第54讲 抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦抛物线的定义、标准方程、几何性质及应用等高考核心考点，按基础回顾-题型突破-真题演练的逻辑架构组织内容，通过考点梳理、方法指导、分层训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，精准突破轨迹判断、方程求解、性质应用、距离最值等难点。 资料以定义为统领，创新采用“题型分类+方法提炼”教学策略，如距离最值问题通过定义转化为到准线距离，培养学生数学思维与模型观念。设置基础到综合的例题及真题回顾，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第54讲 抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质 题型一 抛物线的轨迹问题 2 题型二 抛物线的标准方程 11 题型三 抛物线的简单几何性质 17 题型四 距离之和的最值问题 22 【真题回顾】 29 【基础回顾】 知识点1 抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 知识点2 抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 F（） F（-） F（） F（） 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 开口方向 向右 向左 向上 向下 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 【必备知识】 1．抛物线方程一般首先转化为标准形式． 2．在抛物线的标准方程中，焦点的位置与一次项系数的正负保持一致． 3．焦点到原点的距离的4倍为一次项系数的绝对值． 4．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F 的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 题型一 抛物线的轨迹问题 轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线． 【例题精讲】 1．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 2．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 3．（25-26高二下·上海·期中）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕l是线段的垂直平分线， 点P在l上，根据垂直平分线性质可得， 结合抛物线定义判断：已知，因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分. 另解： 如下图所示，以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则，，，， 因为是的中点，所以， 因为翻折后落在上，落点为，所以设的坐标为， 折痕是和连线的垂直平分线，的中点坐标为， 的斜率为，因此的斜率为， 所以的点斜式方程为， 在上，且，设P的坐标为， 代入可得，化简可得， 因为点的坐标为，把替换成可得点的轨迹方程为， 是一个二次函数，所以点的轨迹为抛物线的一部分. 4．（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【答案】D 【详解】设，由题意可得， 即， 当时，则有，化简得； 当时，则有，化简得； 综上，当时，点的轨迹方程为； 当时，点的轨迹方程为. 5．（25-26高三上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 【答案】C 【分析】依次代入参数和并化简方程：A选项中直接得到两条垂直于轴的直线；B选项中平方后得到圆的标准方程；C选项中移项平方并分区间讨论得到两段不连续的抛物线弧，并非完整抛物线；D选项中移项后由非负性推出矛盾，无实数解. 【详解】平面上，点到直线的距离为， 到点的距离为， 轨迹方程：. A.当，方程为，即，解得或， 轨迹是两条直线和，A选项正确； B.当，方程为，即， 平方得，轨迹是圆心，半径的圆，B选项正确， C.当，方程为， 令，，则， 且， 由，得： 展开化简得： 分两种情况： 当时，，， 即，且由， 又由得，即，结合，得定义域：， 这是抛物线的一段弧； 当时，，， 即，且由， 由得，即，结合，得定义域：， 这是抛物线的一段弧； 轨迹由两段不同的抛物线弧组成，不是完整的抛物线，C选项错误； D.当 方程为， 即， 要求，即或， 若，则，方程为， 平方得，化简得， 当时，，无实数解， 若，则，方程为， 平方得，化简得， 当时，，无实数解， 因此轨迹不存在，D选项正确. 故选：C 6．（25-26高二上·陕西安康·期末）设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意列出点的坐标满足的方程，化简可得其轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 化简得，即点的轨迹方程为. 故选：C 7．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 8．（多选）（2026·湖南长沙·三模）已知动点到点距离为，点到直线的距离为，且.动点的轨迹为曲线，为曲线上两个动点，则下列说法正确的是（    ） A．动点的轨迹方程为 B．最小值为18 C．若为等边三角形，则周长为 D．若，则的面积最小值为64 【答案】AD 【分析】对于A，设动点，根据、的定义及转化为点到点距离等于点到直线的距离，结合抛物线定义推导曲线的轨迹方程；对于B，的最值问题，利用抛物线焦半径公式将其转化为横坐标相关的表达式，结合不等式求解；对于C，利用等边三角形三边相等的性质，结合抛物线对称性设点坐标，列方程求解边长后计算周长；对于D，设直线的方程与抛物线联立，利用向量垂直的坐标条件得到参数关系，再将三角形面积表示为参数的函数，求最小值. 【详解】对于A，设. 点到点距离为，到直线的距离为，且， 点到点距离等于点到直线的距离，即，化简得，动点的轨迹方程为，故A正确； 对于B，设，，则， 由轨迹方程，得， ，即时，取得最小值10，故B错误； 对于C，为等边三角形，结合抛物线对称性，可得两点关于轴对称，则设，，， 如图所示，设交轴于，    则，，； 为等边三角形，； ，即，解得或； 当时，，则周长为； 当时，，则周长为. 若为等边三角形，则周长为或，故C错误； 对于D，设，，则，，，； 设直线的方程为，直线与轴交于点，则.    联立方程得，整理得； 由韦达定理得，. ，，即，解得或（舍）； ，解得，即，. 由，得，异号； 令，则，，当且仅当时等号成立； ，故D正确. 9．（多选）（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等，记动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．曲线为抛物线 B．的最大值为1 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】对于A，根据抛物线的定义即可判断；对于B，根据题干分析的取值范围即可判断；对于C，根据中位线可得，再根据余弦定理，在中，用的表达式表示，最后结合基本不等式放缩求得和的不等关系即可求出的最大值；对于D，根据C选项的分析，可知能将转化为的关系式，再令，进一步将转化为t的关系式，最后结合对勾函数的性质求解该表达式的范围即可判断的最小值． 【详解】对于A，由已知条件知点P到点F的距离与到直线的距离相等， 由抛物线的定义可知点P的轨迹为以F为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线的方程为，则，得， 所以点P的轨迹方程为，即曲线C为抛物线，故A正确； 对于B选项，当直线l不断变化时，均可分别至无穷大， 则易知可取任意正实数，故B错误； 对于C选项，过分别作直线的垂线，垂足为，如图所示， 则， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，等号成立，所以，即的最大值为，故C正确； 对于D选项，由C选项可知 ，令， 则， 根据对勾函数的性质，， 所以，则无最小值，故D错误． 10．（多选）（2026·江西萍乡·一模）在平面直角坐标系中，圆：与轴交于，两点（A在的左边），过作圆的切线，动点满足到的距离等于其到直线的距离，过的直线与动点的轨迹交于，两点，则下列结论正确的有（    ） A．动点的轨迹方程为 B．若点的坐标为，则的最小值为6 C．存在直线使得 D．对于任意直线，都有 【答案】ACD 【分析】由题知，切线方程为，进而根据抛物线的定义判断A；根据抛物线的焦半径公式转化为求的最小值，再数形结合求解判断B；设直线方程为：，进而求得直线的斜率的范围，再过点作，垂足为，进而求得时直线的斜率判断C；根据焦半径公式，结合韦达定理得判断D. 【详解】 由题知，，切线方程为 对于A，到定点与定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，焦点为，准线方程为， 故抛物线方程为，正确； 对于B，如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为 根据抛物线定义，，所以， 当且仅当三点共线时等号成立，故B选项错误； 对于C，根据题意，直线的斜率不为，设直线方程为：， 与联立得，设，则，即， 所以，故直线的斜率， 如图，过点作，垂足为， 因为，故要使，则， 所以，，此时直线的斜率为， 故存在直线使得，C选项正确； 对于D，根据抛物线的定义，， 因为，，所以， 所以，由于，故，故D选项正确. 故选：ACD 题型二 抛物线的标准方程 求抛物线标准方程的方法 定义法 若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可 待定系数法 若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，a的正负由题设来定，这样就减少了不必要的讨论 【例题精讲】 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 2．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可. 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 3．（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知求出抛物线方程，即可求解抛物线C的准线方程． 【详解】因为点在抛物线上， 所以，即抛物线方程， 所以抛物线C的准线方程为． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由抛物线过点，得，解得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为2. 5．（2026·辽宁·模拟预测）已知抛物线：（），若圆与的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为3， 由C的准线与该圆相切，得圆心到准线的距离为，解得， 所以C的焦点坐标为. 6．（2026·山东聊城·三模）已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将点的坐标代入标准方程，求出，再求出准线即可. 【详解】由点在抛物线上，则， 即，解得或（舍）， 因为抛物线准线方程为，即， 因此，抛物线C的准线方程为. 7．（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线的定义结合题意可得， 所以抛物线的方程为. 8．（多选）（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 【答案】ACD 【分析】由正三角形边长和对称性即可分析判断A；设，结合和代数运算即可求解判断B；先结合B令求出点，接着由A即可得到直线与圆相切判断C；设，以为直径的圆圆心为G，利用中点坐标公式和焦半径公式结合求出即可由焦半径公式得解判断D. 【详解】由题可得圆心，半径，抛物线的焦点为，    对于A，若为等边三角形，则，由对称性不妨设P在第一象限，则， 显然点P在抛物线上，所以存在点，使为等边三角形，故A正确； 对于B，设，则 ，故B错误； 对于C，由B得，令，所以， 由A可知为边长为4的等边三角形，圆心C到的距离为， 所以若，则直线与圆相切，故C正确； 对于D，设，若以为直径的圆与圆外切，设以为直径的圆圆心为G， 则，， 所以，化简并解得， 所以，故D正确. 故选：ACD 9．（多选）（2025·江苏南通·模拟预测）已知抛物线与圆交于两点，圆与轴的负半轴交于点为坐标原点，则（    ） A． B．存在，使得 C．若为等边三角形，则 D．直线与抛物线相切 【答案】ACD 【分析】根据抛物线与圆的对称性，结合曲线方程联立求解相关点的坐标，再结合三角形的性质、线段长度关系以及直线与抛物线的位置关系来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，抛物线的顶点为，圆的圆心为. 圆与轴的负半轴交于点，所以， 所以，所以，故A正确. 对于选项C，由，可得. 因为，所以，则，即. 不妨设，， 已知圆与轴的负半轴交于点，令，则，解得，因为在轴负半轴，所以， 若为等边三角形，则， 点到的距离为. 根据等边三角形的性质，点到的距离为， 即，解得（舍去）或，故C选项正确. 对于选项B，若，则， ， 则，两边平方得， 即，解得，这与矛盾， 所以不存在，使得，故B错误. 对于选项D，已知，， 则直线的斜率. 由，得，求导得， 可得在点处的切线斜率， 直线的斜率与抛物线在点处的切线斜率相等， 所以直线与抛物线相切，故D选项正确. 故选：ACD. 10．（多选）（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件求出轨迹的方程，验证判断A；利用轴对称的特征判断B；求出点的坐标，进而求出直线的方程判断C；求出点到圆心距离判断D. 【详解】设点，由点P到点F的距离比到直线l的距离大2， 则得，整理得轨迹的方程为， 对于A，当时，，因此点在C上，A正确； 对于B，显然点满足方程，而点与关于轴对称， 因此轨迹C关于x轴对称，B正确； 对于C，设直线方程为，由，得, 则直线的方程为， 由，得或，则得点， 同理可得点， 当直线不垂直于轴时，直线的方程为，整理得， 当直线时，由，解得,则直线，故直线恒过定点，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，设，则， 于是，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，D错误. 题型三 抛物线的简单几何性质 抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 【例题精讲】 1．（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 2．（2025高二上·全国·专题练习）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，判断椭圆焦点在轴上，将化成标准方程，即可判断焦点位置和开口方向，得出结论. 【详解】由，方程表示焦点在轴上的椭圆， 得，因，故该方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线. 故选：D. 3．（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. 4．（2026·河南驻马店·三模）已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，当时，曲线，即， 其焦点为； 当时，曲线，即， 其焦点为. 易知点关于轴的对称点在抛物线位于第四象限的部分，且在直线上， 所以. 设， 由抛物线的定义知，，所以，，所以， 所以直线的斜率为， 直线的方程为， 由，得， 所以，所以， 所以.    5．（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出的位置关系，利用已知条件求出相应的点，代入方程中建立关于的方程，解齐次方程，再由椭圆的离心率范围求解即可. 【详解】因为为抛物线与椭圆的公共焦点，且抛物线与椭圆相交于两点， 由抛物线和椭圆对称性以及可知，轴， 设点在第一象限，如图所示： 令，此时有， 又抛物线的焦点为，所以， 所以抛物线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以， 即点，又点在椭圆上， 所以， 又，所以，所以 即，又，所以， 令 ，则，解得（舍去）或， 即， 又，所以. 6．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为64，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据“四角花瓣”图形的对称性，得到四边形为正方形，求得边长为，求得点的坐标为，将点的坐标代入抛物线的方程，即可求解. 【详解】由题意知，“四角花瓣”图形是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后， 得到的三条曲线与组合而成的图形， 其中分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形的周长为， 根据“四角花瓣”图形的对称性，可得四边形为正方形，所以正方形边长为， 则点的坐标为，将代入抛物线的方程，可得，解得. 7．（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 8．（多选）（24-25高三上·广西·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程确定点的横坐标，再由抛物线的定义得方程，即可得的值. 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或. 故选：AC. 9．（多选）（24-25高三上·陕西西安·阶段检测）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且则抛物线C的方程可以为 （ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据点在抛物线上、抛物线定义可得答案. 【详解】由题意得，解得，或， 当时，抛物线方程为； 当时，抛物线方程为. 故选：BC. 10．（多选）（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）点在抛物线上，为坐标原点，，则下列结论正确的是（   ） A．的准线为 B．直线与相切 C．的焦点为 D．焦点到准线距离为 【答案】BCD 【分析】利用题目条件解出抛物线方程后逐一分析选项. 【详解】将点代入抛物线方程，得： ， 解得，因此抛物线的方程为， 根据抛物线的性质：焦点为，准线为，焦点到准线的距离为， A选项：抛物线的准线为，不是，A错误； B选项：求直线方程：，斜率，直线方程为， 联立抛物线方程，消去得， ，直线与抛物线只有一个交点，因此直线与相切，B正确； C选项：抛物线的焦点为，C正确； D选项：焦点到准线的距离为，D正确. 题型四 距离之和的最值问题 1.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离或利用对称性进行距离之间的转化，再利用“三点共线”解决． 2.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，利用“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质可得． 【详解】解：由题可知抛物线焦点，准线方程为， 圆心为，半径为， 则． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 3．（24-25高二下·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先利用抛物线定义，将转化为点到准线的距离；再根据圆的性质，的最小值为（为圆心），故；当在抛物线上时，的最小值为到准线的距离，因此的最小值为． 【详解】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】已知抛物线，焦点，，准线为， 根据抛物线的定义可得， 如下图所示，作到准线的垂线分别交抛物线，准线于，当三点共线时，取得最小值， ． 5．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知抛物线：上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】 抛物线：的焦点，准线：， 设点到准线的距离为，点到准线的距离为， 所以. 6．（2026·安徽滁州·一模）若是抛物线上的动点，点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线方程确定其焦点和准线方程，再利用抛物线的定义将进行转化，最后结合几何图形的性质求出的最小值. 【详解】由抛物线，得，则， 所以抛物线的焦点，准线方程为. 设点到准线的距离为，根据抛物线的定义可知， 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即. 因为点到准线的距离就是，所以， 那么， 根据几何性质，当，，三点共线时，的值最小，即， 已知，，得： ， 所以的最小值为. 7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 8．（多选）（25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 【答案】AD 【分析】本题考查抛物线的定义、几何性质、过焦点弦的性质及最值问题，结合抛物线定义与坐标运算逐一分析选项即可． 【详解】抛物线的焦点，， 选项A：过焦点的弦中，通径（垂直于对称轴的弦）长度最短，通径长为，因此最小值为4，A正确； 选项B：设中点为，由抛物线定义得，圆半径， 圆心到准线的距离为，故圆与准线不相切，B错误； 选项C：设过的直线方程为， 代入抛物线方程得，韦达定理得，， 因此，C错误； 选项D：由抛物线定义，等于到准线的距离， 因此，最小值为点到准线的距离，即， 所以的最小值为，D正确． 9．（多选）（2026·湖南岳阳·三模）已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（    ） A．E的方程为 B．若，则的最小值为4 C．过作斜率为的直线交于A，B两点，则 D．上存在两点关于直线对称 【答案】ABC 【分析】A选项，设，则，由可列出等式，整理得到的方程为抛物线；B选项，根据抛物线的定义把转为，利用几何知识求解；C选项，联立该直线和的方程求解得到交点，再利用弦长公式计算即可；D选项，通过联立方程得到该直线与抛物线相切，从而不存在两点关于它对称. 【详解】设，则 由条件得，整理得，A正确； 根据抛物线的定义，等于点到准线的距离（记为）， 因此，当时取等，B正确； 过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，联立方程 得，解得，则，C正确； 联立方程得，因为，所以与相切， 故上不存在两点关于直线对称，D错误． 10．（多选）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则周长的最小值为11 C．若三点共线，且，则 D．若直线过，且，则 【答案】BCD 【分析】A选项，根据焦点坐标得到抛物线方程，求出，得到答案；B选项，根据焦半径进行转化，得到的最小值，进而得到周长的最小值；C选项，设出直线方程，联立抛物线方程，根据三角形面积公式得到直线斜率，并得到；D选项，设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理得到A，B的坐标，并得到各边长，由余弦定理，同角三角函数关系和二倍角公式得到答案. 【详解】抛物线的焦点为， 由题意得，解得. 对于A：如图，设点在第一象限，由，得. 在中，因为，则， 所以，故A错误； 对于B：抛物线的焦点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为. 的周长为， 当三点共线时，的周长取最小值， 最小值为，故B正确； 对于C：设直线的方程为，显然直线与抛物线必相交， 联立方程，消去得， 则. 则. 可得，解得. 所以 ，故C正确； 对于D：设过点的直线的方程为， 联立方程，消去得， 则，解得，可得. 将，代入得，即，解得或. 当时，，此时与重合，舍去； 当时，，则， 可得， 因为，则. 又因为，则， 所以. 可得. 所以，故D正确. 【真题回顾】 1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选：A 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 3．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 4．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 5．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以 ， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 第54讲 抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质 题型一 抛物线的轨迹问题 2 题型二 抛物线的标准方程 3 题型三 抛物线的简单几何性质 5 题型四 距离之和的最值问题 7 【真题回顾】 9 【基础回顾】 知识点1 抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 知识点2 抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 F（） F（-） F（） F（） 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 开口方向 向右 向左 向上 向下 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 【必备知识】 1．抛物线方程一般首先转化为标准形式． 2．在抛物线的标准方程中，焦点的位置与一次项系数的正负保持一致． 3．焦点到原点的距离的4倍为一次项系数的绝对值． 4．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F 的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 题型一 抛物线的轨迹问题 轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线． 【例题精讲】 1．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海·期中）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 5．（25-26高三上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 6．（25-26高二上·陕西安康·期末）设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（2026·湖南长沙·三模）已知动点到点距离为，点到直线的距离为，且.动点的轨迹为曲线，为曲线上两个动点，则下列说法正确的是（    ） A．动点的轨迹方程为 B．最小值为18 C．若为等边三角形，则周长为 D．若，则的面积最小值为64 9．（多选）（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等，记动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．曲线为抛物线 B．的最大值为1 C．的最大值为1 D．的最小值为 10．（多选）（2026·江西萍乡·一模）在平面直角坐标系中，圆：与轴交于，两点（A在的左边），过作圆的切线，动点满足到的距离等于其到直线的距离，过的直线与动点的轨迹交于，两点，则下列结论正确的有（    ） A．动点的轨迹方程为 B．若点的坐标为，则的最小值为6 C．存在直线使得 D．对于任意直线，都有 题型二 抛物线的标准方程 求抛物线标准方程的方法 定义法 若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可 待定系数法 若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，a的正负由题设来定，这样就减少了不必要的讨论 【例题精讲】 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 3．（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 5．（2026·辽宁·模拟预测）已知抛物线：（），若圆与的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东聊城·三模）已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 9．（多选）（2025·江苏南通·模拟预测）已知抛物线与圆交于两点，圆与轴的负半轴交于点为坐标原点，则（    ） A． B．存在，使得 C．若为等边三角形，则 D．直线与抛物线相切 10．（多选）（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 题型三 抛物线的简单几何性质 抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 【例题精讲】 1．（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·全国·专题练习）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 4．（2026·河南驻马店·三模）已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为64，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高三上·广西·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．（多选）（24-25高三上·陕西西安·阶段检测）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且则抛物线C的方程可以为 （ ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）点在抛物线上，为坐标原点，，则下列结论正确的是（   ） A．的准线为 B．直线与相切 C．的焦点为 D．焦点到准线距离为 题型四 距离之和的最值问题 1.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离或利用对称性进行距离之间的转化，再利用“三点共线”解决． 2.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，利用“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 3．（24-25高二下·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 5．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知抛物线：上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 6．（2026·安徽滁州·一模）若是抛物线上的动点，点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．7 D． 7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 9．（多选）（2026·湖南岳阳·三模）已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（    ） A．E的方程为 B．若，则的最小值为4 C．过作斜率为的直线交于A，B两点，则 D．上存在两点关于直线对称 10．（多选）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则周长的最小值为11 C．若三点共线，且，则 D．若直线过，且，则 【真题回顾】 1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 5．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $