第26章 二次函数【章末复习】（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了二次函数的概念、三种解析式、图像性质、与方程关系及实际应用，通过知识框架将一般式、顶点式、交点式的特征与图像平移、对称轴、顶点坐标等内容串联，构建“概念-性质-应用”的完整知识网络。 其亮点在于“基础巩固-综合应用-建模实践”的分层训练，如通过销售利润、隧道建模等实际问题，培养学生的模型意识和抽象能力，解答题从解析式转化到最值求解，逐步提升推理能力。这一设计帮助学生夯实基础，教师可精准把握复习重点，提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 章末复习 2026年8月3日 第二十六章 二次函数 全章综合复习练习题 一、全章知识梳理 二次函数是初中函数体系的核心内容，也是中考重点考查模块，整章围绕概念、图象性质、方程关系、实际应用四大模块展开。一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的函数叫做二次函数，自变量$x$最高次数为2，解析式为整式形式，$a$为二次项系数，决定抛物线开口方向与宽窄，$b、c$分别为一次项系数和常数项。 二次函数有三种核心解析式：一般式$y=ax^2+bx+c$、顶点式$y=a(x-h)^2+k$、交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$。顶点式可直接读出顶点$(h,k)$与对称轴直线$x=h$，是研究图象平移、最值的核心形式；图象平移遵循“左加右减、上加下减”规律，仅改变顶点位置，不改变抛物线形状与开口大小。 抛物线核心性质：$a>0$开口向上，有最小值，对称轴左侧递减、右侧递增；$a<0$开口向下，有最大值，对称轴左侧递增、右侧递减。判别式$\Delta=b^2-4ac$可判定抛物线与$x$轴交点个数，对应一元二次方程根的三种情况，实现函数与方程的数形结合转化，还可通过函数值正负区间估算方程近似根。 二次函数实际应用集中在三大最值模型：高度最值、面积最值、销售利润最值，同时包含拱桥、隧道、喷泉等抛物线形建模问题。解题核心是根据实际情境建立函数模型，结合自变量实际取值范围，利用顶点公式求解最值，解决生活中的实际问题。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A.$y=5x+1$ B.$y=\dfrac{2}{x^2}$ C.$y=3x^2-4$ D.$y=\sqrt{x^2}$ 2. 抛物线$y=-2(x+3)^2-1$的顶点坐标是（） A.$(3,-1)$ B.$(-3,-1)$ C.$(-3,1)$ D.$(3,1)$ 3. 抛物线$y=x^2-4x+3$与$x$轴的交点个数为（） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 4. 将抛物线$y=3x^2$向右平移2个单位，再向上平移1个单位，解析式为（） A.$y=3(x-2)^2+1$ B.$y=3(x+2)^2+1$ C.$y=3(x-2)^2-1$ D.$y=3(x+2)^2-1$ 5. 周长固定的矩形，面积最大时的形状是（） A.长方形 B.正方形 C.平行四边形 D.无法确定 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数$y=4x^2-6x+2$的二次项系数是________，常数项是________。 2. 抛物线$y=-x^2+5$的对称轴是________，最大值为________。 3. 一元二次方程$x^2-6x+8=0$的根，对应抛物线$y=x^2-6x+8$与$x$轴交点的________。 4. 利润问题核心公式：总利润=________×销售数量。 5. 解决拱桥、隧道问题的核心方法是________，利用二次函数建模求解。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a$可以为0。（） 2. 抛物线$y=a(x-h)^2+k$的图象一定关于直线$x=h$对称。（） 3. 当$\Delta<0$时，抛物线与$x$轴无交点，对应方程无实数根。（） 4. 售价越高，商品销售的总利润一定越大。（） 5. 抛物线平移后，开口方向和宽窄不会发生改变。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）已知二次函数$y=-x^2+4x-3$。 （1）将函数化为顶点式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）求抛物线与$x$轴的交点坐标及函数最值。 2. （11分）某商店销售文创产品，每件进价8元，售价15元时每天可售出30件，每涨价1元，日销量减少2件。设涨价$x$元，日总利润为$y$元。 （1）求$y$与$x$的函数关系式； （2）求涨价多少元时，日利润最大，最大利润是多少？ 3. （12分）某抛物线形隧道，地面宽12米，最高高度3米，以地面中点为原点，地面为$x$轴建立平面直角坐标系。 （1）求隧道抛物线解析式； （2）求高度为2米处的隧道通行宽度。 参考答案 一、选择题：1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 二、填空题：1.$4，2$；2.直线$x=0$，$5$；3.横坐标；4.单件利润；5.建立平面直角坐标系建模 三、判断题：1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 四、解答题 1. 解：（1）顶点式：$y=-(x-2)^2+1$；（2）$a=-1<0$，开口向下，对称轴直线$x=2$，顶点$(2,1)$；（3）令$y=0$，解得$x_1=1，x_2=3$，交点$(1,0)、(3,0)$，函数最大值为$1$，无最小值。 2. 解：（1）单件利润$(15+x-8)=(7+x)$元，销量$(30-2x)$件，$y=(7+x)(30-2x)=-2x^2+16x+210$；（2）当$x=4$时，利润最大，最大日利润为$242$元。 3. 解：（1）设解析式$y=ax^2+3$，代入$(6,0)$得$a=-\dfrac{1}{12}$，解析式为$y=-\dfrac{1}{12}x^2+3$；（2）令$y=2$，解得$x=±2\sqrt{3}$，通行宽度为$4\sqrt{3}$米。 本套全章综合习题覆盖二次函数概念、图象平移、性质、函数与方程关系、三大实际应用模型，全面贴合整章重难点，题型梯度适中，适合单元复习、章节检测与期末巩固训练。 返回 ①向上　②向下 返回 ③两个　④一个 ⑤没有　⑥右　 ⑦左　⑧上　⑨下 实际问题 二次函数 y=ax2+bx+c 图象 性质 归纳抽象 实际问题 的答案 利用二次函数的图象和性质求解 目标 4 知识点1 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 知识点2 二次函数的图象和性质 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 知识点2 二次函数的图象和性质 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 (直线 x=0) 顶点坐标 (0，k) 增减性 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>0时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>0时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当x=0 时，y最小值​=k. 当 x=0 时，y最大值​=k. 知识点2 二次函数的图象和性质 y=a(x-h)2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=0. 当 x=h 时，y最大值​=0. 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0根的关系 知识点3 二次函数与一元二次方程 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0根的关系 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴的公共点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式(b2-4ac) 没有公共点 没有实数根 b2-4ac＜0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac＞0 知识点3 二次函数与一元二次方程 确定一元二次方程的近似根的步骤 1.画图：画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.定位：观察函数图象，确定函数图象与  轴的一个公共点在两个连续整数 m,n (m<n) 之间. 3.试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取  和  的平均数 ，计算出当  时的函数值 ，将  与自变量分别为  和  时的函数值  比较，若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值；若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. 4.定根：按照(2)(3)的方法估计出方程的另一个根. 知识点3 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集. 知识点4 用二次函数解决实际问题 用二次函数解决实际问题一般步骤 (1) 审：仔细审题，厘清题意. (2) 设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. (3) 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. (4) 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. (5) 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. (6) 答：写出答案. 1. 返回 下列函数中，y一定是x的二次函数的是(　　) A．y＝3x－7 B．y＝ C．y＝3x2－7x＋3 D．y＝ax2－6x－2 C 考点1　二次函数的定义 考试考法 13 返回 2. 【荣德原创】若 是关于x的二次函数，则该函数的最小值为________． 考试考法 返回 3. 已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是(　　) A．图象的对称轴为直线x＝－2 B．图象的顶点坐标为(2，3) C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 C 考点2　二次函数的图象与性质 考试考法 返回 4. [张家口宣化区期中]抛物线y＝－3(x－2)2－3可以由抛物线y＝－3x2＋1平移得到，则下列平移过程正确的是(　　) A．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 C 考试考法 [福建中考]已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3<b<4，则下列判断正确的是(　　) A．1<y1<y2 B．y1<1<y2 C．1<y2<y1 D．y2<1<y1 返回 5. A 考试考法 [石家庄平山期中]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，且过(－1，0)，(1，1)两点，那么抛物线的对称轴(　　) A．只能是直线x＝1 B．可能是y轴 C．可能在y轴右侧且在直线x＝1的左侧 D．可能在y轴左侧且在直线x＝－1的右侧 返回 6. C 考试考法 返回 7. [青岛中考]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则过点M(c，2a－b)和点N(b2－4ac，a－b＋c)的直线一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C 考试考法 返回 8. 【逐项代入法】[南通中考]在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A(－1，5)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，－1)，E(5，5)．若抛物线y＝a(x－2)2＋k(a>0)经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为(　　) C 考试考法 返回 9. [扬州中考]如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点． (1)求b，c的值； 解：∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于 A(－2，0)，B(1，0)两点， 考试考法 21 (2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标． 解：由(1)知二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2. ∵A(－2，0)，B(1，0)，∴AB＝1－(－2)＝3. 设点P的纵坐标为n，∴S△PAB＝ ，∴|n|＝4，∴n＝±4. 当－x2－x＋2＝4时，Δ＝1－8＝－7<0，方程无实数解， 不符合题意，舍去；当－x2－x＋2＝－4时， 解得x1＝－3，x2＝2.∴点P的坐标为(2，－4)或(－3，－4)． 返回 考试考法 22 返回 10. [北京期中]二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，若ax2＋bx＋c≥3，则x的取值范围是(　　) A．x≥0 B．x≤0 C．－2≤x≤0 D．x≤－2或x≥0 C 考点3　二次函数与方程、不等式的关系 考试考法 23 11. 如图，已知抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，那么关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为______________． x1＝－2，x2＝1 返回 考试考法 24 返回 12. [济宁中考]某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(件)与销售单价x(元)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； 考点4　二次函数的应用 考试考法 25 解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b， 由图可知，函数图象经过点(100，300)，(120，200)， ∴这段时间内y与x之间的函数解析式为y＝－5x＋800. 返回 考试考法 (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 返回 解：∵销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务， 解得100≤x≤116. 考试考法 设商场获得的利润为z元，则z＝ (－5x＋800) (x－80)＝－5x2＋1 200x－64 000＝－5(x－120)2＋8 000. ∵－5<0，∴二次函数的图象开口向下， ∴当100≤x≤116时，z随x的增大而增大， ∴当x＝116时，z有最大值，即当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是－5×(116－120)2＋8 000＝7920(元)． 返回 考试考法 13. [江西中考]如图，一小球从斜坡上的O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用抛物线y＝ax2＋bx(a<0)刻画，斜坡可以用直线y＝ x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表： 返回 (1)①m＝________，n＝________； 3 6 考试考法 ②小球的落点是A，求点A的坐标． 返回 考试考法 返回 考试考法 谢谢观看 THANKS － y＝(m＋3)xm2－5m－22＋2x－3 A. B. C. D. ∴解得 AB· ∴解得 ∴x≥100，y≥220，即 x/米 0 1 2 m 4 5 6 7 … y/米 0 6 8 n … 解：将，(2，6)代入y＝ax2＋bx， 得解得∴y＝－x2＋4x. 联立 解得或 ∴点A的坐标是. $