5.7 三角函数的应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦三角函数应用，以基础题为核心，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现从概念辨析到实际建模的知识巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|振幅、周期等参数概念|8道选择题直接考查定义辨析，如单摆振幅与周期计算| |理解应用|三角函数模型情境应用|3道多选题+3道填空题结合电流、筒车等实际场景，强化模型意识| |综合拓展|复杂问题建模与运算|2道解答题涉及扇形水池面积优化，提升数学思维与应用能力|

5.7 三角函数的应用 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为S(t)＝3sin，那么单摆摆动的振幅(单位：cm)和来回摆动一次所需的时间(单位：s)为(  ) A.3，4 B.－3，4 C.3，2 D.－3，2 【答案】A 【解析】由函数关系式易知单摆摆动的振幅为3 cm，来回摆动一次所需的时间T＝＝4s，故选A. 2.函数f(x)的最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是(  ) A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝ 【答案】D 【解析】由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C. 3.若某次乒乓球练习中，乒乓球发球后先后击中已方桌面和对方桌面，且长为60英寸，球在中点处到达最高点，高度为英寸，乒乓球网位于上靠近的三等分点处，网高为6英寸，球恰好沿着网的上边界越过，其轨迹图象如下： 则最合适拟合轨迹图象的函数模型为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据已知条件可得图象过点，， 对于A，，，，满足题意，故A正确； 对于B，不满足题意；故B不正确 对于C，，，不满足题意，故C不正确； 对于D，，不满足题意，故D不正确. 故选：A. 4.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin 100πt，t∈[0，+∞)，则电流I变化的周期是(  ) A. B.50 C. D.100 【答案】A 【解析】T==. 5.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：米)的最大值为(  ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】由题图易得，ymin＝k－3＝2，则k＝5， ∴ymax＝k＋3＝8. 6.（2023-2024·北京高三期中）如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为时，下列描述正确的是（　　）（参考数据：） A.点A在轮子的左下位置，距离地面约为 B.点A在轮子的右下位置，距离地面约为 C.点A在轮子的左下位置，距离地面约为 D.点A在轮子的右下位置，距离地面约为 【答案】A 【解析】车轮的周长为， 当滚动的水平距离为时，即车轮转动个周期， 即点A在轮子的左下位置，距离地面约为. 故选：A. 7.（2025-2026·广东珠海高一下期中）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ） A.ω＝，A＝3 B.ω＝，A＝3 C.ω＝，A＝5 D.ω＝，A＝5 【答案】A 【解析】水轮半径为，圆心距水面，故的最大值为，代入得，解得. 水轮旋转圈，得周期，由，计算得. 故选：A. 8.（2025-2026·安徽高一下期中）如图所示，某测量人员在高为100m的山顶处，测得地面同一直线上的两点的俯角分别为和，则两点的距离为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设山顶在地面的投影为，得， 由处看的俯角为得，故. 由处看的俯角为得，故. 、在的同侧，由此可得. 故选：C. 二、多选题（共3小题） 9.如图，弹簧挂着的小球上下振动，时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止状态)的高度h(cm)之间的关系式是h=2sin，t∈，下列说法正确的是( ) A.小球开始振动时，在平衡位置上方cm处 B.最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm C.往复振动一次需2π s D.π s时小球达到最低点 【答案】ABC 【解析】令t=0，得h=，即小球开始振动时，在平衡位置上方cm处，A正确； 由h=2sin，知h的最大值为2，最小值为-2，则最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm，B正确； 函数的周期T=2π，即往复振动一次需2π s，C正确； 当t=π时，h=2sin=2×=-≠-2，D错误.故选ABC. 10.已知的部分图象如图所示，在已知的前提下，下列选项中可以确定其值的量为(    ) A.单调递增区间 B.周期 C.初相 D.振幅A 【答案】ABC 【解析】由图象可知，为函数的两个相邻零点， 即两个相邻的零点之间距离已知，故半个周期已知，即周期可确定， 周期确定即可确定，代入中，再将代入， 结合即可求得初相， 由，及，则的解集即为单调递增区间， 故单调增区间也可确定. 故选：ABC. 11.（2023-2024·吉林高一期末）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用．如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水下则为负数），与时间（单位：）之间的关系是，则下列说法正确的是（    ） A.筒车的半径为，旋转一周用时 B.筒车的轴心距离水面的高度为 C.时，盛水筒处于向上运动状态 D.盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点 【答案】ABD 【解析】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为； 的最小正周期，旋转一周用时，A正确； 对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确； 对于C，当时，，此时单调递减， 盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误； 对于D，令，， ，解得：， 又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·上海徐汇高一下期末）函数的振幅是，最小正周期是，初始相位是，则它的函数表达式为                   . 【答案】 【解析】由题意得振幅，初始相位， 结合周期公式得，又，解得. 代入得函数表达式为. 故答案为：. 13.如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin确定，其中A>0，ω>0，t∈[0，＋∞)．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用的时间为1 s，且最高点与最低点间的距离为10 cm.若小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，则t0的取值范围为                  ． 【答案】 【解析】首先根据题意得到A＝＝5，T＝2，ω＝＝π，从而得到h＝5sin，t≥0.根据题意，当t＝时，小球第一次到达最高点，从而得到＋49T≤t0<＋50T，再根据周期为2，即可得到98≤t0<100. 14.（2025-2026·湖北高一期中）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为                  ℃. 【答案】20.5 【解析】将，和，分别代入函数可得： ，即． 两式相加消去可得，解得， 可求得 ． 所以函数为． 当时，． 所以10月份的平均气温为℃． 四、解答题（共2小题） 15.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin. (1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ 【答案】解：(1)列表如下： 2πt＋ π 2π t 0 s 3 6 0 －6 0 描点、连线，图象如图所示．再利用周期性将图象不断向右平移(每次移动1个单位长度)得t∈[0，＋∞)上的图象． (2)因为当t＝0时，s＝3， 所以此时离开平衡位置的距离是3 cm. 16.（2025-2026·湖南衡阳高一下期中）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC．现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记. (1)当时，求矩形观赏台MNPQ的面积； (2) 求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 【答案】解：(1) 过M作的垂线，交于点，得，. 过N作的垂线，交于点，得，因为，所以，故，矩形的面积平方米. (2)由，得，，在中，由正弦定理，化简得. 矩形的面积，的面积，故整个观赏台面积. 设，由得，由得，整理得. 因为，二次函数开口向下，故取得最大值为平方米. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.7 三角函数的应用 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为S(t)＝3sin，那么单摆摆动的振幅(单位：cm)和来回摆动一次所需的时间(单位：s)为(  ) A.3，4 B.－3，4 C.3，2 D.－3，2 2.函数f(x)的最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是(  ) A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝ 3.若某次乒乓球练习中，乒乓球发球后先后击中已方桌面和对方桌面，且长为60英寸，球在中点处到达最高点，高度为英寸，乒乓球网位于上靠近的三等分点处，网高为6英寸，球恰好沿着网的上边界越过，其轨迹图象如下： 则最合适拟合轨迹图象的函数模型为(    ) A. B. C. D. 4.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin 100πt，t∈[0，+∞)，则电流I变化的周期是(  ) A. B.50 C. D.100 5.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：米)的最大值为(  ) A.5 B.6 C.8 D.10 6.（2023-2024·北京高三期中）如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为时，下列描述正确的是（　　）（参考数据：） A.点A在轮子的左下位置，距离地面约为 B.点A在轮子的右下位置，距离地面约为 C.点A在轮子的左下位置，距离地面约为 D.点A在轮子的右下位置，距离地面约为 7.（2025-2026·广东珠海高一下期中）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ） A.ω＝，A＝3 B.ω＝，A＝3 C.ω＝，A＝5 D.ω＝，A＝5 8.（2025-2026·安徽高一下期中）如图所示，某测量人员在高为100m的山顶处，测得地面同一直线上的两点的俯角分别为和，则两点的距离为（） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.如图，弹簧挂着的小球上下振动，时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止状态)的高度h(cm)之间的关系式是h=2sin，t∈，下列说法正确的是( ) A.小球开始振动时，在平衡位置上方cm处 B.最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm C.往复振动一次需2π s D.π s时小球达到最低点 10.已知的部分图象如图所示，在已知的前提下，下列选项中可以确定其值的量为(    ) A.单调递增区间 B.周期 C.初相 D.振幅A 11.（2023-2024·吉林高一期末）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用．如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水下则为负数），与时间（单位：）之间的关系是，则下列说法正确的是（    ） A.筒车的半径为，旋转一周用时 B.筒车的轴心距离水面的高度为 C.时，盛水筒处于向上运动状态 D.盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·上海徐汇高一下期末）函数的振幅是，最小正周期是，初始相位是，则它的函数表达式为                   . 13.如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin确定，其中A>0，ω>0，t∈[0，＋∞)．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用的时间为1 s，且最高点与最低点间的距离为10 cm.若小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，则t0的取值范围为                  ． 14.（2025-2026·湖北高一期中）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为                  ℃. 四、解答题（共2小题） 15.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin. (1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ 16.（2025-2026·湖南衡阳高一下期中）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC．现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记. (1)当时，求矩形观赏台MNPQ的面积； (2) 求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $