26.3 第1课时 二次函数图象和x轴交点与一元二次方程根的关系（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数图象与x轴交点和一元二次方程根的关系，通过复习一次函数与一元一次方程的联系导入，结合思考问题引导学生观察二次函数图象与x轴交点情况，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以数形结合为核心，通过例题（如多方法求交点坐标）和实际问题（如小球飞行高度）培养学生抽象能力、推理意识和模型意识，练习题分层设计，助力学生巩固知识，教师可高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.3 第1课时 二次函数图象和x轴交点与一元二次方程根的关系 2026年8月3日 人教版九年级上册26.3第1课时 二次函数图象和x轴交点与一元二次方程根的关系同步练习题 一、知识梳理 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴的交点问题，本质等价于对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根问题，是数形结合思想的典型应用。当抛物线图象上的点纵坐标$y=0$时，对应的自变量$x$的值就是抛物线与$x$轴交点的横坐标，同时也是对应一元二次方程的实数根。 根据一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值，可判定抛物线与$x$轴的交点个数，分为三种对应关系：第一，$\Delta>0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线与$x$轴有两个不同的交点；第二，$\Delta=0$时，一元二次方程有两个相等的实数根，抛物线与$x$轴有唯一一个交点（顶点在$x$轴上）；第三，$\Delta<0$时，一元二次方程无实数根，抛物线与$x$轴没有交点。 反之，通过抛物线与$x$轴的交点个数，也可直接判断判别式的符号，进而判断方程根的情况。若抛物线与$x$轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$两点，则一元二次方程的两根为$x=x_1$、$x=x_2$，二次函数解析式可写成交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$。熟练掌握二者的对应关系，可快速解决图象辨析、根的判定、参数取值、交点求解等核心题型。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 二次函数$y=x^2-4x+3$的图象与$x$轴的交点个数为（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 2. 若抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴有唯一交点，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是（） A. 无实数根 B. 两个相等实数根 C. 两个不相等实数根 D. 无法判断 3. 下列二次函数中，图象与$x$轴没有交点的是（） A.$y=x^2-1$ B.$y=2x^2+3x$ C.$y=-x^2+2$ D.$y=x^2+2$ 4. 已知抛物线$y=x^2-6x+m$与$x$轴有两个交点，则$m$的取值范围是（） A.$m>9$ B.$m<9$ C.$m≥9$ D.$m≤9$ 5. 抛物线$y=(x-2)(x+3)$与$x$轴的两个交点横坐标分别是（） A.$2、3$ B.$-2、3$ C.$2、-3$ D.$-2、-3$ 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数$y=x^2+2x+1$的图象与$x$轴有________个交点，对应方程$x^2+2x+1=0$的根为________。 2. 若抛物线$y=x^2+mx-2$与$x$轴有两个不相同的交点，则判别式$\Delta$________0（填“$>$”“$<$”或“$=$”）。 3. 已知二次函数$y=x^2-9$，则其图象与$x$轴的交点坐标为________。 4. 若一元二次方程$2x^2-4x+k=0$无实数根，则抛物线$y=2x^2-4x+k$与$x$轴有________个交点。 5. 抛物线$y=ax^2+bx+4$与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，则方程$ax^2+bx+4=0$的一个根是________。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 二次函数图象与$x$轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根。（） 2. 抛物线$y=-x^2-3x+1$的判别式$\Delta>0$，图象与$x$轴有两个交点。（） 3. 若抛物线与$x$轴无交点，则对应的一元二次方程有两个相等实数根。（） 4. 二次函数$y=2x^2+1$的图象与$x$轴没有交点。（） 5. 当$\Delta=0$时，抛物线的顶点在$x$轴上。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）判断下列二次函数图象与$x$轴的交点个数，并说明理由。 （1）$y=x^2-6x+9$ （2）$y=2x^2+4x+5$ （3）$y=-x^2+3x+4$ 2. （11分）已知二次函数$y=x^2-2x+m$。 （1）若函数图象与$x$轴有两个交点，求$m$的取值范围； （2）若函数图象与$x$轴只有一个交点，求此时交点坐标。 3. （12分）已知抛物线$y=x^2-5x+6$。 （1）求该抛物线与$x$轴的交点坐标； （2）直接写出一元二次方程$x^2-5x+6=0$的根； （3）结合图象说明方程的根与函数交点的关系。 参考答案 一、选择题：1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 二、填空题：1.1，$x_1=x_2=-1$；2.$>$；3.$(3,0)、(-3,0)$；4.0；5.$x=1$ 三、判断题：1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 四、解答题 1. 解：（1）$\Delta=36-36=0$，有1个交点；（2）$\Delta=16-40=-24<0$，无交点；（3）$\Delta=9+16=25>0$，有2个交点。 2. 解：（1）$\Delta=4-4m>0$，解得$m<1$；（2）$\Delta=4-4m=0$，$m=1$，函数为$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，交点坐标为$(1,0)$。 3. 解：（1）令$y=0$，解得$x_1=2，x_2=3$，交点坐标$(2,0)、(3,0)$；（2）方程的根为$x_1=2，x_2=3$；（3）一元二次方程的实数根，就是对应二次函数图象与$x$轴交点的横坐标。 本套习题紧扣本课数形结合核心考点，聚焦判别式、交点个数、方程根三者的对应关系，题型由浅入深，贴合课时重难点，适配课后巩固与自主复习。 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系. 类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系. 复习 一次函数 y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx+b=3的解为________． 1 3 O x y 2 y=kx+b x=2 思考：如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y=x2+x−2； (2) y=x2−8x+16； (3) y=x2−x+1. 由此，你能说方程 x2+x−2=0，x2−8x+16=0，x2−x+1=0 根的情况吗？ y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 通过图中的函数图象可以看出： (1) 抛物线 y=x2+x−2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标分别是−2，1. 当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0. 由此可知，方程 x2+x−2=0 有两个不相等的实数根 −2，1. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 通过图中的函数图象可以看出： (2) 抛物线y=x²−8x+16 与 x 轴只有一个公共点，这个点的横坐标是 4. 当 x=4 时，函数值是 0. 由此可知，方程x2−8x+16=0 有两个相等的实数根 4. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 通过图中的函数图象可以看出： (3) 抛物线 y=x2−x+1 与 x 轴没有公共点. 由此可知，方程 x2−x+1=0 没有实数根. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况. 一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，可得如下结论： (1) 如果抛物线 y=ax2+bx+c 与  轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当  时，函数值是 0，因此  是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根. (2) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与  轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 1. 返回 一元二次方程x2＋2x－8＝0的根是_______________，所以抛物线y＝x2＋2x－8与x轴的公共点坐标是__________________． x1＝2，x2＝－4 (2，0)，(－4，0) 举一反三 8 返回 2. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为(　　) A．x1＝－2，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝－3，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3 B 举一反三 已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为 . 解析：方法一 ∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3,0), ∴x=3是一元二次方程 的一个根， ∴，解得m=3, ∴ 解得 ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). 例1 已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为 . 例1 解析：方法二 ∵二次函数y=-x2+2x+m的图象的对称轴是直线x= 且与x轴的一个交点为(3，0)， ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). 方法三 ∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0), ∴x=3是一元二次方程 的一个根. 设方程的另一个根为x₁，则 解得 ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). (-1，0) 求抛物线与 x 轴的交点的坐标的方法 (1) 已知抛物线的解析式时，转化为解一元二次方程的问题； (2) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解； (3) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标，可利用根与系数的关系求解. (1) 若抛物线 与  轴没有公共点，则  的取值范围是___________； (2) 若抛物线与  轴有公共点，则  的取值范围是____________； (3) 若抛物线与  轴的两个公共点为 (x1，0)，(x2，0)，且 ，则该抛物线与  轴的公共点的坐标为__________________. 跟踪训练 解析：由题意得，方程  的根的判别式=22-4×(-1)×m=4+4m. (1) 若该抛物线与  轴没有公共点，则  ，解得  . (2) 若该抛物线与  轴有公共点，则  ，解得  .     (1) 若抛物线 与  轴没有公共点，则  的取值范围是___________； (2) 若抛物线与  轴有公共点，则  的取值范围是____________； (3) 若抛物线与  轴的两个公共点为 (x1，0)，(x2，0)，且 ，则该抛物线与  轴的公共点的坐标为__________________. 跟踪训练 解析：(3)该抛物线与  轴的两个公共点为， 是方程的两根， . 又，， 该抛物线与轴的公共点的坐标为(，0)，(，0).     (，0)，(，0) 返回 3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，利用图象解答下列各题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的根是___________________； (2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根是________________； (3)方程ax2＋bx＋c＝5的根是________________； (4)方程ax2＋bx＋c＝－4的根是__________； x1＝－1，x2＝3 x1＝0，x2＝2 x1＝4，x2＝－2 x1＝x2＝1 举一反三 返回 (5)方程ax2＋bx＋c＝－6的根的情况怎样？ 解：方程无实数根． 举一反三 返回 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个公共点，则对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　　) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 B 举一反三 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2，小球的飞行高度能否达到20 m? 如果能，需要多长时间？ 例2 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t-5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20t-5t2的根的问题. 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2，小球的飞行高度能否达到20 m? 如果能，需要多长时间？ 例2 解：当  时，由函数关系 ， 列得方程 即 解方程，得 这说明，当自变量  时，二次函数  的函数值为 20，即当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m. 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2. 关于例题，回答下列问题： (1)小球的飞行高度能否达到15 m?如果能，需要多长时间？ 解：(1)小球的飞行高度能达到15 m. 当  时，由函数关系 ， 列得方程 ， 即 . 解方程，得 . ∴当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15 m. 跟踪训练 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2. 关于例题，回答下列问题： (2)小球的飞行高度能否达到20.5 m?如果能，需要多长时间？ 跟踪训练 解：(2)当  时，由函数关系 ， 列得方程 ， 即 . ∵ , ∴方程无实数根， ∴小球的飞行高度不能达到20.5 m. 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2. 关于例题，回答下列问题： (3)小球从飞出到落地，需要多长时间？ 跟踪训练 解：(3)小球飞出和落地时的高度都为0 m， 当  时，由函数关系 ， 列得方程 ， 即 . 解方程，得 . ∴小球从飞出到落地需要4s. 抛物线y＝x2－2x＋1与x轴的交点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 返回 5. B 举一反三 若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是________． 返回 6. 举一反三 返回 7. 【新趋势 跨学科综合】一个小球从地面竖直向上抛，其运动关系式：h＝vt－gt2(不计空气阻力)，其中h(m)是物体距离地面的高度，v(m/s)是初速度，g是重力加速度(g取10 m/s2)，t(s)是抛出后所经历的时间，用发射器(发射器的高度忽略不计)将小球以10 m/s的初速度从地面竖直向上抛． (1)当小球的高度为1.8 m时，求时间t的值； 举一反三 返回 解：把v＝10，g＝10代入h＝ 得，h＝－5t2＋10t， 当h＝1.8时，1.8＝－5t2＋10t， 即5t2－10t＋1.8＝0，解得t1＝0.2，t2＝1.8. 答：当小球的高度为1.8 m时，时间t的值为0.2或1.8. 举一反三 返回 (2)小球的高度能达到5.8 m吗？请作出判断，并说明理由． 解：小球的高度不能达到5.8 m，理由如下： 把h＝5.8代入h＝－5t2＋10t，得5.8＝－5t2＋10t， ∴5t2－10t＋5.8＝0. ∵Δ＝(－10)2－4×5×5.8＝－16<0， ∴5.8＝－5t2＋10t无实数解， ∴小球的高度不能达到5.8 m. 举一反三 返回 8. 二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是(　　) A．－4＜x＜1 B．x＜－3或x＞1 C．x＜－4或x＞1 D．－3＜x＜1 D 举一反三 返回 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线x＝1.若y＜0，则x的取值范围是(　　) A．x＜1 B．x＜－1 C．－1＜x＜1 D．x＜－1或x＞3 D 举一反三 29 返回 10. 如图，关于x的一次函数y＝kx＋n与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为(　　) A．－1≤x≤9 B．－1≤x<9 C．－1<x≤9 D．x≤－1或x≥9 A 举一反三 30 11. [邯郸期中]若抛物线y＝kx2－2x－1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A．k＞－1 B．k≥－1 C．k＞－1且k≠0 D．k≥－1且k≠0 C 返回 举一反三 31 返回 12. [湖北中考]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方．下列结论正确的是(　　) A．a＜0 B．c＜0 C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0 C 举一反三 32 13. [唐山一模已知排球场的长度为18 m，球网在场地中央且高度为2.24 m．某运动员发球时，排球出手后的运动路径可以看成是抛物线的一部分，以地面为x轴，出手位置所在竖直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)该运动员第一次发球时，排球出手位置距地面2.4 m，排球在离发球点的水平距离4 m时达到最高2.88 m. ①求排球运动路径的抛物线的解析式； 返回 举一反三 解：根据题意可知，抛物线经过顶点(4，2.88)及点(0，2.4)， ∴可以设抛物线的解析式为y＝a(x－4)2＋2.88. 将(0，2.4)代入，得2.4＝16a＋2.88，解得a＝－0.03， ∴抛物线的解析式为y＝－0.03(x－4)2＋2.88 ＝－0.03x2＋0.24x＋2.4. 返回 举一反三 (1)该运动员第一次发球时，排球出手位置距地面2.4 m，排球在离发球点的水平距离4 m时达到最高2.88 m. ②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网； 返回 解：当x＝9时，y＝－0.03×92＋0.24×9＋2.4＝2.13， ∵2.13<2.24，∴该运动员第一次发球不能过网． 举一反三 (2)如果该运动员第二次采用跳起发球的方式，出手的角度和力度均不变，仅出手位置上升了0.36 m，请问该运动员此次发球，球是否落在对方界内？ 返回 解：根据题意可知，抛物线向上平移了0.36 m， ∴平移之后的抛物线的解析式为 y1＝－0.03x2＋0.24x＋2.4＋0.36＝－0.03x2＋0.24x＋2.76， 当x＝9时，y1＝－0.03×92＋0.24×9＋2.76＝2.49， 举一反三 返回 ∵2.49>2.24，∴该运动员这次发球能过网． 当y1＝0时，－0.03x2＋0.24x＋2.76＝0， 举一反三 二次函数与 一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0 b2-4ac>0 与x轴有两个公共点 b2-4ac=0 与x轴有一个公共点 b2-4ac<0 与x轴无公共点 课堂小结 谢谢观看 THANKS c＞ vt－gt2 解得x1＝4＋6 ，x2＝4－6 (舍去)． ∵4＋6 <18，∴球落在对方界内． $