解：证明：连接． 是等边三角形， ． 又， ， ． ， ， 又是的半径， 是的切线．    【点拨】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质、圆的切线的判定和平行线的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知是的弦，是的直径，为延长线上一点，，．求证：是的切线． 【答案】证明见分析 【分析】连接，如图所示，由，利用等边对等角得出的度数，再由，确定出，由外角的性质求出的度数，在中，利用三角形的内角和定理求出为，可得出为圆O的切线． 解：证明：如图，连接， ． 又， ， ， 在中，， ，即． 为圆O的切线． 【点拨】本题考查切线的判定，三角形外角性质，掌握切线的判定方法，等腰三角形的边角关系是正确解答的前提． 【题型 2】切线判定（无交点型） 解题技巧：无明确交点，作垂线段，证明垂线段长等于半径。 【例题2】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，是角平分线，以点D为圆心，为半径的与相交于点E，求证：是的切线； 【答案】见分析 【分析】作，再根据角平分线的性质得，即可得出答案. 解：证明：过点D作于点F， ∵，平分， ∴． ∵是的半径，， ∴是的切线． 【点拨】本题主要考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键．即过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线． 【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，是的直径，是的切线，延长至点，连接，，且平分．求证：是的切线； 【分析】过点作于点L，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质定理得到，即可求证； 解：（1）证明：过点作于点L， ∵是的切线， ∴， ∵平分， ∴， ∴为半径，而， ∴是的切线； 【变式2】（2023·云南昆明·二模）如图，在中，平分，以点O为圆心、的长为半径的与相切于点A． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）过点作于点，证明得到即可求解； （2）先证明，得到，在由勾股定理求解即可 解：（1）解：过点作于点，如图所示， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的半径，， ∴是的切线； （2）解：∵在中，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴．解得：， ∴． 【点拨】本题考查接线的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法以及勾股定理是解决问题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）过点作于点，根据切线的性质由切于点可得，再根据角平分线定理得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线； （2）过作于，根据切线的性质得到，则得到四边形为矩形，得到，所以，再利用切线长定理得，，所以，在中，利用勾股定理计算出，则，所以，然后中，利用勾股定理可计算出． 解：（1）证明：如图，过点作于点， ，切于点， ， 平分， ， 为的半径， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过作于， ，是的直径，，分别切于点，， ，， 四边形为矩形， ， ， ，，为的切线， ， ， 在中，， ， ， 在中，． 【点拨】本题主要考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理． 【题型 3】切线性质的角度计算 【例题3】（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 【变式1】（2026·浙江绍兴·二模）如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 【答案】/50度 【分析】连接，根据切线的定理，得到，根据，即可求解． 解：连接， ∵直线切于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2026·安徽淮北·模拟预测）如图，是的直径，与相切于点D，与的延长线交于点C，连接，过点B作，交于点E，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：连接，利用切线的性质以及直角三角形的性质可得，利用圆周角定理以及平行线的性质可得，最后运用邻补角互补即可解答． 解：如图：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【题型 4】切线性质与直角三角形综合计算 核心总结：遇切线，必出直角，构造直角三角形用勾股定理计算是高频考法。 【例题4】（24-25九年级上·重庆合川·期末）如图，以为直径的交于点，是的切线，点为中点，连接．若，，则的半径是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形性质，勾股定理，切线的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用圆周角定理，推出，结合直角三角形性质，得到，利用切线的性质和勾股定理求出，进而即可得到的半径． 解：连接， 是的直径， ， ， 点为中点，， ， 是的切线， ， ， ， ， 则的半径是2， 故选：C． 【变式1】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在矩形中，，，经过点，与相切于点，交于点，交的延长线于点，，则的长是________． 【答案】 【分析】利用为圆的直径求出半径，结合切线性质与矩形边长算出圆心到的距离，再通过勾股定理和垂径定理，最终求得弦的长度为． 解：连接并延长交于，连接， ∵点都在上，且在上， ∴是的直径， ∴， ∴的半径， ∵与相切于， ∴， 矩形中，， ∴，， ∵， ∴是的中点，即， 在中，由勾股定理：， ∴． 【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为的切线，切点为，连接、，交于点，点在上，连接、，若，则的长为（    ）． A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形．根据圆周角定理得出，，根据切线的性质得出，解即可求解． 解：∵， ∴，， ∵为的切线， ∴， 在中，， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的直径，且，过点C的切线交的延长线于点，连接，，求________． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据等腰三角形及等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，由切线的性质可得，即，确定，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 解：连接，如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】切线的性质与判定综合 【例题5】（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）连接，由知，由可证，根据得，即可得证； （2）设，在中由勾股定理求得，即，再根据三角形的面积公式得解． 解：（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点在上， ∴， ∴是的切线； （2）解：设， ∵是的切线， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得：， 即， ∴， ∵的面积为． 【点拨】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定：连接半径，证明半径与直线垂直． 【变式1】（23-24九年级下·重庆·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于______． 【答案】/50度 【分析】连接，先利用切线的性质得，再根据圆周角定理得，然后利用互余计算的度数． 解：连接，如图所示， 为的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，比连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理． 【变式3】（2023·辽宁沈阳·三模）如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且． （1）求证：为的切线； （2）若，，直接写出半径的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，根据角平分线求得，由等边对等角可得，由是直径和等量代换可得，即可得证； （2）连接，设，证明，可得，推出，即可求解． 解：（1）证明：连接，   平分， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：连接，如图，    设 ， ， ， ， ， ， ， 【点拨】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 【题型 6】切线的性质与判定+垂直径定理综合 【例题6】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． （1）若的半径为，，求的长； （2）求证：是的切线． 【答案】（1）；（2）证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 解：（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 【变式1】（2026·湖北孝感·二模）如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）5 【分析】（1）如图，连接，则，易证，从而得到，进而求得，再根据切线定义即可证明结论； （2）如图，连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，利用垂径定理可得，在中，最后利用勾股定理求解即可． 解：（1）证明：略． （2）解：如图，连接，过点作于， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， 在中，， 的半径长为5． 【变式2】（2026·湖北荆门·三模）如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）由切线的性质得，结合直角三角形的性质证，由等角对等边证明即可； （2）连接，作于点，利用三线合一得，由垂径定理得，根据证明得，设，用勾股定理建立方程求解即可． 解：（1）略 （2）解：连接，作于点，如图所示， 由（1）得， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得：（负根舍去）， ，，． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径，C、D是上的两点，且分别分布在的两侧，满足．连接，，，过点C作的切线交的延长线于点F，连接并延长交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）8 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，再由得，则，根据内错角相等，两直线平行得，根据切线的性质得，即可得出结论； （2）延长交于点G，连接，易证四边形是矩形，则，，根据垂径定理得，再由勾股定理求出，然后由即可求解． 解：（1）证明：连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点G，连接， 由（1）知，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型 7】切线的性质与判定+圆周角定理综合 【例题7】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知为的直径，直线与相切于点A，直线经过上的点B，且，连接交于点M．求证： （1）是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】（1）连接，由等边对等角及直径所对的圆周角等于即可证明； （2）根据直线是的切线，根据垂径定理得，根据直径所对的圆周角是直角得，进而得到，最后根据中位线定理即可得出答案． 解：（1）解：连接 ， ，， 为的直径， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：、是的切线； ，平分， ，， 为的直径， ，即． ， 为中点， ． 【点拨】本题考查了切线的判定和性质，中位线定理，圆周角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1】（安徽省芜湖市南陵县中联中学2024-2025学年九年级上学期数学第三次月考测试题）如图，四边形内接于，是的直径，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接． （1）若平分，求证：是的切线； （2）若是的切线，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由平分及，可得，再由，则可证明结论成立； （2）由圆内接四边形的性质可求得的度数；由及是直径，可求得的度数；由是的切线及可得，进而可求得的度数，最后由三角形内角和定理即可求得结果． 解：（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：∵四边形内接于， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ． 【点拨】本题是圆的综合，考查了切线的判定与性质，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判定与性质等知识，掌握圆的相关知识是解决问题的关键． 【变式2】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； （2） 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 解：（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 【变式3】（2025·天津河西·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，． （1）求证：是的切线； （2）已知弦于E点，，，求长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【分析】（1）先证明，求出，即可得出是的切线； （2）设的半径为r，则，，根据勾股定理得出，求出，根据等积法求出，最后根据垂径定理求出结果即可． 解：（1）略 （2）解：设的半径为r，则，， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型 8】切线的性质与判定综合压轴 【例题8】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，为的直径，、为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）16 【分析】（1）连接，等边对等角结合等量代换得到，进而得到，得到，即可得证； （2）连接，易得四边形为矩形，进而得到，垂径定理得到，勾股定理求出的长即可. 解：（1）略 （2）解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵，交的延长线于点，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径作圆，与交于点，恰与相切于点，连接，，． （1）求证：平分； （2）求的长． 【答案】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ，     平分． （2） 【分析】（1）由切线的性质结合已知可证明，再由平行线的性质结合等边对等角等量代换证明，即可得证； （2）设，进而表示出，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 解：（1）略 （2）解：设，则， 在中，， 即，解得． 即的长为． 【变式2】（2026·安徽阜阳·三模）如图，点P是半圆O的直径延长线上一点，与半圆O切于点C，连接，交于点D，与交于点E． （1）证明：； （2）设与交于点F，若半圆O的半径为4，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，是的半径， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）利用切线的性质得到 ，根据半径构成的等腰三角形和对顶角得到对应的角相等，再通过等量代换，证出答案； （2）根据圆的半径和算出线段的代数式，利用勾股定理进行求解． 解：（1）略 （2）解：∵的半径为4， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴ ． 【变式3】（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知是的内接三角形，，连接并延长，交于点，交过点的切线于点． （1）如图①若，求和； （2）如图②，若，，求的长． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）根据圆周角定理求得，得到，根据切线的性质求得，据此求解即可； （2）连接，，求得，，再证明是等腰直角三角形，据此计算即可求解． 解：（1）解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理求出的度数，根据切线的性质得出，，然后根据四边形的内角和为求解即可． 解：连接、， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 3．（23-24九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，的圆心在梯形的底边上，且与梯形的其他三边均相切，若，，则梯形的周长为（     ） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是求出, 利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，即：，同理：即可得出结论． 解：连接，， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴, ∵， ∴梯形的周长为， 故选：C． 4．（2023·山东泰安·三模）如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，若，则的半径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据圆周角定理得到，再根据切线的性质可得，根据30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 解：连接， ∵， ∴，    ∵为的切线， ∴， ∴， ∴,即圆的半径为． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 5．（2023·浙江杭州·一模）如图，已知是的直径，与相切于点B，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据切线得到，结合勾股定理即可得到答案； 解：∵与相切于点B， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查圆切线性质及勾股定理，解题的关键是根据切线得到直角三角形． 6．（2023·重庆南岸·一模）2023年3月16日，以“智创广阳湾，蝶变创新港”为主题的首届“迎龙创新港杯”创新大赛总决赛，在重庆经开区举行，亮亮同学受到启发，找到了一种测量光盘直径的方法，他把直尺、光盘和含角的三角尺按如图所示的方法放置在桌面上，并量出，则光盘的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令光盘圆心为，与相切于点，连接、，由切线的性质及切线长定理得，，进而求得，从而利用三角函数即可求解． 解：如图，令光盘圆心为，与相切于点，连接、， ∵、分别切于、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴光盘的直径：， 故选C． 【点拨】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 7．（24-25九年级下·浙江温州·阶段检测）如图，分别切的两边于点D，E，点F在上．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，求出，根据圆周角定理即可求出． 解：连接、，    与的两边分别相切于点、， ，， ， ， ，即， ∴， 故选：B． 【点拨】本题主要考查对切线的性质，四边形内角和定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，过点A，B的与x轴相切于点B，与y轴交于另一点C（在点A上方），连接．若平分，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点D，求出．根据含角的直角三角形的性质得到，即可得到答案． 解：延长交于点D，如图1，则是直径． ∵与x轴相切于点B， ∴轴，即， ∴轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 9．（2026·福建泉州·三模）如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点E．若的半径为5，且，则的长度为（    ）． A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，根据题意得到，证明四边形为矩形，再根据，的半径为5，得到四边形为正方形，求出，即可得到答案． 解：连接，，， 与正方形的两边，相切，且与相切于点E， ， 正方形，且， ， ， 四边形为矩形， ，的半径为5， 四边形为正方形， ， ． 10．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小，求出相关点的坐标，利用全等三角形得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 解：如图，作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为， ∵的坐标为， 设直线与轴，轴分别交于， 当时，；当时，， 解得； ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵恒成立，且根据垂线段最短， ∴此时，值最小，则的值也最小， ∴切线长的最小值为． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，点A在上，射线与相切于点C，若，则___． 【答案】70 【分析】本题考查切线的性质，根据切线的性质，结合等边对等角进行求解即可． 解：∵射线与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 12．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的半径是______．    【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． 