26.4 最大利润问题 第2课时 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教案聚焦二次函数应用的最大利润问题，通过回顾几何图形最大面积求解步骤与销售利润公式，搭建从几何到利润问题的知识支架，引导学生迁移建模方法。 此教案以问题驱动和合作探究为主，完整呈现“审题设元列函数求最值检验”建模过程，在降价方案中通过顶点非整数时的对称性分析，培养数学建模与逻辑推理素养，多样练习巩固不同设元方式，助力学生掌握实际问题转化能力，提升教师教学效率。

教案：26.4 二次函数的应用——最大利润问题（第2课时） 课题 26.4 二次函数的应用——最大利润问题（第2课时） 课型 新授课 课时 1课时（43分钟） 教材版本 人教版九年级上册 第二十六章 教学方法 问题驱动、合作探究、讲练结合、数形结合 教学用具 多媒体课件、投影仪 一、核心素养目标 1. 数学建模 通过分析销售问题中的数量关系，将"最大利润"这一实际问题转化为二次函数模型。在"涨价"和"降价"两种方案中，分别设未知数、建立函数表达式，体验数学建模的完整过程——"审题提取变量→设未知数→列函数关系→求解最值→回归实际检验"。理解二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学在商业决策中的实际应用价值。 2. 逻辑推理 在涨价方案中，从"每涨价1元少卖10件"的离散变化规律，推理出销售量与涨价金额之间的函数关系，进而推导出总利润函数。在降价方案中进行类比推理，验证建模思路的一致性。在两种方案的结果比较中，运用分类讨论的思想，得出最终定价方案。通过"从特殊到一般"的归纳推理，总结出利用二次函数求最大利润的一般步骤。 3. 数学运算 在建立二次函数模型后，能熟练运用配方法或顶点公式求二次函数的最值。在"单价为整数"的约束条件下，能根据顶点的横坐标位置，结合二次函数的增减性，在自变量取值范围内正确地求出最大利润。理解当顶点横坐标不是整数时，需要比较离顶点最近的整数点处的函数值，确定真正的最值。 4. 数学抽象 从具体的商品销售情境中，抽象出"总利润=单件利润×销售数量"这一核心数量关系，并用代数式表达单件利润和销售数量随定价变化而变化的规律。将"涨价"和"降价"两种方案统一为"调整定价→改变销售量→影响总利润"的通用模型，体会从具体情境中抽象出一般规律的数学思维方法。 二、教学重难点 教学重点 1. 能根据销售问题中的数量关系（总利润=单件利润×销售数量，单件利润=售价-进价），建立二次函数模型，利用二次函数的性质求最大利润。 2. 掌握实际问题中自变量取值范围的确定方法，理解"单价为整数"等实际约束条件对最值的影响。 3. 当顶点横坐标不在自变量取值范围内时，能灵活运用二次函数的增减性，在边界处求最大利润。 教学难点 1. 理解"涨价"和"降价"两种方案中变量设定与函数表达式的关系，特别是在降价方案中，顶点横坐标不是整数时，需要结合增减性比较最近整数点处的函数值。 2. 理解"单价为整数"这一约束条件如何影响自变量的取值，以及当顶点横坐标不在取值范围内（或不是整数）时，如何正确地求出最大利润。 3. 在两种方案的结果比较中，综合运用分类讨论思想，得出最终的最优定价方案。 三、教学过程 环节一：回顾旧知（3分钟） 【教师活动】同学们，在前面几节课中，我们学习了二次函数的图象和性质，还学习了利用二次函数解决几何图形中的最大面积问题。请同学们回忆一下，利用二次函数求几何图形最大面积问题的一般步骤是什么？ 【学生活动】利用二次函数求几何图形最大面积问题的一般步骤是：审（审题，分析几何图形中变量之间的关系）→设（设自变量和因变量）→列（列出二次函数表达式）→解（利用配方法或顶点公式求最值）→答（作答，回归实际问题检验）。 【教师活动】回答得非常完整！那么，在销售问题中，利润是如何计算的？请同学们回忆两个基本公式。 【学生活动】销售问题中利润的基本公式有两个：（1）利润=售价-进价；（2）总利润=单件利润×销售量。 【教师活动】很好！今天，我们将把二次函数的知识应用到销售问题中，研究如何定价才能使利润最大化。这是一个非常实际的问题，也是商家最关心的问题。 【过渡语】通过回顾几何图形最大面积问题的步骤和销售问题中的利润公式，为新课的学习做好知识和方法上的双重准备。从"几何面积"到"销售利润"的过渡，体现了二次函数应用的广泛性。 【设计意图】以复习旧知引入新课，属于情境导入环节。既巩固了二次函数解决实际问题的基本步骤，又回顾了销售问题中的核心数量关系，为新课中建立二次函数模型做好知识铺垫。通过"几何面积→销售利润"的主题转换，让学生感受二次函数应用的多样性，激发学习兴趣。 环节二：情境导入（2分钟） 【教师活动】在商品的销售过程中，利润最大化是商家最永恒的追求。如果你是商家，面对一件商品，你知道它的进价，也知道当前的售价和销售量，还知道调整价格会影响销售量——那么，你该如何定价才能获利最大呢？今天我们就来研究这个问题。 【过渡语】通过创设真实的商业情境，激发学生的探究欲望，让学生感受到数学与生活的紧密联系，体会学习二次函数应用的实际意义。 【设计意图】情境导入以"如果你是商家，如何定价才能获利最大"这一开放性问题入手，激发学生的思考和探究兴趣。将抽象的数学问题置于真实的生活情境中，有助于学生建立"数学有用"的信念，提升学习内驱力。 环节三：探究新知——涨价方案（10分钟） 一、例题呈现与审题分析 【教师活动】请看大屏幕上的例题。某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 【教师活动】请同学们仔细审题，这道题中有哪些关键信息？我们需要关注哪些数量关系？ 【学生活动】关键信息有：进价每件40元；当前售价每件60元；当前每周销售量300件。涨价规律：每涨价1元，每周少卖10件。降价规律：每降价1元，每周多卖20件。单价必须为整数。问题：如何定价能使利润最大，最大利润是多少？ 【教师活动】审题非常仔细！这道题有两种调整价格的方式——涨价和降价。我们需要分别讨论两种情况，然后再比较哪种方式能获得更大的利润。我们先来研究涨价的情况。 二、涨价方案——建立函数模型 【教师活动】如果涨价，我们设每件涨价n元。请同学们思考：涨价后的售价是多少？每周的销售量是多少？单件利润是多少？总利润如何表示？ 【学生活动】涨价后的售价为(60+n)元。每涨价1元少卖10件，涨价n元少卖10n件，所以每周销售量为(300-10n)件。单件利润=售价-进价=(60+n-40)=(20+n)元。总利润=单件利润×销售量=(20+n)(300-10n)。 【教师活动】分析得非常正确！那么，n的取值范围是什么？请同学们注意"单价为整数"和"销售量不能为负数"这两个约束条件。 因为单价为整数，所以n为整数。销售量不能为负数，即，解得。又因为涨价，所以。因此n的取值范围是0≤n≤30，且n为整数。 设总利润为，则，其中，n为整数。 【教师活动】现在，我们得到了一个二次函数。请同学们用配方法将这个二次函数化为顶点式，并求出最大值。 。 【学生活动】因为a=-10<0，抛物线开口向下，函数有最大值。顶点坐标为(5, 6250)。当n=5时，y1取得最大值6250。即涨价5元，定价为65元时，每周利润最大，最大利润为6250元。 【教师活动】非常好！n=5在取值范围0≤n≤30内，且n=5是整数，满足条件。所以涨价方案的结果是：定价65元，最大利润6250元。 【知识点】涨价方案的建模过程：1. 设未知数：设涨价n元（n为整数，0≤n≤30）；2. 表示关键量：售价=(60+n)元，销售量=(300-10n)件，单件利润=(20+n)元；3. 列函数表达式：总利润；4. 配方求最值：，当n=5时，最大=6250；5. 回归实际：涨价5元，定价65元，最大利润6250元。 【设计意图】涨价方案是本节课的核心探究环节。通过引导学生逐步审题、设未知数、表示关键量、列函数表达式、配方求最值，完整地展示了"实际问题→数学建模→求解→回归实际"的全过程。特别注意了"单价为整数"这一约束条件，为后续降价方案中顶点的非整数情况埋下伏笔。 【过渡语】涨价方案中，我们得到了定价65元时利润最大为6250元。那么，如果降价呢？降价方案是否可能获得更大的利润？让我们用类似的方法来研究。 环节四：探究新知——降价方案（8分钟） 一、降价方案——建立函数模型 【教师活动】如果降价，我们设每件降价m元。请同学们类比涨价方案，自己分析降价方案中的数量关系。 【学生活动】降价后的售价为(60-m)元。每降价1元多卖20件，降价m元多卖20m件，所以每周销售量为(300+20m)件。单件利润=售价-进价=(60-m-40)=(20-m)元。总利润=单件利润×销售量=(20-m)(300+20m)。 【教师活动】m的取值范围是什么？ 单价为整数，所以m为整数。售价不能低于进价，即，解得。又因为降价，所以。因此m的取值范围是0≤m≤20，且m为整数。 设总利润为，则，其中，m为整数。 【教师活动】请同学们用配方法将这个二次函数化为顶点式。 【学生活动】y2=-20m2+100m+6000=-20(m2-5m)+6000=-20(m-2.5)2+6125。顶点坐标为(2.5, 6125)。 【教师活动】注意！顶点的横坐标m=2.5不是整数，但m必须是整数（单价为整数）。那么，我们应该取m=2还是m=3呢？ 因为二次函数的图象开口向下，在对称轴m=2.5左侧（m<2.5），y随m的增大而增大；在对称轴右侧（m>2.5），y随m的增大而减小。m=2和m=3关于对称轴m=2.5对称，它们的函数值相等。 当m=2时，。当m=3时，。所以当m=2或3时，利润最大为6120元。 【学生活动】当m=2时，定价为58元；当m=3时，定价为57元。两种定价都能获得最大利润6120元。 【教师活动】很好！降价方案的结果是：降价2元或3元，即定价57元或58元时，最大利润为6120元。 二、两种方案对比——确定最优方案 【教师活动】现在，我们分别得到了涨价方案和降价方案的结果。请同学们比较一下，哪种方案能获得更大的利润？ 【学生活动】涨价方案：定价65元，最大利润6250元。降价方案：定价57元或58元，最大利润6120元。6250>6120，所以涨价方案更优。该商品定价为65元时，可获得最大利润6250元。 【教师活动】总结得非常到位！通过分类讨论——先分别研究涨价和降价两种情况，再比较得出最优方案——我们完整地解决了这个最大利润问题。 【知识点】降价方案的建模过程与对比：1. 设未知数：设降价m元（m为整数，0≤m≤20）；2. 列函数表达式：总利润；3. 配方：；4. 顶点横坐标m=2.5不是整数，取m=2或3，利润均为6120元；5. 定价57元或58元时，最大利润6120元；6. 两种方案对比：6250>6120，涨价方案更优，最终定价65元，最大利润6250元。 易错提示：1. 当顶点的横坐标不是整数时，不能直接取顶点值作为最大利润。需要结合自变量的取值范围和函数的增减性，比较离顶点最近的整数点处的函数值。2. 本题中m=2.5不是整数，但m=2和m=3关于对称轴对称，函数值相等，所以利润相同。如果两个整数点不是关于对称轴对称，则需要分别计算再比较。3. "单价为整数"这一约束条件在降价方案中产生了关键影响——它使得最大利润从6125元降为6120元。在实际问题中，这类约束条件不可忽略。 【设计意图】降价方案通过与涨价方案的类比，巩固了建模方法，同时引入了新的难点——当顶点横坐标不是整数时如何处理。通过m=2和m=3关于对称轴对称这一特征，引导学生利用二次函数的对称性简化计算。两种方案对比的过程，体现了分类讨论和比较择优的数学思想。 【过渡语】通过涨价和降价两种方案的完整探究，我们对利用二次函数求最大利润的基本方法有了深入的理解。现在，让我们将这一方法系统归纳，形成一般的解题步骤。 环节五：方法归纳（3分钟） 【教师活动】通过刚才的例题探究，请同学们总结一下，利用二次函数求商品最大利润的一般步骤是什么？ 【学生活动】第一步：审题，找出已知量和未知量，明确变量之间的关系。第二步：设未知数，通常设涨价或降价的金额为自变量。第三步：用含自变量的代数式表示售价、销售量、单件利润和总利润。第四步：列出二次函数表达式，并根据实际意义确定自变量的取值范围。第五步：利用配方法或顶点公式求二次函数的最值。第六步：结合自变量的取值范围和函数的增减性，确定实际的最大值。第七步：作答，回归实际问题检验。 【教师活动】归纳得非常全面！请同学们特别注意，当顶点横坐标不在自变量取值范围内，或者不是整数（当要求整数解时）时，需要根据函数的增减性，在取值范围内确定最值，而不能简单地取顶点。这是实际应用问题与纯数学最值问题的一个重要区别。 【知识点】利用二次函数求最大利润的一般步骤：1. 审题——找出已知量和未知量，明确变量关系；2. 设未知数——设自变量x（涨价或降价金额）；3. 表示关键量——售价、销售量、单件利润；4. 列函数表达式——总利润（注意自变量的取值范围）；5. 求最值——配方或顶点公式，求顶点坐标；6. 验证——检查顶点横坐标是否在自变量取值范围内，是否满足整数等约束条件；7. 作答——回归实际问题，给出最终答案。 关键提醒：当二次函数顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，或者不满足整数等实际约束条件时，不能直接取顶点值作为最值。此时需要：1. 根据二次函数的增减性，确定函数在自变量取值范围内的单调性；2. 在取值范围的边界处或离顶点最近的满足约束条件的点处求函数值；3. 比较这些点的函数值，确定最大值或最小值。 【设计意图】通过系统归纳利用二次函数求最大利润的一般步骤，帮助学生形成完整的解题思维框架。特别强调了"顶点横坐标不在取值范围内"这一关键易错点，培养学生严谨的数学思维习惯。 【过渡语】通过总结归纳，大家对利用二次函数求最大利润的方法有了系统的认识。现在，让我们通过课堂练习来巩固和运用这些知识。 环节六：课堂练习（12分钟） 一、练习1——工艺品定价问题 【教师活动】请同学们独立完成以下练习。某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元。 (1) 求每天的销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元）之间的函数关系式。 (2) 销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【教师活动】请同学们先审题，然后设未知数，列出函数表达式。注意这里直接设销售单价x为自变量，与例题中设涨价/降价金额的做法略有不同。 【学生活动】解：(1) 销售单价为x元，则单件利润为(x-50)元。销售单价从100元降低到x元，降低了(100-x)元，每降低1元多售出5件，所以多售出5(100-x)件，每天的销售量为50+5(100-x)件。因此，y=(x-50)[50+5(100-x)]=-5x2+800x-27500，其中50≤x≤100。 【学生活动】(2) y=-5x2+800x-27500=-5(x-80)2+4500。因为-5<0，抛物线开口向下，且80在50≤x≤100范围内，所以当x=80时，y有最大值4500。即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元。 【教师活动】非常好！这道题直接设销售单价为自变量，函数表达式是关于x的二次函数。请注意，与例题不同，这里没有"单价为整数"的约束，顶点横坐标x=80是整数，所以直接取顶点值即可。 【设计意图】练习1是一道与例题类似的销售利润问题，但设未知数的方式不同——直接设销售单价为自变量。通过对比，让学生体会"设涨价/降价金额"和"直接设销售单价"两种设未知数方式的异同，培养灵活建模的能力。 二、练习2——旅行社营业额问题 【教师活动】请同学们完成教材P53练习第1题。旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元。当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 【学生活动】解：设旅行团的人数为x人（x≥20），营业额为y元。则每人缴费2100-30(x-20)元，总营业额y=[2100-30(x-20)]x=(2100-30x+600)x=(-30x+2700)x=-30x2+2700x=-30(x-45)2+60750。所以当x=45时，y取得最大值60750。答：旅行团的人数为45人时，旅行社可获得最大营业额60750元。 【教师活动】这道题与销售利润问题结构类似，但变量关系略有不同。注意审题：每人缴费随人数增加而线性减少，总营业额=每人缴费×人数。 【设计意图】练习2将二次函数模型应用于旅行社营业额问题，拓展了学生视野，让学生认识到二次函数最优化模型不仅适用于销售利润，也适用于其他具有类似结构的最优化问题。 三、练习3——生产成本与利润问题 【教师活动】请同学们完成教材P53练习第2题。生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一。当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 解：设产量为x件，利润为y元。则总成本=500+10x。实际单价。总利润y=收入-成本。 。所以当x=160时，y取得最大值2700。答：当产量为160件时，利润最大，最大利润是2700元。 【设计意图】练习3引入成本（固定成本+可变成本）和"单价随产量下调"的概念，比前两题更为复杂，全面考查了学生从复杂情境中提取数量关系、建立二次函数模型的能力。 四、练习4——二次函数最值求解 【教师活动】请同学们完成以下二次函数最值求解练习，巩固配方法和顶点公式的运用。 1. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标。 (1) ；。 【学生活动】。因为a=-4<0，抛物线开口向下，有最高点，坐标为。 【学生活动】。因为a=3>0，抛物线开口向上，有最低点，坐标为。 2. 求函数y=-x²+6x+5的最大值和最小值。 (1) 0≤x≤6； (2) -2≤x≤2。 【学生活动】解：y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14，顶点坐标为(3, 14)。 【学生活动】(1) 当0≤x≤6时，x=3在取值范围内，且函数开口向下，所以当x=3时，y有最大值14；当x=0或6时，y有最小值5。 【学生活动】(2) 当-2≤x≤2时，x=3不在取值范围内。函数开口向下，在对称轴x=3左侧（x<3），y随x的增大而增大。所以在[-2, 2]上，函数单调递增。当x=2时，y有最大值13；当x=-2时，y有最小值-11。 【设计意图】练习4是二次函数最值的基础练习，重点考查了"当顶点在取值范围内"和"当顶点不在取值范围内"两种情况下求最值的方法。通过对比，强化了学生对增减性在最值问题中应用的理解。 五、练习5——综合定价问题 【教师活动】请同学们完成以下综合练习。 3. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？ 【学生活动】解：设利润为y元。由题意得y=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6000=-(x-115)2+7225（0<x<200）。当x=115时，y有最大值7225。即当定价为115元时，利润最大。 4. 某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件。若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？ 【学生活动】解：设每件降价x元，每天的利润为y元。由题意得y=(20-x)(40+10x)=-10x2+160x+800=-10(x-8)2+1440（0<x<20）。当x=8时，y取最大值1440。即当每件降价8元时，每天盈利最多。 【设计意图】练习5为两道综合定价问题，分别考查了"直接设定价为自变量"和"设降价金额为自变量"两种建模方式，巩固了本节课的核心解题方法。 解题策略总结：销售利润问题建模的两种设未知数方式：方式一：设涨价/降价金额为自变量。适用于已知基准售价，研究调整价格对利润的影响。如例题中"设涨价n元"或"设降价m元"。方式二：直接设售价为自变量。适用于已知销售量与售价之间的函数关系。如"以每件x元出售，可卖出(200-x)件"。两种方式本质上等价，选择哪种取决于题目给出的信息形式。关键是找到售价与销售量之间的关系，然后利用"总利润=单件利润×销售量"建立函数模型。 环节七：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，本节课我们学习了利用二次函数解决最大利润问题。请同学们回顾一下，本节课你有哪些收获？ 【学生活动】我学会了利用二次函数解决销售中的最大利润问题。核心方法是：先根据"总利润=单件利润×销售量"建立二次函数模型，然后利用配方法或顶点公式求最值。在求最值时，要注意自变量的取值范围和实际约束条件（如单价为整数）。当顶点横坐标不在取值范围内或不满足约束条件时，需要利用函数的增减性来确定最值。 【学生活动】我还学会了分类讨论的方法：当题目中有多种调整方案时（如涨价和降价），需要分别建立模型、分别求解，然后再比较得出最优方案。这种分类讨论、比较择优的思想非常重要。 【学生活动】我还体会到，二次函数是一类非常有用的数学模型，它不仅可以帮助我们解决几何图形中的最大面积问题，还可以解决销售中的最大利润问题，以及旅行社营业额等许多实际生活中的最优化问题。 【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课的知识框架可以概括为：一个核心公式（总利润=单件利润×销售量）、两种方案（涨价和降价）、三个关键步骤（建模→求最值→检验约束）、一个注意事项（顶点不在取值范围内时用增减性求最值）。请同学们把这个框架记住，它将帮助你解决更多类似的二次函数应用问题。 【知识点】26.4 最大利润问题——知识框架总结：【核心公式】1. 总利润=单件利润×销售数量；2. 单件利润=售价-进价；【建模步骤】3. 审题→设未知数→表示关键量→列函数表达式→配方求最值→检验约束→作答；【关键注意】4. 自变量的取值范围由实际意义决定（售价≥进价，销售量≥0等）；5. 当顶点横坐标不在取值范围内或不满足约束条件时，用增减性在边界或最近整数点处求最值；6. 有多种方案时，需分类讨论、分别求解、比较择优。 【设计意图】通过师生共同总结，帮助学生梳理本节课的核心知识体系。从"一个核心公式→两种方案→三个关键步骤→一个注意事项"四个维度进行总结，层次清晰，便于学生记忆和运用。 方法归纳：解决最大利润问题的"三看"策略：一看变量：涨价还是降价？设定合适的自变量。二看关系：售价与销售量之间如何变化？用代数式表示关键量。三看约束：自变量的取值范围是什么？顶点是否在范围内？是否满足整数等条件？记住：建模是基础，配方是手段，检验是关键，回归实际是目的。 环节八：课后作业（2分钟） 【教师活动】请同学们课后完成以下作业，巩固本节课所学的最大利润问题。 1. 从教材课后习题中选取：完成教材P53练习的剩余题目，重点练习利用二次函数求最大利润的建模方法。 2. 完成练习册本课时的习题：重点关注"顶点不在取值范围内"和"顶点横坐标不是整数"两种情况下的最值求解。 3. 思考题：某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，半月销售量相应减少20件。如何定价才能在半月内获得最大利润？ 【教师活动】下节课我们将继续学习二次函数的其他应用问题，包括抛物线形建筑问题和物体运动轨迹问题，请同学们预习相关内容。 【设计意图】课后作业兼顾基础巩固（教材习题、练习册）和拓展探究（思考题），既确保学生掌握最大利润问题的基本建模方法，又为后续学习二次函数的其他应用做好铺垫。思考题设置了新的数据情境，培养学生的知识迁移能力。 四、板书设计 26.4 最大利润问题（第2课时） 一、核心公式 总利润=单件利润×销售数量 单件利润=售价-进价 二、涨价方案 三、降价方案 设涨价n元（0≤n≤30，整数） 售价：60+n 销售量：300-10n 单件利润：20+n 总利润：y₁=(20+n)(300-10n) =-10n²+100n+6000 =-10(n-5)²+6250 当n=5时，y₁最大=6250 定价65元，最大利润6250元 四、综合比较 设降价m元（0≤m≤20，整数） 售价：60-m 销售量：300+20m 单件利润：20-m 总利润：y₂=(20-m)(300+20m) =-20m²+100m+6000 =-20(m-2.5)²+6125 m=2.5不是整数，取m=2或3 当m=2或3时，y₂=6120 定价57元或58元，最大利润6120元 五、方法总结 6250>6120，涨价方案更优 最终定价65元，最大利润6250元 1. 建模：审→设→列→解→答 2. 注意自变量的取值范围 3. 顶点不在范围内时用增减性 4. 多种方案需分类讨论比较 六、课堂练习 练习1：工艺品定价 练习2：旅行社营业额 练习3：生产成本与利润 练习4：二次函数最值 练习5：综合定价问题 五、教学反思 1. 环节一的回顾复习是否有效？学生能否快速回忆起几何图形最大面积问题的步骤和销售利润的基本公式？从"几何面积"到"销售利润"的主题过渡是否自然，学生是否理解了二次函数应用问题的广泛性？ 2. 环节二的涨价方案探究中，学生能否自主地从题目中提取关键信息，正确地设未知数、表示关键量（售价、销售量、单件利润）？在确定自变量n的取值范围时，学生是否注意到了"销售量为非负数"和"单价为整数"这两个约束条件？配方求最值的过程中，计算是否正确？ 3. 环节三的降价方案中，学生能否类比涨价方案的方法，独立完成建模过程？当配方法得到顶点m=2.5不是整数时，学生是否产生了困惑？教师是否及时引导学生利用二次函数的对称性和增减性，比较m=2和m=3处的函数值？学生是否理解了"对称轴两侧对称点的函数值相等"这一性质在解决此类问题中的作用？ 4. 在两种方案对比环节，学生是否能够自主进行比较，得出最终结论？学生是否理解了分类讨论的思想——先分别研究每种方案，再综合比较得出最优方案？ 5. 环节五的方法归纳是否全面？学生是否能够独立总结出利用二次函数求最大利润的一般步骤？"顶点不在取值范围内"和"顶点横坐标不是整数"这两个关键易错点，学生是否真正理解了？ 6. 课堂练习中，练习1的建模方式（直接设销售单价为自变量）与例题（设涨价/降价金额为自变量）不同，学生是否能够灵活适应？练习2和练习3将模型拓展到旅行社营业额和生产成本问题，学生是否能够成功迁移？练习4中"顶点不在取值范围内"的情况，学生是否能够正确运用增减性求最值？ 7. 本节课是否充分体现了数学建模的核心素养？学生是否经历了从"实际问题→数学建模→求解→检验→回归实际"的完整过程？学生是否体会到了数学在商业决策中的实际应用价值？ 8. 板书设计是否清晰地呈现了本节课的研究脉络？从"核心公式→涨价方案→降价方案→综合比较→方法总结→课堂练习"的板书结构是否有助于学生建立完整的知识体系？课后作业的布置是否兼顾了基础巩固和拓展探究？ 学科网（北京）股份有限公司 $