26.4 第3课时 抛物线形问题（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的抛物线形问题，核心为建系建模。课堂导入先复习二次函数解析式形式，再通过拱桥、喷泉等生活实例引出应用，构建从基础到实际问题的学习支架。 其亮点在于强化顶点或对称轴建系技巧，覆盖拱桥、隧道等多题型，结合数学眼光抽象现实问题为函数模型，数学思维推理运算求解参数，数学语言表达实际关系。课堂小结梳理“审设列解检答”步骤，助学生形成系统方法，教师可利用分层练习提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.4 第3课时 抛物线形问题 2026年8月3日 人教版九年级上册26.4第3课时 抛物线形问题同步练习题 一、知识梳理 抛物线形问题是二次函数几何实际应用的核心题型，生活中常见的拱桥、隧道、喷泉、投篮轨迹、抛射物体运动路线等，均为抛物线图形，可通过建立平面直角坐标系，利用二次函数解析式求解相关长度、高度、宽度、最值等问题，是数形结合思想的典型应用，也是中考高频考点。 此类问题的核心解题思路为建系建模。优先选择最简建系方案：通常以抛物线顶点为坐标原点或对称轴为y轴建立平面直角坐标系，能直接简化函数解析式为$y=ax^2$或$y=ax^2+k$形式，减少参数计算。根据题干给出的已知点坐标，代入解析式求出系数$a$，确定完整二次函数关系式。 通用解题步骤：第一步，根据实物图形特征建立合适的平面直角坐标系；第二步，从实际情境中提取已知点的坐标；第三步，设出对应二次函数解析式，代入点的坐标求解参数，确定函数表达式；第四步，结合问题需求，代入横坐标求高度、代入纵坐标求宽度，或求解最值；第五步，结合实际场景检验结果，舍去不符合题意的数值。 常见易错点：坐标系建立不合理增加计算量、坐标符号判断错误、忽略实际图形中长度为正数的约束、混淆水平宽度与竖直高度。熟练掌握顶点建系、对称轴建系的技巧，可快速破解各类抛物线形实际问题，精准解决隧道通行、拱桥限高、喷泉射程等经典题型。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 解决抛物线拱桥问题最简便的建系方式是（） A. 以桥面一端为原点 B. 以抛物线顶点为原点 C. 以桥面任意点为原点 D. 随意建系 2. 已知拱桥抛物线解析式为$y=-0.1x^2+4$，则拱桥的最高高度为（） A.$0.1$ B.$4$ C.$3.9$ D.$4.1$ 3. 喷泉水流轨迹为抛物线$y=-0.2x^2+1.6x$，水流落地时高度$y$为（） A.$0$ B.$1$ C.$1.6$ D.$0.2$ 4. 抛物线隧道解析式为$y=-0.05x^2+2$，当车辆通行高度为1.8米时，可直接求（） A. 隧道最大高度 B. 通行最大宽度 C. 抛物线顶点坐标 D. 抛物线开口方向 5. 所有实物抛物线轨迹的二次函数共同特征是（） A. 开口向上 B. 开口向下 C. 对称轴为x轴 D. 无固定开口方向 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，抛物线解析式可设为________。 2. 拱桥抛物线$y=-0.08x^2+5$的顶点坐标为________，最大高度为________米。 3. 篮球投篮轨迹为抛物线，当篮球到达最高点时，对应二次函数的________值。 4. 已知抛物线隧道$y=-0.02x^2+3$，当$x=0$时，隧道高度为________米。 5. 抛物线形问题中，水平宽度对应坐标系中的________坐标差值。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 抛物线形实物轨迹均可利用二次函数建模求解。（） 2. 建系方式不会影响最终实际问题的计算结果。（） 3. 拱桥、喷泉抛物线的二次项系数均为正数。（） 4. 抛物线顶点纵坐标即为实物的最大高度。（） 5. 求解通行宽度时，只需计算单侧横坐标即可。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）有一座抛物线形拱桥，以拱桥顶点为原点，竖直向下为y轴正方向建立坐标系，抛物线解析式为$y=0.05x^2$。 （1）判断抛物线开口方向； （2）求桥面宽度为8米时，拱桥的竖直高度； （3）求竖直高度为1.25米时的桥面通行宽度。 2. （11分）公园喷泉的水流轨迹是抛物线，以喷水口为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，解析式为$y=-0.1x^2+1.2x$。 （1）求水流的最大高度； （2）求水流的水平喷射总射程。 3. （12分）某隧道顶部为抛物线形状，已知隧道地面水平宽度16米，最高高度4米。以地面中点为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系。 （1）求隧道抛物线的函数解析式； （2）一辆高度为3米的货车，能否安全通过该隧道？ （3）求隧道高度为3米处的水平宽度。 参考答案 一、选择题：1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 二、填空题：1.$y=ax^2(a≠0)$；2.$(0,5)$，$5$；3.最大；4.$3$；5.横 三、判断题：1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.× 四、解答题 1. 解：（1）$a=0.05＞0$，开口向上；（2）宽度8米，单侧$x=4$，代入得$y=0.05×16=0.8$米，竖直高度0.8米；（3）令$y=1.25$，解得$x=±5$，通行宽度10米。 2. 解：（1）$a=-0.1，b=1.2$，顶点$x=6$，代入得最大高度$y=3.6$米；（2）令$y=0$，解得$x_1=0，x_2=12$，水平射程12米。 3. 解：（1）设解析式$y=ax^2+4$，代入$(8,0)$得$a=-\dfrac{1}{16}$，解析式为$y=-\dfrac{1}{16}x^2+4$；（2）令$y=3$，解得$x=±4$，存在通行宽度，货车可安全通过；（3）高度3米处水平宽度为8米。 