第15讲 2.4用一元二次方程解决问题（第1课时） 暑假预习讲义 2026- 2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第15讲　2.4　用一元二次方程解决问题（第1课时） 【学习目标】 1. 掌握用一元二次方程解决面积问题的方法，能根据面积公式建立方程模型。 1. 掌握用一元二次方程解决增长率（降低率）问题的方法，理解平均增长率模型。 1. 能检验方程的解是否符合实际意义，正确取舍不合题意的根。 1. 进一步体会“审题→建模→求解→检验”的完整解题过程。 【知识梳理】 一、用一元二次方程解决实际问题的基本步骤 用一元二次方程解决实际问题，一般按以下步骤进行： 步骤 名称 操作要点 第一步 审题 弄清题意，找出已知量和未知量，明确题目中的等量关系 第二步 设未知数 用字母（通常为 ）表示题目中的未知量 第三步 列方程 根据等量关系列出方程，将方程化为一般形式 第四步 解方程 选择适当的方法解一元二次方程 第五步 检验 检验方程的解是否符合实际意义（正负、范围等），舍去不合题意的根 第六步 作答 写出完整的答案 关键提醒：寻找等量关系是列方程的核心步骤，也是解题的关键和难点。 二、面积问题 基本思路：利用几何图形的面积公式（矩形、三角形、梯形等）或其和差关系建立方程。 常见类型： 1. 规则图形面积问题：直接利用面积公式列方程。 1. 不规则图形面积问题：通过平移、分割等方法将不规则图形转化为规则图形，再列方程。 1. 边框、道路问题：利用“总面积 − 空白面积 = 阴影面积”或平移法列方程。 方法总结：解面积问题时，常根据“面积 = 长 × 宽”或“面积和差关系”建立等量关系。对于有道路、边框的图形，可采用平移法将道路移开，使剩余部分拼成一个规则图形。 三、增长率（降低率）问题 增长率模型： 若基数为 ，平均增长率为 ，则： 增长一次后为： 增长两次后为： 增长 次后为： 降低率模型： 若基数为 ，平均降低率为 ，则： 降低一次后为： 降低两次后为： 降低 次后为： 关键提醒： 1. 增长率问题中，，且 。 1. 降低率问题中，，且 。 1. 解出的负根或大于 的根应舍去。 做一做（即时练习）： 1. 一个矩形的长为 m，宽比长少 m，面积为 m²。根据题意列出的方程为______。 1. 某商品原价为 元，平均每次降价的百分率为 ，两次降价后的售价为 元。根据题意列出的方程为______。 1. 某工厂1月份产值为 万元，2月份产值为 万元，则2月份比1月份增长的百分率为______。 1. 用一元二次方程解决实际问题的基本步骤中，最后一步是______。 1. 某农场去年种植水稻 亩，今年种植水稻 亩，若平均每年增长率为 ，则列出的方程为______。 【典例精讲】 【例1】（面积问题——围栏问题） 用长 cm 的铁丝围成一个矩形。 （1）能否围成面积为 cm² 的矩形？ （2）能否围成面积为 cm² 的矩形？并说明理由。 【分析】 矩形周长一定时，长与宽的和为定值。设长为 cm，则宽为 cm，利用面积公式列方程。判断能否围成，即判断方程是否有符合实际意义的实数根。 【解答】 （1）设矩形的长为 cm，则宽为 cm。 由题意，得 整理，得 解这个方程，得 当 时，宽为 cm；当 时，宽为 cm。 答：能围成面积为 cm² 的矩形，长和宽分别为 cm 和 cm。 （2）设矩形的长为 cm，则宽为 cm。 由题意，得 整理，得 ∵ 方程无实数根， ∴ 不能围成面积为 cm² 的矩形。 【反思】 判断能否围成指定面积的矩形，关键看方程是否有符合实际意义（长>宽>0）的实数根。 【例2】（面积问题——道路问题） 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 【分析】由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵道路的宽为x m， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形． 根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570． 故选：C． 【反思】 对于有道路、边框的图形面积问题，平移法是化繁为简的有效方法。 【例3】（增长率问题） 某商店 6 月份的利润是 元，要使 8 月份的利润达到 元，求平均每月增长的百分率。 【分析】 设平均每月增长率为 ，则 7 月份利润为 元，8 月份利润为 元，由此列方程。 【解答】 设平均每月增长的百分率为 。 由题意，得 两边同除以 ，得 开平方，得 ∵ 增长率为负数不合实际意义，舍去 。 答：平均每月增长的百分率为 。 【反思】 增长率问题中，解出的负根必须舍去。同时要注意检验 开方后取正负两个值。 【例4】（降低率问题） 某种服装原价为每件 元，经两次降价，现售价为每件 元，求平均每次降价的百分率。 【分析】 设平均每次降价率为 ，则第一次降价后为 元，第二次降价后为 元。 【解答】 设平均每次降价的百分率为 。 由题意，得 两边同除以 ，得 开平方，得 ∵ 不合实际意义（降价率不能超过 ），舍去。 答：平均每次降价的百分率为 。 【跟踪练习1】 1. 用长 cm 的金属丝制作一个矩形框子。 （1）能否制成面积为 cm² 的矩形框子？ （2）能否围成面积为 cm² 的矩形框子？ 1. 在宽为 m、长为 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下部分种上草坪，要使草坪面积为 m²，求道路的宽度。 1. 某工厂的年产量两年翻一番，求平均年增长率。 【举一反三】 1. 一个矩形的长比宽多 ，面积为 ，设宽为 ，列出的方程为______。 1. 某商品原价为 元，连续两次降价后售价为 元，设平均每次降价的百分率为 ，列出的方程为______。 1. 某县 2021 年教育经费投入为 万元，预计 2023 年投入 万元，设年平均增长率为 ，列出的方程为______。 1. 用一根长为 m 的绳子围成一个矩形，若面积为 m²，则矩形的长为______m，宽为______m。 1. 一种药品经过两次降价，药价从每盒 元降至 元，平均每次降价的百分率是______。 1. 某工厂 1 月份产值为 万元，2 月份比 1 月份增长了 ，则 2 月份产值为______万元；3 月份比 2 月份又增长了 ，则 3 月份产值为______万元。 1. 在一块长为 、宽为 的矩形铁皮上截去四个相同的小正方形，做成一个无盖长方体盒子。设小正方形边长为 ，则盒子底面的长为______，宽为______。 1. 某商品两次降价后，价格降低到原来的 ，求平均每次降低率。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 一个矩形的长为 ，宽为 ，面积为 ，列出的方程为______。 1. 某商品原价为 元，平均每次降价 ，两次降价后售价为 元，列出的方程为______。 1. 某工厂 1 月份产值为 万元，平均每月增长率为 ，则 2 月份产值为______万元，3 月份产值为______万元。 1. 用一根长为 cm 的铁丝围成一个矩形，设长为 cm，则宽为______cm，面积 ______（用含 的代数式表示）。 1. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 元降为 元，则平均每次降价的百分率为______。 1. 一块矩形菜地，长比宽多 m，面积为 m²，设宽为 m，列出的方程为______。 二、选择题。 1. 某商品原价 元，连续两次降价 后售价为 元，下列方程正确的是（　　） · A. 　　B. · C. 　　D. 1. 用长为 cm 的铁丝围成一个矩形，若面积为 cm²，则矩形的长和宽分别为（　　） · A. cm 和 cm　　B. cm 和 cm · C. cm 和 cm　　D. cm 和 cm 1. 某超市 1 月份营业额为 万元，3 月份营业额为 万元，若平均每月增长率为 ，则列出的方程为（　　） · A. · C. 1. 某种品牌服装经过两次降价，每件售价由 元降到 元，平均每次降价的百分率为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. ◆ B组·能力提升 1. 某小区规划在一个长为 m、宽为 m 的矩形场地 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种草。若使每一块草坪的面积都为 m²，求道路的宽度。 1. 某商场今年 2 月份的营业额为 万元，3 月份的营业额比 2 月份增加了 ，5 月份的营业额达到 万元。求 3 月份到 5 月份营业额的平均月增长率。 1. 用长为 cm 的金属丝制成一个矩形框子，框子各边的长取多少厘米时，框子的面积是 cm²？能制成面积是 cm² 的矩形框子吗？ ◆ C组·思维拓展 14.（面积最值问题） 用长为 cm 的铁丝围成一个矩形，当矩形的长和宽分别为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 15.（综合应用） 某农场要建一个面积为 m² 的矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 m），另三边用竹篱笆围成。如果竹篱笆的长为 m，求鸡场的长和宽各是多少？ 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案： 解析：。 1. 答案：作答 1. 答案： 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：（1）能，长为 cm、宽为 cm；（2）不能 解析：（1）设长为 cm，则宽为 cm，，， 或 ，能。（2），，，不能。 1. 答案：道路宽为 m 解析：平移后草坪为 ，， 或 （舍去）。 1. 答案：约 解析：设平均年增长率为 ，，，。 举一反三 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：； 1. 答案： 解析：，，，。 1. 答案：； 1. 答案：； 1. 答案： 解析：，，。 A组·基础过关 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：； 1. 答案：； 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：A 1. 答案：A 1. 答案：B 1. 答案：C B组·能力提升 1. 答案：道路宽为 m 解析：平移后草坪为 ，解得 （另一根不合题意舍去）。 1. 答案： 解析：3月份营业额为 万元。设平均月增长率为 ，，，，。 1. 答案：长为 cm、宽为 cm；不能 解析：设长为 cm，宽为 cm，， 或 。，，不能。 C组·思维拓展 1. 答案：长 cm，宽 cm，最大面积 cm² 解析：设长为 cm，宽为 cm，面积 。配方得 ，当 时， cm²。 1. 答案：长为 m，宽为 m 解析：设垂直于墙的一边长为 m，则平行于墙的一边长为 m。，， 或 。当 时，平行边为 m m（舍去）；当 时，平行边为 m m，符合。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（10题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（2题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 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