第26章 二次函数 数学活动（教学课件，含交互动画）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数“和定积最值”规律及抛物线形建模，通过“两数和为10求乘积最大值”问题导入，衔接已学二次函数知识，引导学生从数字计算到函数建模，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合建模思想、数形结合与特殊到一般方法，如“和定积最值”从10的拆分归纳至一般公式，刹车距离问题通过描点拟合抛物线，典例结合杭州亚运鹰眼技术。课堂小结系统梳理知识与思想，助力学生发展抽象能力、模型意识，教师可借结构化设计提升教学效率。

数 学 活 动 第二十六章 二次函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 能根据“和定积变”的数字规律，自主建立二次函数模型，熟练利用二次函数最值公式求解乘积最大值.能通过动手作图感知抛物线的形成过程，掌握简单实物抛物线问题的建模方法，会利用二次函数图象性质分析、解决基础几何与实际问题.系统梳理二次函数图象、增减性、最值的核心知识点，能灵活综合运用知识解决探究性问题. 经历观察猜想—列式建模—验证推理—归纳总结的完整探究过程，提升自主探究、合作交流、数学建模的能力.通过代数探究与几何作图相结合的方式，深化数形结合思想的应用，掌握特殊到一般、转化的数学思维方法. 在自主探究和小组合作中体验数学规律的趣味性，增强学习数学的兴趣和自信心，感受数学与数字规律、生活实物的紧密联系，体会数学的实用性和严谨性，培养主动探究、勇于实践的科学素养. 导入新课 同学们，我们已经完整学完二次函数整章知识，知道二次函数可以解决生活中的最值、轨迹问题. 若两个数的和为10，这两个数的乘积是固定值吗？什么时候乘积最大？ 本节课我们通过自主探究、动手实践，用二次函数知识破解数字规律和抛物线图形奥秘——二次函数数学活动. 今天我们通过两个趣味数学活动，探究隐藏在数字和图形中的二次函数规律. 思考 新知探究 探究点1 和定数乘积的最值探究 活动1. 和为定数，哪两个数的积最大？ 自主计算，初步猜想 已知两个正整数和为10， 分组计算 （1）10拆分为两个正整数的和的种类 （2）分别计算10的拆分中两数的积 数1 数2 两数积 1 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 8 2 9 1 1×9=9 （3）记录乘积结果，观察变化规律，猜想规律 2×8=16 3×7=21 4×6=24 5×5=25 6×4=24 7×3=21 8×2=16 9×1=9 和同近积大 你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？ 猜想 两数越接近，乘积越大 新知探究 探究点1 和定数乘积的最值探究 解：设其中一个数为 x ，则另一个数为 10－x ， 设两数乘积为 y ，列出函数关系式： y=－x(10－x) = －x²+10x （ 0＜x<10 ） ∵二次项系数<0 ， ∴抛物线开口向下，函数有最大值. 根据顶点公式， 当 时， ， ∵当x=5时，10－x=5， 此时x=10－x，∴猜想成立. 建模推理，验证猜想 和为定值的两个数，两数越接近，乘积越大，两数相等时乘积最大. 活动1. 和为定数，哪两个数的积最大？ 构建二次函数模型 O －5 5 x 10 －10 5 15 25 y 10 20 新知探究 探究点1 和定数乘积的最值探究 活动1. 和为定数，哪两个数的积最大？ 解：若两个正数的和为定值 m ， 设一数为 x ，另一数为 m－x ，乘积为y ∴ y= x （ m－x ） = － x²+mx = － （ x － ）² + ∵a=－1＜0，∴抛物线开口向下，顶点坐标（，） ∴ 当 ，即两数相等时，乘积取得最大值. 规律归纳，推广结论 两个正数的和为定值 m，求两数等于多少时，两数乘积最大 新知探究 探究点1 和定数乘积的最值探究 做一做 观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数字都是9，个位上的数字的和等于10）， 91×99，92×98，…，98×92，99×91. （1）猜想其中哪个积最大： 猜想：95×95最大. （2）符合条件的两位数如何表示？ 个位数字 十位数字 两位数 数1 数2 设第一个两位数的个位上的数为x x 10-x 9 9 90+x 90+（10x） 新知探究 探究点1 和定数乘积的最值探究 解：设第一个两位数的个位上的数为x，则第二个两位数的个位上的数为(10－x). ∴两个两位数的乘积： =－x2+10x+9000 =－(x－5)2+9025 ∵a=-1＜0 ∴抛物线开口向下， 顶点坐标（5，9025） ∴当x=5时，y最大值=9025 即95×95的积最大，猜想正确 （3）能用二次函数的知识证明吗？ 做一做 观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数字都是9，个位上的数字的和等于10）， 91×99，92×98，…，98×92，99×91. y =(90+x)[90+(10－x)] 新知探究 探究点1 和定数乘积的最值探究 议一议 （2）观察下列两个三位数的积 （两个乘数的百位上的数字都是9， 十位上的数字与个位上的数字组成的数的和等于100）， 猜想其中哪个积最大. 