4.4.2对数函数的图象和性质课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦对数函数图象与性质，分层设计梯度清晰，从概念理解到综合应用，强化数学抽象与推理能力，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定点、定义域、单调性|选择1-5题考查概念辨析，填空11-13题强化基础运算| |中档|反函数、复合函数、分类讨论|选择6-8题结合函数变换，填空14-15题渗透参数思想| |拔高|综合应用、图象变换、参数范围|选择9-10题探究函数平移与交点问题，解答17-20题深化逻辑推理与运算能力|

课时作业34　对数函数的图象和性质 一、选择题 1．函数y＝loga(2x＋3)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(2，1) B．(－1，0) C．(－1，－1) D．(1，1) 2．已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(多选)已知loga>logb，则下列关系正确的是(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 4．函数f(x)＝lg (|x|－1)的大致图象是(　　) 5．y＝loga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围为(　　) A．a> B.<a≤ C．a>1 D.<a<，或a>1 6．已知函数f(x)与g(x)＝ex互为反函数，函数y＝h(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若h(a)＝1，则实数a的值为(　　) A．－e B．－ C. D．e 7．(多选题)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　) A．f(4)＝－3 B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点 C．函数y＝f(x)的最小值为－4 D．函数y＝f(x)的最大值为4 8．若函数f(x)＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则b－a的最小值为(　　) A. B．3 C．2 D. 9．若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形函数”．给出下列四个函数： f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则是“同形函数”的是(　　) A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x) C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x) 10．已知函数f(x)＝其中0<m<1.若存在实数a，使得关于x的方程f(x)＝a恰有三个互异的实数解，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2、 填空题 11．已知函数f(x)＝f(f(－1))＝________；若直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________． 12．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a＝b. 其中可能成立的关系式是________．(填序号) 13．已知loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围是________． 14．若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是 ． 15．已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 16．已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝0，f(x)的最小值是 . 三、解答题 17．比较下列各组对数值的大小． (1)log3π与log； (2)3log45与2log25； (3)log20.5与log30.5； (4)log36与log510； (5)log43与log25. 18．函数f(x)＝loga(2－x)＋loga(4＋x)(a>0，且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值． 19．设定义域均为[，8]的两个函数f(x)和g(x)，其解析式分别为f(x)＝log2x－2和g(x)＝log4x－. (1)求函数y＝f(x)的值域； (2)求函数G(x)＝f(x)g(x)的值域． 20．设函数f(x)＝lg(a∈R)，且f(1)＝0. (1)求a的值； (2)求f(x)的定义域； (3)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明． 课时作业34　对数函数的图象和性质 （答案） 一、选择题 1．函数y＝loga(2x＋3)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(2，1) B．(－1，0) C．(－1，－1) D．(1，1) 解析：当2x＋3＝1，即x＝－1时，y＝0，故点P的坐标是(－1，0). 答案：B 2．已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵a＞1，∴函数y＝logax的图象如图所示，函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|(|b|＞1)个单位长度，如图． 由图可知函数y＝loga(x－b)的图象不经过第四象限． 答案：D 3．(多选)已知loga>logb，则下列关系正确的是(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 解析：由loga>logb，作出图象，易知AC正确． 答案：AC 4．函数f(x)＝lg (|x|－1)的大致图象是(　　) 解析：由f(－x)＝lg (|－x|－1)＝lg (|x|－1)＝f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C、D错误．又当x>0时，f(x)＝lg (x－1)是(1，＋∞)上的增函数，故选B. 答案：B 5．y＝loga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围为(　　) A．a> B.<a≤ C．a>1 D.<a<，或a>1 解析：当即<a<时， y＝loga(3a－1)恒为正值； 当 即a>1时，y＝loga(3a－1)恒为正值． 故<a<或a>1时，满足题意，故选D. 6．已知函数f(x)与g(x)＝ex互为反函数，函数y＝h(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若h(a)＝1，则实数a的值为(　　) A．－e B．－ C. D．e 解析：∵函数f(x)与函数g(x)＝ex互为反函数，∴f(x)＝ln x. ∵函数y＝h(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，∴h(x)＝－ln x．∵h(a)＝1，∴－ln a＝1，∴a＝，故选C. 7．(多选题)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　) A．f(4)＝－3 B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点 C．函数y＝f(x)的最小值为－4 D．函数y＝f(x)的最大值为4 解析：A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．故选ABC. 8．若函数f(x)＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则b－a的最小值为(　　) A. B．3 C．2 D. 解析：根据题意，画出函数f(x)的图象，令|log2x|＝2可得x＝或x＝4.由图象可知，当值域为[0,2]时，定义域的最小区间是，则b－a的最小值为1－＝，故选A. 9．若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形函数”．给出下列四个函数： f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则是“同形函数”的是(　　) A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x) C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x) 解析：∵f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x， ∴f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度，得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位长度，得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A. 10．已知函数f(x)＝其中0<m<1.若存在实数a，使得关于x的方程f(x)＝a恰有三个互异的实数解，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3、 填空题 11．已知函数f(x)＝f(f(－1))＝________；若直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________． 解析：∵f(－1)＝3-1＝，∴f(f(－1))＝f()＝log3＝－1. 函数f(x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f(x)的图象有两个不同的交点，则0<a≤1. 答案：－1　(0，1] 12．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a＝b. 其中可能成立的关系式是________．(填序号) 解析：实数a，b满足等式log2a＝log3b，即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等，当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时⑤成立；令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知②成立，①不成立；令log2a＝log3b＝－1，可得a＝，b＝，由此知④成立，③不成立． 答案：②④⑤ 13．已知loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围是________． 解析：由题意知loga(3a－1)>0＝loga1. 当a>1时，y＝logax在区间(0，＋∞)内是增函数，所以解得a>，所以a>1； 当0<a<1时，y＝logax在区间(0，＋∞)内是减函数，所以解得<a<.所以<a<. 答案：(，)∪(1，＋∞) 14．若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是 ． 解析：∵当x≤2时，f(x)∈[4，＋∞)， ∴当x>2时，3＋logax的值域为[4，＋∞)的子集． ∴解得1<a≤2. 答案：(1,2] 15．已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 解析：函数f(x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f(x)的图象有两个不同的交点，则0<a≤1. 答案：(0,1]. 16．已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝0，f(x)的最小值是 . 解析：f(f(－3))＝f(1)＝0.①当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2 －3，当且仅当x＝时取等号；②当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0.综上，f(x)的最小值为2－3. 答案：2－3. 三、解答题 17．比较下列各组对数值的大小． (1)log3π与log； (2)3log45与2log25； (3)log20.5与log30.5； (4)log36与log510； (5)log43与log25. 解：(1)∵log＝log34， 又y＝log3x在区间(0，＋∞)内是增函数， ∴log3π<log34.∴log3π<log. (2)∵3log45＝log453＝log4125，2log25＝log252＝log225， 又log225＝log4252＝log4625，且y＝log4x在区间(0，＋∞)内是增函数， ∴log4125<log4625.∴3log45<2log25. (3)∵0<0.5<1， ∴函数y＝log0.5x在区间(0，＋∞)内是减函数． ∴log0.53<log0.52<log0.51＝0， ∴>，即log20.5<log30.5. (4)∵log36＝log33＋log32＝1＋log32，同理log510＝1＋log52，又log32>log52，∴log36>log510. (5)∵0<log43<1，log25>1，∴log43<log25. 18．函数f(x)＝loga(2－x)＋loga(4＋x)(a>0，且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值． 解：(1)要使函数有意义，必有 解得－4<x<2， ∴f(x)的定义域为{x|－4<x<2}． (2)∵f(x)＝loga(2－x)＋loga(4＋x) ＝loga(－x2－2x＋8)＝loga[－(x＋1)2＋9]， 当a>1时，f(x)在(－4,2)内无最小值，不符合题意； 当0<a<1时，f(x)在(－4,2)内有最小值， f(x)min＝loga9＝－2，即a－2＝9， 解得a＝或a＝－.又∵a>0且a≠1，∴a＝. 19．设定义域均为[，8]的两个函数f(x)和g(x)，其解析式分别为f(x)＝log2x－2和g(x)＝log4x－. (1)求函数y＝f(x)的值域； (2)求函数G(x)＝f(x)g(x)的值域． 解：(1)因为y＝log2x在[，8]上是增函数． 所以log2≤log2x≤log28，即log2x∈. 故log2x－2∈， 即函数y＝f(x)的值域为. (2)G(x)＝f(x)g(x) ＝(log2x－2) ＝(log2x－2) ＝[(log2x)2－3log2x＋2]． 令t＝log2x，x∈[，8]，t∈. 则y＝(t2－3t＋2)＝2－，t∈， 故当t＝时，y取得最小值，最小值为－； 当t＝3时，y取得最大值，最大值为1. 所以函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域为. 20．设函数f(x)＝lg(a∈R)，且f(1)＝0. (1)求a的值； (2)求f(x)的定义域； (3)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明． 解：(1)函数f(x)＝lg(a∈R)，且f(1)＝0，则f(1)＝lg＝0，则＝1，解得a＝2. (2)由(1)得f(x)＝lg，必有>0， 解得x>－1， 即函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)． (3)f(x)＝lg在区间(0，＋∞)上单调递减． 证明：设0<x1<x2，f(x1)－f(x2) ＝lg－lg＝lg ＝lg(x2＋1)－lg(x1＋1)， 因为0<x1<x2，所以lg(x2＋1)>lg(x1＋1)，即f(x1)>f(x2)，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 $