26.4 最大利润问题 第2课时 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

教案：26.4 二次函数的应用——最大利润问题（第2课时）

一、核心素养目标

1. 数学建模

通过分析销售问题中的数量关系，将"最大利润"这一实际问题转化为二次函数模型。在"涨价"和"降价"两种方案中，分别设未知数、建立函数表达式，体验数学建模的完整过程——"审题提取变量→设未知数→列函数关系→求解最值→回归实际检验"。理解二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学在商业决策中的实际应用价值。

2. 逻辑推理

在涨价方案中，从"每涨价1元少卖10件"的离散变化规律，推理出销售量与涨价金额之间的函数关系，进而推导出总利润函数。在降价方案中进行类比推理，验证建模思路的一致性。在两种方案的结果比较中，运用分类讨论的思想，得出最终定价方案。通过"从特殊到一般"的归纳推理，总结出利用二次函数求最大利润的一般步骤。

3. 数学运算

在建立二次函数模型后，能熟练运用配方法或顶点公式求二次函数的最值。在"单价为整数"的约束条件下，能根据顶点的横坐标位置，结合二次函数的增减性，在自变量取值范围内正确地求出最大利润。理解当顶点横坐标不是整数时，需要比较离顶点最近的整数点处的函数值，确定真正的最值。

4. 数学抽象

从具体的商品销售情境中，抽象出"总利润=单件利润×销售数量"这一核心数量关系，并用代数式表达单件利润和销售数量随定价变化而变化的规律。将"涨价"和"降价"两种方案统一为"调整定价→改变销售量→影响总利润"的通用模型，体会从具体情境中抽象出一般规律的数学思维方法。

二、教学重难点

教学重点

1. 能根据销售问题中的数量关系（总利润=单件利润×销售数量，单件利润=售价-进价），建立二次函数模型，利用二次函数的性质求最大利润。

2. 掌握实际问题中自变量取值范围的确定方法，理解"单价为整数"等实际约束条件对最值的影响。

3. 当顶点横坐标不在自变量取值范围内时，能灵活运用二次函数的增减性，在边界处求最大利润。

教学难点

1. 理解"涨价"和"降价"两种方案中变量设定与函数表达式的关系，特别是在降价方案中，顶点横坐标不是整数时，需要结合增减性比较最近整数点处的函数值。

2. 理解"单价为整数"这一约束条件如何影响自变量的取值，以及当顶点横坐标不在取值范围内（或不是整数）时，如何正确地求出最大利润。

3. 在两种方案的结果比较中，综合运用分类讨论思想，得出最终的最优定价方案。

三、教学过程

环节一：回顾旧知（3分钟）

【教师活动】同学们，在前面几节课中，我们学习了二次函数的图象和性质，还学习了利用二次函数解决几何图形中的最大面积问题。请同学们回忆一下，利用二次函数求几何图形最大面积问题的一般步骤是什么？

【学生活动】利用二次函数求几何图形最大面积问题的一般步骤是：审（审题，分析几何图形中变量之间的关系）→设（设自变量和因变量）→列（列出二次函数表达式）→解（利用配方法或顶点公式求最值）→答（作答，回归实际问题检验）。

【教师活动】回答得非常完整！那么，在销售问题中，利润是如何计算的？请同学们回忆两个基本公式。

【学生活动】销售问题中利润的基本公式有两个：（1）利润=售价-进价；（2）总利润=单件利润×销售量。

【教师活动】很好！今天，我们将把二次函数的知识应用到销售问题中，研究如何定价才能使利润最大化。这是一个非常实际的问题，也是商家最关心的问题。

【过渡语】通过回顾几何图形最大面积问题的步骤和销售问题中的利润公式，为新课的学习做好知识和方法上的双重准备。从"几何面积"到"销售利润"的过渡，体现了二次函数应用的广泛性。

【设计意图】以复习旧知引入新课，属于情境导入环节。既巩固了二次函数解决实际问题的基本步骤，又回顾了销售问题中的核心数量关系，为新课中建立二次函数模型做好知识铺垫。通过"几何面积→销售利润"的主题转换，让学生感受二次函数应用的多样性，激发学习兴趣。

环节二：情境导入（2分钟）

【教师活动】在商品的销售过程中，利润最大化是商家最永恒的追求。如果你是商家，面对一件商品，你知道它的进价，也知道当前的售价和销售量，还知道调整价格会影响销售量——那么，你该如何定价才能获利最大呢？今天我们就来研究这个问题。

【过渡语】通过创设真实的商业情境，激发学生的探究欲望，让学生感受到数学与生活的紧密联系，体会学习二次函数应用的实际意义。

【设计意图】情境导入以"如果你是商家，如何定价才能获利最大"这一开放性问题入手，激发学生的思考和探究兴趣。将抽象的数学问题置于真实的生活情境中，有助于学生建立"数学有用"的信念，提升学习内驱力。

环节三：探究新知——涨价方案（10分钟）

一、例题呈现与审题分析

【教师活动】请看大屏幕上的例题。某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？

【教师活动】请同学们仔细审题，这道题中有哪些关键信息？我们需要关注哪些数量关系？

【学生活动】关键信息有：进价每件40元；当前售价每件60元；当前每周销售量300件。涨价规律：每涨价1元，每周少卖10件。降价规律：每降价1元，每周多卖20件。单价必须为整数。问题：如何定价能使利润最大，最大利润是多少？