如图所示，为皮球视图中圆的直径，根据切线的性质得到四边形是矩形，，，则，在中，由，即可求解． 解：如图所示，为皮球视图中圆的直径，过点作，    ∵点是切点， ∴，，， ∴四边形是矩形，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴皮球的半径是， 故答案为： ． 13．（2024-2025九年级下·湖南永州·阶段检测）半径为5个单位的与轴，轴相切，向下平移___________个单位后圆会与轴交于点．    【答案】2或8 【分析】结合勾股定理和平移的性质进行计算． 解：设将沿轴向下平移个单位后，根据题意作图，   ， 由勾股定理：， ， 解得或8， 应将沿轴向下平移2或8个单位后圆与轴交于点． 故答案为：2或8． 【点拨】考查了直线与圆的位置关系，平移的性质，以及勾股定理等知识，解题的关键是运用方程的思想解决更简单． 14．（24-25九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，线段与相切于点，连接，，若，，则的半径为 __． 【答案】6 【分析】根据切线的性质得到OC⊥AB，根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算，得到答案． 解：与相切于点， ， 又， ， 在中，， 的半径为． 故答案为：6． 【点拨】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 15．（2023·广西柳州·一模）将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是______. 【答案】 【分析】设三角板与圆的切点为C，连接，由切线长定理得出，，根据可得答案． 解：设三角板与圆的切点为C，连接，如图所示： 由切线长定理知，平分， ∴， 在中，， ∴光盘的直径为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用． 16．（2026·河南驻马店·二模）如图，中，，，以点为圆心的与相切于点，若，则的半径为____________． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得出，设的半径为，分别在和中利用锐角三角函数或特殊角性质表示出和的长，根据列出关于的方程求解即可． 解：连接，的半径为， 与相切于点， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 即， 解得：， 即的半径为． 17．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 18．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，过外一点作圆的切线，，点，为切点，为直径，设，，则m，n的等量关系为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形内角和为，圆周角定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 连接，由切线的性质得到，由四边形内角和为得到，根据圆周角定理得到，代入上式即可得到结论． 解：连接， ，是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·四川广安·阶段检测）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）连接，知，由可证，根据得．即是的切线． （2）设，在中由勾股定理求得，即，再根据三角形的面积公式得解． 解：（1）解：如下图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线， （2）设， 在中， ∵，, ∴由, 可得∶, 解得∶，即， 则． 【点拨】本题主要考查切线的判定、同弧所对圆周角相等、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键∶连接半径，证明半径与直线垂直． 20．（本小题满分8分）（临考押题卷2025年中考数学冲刺抢押秘籍（浙江专用））如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接． （1）求证：平分； （2）已知的半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留）． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及弧长公式的应用．熟练掌握圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及弧长公式的应用是解题的关键． （1）连结，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）连接交于点H，根据全等三角形的性质得到，推出是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据弧长公式得到结论． 解：（1）证明：连结， ∵与相切， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴平分； （2）解：连接交于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的长． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知为的直径，直线经过点，且，，线段和分别交于点、．  （1）求证：直线是的切线； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判定，解题的关键是： （1）根据等腰三角形的性质得到，即可证明切线； （2）连接，根据圆周角的性质得到，进而求出，于是得到结论． 解：（1）解：，， ， ∴直线是的切线； （2）连接， 为的直径， ， ， ， ． 22．（本小题满分10分）（2023·陕西西安·模拟预测）已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如果正方形边长为，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据四边形是正方形，可得是的直径，根据圆周角定理可得，再根据，可得，可证，由此即可求证； （2）如图所示，连接，过作于，可得四边形是矩形，可求出的长，设，可用含的式子表示，在中，根据勾股定理即可求解． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴是的直径， ∵，， ∴， ∴，即 ∴是的切线． （2）解：如图所示，连接， ∵与相切于点，即是的切线， ∴，且（圆的半径相等）， 过作于，则四边形是矩形，， ∴， ∵，即分别是的中点， ∴， 设， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查圆与正方形的综合，掌握正方形的性质，切线的证明和性质，勾股定理等知识是解题的关键． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，在中，点是外心，和的平分线交于点，延长交的外接圆于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的外接圆的半径． 【答案】（1）见分析；（2）cm 【分析】本题考查圆的综合知识． （1）由平分，得，可得，由平分，得，进而推得即可； （2）先证明，得是等腰直角三角形，得到即可． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴是的直径， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴， ∴的外接圆的半径为． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． （1）求证：是的切线； （2）若点、的坐标分别为，，求的半径； （3）在（2）的条件下，求的长。 （4）试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见分析；（2）的半径为；（3）；（4） 【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，勾股定理的运用，三线合一，矩形的判定和性质，即可． （1）连接，根据角平分线的性质，则，根据等边对等角，等量代换，则，根据平行线的性质，直角三角形的性质，则，即可； （2）连接，根据题意，则，，设的半径为，得到，，根据勾股定理，则，求出，即可； （3）过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，，根据等腰三角形三线合一，勾股定理求出，即可； （4）由（3）得，四边形是矩形，，，根据圆的性质，则为的直径，，等量代换，则，根据，即可． 解：（1）证明如下： 连接， ∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∵平分交边于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线． （2）解：连接， ∵点、的坐标分别为，， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． （3）解：过点作交于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． （4），证明如下： 由（3）得，四边形是矩形，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第8讲）——切线性质定理与判定定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】直线与圆的三种位置关系 1 【知识点二】切线判定定理（证切线：已知直线，证相切） 2 【知识点三】切线性质定理（知切线：用性质，得结论） 2 【知识点四】切线证明两大必考辅助线模型 2 【知识点五】高频易错点汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】切线的基础判定（有交点型） 2 【题型 2】切线判定（无交点型） 3 【题型 3】切线性质的角度计算 5 【题型 4】切线性质与直角三角形综合计算 5 三.经典题型精析（综合提升） 6 【题型 5】切线的性质与判定综合 7 【题型 6】切线的性质与判定+垂直径定理综合 8 【题型 7】切线的性质与判定+圆周角定理综合 9 【题型 8】切线的性质与判定综合压轴 10 四.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.教材知识梳理 【知识点一】直线与圆的三种位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为： 1. 相离：，直线与圆无交点； 2. 相切：，直线与圆有唯一公共点，直线为圆的切线； 3. 相交：，直线与圆有两个公共点。 易错提醒：切线的核心特征是有且只有一个公共点。 【知识点二】切线判定定理（证切线：已知直线，证相切） 文字定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两大必备条件（缺一不可） 1. 过半径的外端点（在圆上）； 2. 与这条半径互相垂直。 几何语言：∵ OA是⊙O半径，直线l过点A，且，∴ 直线l是⊙O的切线。 【知识点三】切线性质定理（知切线：用性质，得结论） 文字定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 核心结论：切线⊥过切点的半径/直径 几何语言：∵ 直线l是⊙O的切线，A为切点，∴ 。 【知识点四】切线证明两大必考辅助线模型 模型1：有交点，连半径，证垂直：题目已知直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点（半径），证明半径与直线垂直。（最常用） 模型2：无交点，作垂直，证半径：题目未说明直线与圆有公共点时，过圆心向直线作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。 【知识点五】高频易错点汇总 1. 判定切线时，只证垂直或只证过端点，条件不完整，不得分； 2. 用切线性质时，必须找准切点，只有过切点的半径才与切线垂直； 3. 判定定理是“证切线”，性质定理是“已知切线推垂直”，二者不可混用。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】切线的基础判定（有交点型） 解题技巧：有公共点，过切点任何半径，通过角度推导垂直关系。 【例题1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，连接，作，交的延长线于点．求证：是的切线．    【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，以等边三角形的边为直径画，交于点于点．求证：是的切线．    【变式3】（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知是的弦，是的直径，为延长线上一点，，．求证：是的切线． 【题型 2】切线判定（无交点型） 解题技巧：无明确交点，作垂线段，证明垂线段长等于半径。 【例题2】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，是角平分线，以点D为圆心，为半径的与相交于点E，求证：是的切线； 【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，是的直径，是的切线，延长至点，连接，，且平分．求证：是的切线； 【变式2】（2023·云南昆明·二模）如图，在中，平分，以点O为圆心、的长为半径的与相切于点A． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【题型 3】切线性质的角度计算 【例题3】（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·浙江绍兴·二模）如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 【变式2】（2026·安徽淮北·模拟预测）如图，是的直径，与相切于点D，与的延长线交于点C，连接，过点B作，交于点E，已知，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【题型 4】切线性质与直角三角形综合计算 核心总结：遇切线，必出直角，构造直角三角形用勾股定理计算是高频考法。 【例题4】（24-25九年级上·重庆合川·期末）如图，以为直径的交于点，是的切线，点为中点，连接．若，，则的半径是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【变式1】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在矩形中，，，经过点，与相切于点，交于点，交的延长线于点，，则的长是________． 【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为的切线，切点为，连接、，交于点，点在上，连接、，若，则的长为（    ）． A．1 B． C．2 D．4 【变式3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的直径，且，过点C的切线交的延长线于点，连接，，求________． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】切线的性质与判定综合 【例题5】（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【变式1】（23-24九年级下·重庆·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式2】（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于______． 【变式3】（2023·辽宁沈阳·三模）如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且． （1）求证：为的切线； （2）若，，直接写出半径的长． 【题型 6】切线的性质与判定+垂直径定理综合 【例题6】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． （1）若的半径为，，求的长； （2）求证：是的切线． 【变式1】（2026·湖北孝感·二模）如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【变式2】（2026·湖北荆门·三模）如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径，C、D是上的两点，且分别分布在的两侧，满足．连接，，，过点C作的切线交的延长线于点F，连接并延长交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【题型 7】切线的性质与判定+圆周角定理综合 【例题7】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知为的直径，直线与相切于点A，直线经过上的点B，且，连接交于点M．求证： （1）是的切线； （2）若，求的长． 【变式1】（安徽省芜湖市南陵县中联中学2024-2025学年九年级上学期数学第三次月考测试题）如图，四边形内接于，是的直径，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接． （1）若平分，求证：是的切线； （2）若是的切线，，求的度数． 【变式2】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【变式3】（2025·天津河西·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，． （1）求证：是的切线； （2）已知弦于E点，，，求长． 【题型 8】切线的性质与判定综合压轴 【例题8】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，为的直径，、为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【变式1】（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径作圆，与交于点，恰与相切于点，连接，，． （1）求证：平分； （2）求的长． 【变式2】（2026·安徽阜阳·三模）如图，点P是半圆O的直径延长线上一点，与半圆O切于点C，连接，交于点D，与交于点E． （1）证明：； （2）设与交于点F，若半圆O的半径为4，，求的长． 【变式3】（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知是的内接三角形，，连接并延长，交于点，交过点的切线于点． （1）如图①若，求和； （2）如图②，若，，求的长． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 3．（23-24九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，的圆心在梯形的底边上，且与梯形的其他三边均相切，若，，则梯形的周长为（     ） A．8 B．10 C．14 D．18 4．（2023·山东泰安·三模）如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，若，则的半径为（   ）    A． B． C． D． 5．（2023·浙江杭州·一模）如图，已知是的直径，与相切于点B，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D．1 6．（2023·重庆南岸·一模）2023年3月16日，以“智创广阳湾，蝶变创新港”为主题的首届“迎龙创新港杯”创新大赛总决赛，在重庆经开区举行，亮亮同学受到启发，找到了一种测量光盘直径的方法，他把直尺、光盘和含角的三角尺按如图所示的方法放置在桌面上，并量出，则光盘的直径是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·浙江温州·阶段检测）如图，分别切的两边于点D，E，点F在上．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，过点A，B的与x轴相切于点B，与y轴交于另一点C（在点A上方），连接．若平分，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·福建泉州·三模）如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点E．若的半径为5，且，则的长度为（    ）． A．5 B．6 C． D． 10．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，点A在上，射线与相切于点C，若，则___． 12．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的半径是______．    13．（2024-2025九年级下·湖南永州·阶段检测）半径为5个单位的与轴，轴相切，向下平移___________个单位后圆会与轴交于点．    14．（24-25九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，线段与相切于点，连接，，若，，则的半径为 __． 15．（2023·广西柳州·一模）将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是______. 16．（2026·河南驻马店·二模）如图，中，，，以点为圆心的与相切于点，若，则的半径为____________． 17．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 18．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，过外一点作圆的切线，，点，为切点，为直径，设，，则m，n的等量关系为___________ （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·四川广安·阶段检测）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的面积． 20．（本小题满分8分）（临考押题卷2025年中考数学冲刺抢押秘籍（浙江专用））如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接． （1）求证：平分； （2）已知的半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留）． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知为的直径，直线经过点，且，，线段和分别交于点、．  （1）求证：直线是的切线； （2）当时，求的度数． 22．（本小题满分10分）（2023·陕西西安·模拟预测）已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如果正方形边长为，求的半径． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，在中，点是外心，和的平分线交于点，延长交的外接圆于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的外接圆的半径． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． （1）求证：是的切线； （2）若点、的坐标分别为，，求的半径； （3）在（2）的条件下，求的长。 （4）试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $