26.4 第3课时 抛物线形问题 分层练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用，通过生活情境与数学建模培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|抛物线模型、坐标代入、顶点式识别等单一知识点|选择/判断/填空为主，聚焦概念理解，如奖杯口径计算、拱桥宽度变化| |B层|喷水平抛路线、坐标原点变化、网球落点判断等情境应用|计算/简答为主，融合多知识点，如建立坐标系解决喷水问题，培养推理意识| |C层|足球射门参数调整、材料分析、开放性问答等综合探究|综合计算与开放问答结合，如调整射门位置研究抛物线变化，发展创新意识与应用能力|

26.4 第3课时 抛物线形问题 分层练习 考查范围：二次函数在抛物线形奖杯、拱桥、运动路线等实际问题中的建模；结合图象、顶点式和坐标条件求函数解析式，并判断实际情境中的高度、宽度、落点与可行性。 一、A层·基础夯实 1. ★ [选择题]（知识点：抛物线模型与坐标代入）如图，一款高OD为14cm的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线 y＝ 的一部分，则杯口的口径AC为（　C　） A. 7cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm 2. ★ [判断题]（知识点：抛物线形拱桥的宽度变化）教材变式题 如图所示为一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，则当水面下降米时，水面宽8米.（　　） 3. ★ [填空题]（知识点：抛物线运动图象读数）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（m）与足球飞行的时间t（s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，那么足球从踢出到落地所需的时间是　1.6　s. 4. ★ [选择题]（知识点：抛物线形护栏长度计算）某公园草坪的护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设由不锈钢管做成的立柱（如图），护栏的最高点距底部0.5m，则所需不锈钢立柱的总长度为（　C　） A. 50m B. 100m C. 160m D. 200m 5. [填空题]（知识点：顶点式模型识别）已知某抛物线形物体的顶点坐标为（2，3），且经过点（0，1），若设解析式为 y＝a（x－2）²＋3，则 a＝________. 6. [选择题]（知识点：开口方向与实际高度）某抛物线形拱门以顶点为最高点，建立平面直角坐标系后，若解析式中二次项系数小于0，则该抛物线的开口方向是（　　） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 二、B层·理解运用 7. ★ [计算题]（知识点：二次函数与喷水平抛路线）小明和小亮玩打水仗的游戏，两人相距7米，两人身高都是1.5米.以水平线为x轴，小明所站立线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，点A（0，1.5）是小明水枪的喷口，小明的水枪喷出水的路线为抛物线C1：y＝a（x－3）²＋2.5，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得水枪的喷口坐标为B（7，1.8），小亮的水枪喷出水的路线为抛物线C2：y＝mx²＋bx＋c，且过点（4，3.6）. （1）请通过计算说明小明能否喷到小亮； （2）如果（4，3.6）是抛物线C2的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明. 8. ★ [填空题]（知识点：坐标原点变化下的抛物线解析式）如图所示为一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系.若选取A为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式为 y＝，则选取B为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式为 y＝. 9. ★ [计算题]（知识点：网球飞行路线建模与落点判断）新情境 体育比赛 已知网球比赛场地的长AB为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网OC高度为1米，建立如图所示的平面直角坐标系.运动员从点P（－9，1.5）处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点D（－3，2）处达到最高. （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由. 10. [计算题]（知识点：顶点式求解析式）一条抛物线形水柱的最高点为（3，4），且经过出水口（0，1），求这条抛物线对应的函数解析式。 11. [简答题]（知识点：实际问题中的自变量范围）在抛物线形实际问题中，为什么求出函数解析式后还要结合图形或题意确定自变量的取值范围？ 三、C层·拓展挑战 12. ★ [计算题]（知识点：足球射门路线与参数调整）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门OB高为2.44m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求抛物线对应的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）. （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ （3）若要让球恰好擦着球门顶端射入，小明需要带球向正后方移动多少米？ 13. [计算题]（知识点：抛物线形拱门高度判断）某抛物线形拱门的最高点距地面5m，两端相距10m. 若以两端连线的中点为原点、地面为x轴建立坐标系，求拱门对应的函数解析式，并判断距中心3m处拱门高度是否超过3m。 14. [材料分析]（知识点：二次函数模型选择）某体育器材公司测试一条抛物线形投掷轨迹，记录到最高点为（4，6），落地点为（10，0）。请说明怎样选择函数形式更便于求解析式，并求出该轨迹的函数解析式。 15. [开放性问答]（知识点：模型结果与实际意义）在“球能否进门”“水能否喷到目标”等问题中，如果计算结果只相差很小，实际判断时还应考虑哪些因素？请结合二次函数模型说明。 16. [综合应用]（知识点：参数变化与图象平移）一条抛物线形路线的形状和最大高度保持不变，只改变起点位置。请用二次函数图象平移的观点说明：为什么改变起点位置会影响路线经过固定目标点的高度？ 参考答案与解析 A层·基础夯实 1. 答案：C 解析：由杯体高度确定杯口所在横坐标，代入抛物线解析式可得到杯口两端关于对称轴对称，口径为两横坐标距离。 2. 答案：正确 解析：以拱顶为对称轴建模，水面下降后对应的纵坐标降低，代入同一抛物线可得新的半宽为4米，所以水面宽为8米。 3. 答案：1.6 解析：由图象读数及抛物线的对称性可知，足球落地时h＝0，对应时间为1.6s。 4. 答案：C 解析：每段护栏按间距0.4m加设立柱，结合图中抛物线高度计算单段所需立柱总长，再乘100段。 5. 答案： 解析：把点（0，1）代入 y＝a（x－2）²＋3，得 1＝4a＋3，所以 a＝。 6. 答案：B 解析：二次项系数小于0时，抛物线开口向下。 B层·理解运用 7. 答案：按计算结果判断 解析：先由点A在C1上求a，再计算x＝7时C1的高度，与小亮喷口高度比较；第二问利用顶点（4，3.6）和点B（7，1.8）求C2，再代入x＝0判断高度是否达到小明喷口。 8. 答案： 解析：以B为原点后，顶点在（－6，4），开口和形状不变。 9. 答案： 解析：顶点D（－3，2），设顶点式，代入P（－9，1.5）求a；再分别代入球网和边界位置比较。 10. 答案： 解析：设 y＝a（x－3）²＋4，代入（0，1）得1＝9a＋4。 11. 答案：因为实际问题只研究图形或运动存在的那一段抛物线 解析：二次函数解析式通常表示整条抛物线，但奖杯、拱桥、水柱、球路只对应其中有限部分，必须结合题意限定x范围。 C层·拓展挑战 12. 答案：按题意用顶点式建模并分别代入球门高度条件判断 解析：最高点坐标由水平距离和最大高度确定，设顶点式求解析式；判断能否射进球门时，把球门所在横坐标代入解析式，与2.44m比较。 13. 答案： 解析：顶点为（0，5），两端为（±5，0），代入得a＝－；x＝3时，y＝3.2。 14. 答案： 解析：已知最高点即顶点，设顶点式，再代入落地点（10，0）求参数。 15. 答案：还要考虑球的半径、门框厚度、空气阻力、击球误差、水流散射等 解析：二次函数模型是理想化模型，计算值接近临界值时，实际因素可能改变判断。 16. 答案：固定目标点相对于顶点的位置改变，所以高度改变 解析：形状和最大高度不变意味着二次项系数和顶点纵坐标不变，改变起点会使图象水平平移。 学科网（北京）股份有限公司 $