本套习题聚焦抛物线形实际建模问题，覆盖拱桥、喷泉、隧道三大经典题型，强化建系、求解析式、实际数据计算核心能力，贴合课时重难点与中考命题方向，梯度合理，适配课后巩固与专项训练。 复习 1.函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______， 对称轴是_____，当a____时，开口向上，当a____时，开口向下. 2.二次函数解析式的形式有： ①一般式：____________， ②顶点式：_____________， ③交点式：________________. 3.(1)如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置设为_________，也可以根据抛物线与x轴的交点坐标设为______________. (2)由A，B两点的横坐标，可以求得线段AB的长为______. y轴 ＞0 ＜0 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) y=ax2+2 y=a(x+2)(x-2) 4 抛物线 (0,0) x y -2 O 2 A B 2 二次函数在生活中应用广泛，除了之前的最大值（或最小值）问题，我们再来看其他一些应用二次函数来解决的实际问题. 探究 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m. 突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题. 为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系（如图）. 探究 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m 突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 设这条抛物线表示的二次函数为 y=ax2. 由抛物线经过点 (5,-4)，可得 -4=a×52. 解得 a= 因此，这条抛物线对应的二次函数为 y=x2. y/m x/m 当水面上升 1 m 时，水面的纵坐标为-3. 令 -3， 解得 ， 所以这时水面的宽度为 8.7（m ）. y/m x/m 探究 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m 突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 1. 返回 [连云港中考]如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运动，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为________m. 8 举一反三 7 返回 2. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m，水面下降________m，水面宽8 m. 举一反三 2. 对于探究，在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示. 这艘船宽4 m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 解：方法一 ∵水面的纵坐标为-3，物资顶部距水面2m, ∴船顶的纵坐标y=-3+2=-1. 当x=2时，y=﹣x2=﹣. ∵﹣> -1， ∴ 这艘船能从这座拱桥下通过. y=x2 跟踪训练 2. 对于探究，在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示. 这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 解：方法二 ∵水面的纵坐标为-3，物资顶部距水面2 m， ∴船顶的纵坐标y=-3+2=-1. 当﹣x2=﹣1时， 解得x1=，x2=﹣. ∵ x1-x2=5>4, ∴这艘船能从这座拱桥下通过. y=x2 跟踪训练 判断货车能否安全通过隧道的方法 方法一（首选，便于计算）：固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高（相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高的值比较大小）. 方法二：固定高（货车的高+0.5），看抛物线形的隧道是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽的值比较大小）. 1.在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线 y=﹣0.2x2+3.85 的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l . 解：在y=-0.2x2+3.85中， 令y=3.05,则-0.2x2+3.85=3.05, 解得x1=2，x2=-2(舍去). 所以l=3.2+2=5.2 (m). 答：运动员到篮筐正下方的距离l为5.2 m. 2. 一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽度AB=8m. 隧道的最高点C到公路的距离为6 m. (1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 解：(1) 答案不唯一. 如以AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点建立平面直角坐标系， 如图所示，则A(-4,0)，B(4,0)，C(0,6). 设这条抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+4). 将C(0,6)的坐标代入，得-16a=6, 解得 a=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣(x-4)(x+4)=﹣x2+6 (-4x4). 使得对称轴是y轴 已知图象与x轴的两个交点坐标，可设交点式 返回 3. [广东中考]如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式． 举一反三 解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线的顶点坐标为(0，0.001 5)， 即A(0.85，0.18)． 设该抛物线的解析式为y＝ax2＋0.001 5， 将A(0.85，0.18)的坐标代入y＝ax2＋0.001 5， 得0.18＝0.852a＋0.001 5，解得a＝ ， ∴该抛物线的解析式为y＝ x2＋0.001 5. (建立平面直角坐标系不唯一，所求解析式不唯一) 返回 举一反三 返回 4. [唐山路北区期中]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间是(　　) A．5秒 B．10秒 C．1秒 D．2秒 D 举一反三 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数解析式是s＝－5t2＋30t，遇到刹车时，汽车从刹车到停下来共用了________． 5. 返回 3 s 举一反三 某架飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)近似满足函数关系y＝ax2＋bx(a≠0)．由电子监测获得滑行时间x与滑行距离y的几组数据如下： 返回 6. 滑行时间x/s 0 2 4 6 8 10 滑行距离y/m 0 114 216 306 384 450 (1)根据上述数据，求出满足的函数关系式y＝ax2＋bx(a≠0)； 举一反三 返回 解：根据表格可以得出函数图象过点(2，114)，(4，216)， 举一反三 (2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？ 解：根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来， 此时滑行距离y取得最大值， ∴飞机着陆后滑行600 m才能停下来，此时滑行的时间是20 s. 返回 举一反三 7. [石家庄期中]图①是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口AB＝8 cm，杯底CD＝4 cm，且AB∥CD，杯深12 cm.如图②，将盛有部分水的该水杯倾斜45°，水面正好经过点B(即∠ABP＝45°)．嘉淇在图①中建立了平面直角坐标系(抛物线的顶点在y轴上)，对于下列结论，判断正确的是(　　) 结论Ⅰ：图①中，玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y＝x2－16； 结论Ⅱ：图②中，点P到杯口AB的距离为5 cm. A．Ⅰ不对，Ⅱ对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 B 返回 举一反三 返回 8. [保定一模如图，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼2 m的A位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿B处达到最高点后进入失火房间．已知A点距离地面2 m，窗上沿B距离地面14 m. (1)以消防员脚下地面O为原点，建立平面直角坐标系，使水流正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式； 举一反三 解：由题意知A(0，2)，B(2，14)， 设水流抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋14， 把A(0，2)的坐标代入，得2＝a(0－2)2＋14，解得a＝－3， ∴水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14. 返回 举一反三 返回 (2)实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿B水平距离0.6 m处，且比窗上沿B低2 m的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？(不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据： ≈2.45，结果精确到0.1 m) 举一反三 解：由题意知，失火中心点坐标是(2.6，12)． 方案一：水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14， 当x＝2.6时，y＝－3×(2.6－2)2＋14＝12.92， 即抛物线向下平移12.92－12＝0.92(m)≈0.9 m， 抛物线正好经过失火中心； 方案二：水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14， 当y＝12时，12＝－3(x－2)2＋14， 返回 举一反三 返回 ∴抛物线向左平移2.817－2.6＝0.217(m)≈0.2 m， 抛物线正好经过失火中心． ∴消防员把喷水头向下平移0.9 m或向左平移0.2 m， 可以使水流刚好落在失火中心． 举一反三 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 二次函数模型 抛物线形问题 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 课堂小结 谢谢观看 THANKS A， ∴解得 ∴函数关系式为y＝－x2＋60x. ∵y＝－x2＋60x，且－<0，∴当x＝－＝20时，y取得最大值，最大值为－×202＋60×20＝600，　 解得x1＝2＋，x2＝2－(舍去)， ∵2＋≈2.817， $