901×999，902×998，…，998×902，999×901. 你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？ 解：设第一个数是900+x，则第二个数是(1000－x). 两个三位数的乘积 y=(900+x)(1000－x) =－x2+100x+900000 =－(x－50)2+902500 ∴ 当x=50时，y最大，即950×950最大． ∵a=-1＜0 ∴抛物线开口向下， 顶点坐标（50，902500） ∴当x=50时，y最大值=902500 新知探究 探究点1 和定数乘积的最值探究 议一议 1×9，2×8， … 5×5，…8×2，9×1 91×99， 92×98，…，95×95， …， 98×92，99×91 901×999，902×998，…，950×950， …， 998×902，999×901 你能总结一下以上规律吗？ 两数相加和不变，两数越接近，相乘的积越大. 两数和一定时 差越小 → 积越大 差越大 → 积越小 两数相等时，乘积最大 周长相同的长方形 ， 正方形的面积最大. 应用 新知探究 探究点2 抛物线图形建模探究 做一做 由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表： 刹车时车速/(km·h－1) 40 48 56 64 72 80 刹车距离/m 17 22.4 27.9 35.3 43.4 52.8 新知探究 探究点2 抛物线图形建模探究 议一议 (1)以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象. 第二步，观察猜测图象特征： 图象从左向右上升，上升速度越来越快，曲线开口向上，符合二次函数（抛物线）特征，排除一次、反比例函数. 结论：该变量关系近似二次函数. 第一步，描点画图： 将6组坐标(40,17)(48,22.4)(56,27.9)(64,35.3)(72,43.4)(80,52.8) 在平面直角坐标系描点，用平滑曲线连接. 新知探究 探究点2 抛物线图形建模探究 议一议 (2)通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式. 解：设二次函数一般式：y=ax²+bx+c，选取三组差距较大、代表性强的数据：(40,17)、(64,35.3)、(80,52.8)，代入列三元一次方程组： 分步消元计算： − ：2496a+24b=18.3 ④ − ：2304a+16b=17.5 ⑤ 联立④、⑤化简求解，近似得： a≈0.0083，b≈－0.099，c≈7.7 解析式：y=0.0083x²－0.099x+7.7 验证：把x=56代入， y≈0.0083×56²－0.099×56+7.7≈28.2， 与实测27.9误差极小，模型成立. 新知探究 探究点2 抛物线图形建模探究 议一议 (3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为70m，已知这条高速公路限速100km/h.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断：在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 解：由题意得：刹车距离70m，限速100km/h 把y=70代入解析式y=0.0083x²－0.099x+7.7 解方程：0.0083x²－0.099x+7.7=70 整理：0.0083x²－0.099x－62.3=0 两边同乘10000得：83x²－990x－623000=0 将a=83，b=-990，c=-623000代入求根公式 ， 舍去负根（车速不能为负），计算得：x ≈ 93.8（km/h） ∵ 93.8<100 ∴该车没有超速. 用二次函数建模解决问题思路： 结 小 纳 归 新知探究 探究点2 抛物线图形建模探究 1. 建模思想：散点拟合，根据图象形状选择二次函数模型； 2. 待定系数法：三点代入求二次函数近似解析式； 3. 函数与方程转化：已知函数值解方程求自变量，结合实际舍去负根； 4. 实际应用：利用二次函数模型解决交通安全测速问题. 易错提醒： 1. 不能随便选2个点求解析式，三点才能确定二次函数； 2. 车速是正数，一元二次方程负根必须舍去； 3. 本题是实测数据拟合，解析式为近似式，计算结果存在微小误差属正常. 典例分析 例1.用一根长36cm的铁丝围成一个长方形，求长方形面积的最大值. 解：设长方形长为xcm，则宽为(18－x)cm， 面积为ycm²，依题意得 y=x(18－x)=－x²+18x a=－1<0，函数有最大值。 顶点横坐标： 宽：18－9=9 最大面积：y=9²=81 答：长和宽都为9cm（正方形）时，面积最大为81平方厘米. 典例分析 例2.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： s/m 0 9 12 15 18 21 … h/m 0 5 … (1)根据表中数据预测足球落地时， ______m； (2)求h关于s的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 典例分析 例2.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： s/m 0 9 12 15 18 21 … h/m 0 5 … (1)根据表中数据预测足球落地时， ______m； （1）解：由表格可知， s=9时和时，h相等， 时，时，h相等， 所以抛物线关于对称， 当时，， 时，； 典例分析 例2.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： s/m 0 9 12 15 18 21 … h/m 0 5 … (1)根据表中数据预测足球落地时， ______m； (2)求h关于s的函数解析式； （2）由（1）知，抛物线关于s=15对称，∴顶点坐标（15,5） 设， 把 (12,4.8)代入上述解析式， ，解得a=－， 典例分析 例2.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： s/m 0 9 12 15 18 21 … h/m 0 5 … (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． （3）由（2）得： 当s=24m， ∴， ∴守门员不能成功防守． 新知巩固 1.两数之和为20，其中一个数取值范围3 ≤x≤8，求两数乘积的最大值. 解：设一个数为x，两数积为y， ∴ y=x（20-x） =－x²+20x = -（x-10）²+100 (3 ≤x≤8) 对称轴x=10，开口向下， 在对称轴左侧y随x增大而增大， ∵3 ≤x≤8＜10 ∴给定区间在对称轴左边， ∴当x=8时.，y取得最大值 当x=8，另一个数：20-x=12 此时乘积：y=8×12=96 答：乘积最大值为96. 新知巩固 2．如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCD的三边组成，隧道的最大高度为4.9米； AB=10米， BC=2.4米， (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． (2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ （1）解：设抛物线解析式为， 由题意知，隧道的最大高度为米；米，米， 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过 (10,0)点， 则有，解方程组得 抛物线的解析式为y= -0.1=－0.1+2.5， 新知巩固 2．如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCD的三边组成，隧道的最大高度为4.9米； AB=10米， BC=2.4米， (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． (2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ （2）由题意得，y=－0.1+2.5 当y=4－2.4=1.6时，－0.1+2.5=1.6， ，． 当x=2或x=8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时， 当时，此时刚好违反交通规则（压实线） 汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则， 的取值范围是． 拓展提升 1．如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为 ()，解答下列问题：  (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由； (3)该高度为2的障碍物放在斜坡上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围． （1）解：由题意得： 抛物线顶点坐标为P()， 设， 将代入得：， ∴ ． 拓展提升 1．如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为 ()，解答下列问题：  (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由； (3)该高度为2的障碍物放在斜坡上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围． （2）将代入，得 ，∴， 将代入， 得：， ∵， 小球不能飞过这个障碍物； 拓展提升 1．如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为 ()，解答下列问题：  (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由； (3)该高度为2的障碍物放在斜坡上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围． （3）由题意得 ， ， ， 解得：，． ， 若使小球能够通过， 障碍物放置的水平范围是：． 真题感知 1．(2026.四川成都)已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 解：将点代入 得： ，解得， ∴二次函数的解析式为：， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； ∵， ∴函数图象的对称轴是直线， 则选项B正确； 又∵， ∴， 则选项C错误； ， 则选项D正确． C 真题感知 2．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x－3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　　 m． 解：由题意，OA＝1.6m，得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x－3）²+2.5， 得：1.6＝a（0－3）2+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝－2， ∴OB为8m， 8 真题感知 3．（2025·临沂校考）音乐广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一座高为1米的喷泉喷出的水流状为抛物线形，喷水最大高度为3米，此时喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为米，如图所示，求水柱落地处离池中心的距离． 解：设这段抛物线的解析式为， 由题意可知，顶点坐标为， ∴，， ∴抛物线解析式， 由题意得抛物线经过， ∴，解得， ∴抛物线解析式为 当水柱落地时，， 即， ∴， 解得：，（舍去）， ∴水柱落地处离池中心米． 真题感知 4．（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． 解：（1）∵BO＝4m， ∴抛物线L1的顶点B坐标为（0，4）， 设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x－0）2+4， ∵AC＝16m， 结合二次函数的对称性得 A（－8，0），C（8，0）， 将C（8，0）代入y＝a（x－0）2+4， 得0＝64a+4， 则， ∴； 真题感知 4．（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． （2）由（1）得抛物线L1的函数表达式， ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC. ， 且抛物线L3的函数表达式为， ∴， 化简方程得： x2－12x+36＝0 ， ∴（x－6）2＝0，解得x1＝x2＝6， ∴MN＝2×6＝12（m）. 课堂小结 （1）和定积最值规律： 两个正数和为定值，两数相等时乘积最大，可通过建立二次函数模型求解最值； （2）实物抛物线建模： 根据抛物线顶点、对称轴特征，合理设出二次函数解析式，代入已知点求解，实现图形问题代数化； （3）熟练掌握二次函数开口、顶点、最值的综合应用. 知识与技能 课堂小结 本节课核心用到三大数学思想： 建模思想（将数字、图形问题转化为二次函数问题） 数形结合思想（图象特征与解析式、函数值相互转化） 特殊到一般思想（从具体数字计算归纳通用规律） 思想与方法 课堂小结 （1）建模时忽略自变量取值范围，未结合实际情境限定变量范围； （2）抛物线解析式设式错误，未根据顶点、对称轴特征合理选择一般式、顶点式； （3）开口方向与最值正负混淆，开口向下函数有最大值、开口向上有最小值； （4）代入坐标计算时符号、运算出错. 易错点提醒 课后练习 教材第62页 10.如图，在一道长为12m的墙一侧，用长为33m的篱笆，围成一个一边靠墙、中间隔有一道离笆的矩形花圃.当AB，BC各为多少时，花圃的面积最大？最大面积是多少? 解：设AB = x m，花园ABCD的面积为S， ∴BC =(33－ 3x)m， ∴S=x·(33－ 3x) =－3(x－ )2 + . ∵a=－3＜0，∴抛物线开口向下， 顶点坐标（， ） ∵0< 33－3x ≤12，∴7≤ x <11. ∵ < 7，在对称轴右侧，S随x增大而减小 ∴当AB=7 m，BC=12 m时， S最大= －3×(7－ )2 + =84(m2). 课后练习 12.已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱. 矩形的两邻边长各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 解: 设矩形的一边长为xcm，其邻边长为(18－x)cm， 旋转形成的圆柱的侧面积为Scm2， ∴S=2πx(18－x) =－2πx2+36πx =－2π(x－9)2+162π， 当x=9时，S最大值=162π， 此时18－x=9. 即矩形的长为9cm，宽为9cm时， 旋转形成的圆柱的侧面积最大. 教材第62页 x 18－x 课后练习 13.对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x1，x2，…，xn. 如果用x作为这条路线长度的近似值，当x取什么值时，(x－x1)2+(x－x2)2+…+(x－xn)2最小？x所取的这个值是哪个常用的统计量？ 解：设y=(x－x1)2+(x－x2)2+…+(x－xn)2 =nx2－2x(x1+x2+…+xn)+(x12+x22 +…+ xn2)， 当x=－ = 时，y取最小值， 即x取各次结果的平均数时，(x－x1)2+(x－x2)2+…+(x－xn)2最小. x所取的这个值是n次测量结果的平均数. 教材第62页 谢谢聆听 $null