4.4.2 对数函数的图象和性质同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过“基础过关+能力提升”分层设计，以对数函数图象性质为核心，从单一知识点到综合应用逐步深化，培养抽象能力、推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|图象特征、单调性、最值、反函数|选择填空为主，结合教材改编题（如第5题），强化概念理解与基本运算| |能力提升练|图象应用、综合单调性、新定义问题|解答题占比高，含多知识点融合（如第16题新运算），提升逻辑推理与问题解决能力|

4.4.2　对数函数的图象和性质 基础过关练 题组一　对数(型)函数的图象特征 1.(2026福建厦门双十中学期中)已知a>0且a≠1,则函数y=a-x与函数y=loga(-x)的图象可能是(　　) 　　　　　　 2.(2026湖南长沙明德中学期中)函数f(x)=loga(4x-1)(a>0,且a≠1)的图象恒过点(　　) A.(1,0)　　B.(0,1)　　C.　　D. 3.(2026上海控江中学期中)设a,b∈R,则y=ax+b与y=loga(x+b)的图象可能是(　　) 　　　　　　 4.(2026河南信阳高中月考)已知函数f(x)=|log4x|. (1)若函数f(x)在区间[m,n]上的值域为[0,1],求n-m的最小值; (2)若a<b,且f(a)=f(b),求a+3b的取值范围. 题组二　对数函数的单调性问题 5.(教材习题改编)(2026天津南开中学月考)设a=log0.20.3,b=log23,c=log34,则a,b,c的大小关系为　(　　) A.a>b>c　　B.c>b>a　　C.b>a>c　　D.b>c>a 6.(2025湖南部分学校期中)设函数f(x)=若f(x)在R上单调递增,则a的取值范围为(　　) A.(0,+∞)　　B.(0,2]　　C.(-∞,2]　　D.(0,3] 7.(2026安徽合肥期中)已知函数f(x)=ln|x-1|,则f(x+1)(　　) A.是奇函数且在(0,+∞)上单调递减 B.是奇函数且在(0,+∞)上单调递增 C.是偶函数且在(0,+∞)上单调递减 D.是偶函数且在(0,+∞)上单调递增 8.(2026湖南邵阳二中期中)函数f(x)=log2(x2-2x-8)的单调递增区间是　　　　.  9.(2026海南海口华侨中学期中)若函数f(x)=loga(3-2ax)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　.  10.(2025黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期末)已知函数f(x)=log2(4x+1)+ax是偶函数. (1)求实数a的值; (2)若f(x)≤log2,求x的取值集合. 题组三　对数函数的最大(小)值与值域问题 11.(2026河北秦皇岛调研)已知函数f(x)=则f(x)的值域为(　　) A.　　B.　　 C.(log92,ln 2]　　D.(log92,log94] 12.(2026黑龙江牡丹江三中期中)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围为(　　) A.(1,2]　　B.(1,2)　　C.[2,+∞)　　D.(2,+∞) 13.(2026湖南长沙师范大学附属中学期中)若函数f(x)=lo(x2+4ax+3)的值域为R且在上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  14.(2025四川绵阳中学期中)若关于x的不等式k<-log3(3x)对任意的x∈恒成立,则实数k的取值范围为　　　　.  15.(2026天津北辰段考)已知函数f(x)=(log2x-2)·(log2x+1). (1)求不等式f(x)<0的解集; (2)若存在x∈[4,16],使得不等式f(x)+3≥mlog2x成立,求实数m的取值范围. 题组四　反函数 16.(2026湖南邵阳拔尖创新班联考)若函数f(x)与g(x)=ax(a>0且a≠1)互为反函数,且g(x)的图象过点(-2,9),则f(1)+f(3)=(　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D. 17.(2026山东滕州一中月考)已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,若f(a)=g(b)=2,则下列各式正确的是(　　) A.ab≥1　　B.a3+b3>2　　 C.ea+ln b<2　　D.ea+eb≥2e2 18.(2026黑龙江牡丹江一中期中)已知函数f(x)=ax-a+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,2). (1)求实数a; (2)将函数f(x)的图象向下平移1个单位长度,再向左平移a个单位长度后得到函数g(x)的图象,设函数g(x)的反函数为h(x),求h(x)的解析式; (3)在(2)的条件下,φ(x)=h(x)·h,x∈[1,8],求函数φ(x)的值域. 能力提升练 题组一　对数函数的图象及其应用 1.(2025河南三门峡月考)已知实数m>0且m≠1,函数y=logm(x+n)的大致图象如图,则m,n的取值范围为(　　) A.m>1,n>1　　 B.m>1,0<n<1 C.0<m<1,n>1　　D.0<m<1,0<n<1 2.(2026山东烟台期中)若实数a,b,c满足log2a=log3b=,则a,b,c的大小关系不可能是(　　) A.a<b<c　　B.a<c<b　　C.c<a<b　　D.c<b<a 3.(多选题)(2025黑龙江新时代高中教育联合体期末)已知2a=loa,=lob,则下列结论正确的是(　　) A.a<b　　B.a<　　C.b<　　D.b-a< 4.(2026山东泰安一中期中)已知f(x)=-x2-7x-5,g(x)=max{31-x,log3(x+2)}(max{a,b}表示a,b中的较大者),若∀x1∈[a-1,a+1],∃x2∈[0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则a的取值范围是(　　) A.[-5,-2]　　B.[-4,-3]　　 C.　　D. 题组二　与对数函数有关的单调性问题 5.(2026甘肃兰州二中期末)函数f(x)=log0.5(x2-ax+3)在区间(0,1)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,2]　　B.[2,+∞)　　C.[2,4)　　D.[2,4] 6.(2026湖南长沙长郡中学月考)已知正数a,b满足2a-4b=log2,则(　　) A.a≥2b　　B.a≤2b　　C.a>2b　　D.a<2b 7.(2025山东济南期中)已知实数x1,x2满足x1+=2,-ln x2=1,则x1+的值是　　　　.  8.(2026天津第二南开学校月考)已知函数f(x)=2 025x+log2 025(+x)-2 025-x+2,则不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为　　　　.  9.(2026山东济南师大附中月考)已知函数f(x)=loga(a>0,a≠1,b≠-2)是定义在(-2,2)上的奇函数. (1)求f(0)和实数b的值; (2)当a>1时,若f(x)满足f(t2-2)+f(3t-2)<0,求实数t的取值范围. 题组三　对数函数的综合应用 10.(2026河南郑州外国语学校期中)下列函数中,是奇函数且在定义域内单调递增的是　(　　) A. f(x)=log2(-x)　　 B. f(x)=ln 　　 C. f(x)=　　 D. f(x)= 11.(2026福建厦门一中期中)已知函数f(x)=log3(9x+1)-x,设a=f(log32),b=f(log53),c=f,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c　　B.a<c<b　　C.c<a<b　　D.b<a<c 12.(2026河北正定中学月考)设函数f(x)=(2x+a)·ln(x-b),若对任意的x>b,都有f(x)≥0,则ab的最大值为(　　) A.　　B.　　C.1　　D.2 13.(2026河南洛阳段考)已知函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},对任意的x,y∈D,有=+,且当x>1时, f(x)>0.若m>10,P=(lg m-1)2f(lg m),Q=(lg m)2f(1-lg m),则P,Q的大小关系为(　　) A.无法确定　　B.P>Q C.P=Q　　D.P<Q 14.(2026四川南充高级中学月考)已知函数f(x)=lg(-x+1),g(x)=,F(x)=f(x)+g(x).给出下列说法:①f(x)是奇函数;②g(x)的图象关于点(1,2)对称;③若函数F(x)在x∈[1-n,1+n]上的最大值、最小值分别为M,N,则M+N=4;④若F(a)+F(-2a+1)>4,则实数a的取值范围是(-1,+∞).其中正确的有　　　　(填序号).  15.(2026浙江宁波镇海中学期中)已知函数f(x)=-+ln(ex),g(x)=+ln x. (1)若t=0,求不等式f(x)+g(x)≥3的解集; (2)若t>0,且实数x1,x2满足f(x1)=0,g(x2)=0. ①证明:<x1x2<e; ②若x1,x2满足ln ≥5-3ln 2,求x1x2的最小值. 16.(2026江苏南京一中段考)定义一种新运算“⊕”:对于任意实数x,y,都有x⊕y=loga(ax+ay)(a>0且a≠1). (1)当a=2时,计算4⊕4; (2)证明:∀x,y,z∈R,都有(x⊕y)⊕z=x⊕(y⊕z); (3)设m=loga(x2-3ax+2a2),若f(x)=m⊕m-loga2在区间[s,t](0<s<t<a)上的值域为[logat,logas],求实数a的取值范围. 答案 4.4.2　对数函数的图象和性质 基础过关练 1.D　当a>1时,y=a-x在R上单调递减,且图象恒过点(0,1),选项B,D符合题意,y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递减且图象恒过点(-1,0),因此B不符合,D符合; 当0<a<1时,y=a-x在R上单调递增且图象恒过点(0,1),选项A,C符合题意,y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递增且图象恒过点(-1,0),因此A,C均不符合. 2.C　令4x-1=1,则4x=2,解得x=, 因此函数f(x)=loga(4x-1)(a>0,且a≠1)的图象恒过点. 3.B　对于A,B,函数y=loga(x+b)单调递增,且图象过原点,所以a>1,且b=1, 所以函数y=ax+b单调递增,且图象为y=ax的图象向上平移1个单位长度得到,因此A错误,B正确; 对于C,D,函数y=ax+b单调递减,且图象过原点,所以0<a<1,且b=-1,从而函数y=loga(x+b)=loga(x-1)单调递减,且图象为y=logax的图象向右平移1个单位长度得到,不可能过原点,因此C,D错误. 4.解析　(1)令f(x)=0,得x=1,令f(x)=1,得x=4或x=, 易知f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 因为函数f(x)在区间[m,n]上的值域为[0,1], 所以区间[m,n]中要含有1, 结合图象可得区间[m,n]为(n∈[1,4])或[m,4], 所以当m=,n=1时,区间[m,n]的长度最短,为1-=,即n-m的最小值为. (2)画出f(x)=|log4x|的图象,如图: 因为0<a<b且f(a)=f(b), 所以0<a<1,b>1, 所以-log4a=log4b⇒log4a+log4b=0⇒log4(ab)=0⇒ab=1. 因此a+3b=a+(0<a<1), 由对勾函数的图象知y=x+在(0,1)上单调递减, 所以a+3b=a+>1+3=4,故a+3b的取值范围是(4,+∞). 5.D　a=log0.20.3<log0.20.2=1,b=log23>log22=log2=, 1=log33<c=log34<log33=log3=,∴b>c>a. 6.B　由题意得即解得0<a≤2,故a的取值范围为(0,2]. 7.D　∵f(x)=ln|x-1|, ∴f(x+1)=ln|x|,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 又f(-x+1)=ln|-x|=ln|x|=f(x+1), ∴f(x+1)是偶函数. 当x>0时, f(x+1)=ln x,此时单调递增. 8.答案　(4,+∞) 解析　令x2-2x-8=(x-4)(x+2)>0,解得x<-2或x>4, 因此f(x)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞), 易知y=log2x单调递增,y=x2-2x-8在(-∞,-2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增, 结合复合函数的单调性,可知函数f(x)=log2(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞). 9.答案　 解析　设函数t(x)=3-2ax,由y=logat有意义,可得a>0且a≠1,则函数t(x)=3-2ax为减函数, 因此要使f(x)=loga(3-2ax)在区间[1,2]上单调递增,需使0<a<1, 且函数t(x)=3-2ax在[1,2]上恒为正数(关键点), 因此解得0<a<.故实数a的取值范围为. 10.解析　(1)对任意的x∈R,4x+1>0, 所以函数f(x)的定义域为R. 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x), 即log2(4-x+1)-ax=log2(4x+1)+ax, 所以2ax=log2-log2(4x+1)=log2=log2=log22-2x=-2x对任意的x∈R恒成立, 所以2a=-2,解得a=-1. (2)由(1)得f(x)=log2(4x+1)-x=log2(4x+1)-log22x=log2. 由f(x)≤log2,得log2≤log2,所以≤. 设2x=t(t>0),则≤,所以4t2-17t+4≤0,即(4t-1)(t-4)≤0,解得≤t≤4,即≤2x≤4,解得-2≤x≤2, 所以满足不等式f(x)≤log2的x的取值集合为{x|-2≤x≤2}. 11.A　易知y=ln x在上单调递增,所以y∈. 易知y=log9x在(2,4]上单调递增, 所以y∈(log92,log94]. 因为ln <log92<ln 2,log94=log32<ln 2, 所以函数f(x)的值域是. 12.A　当x≤2时, f(x)=2x2-12x+20=2(x-3)2+2,所以f(x)∈[4,+∞), 因此要使函数f(x)的值域是[4,+∞), 则需当x>2时, f(x)=3+logax的值域为[4,+∞)的子集, 所以解得1<a≤2. 13.答案　 解析　因为f(x)=lo(x2+4ax+3)的值域为R, 所以函数y=x2+4ax+3的值域包含(0,+∞), 所以Δ=16a2-12≥0,解得a≥或a≤-①. 因为函数f(x)=lo(x2+4ax+3)在上单调递增,且y=lox是减函数,所以y=x2+4ax+3在区间上单调递减且恒为正, 所以解得-≤a≤-②, 由①②可得-≤a≤-,所以实数a的取值范围是. 14.答案　 解析　由已知可得k<[(log3x)2-log3(3x)]min对任意x∈恒成立. 设t=log3x,则t∈[-1,1],y=-log3(3x)=-log3x-1=t2-t-1=-, ∴当t=时,ymin=-,∴k<-. 15.解析　(1)由f(x)=(log2x-2)(log2x+1)<0,可得-1<log2x<2,解得<x<4, 因此,不等式f(x)<0的解集为. (2)令t=log2x,x∈[4,16],则t∈[2,4], 由f(x)+3≥mlog2x可得mt≤(t-2)(t+1)+3=t2-t+1,可得m≤t+-1, 设g(t)=t+-1,t∈[2,4]. 由对勾函数的单调性可知,函数g(t)=t+-1在[2,4]上单调递增, 由题意可得m≤g(t)max=g(4)=4+-1=, 因此实数m的取值范围是. 16.A　由函数g(x)=ax的图象过点(-2,9),可得a-2=9,解得a=(负值舍去),即g(x)=, 因为函数f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)=lox, 所以f(1)+f(3)=lo1+lo3=0-1=-1. 17.B　由题可得 即 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=ex,y=-x+2,y=ln x的图象, 由ea=-a+2,可知A(a,ea),由ln b=-b+2,可得B(b,ln b), 易知函数y=ex与y=ln x互为反函数,所以由反函数的性质知A,B关于直线y=x对称, 联立解得 则a+b=2,ea+ln b=2,且a>0,b>0,a≠b,因此C错误. 对于A,ab<=1,因此A错误. 对于B,由a+b=2,ab<1, 得a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2[(a+b)2-3ab]=2(4-3ab)>2,因此B正确. 对于D,ea+eb>2=2=2=2e,因此D错误. 18.解析　(1)依题意得f(2)=a2-a+1=2,则a2-a=1,由a≠1,得2-a=0,故a=2. (2)由(1)知f(x)=2x-2+1,将函数f(x)的图象向下平移1个单位长度得到y=2x-2的图象, 再向左平移a=2个单位长度得到g(x)=2x的图象, 指数函数g(x)=2x的反函数是对数函数y=log2x,即h(x)=log2x. (3)由(2)得φ(x)=log2x·log2=log2x·(log2x-2)=-2log2x,x∈[1,8], 令t=log2x,x∈[1,8],则t∈[0,3],φ(x)可转化为F(t)=t2-2t,t∈[0,3], 易知函数F(t)=t2-2t=(t-1)2-1的图象开口向上,对称轴为直线t=1, 因此F(t)min=F(1)=-1,F(t)max=F(3)=3,故函数φ(x)的值域为[-1,3]. 能力提升练 1.C　由题图可知函数y=logm(x+n)是减函数,所以0<m<1. 当x=0时,logm(x+n)=logmn<0,所以n>1. 2.D　设log2a=log3b==k,k>0, 则a,b,c为函数y=log2x,y=log3x,y=的图象与动直线y=k交点的横坐标, 作出函数y=log2x,y=log3x,y=的图象,如图所示, 由图可知,当直线y=k为l1时,c<a<b;当直线y=k为l2时,a<c<b; 当直线y=k为l3时,a<b<c,而c<b<a始终不可能. 3.ACD　令y1=2x,y2=lox,在同一平面直角坐标系中作出y1,y2的图象,如图1, 易知当x=时,y1=<2,y2=lo=2,此时y2>y1; 当x=时,y1=>1,y2=lo=1,此时y1>y2,所以当2a=loa时,<a<,故B错误. 令y3=,在同一平面直角坐标系中作出y2,y3的图象,如图2, 易知当x=时,y3==,此时y2>y3;当x=时,y2=lo=lo=,y3=>,此时y3>y2,所以当=lob时,<b<,故A,C正确. 易得-<-a<-,所以0<b-a<-<-=,故D正确. 4.A　因为∀x1∈[a-1,a+1],∃x2∈[0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立, 所以f(x)在[a-1,a+1]上的值域为g(x)在[0,+∞)上的值域的子集. 易知y=31-x在R上单调递减,y=log3(x+2)在(-2,+∞)上单调递增, 当x=1时,31-x=log3(x+2)=1, 因此g(x)= 则g(x)在[0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 因此g(x)在[0,+∞)上的最小值为g(1)=1,即g(x)的值域为[1,+∞). f(x)=-x2-7x-5=+≤, 令f(x)=1,得x=-1或x=-6, 作出函数f(x)的图象,如图: 结合图象知解得-5≤a≤-2,即a的取值范围是[-5,-2]. 5.D　易知函数y=log0.5x在(0,+∞)上单调递减, 因为f(x)在(0,1)上单调递增,所以函数y=x2-ax+3在(0,1)上单调递减, 且y=x2-ax+3>0在(0,1)上恒成立, 则有 解得2≤a≤4, 因此实数a的取值范围为[2,4]. 6.D　因为正数a,b满足2a-4b=log2=log2b-log2a,所以2a+log2a=22b+log2b, 所以2a+log2a=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b).(通过放缩将两边化为相同的结构) 令f(x)=2x+log2x,则f(a)<f(2b),易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,(构造函数,利用单调性解决问题)所以a<2b. 7.答案　2 解析　由-ln x2=1得ln +=2. 令y=x+ex,易知其是增函数, 所以方程x+ex=2有唯一解, 所以x1=ln ,所以=, 所以x1+=x1+=2. 8.答案　 解析　令g(x)=f(x)-2=2 025x+log2 025(+x)-2 025-x, 由+x>0,可得x∈R,即函数g(x)的定义域为R, 又g(-x)=2 025-x+log2 025(-x)-2 025x=2 025-x-log2 025(+x)-2 025x=-g(x), 所以函数g(x)是奇函数. 因为函数y=+x在R上单调递增且为正数,函数y=log2 025x在(0,+∞)上单调递增, 所以函数y=log2 025(+x)在R上单调递增, 又y=2 025x与y=-2 025-x均单调递增, 所以函数g(x)=2 025x+log2 025(+x)-2 025-x在R上单调递增, 不等式f(3x+1)+f(x)>4等价于g(3x+1)+g(x)>0,即g(3x+1)>-g(x)=g(-x), 可得3x+1>-x,解得x>-. 9.解析　(1)由已知得f(0)=loga1=0,且f(-x)=-f(x), 则loga=-loga=loga,即=,则16-4x2=16-b2x2,所以b2=4,因此b=2(b=-2舍去). (2)由(1)可得f(x)=loga=loga=loga=loga, 易知函数y=在(-2,2)上单调递减, 当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上单调递增, 故f(x)=loga在(-2,2)上单调递减, 由f(t2-2)+f(3t-2)<0可得f(t2-2)<-f(3t-2),即f(t2-2)<f(-3t+2), 则即解得1<t<, 即实数t的取值范围为. 10.D　对于A,因为>|x|≥x,所以函数f(x)=log2(-x)的定义域为R, 又f(-x)=log2[-(-x)]=log2(+x)=-log2(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数, 易知y=-x=在R上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在R上单调递减,不符合题意; 对于B,令>0,得-2<x<2,故函数f(x)的定义域为(-2,2), 又f(-x)=ln =ln =-ln =-f(x),所以函数f(x)为奇函数, 易知y==-1在(-2,2)上单调递减,y=ln x在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)在(-2,2)上单调递减,不符合题意; 对于C,易知函数f(x)的定义域为R,又f(-x)===f(x),故f(x)为偶函数,不符合题意; 对于D,易知函数f(x)的定义域为R,又f(-x)===-=-f(x),故函数f(x)为奇函数, f(x)==1-,因为函数y=2x+1在R上单调递增且函数值恒大于0,所以y=在R上单调递减,所以f(x)在R上单调递增,符合题意. 11.B　易知9x+1>1恒成立,因此f(x)的定义域为R, 由f(x)=log3(9x+1)-x=log3(9x+1)-log33x=log3=log3(3x+3-x), 可得f(-x)=log3(3-x+3x)=f(x), 故f(x)为偶函数, 则c=f=f=f, 因为log32=log323=log38<log39=,log53=log533=log527>log525=, 所以0<log32<<log53<1, 令t=3x,x∈(0,1],则t∈(1,3], 由对勾函数的性质可得函数y=t+在(1,3]上单调递增, 所以f(x)=log3(3x+3-x)在(0,1]上单调递增,因此a<c<b. 12.B　解题关键:求出ln(x-b)=0的根,结合f(x)的定义域分类讨论符号成立的条件,得出结论. 易知函数f(x)的定义域为(b,+∞). 令ln(x-b)=0,得x=b+1. 当x∈(b,b+1)时,ln(x-b)<0,又对任意的x>b,都有f(x)≥0,所以需满足2x+a≤0在(b,b+1)上恒成立. 易知y=2x+a在(b,b+1)上单调递增,所以只需2(b+1)+a≤0即可. 当x=b+1时, f(x)=0恒成立. 当x∈(b+1,+∞)时,ln(x-b)>0,又对任意的x>b,都有f(x)≥0,所以需满足2x+a≥0在(b+1,+∞)上恒成立. 易知y=2x+a在(b+1,+∞)上单调递增,所以只需2(b+1)+a≥0即可. 综上,需满足2(b+1)+a=0, 此时a=-2(b+1), 所以ab=-2b(b+1)=-2(b2+b)=+≤, 当且仅当b=-,a=-1时,等号成立,所以ab的最大值为. 13.B　令x=y=1,得f(1)=2f(1), 所以f(1)=0. 令x=y=-1,得f(1)=2f(-1), 所以f(-1)=0. 令y=-1,得=+f(-1), 所以f(-x)=f(x),又f(x)的定义域关于原点对称, 所以f(x)是偶函数, 所以Q=(lg m)2f(1-lg m) =(lg m)2f(lg m-1). 令g(x)=,则g(xy)=g(x)+g(y). 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,所以f>0, 所以g=>0, 所以g(x1)=g=g(x2)+g>g(x2), 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增. 当m>10时,lg m>lg m-1>0, 所以g(lg m)>g(lg m-1),即>, 所以(lg m-1)2f(lg m)>(lg m)2f(lg m-1),即P>Q. 14.答案　②③④ 解析　对于①, f(x)=lg(-x+1)=lg[-(x-1)]. 因为-(x-1)>|x-1|-(x-1)≥0恒成立, 所以函数f(x)的定义域为R,又f(0)=lg(+1)≠0,所以f(x)不是奇函数,故①错误. 对于②,g(x)+g(2-x)=+=+=4,所以g(x)的图象关于点(1,2)对称,故②正确. 对于③,将函数f(x)的图象向左平移一个单位长度,得到f(x+1)=lg(-x)的图象. 设m(x)=lg(-x),则其定义域为R,又m(-x)+m(x)=lg(+x)+lg(-x)=lg 1=0,即m(-x)=-m(x),所以函数m(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称.因为m(x)=lg(-x)=lg ,所以根据复合函数的单调性知其在R上单调递减,即f(x)在R上单调递减. 设h(x)=g(x)-2=-2,由②知h(x)的图象关于点(1,0)对称.由h(x)=-2=-1,结合复合函数的单调性知其在R上单调递减. 设G(x)=F(x)-2=f(x)+g(x)-2,则G(x)的图象关于点(1,0)对称,且G(x)在R上单调递减. 所以G(x)在x=1+n处取得最小值,在x=1-n处取得最大值,且G(x)max+G(x)min=0,所以F(x)max+F(x)min=4,即M+N=4,故③正确. 对于④,由F(a)+F(-2a+1)>4,得G(a)+G(-2a+1)>0,所以G(-2a+1)>-G(a)=G(2-a),又G(x)为R上的减函数,所以-2a+1<2-a,解得a>-1,故④正确. 15.解析　(1)当t=0时, f(x)+g(x)≥3即为ln(ex)+ln x≥3, 化简得ln x≥1,解得x≥e,因此不等式f(x)+g(x)≥3的解集为[e,+∞). (2)①证明:由题意可得ln(ex1)=,ln x2=-,x1>0,x2>0, 故ln(ex1x2)=t-=. 当0<x1x2≤时,ln(ex1x2)≤0,>0,矛盾, 当x1x2≥e时,ln(ex1x2)>0,≤0,矛盾, 所以<x1x2<e. ②由①可得ln =t+=, 结合ln(ex1x2)=, 可得=, 所以ln(ex1x2)=ln =ln e+ln ≥6-3ln 2=3ln , 令m=x1x2,则<m<e,令h(m)=·ln(em),则h(m)≥3ln , 当<m<e时,y=>0, 且y==-1-,易知其在上单调递增, 又当<m<e时,y=ln(em)=1+ln m>0,且单调递增, 所以h(m)=ln(em)在上单调递增,且h=3ln ,所以m≥,即x1x2的最小值为. 16.解析　(1)当a=2时,4⊕4=log2(24+24)=log232=5. (2)证明:因为(x⊕y)⊕z=[loga(ax+ay)]⊕z=+az]=loga(ax+ay+az), x⊕(y⊕z)=x⊕[loga(ay+az)]=loga[ax+]=+ay+az), 所以(x⊕y)⊕z=x⊕(y⊕z). (3)由题意得, f(x)=m⊕m-loga2=loga(am+am)-loga2=m+loga2-loga2=m=loga(x2-3ax+2a2). 令g(x)=x2-3ax+2a2, 则g(x)在(0,a)上单调递减. 由于f(x)在[s,t]上的值域为[logat,logas], 所以logat<logas(s<t),所以0<a<1, 所以f(x)在[s,t]上单调递增, 所以即 整理,得s2-t2-3a(s-t)=-(s-t),所以s+t-3a=-1,即t=3a-s-1,代入s2-3as+2a2=t,得s2-(3a-1)s+2a2-3a+1=0.同理,得t2-(3a-1)t+2a2-3a+1=0. 所以s,t是方程x2-(3a-1)x+2a2-3a+1=0在(0,a)上的两个不同的根, 所以 解得 所以2-3<a<, 故实数a的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $