26.4.1几何图形的最大面积（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用二次函数求几何图形最大面积”，通过小球运动实例导入，衔接二次函数顶点最值旧知，搭建从函数性质到几何模型的学习支架，系统覆盖矩形、靠墙围栏等典型问题。 其亮点在于结合小球飞行、水火箭升空等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实，通过建立面积函数模型（如矩形面积S=-l²+30l）发展推理能力与模型意识，分层练习与规范解答过程助力学生用数学语言表达，既提升学生应用能力，也为教师提供完整教学资源。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.4.1几何图形的最大面积 2026年7月31日 人教版九年级上册26.4.1几何图形的最大面积专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 利用二次函数求几何图形最大面积，核心是根据几何关系建立________与边长的二次函数模型。 2. 二次函数$$y=ax^2+bx+c$$中，当$$a\lt0$$时，抛物线开口向下，图象有最________值，对应几何图形的最大面积。 3. 周长固定的矩形中，________的面积最大。 4. 若矩形一边长为$$x$$，周长为定值$$L$$，可先用含$$x$$的式子表示________，再列出面积函数解析式。 5. 求解几何面积最值问题时，自变量的取值必须符合________意义，边长必须为正数。 6. 靠墙围矩形围栏问题中，围栏长度只包含________条边，需准确表示边长关系。 7. 二次函数最值公式：当$$x=-\frac{b}{2a}$$时，函数最大值为________。 8. 在矩形面积二次函数模型中，自变量取值范围受________、墙体长度等条件限制。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 周长为20cm的矩形，最大面积是（） A.20cm² B.25cm² C.40cm² D.100cm² 2. 用总长为30m的围栏靠墙围矩形菜园，求最大面积对应的函数模型是（） A.一次函数 B.正比例函数 C.二次函数 D.反比例函数 3. 矩形面积$$y=-x^2+12x$$，则矩形的最大面积为（） A.36 B.72 C.144 D.6 4. 关于几何面积最值问题，下列说法正确的是（） A.所有矩形都有最大面积 B.需结合自变量取值范围判断最值 C.二次函数顶点值一定是实际最值 D.边长可以为负数 5. 周长一定的长方形，长和宽的关系满足（）时面积最大 A.长大于宽 B.长小于宽 C.长等于宽 D.无固定关系 6. 某矩形面积函数$$y=-2x^2+16x$$，取得最大值时的边长$$x$$为（） A.2 B.4 C.8 D.16 7. 靠墙围矩形，墙体长15m，围栏长24m，自变量边长x的取值范围不可能是（） A.$$x\gt0$$ B.$$x\leq15$$ C.负数 D.正数 三、解答题（共42分） 1. 基础面积最值题型（每题6分，共24分） 1. 已知矩形周长为36cm，设一边长为$$x$$cm，求矩形的最大面积。 2. 矩形的面积函数为$$y=-x^2+10x$$（$$0\lt x\lt10$$），求矩形的最大面积及对应边长。 3. 用长为40m的铁丝围成一个矩形，求能围成的矩形最大面积。 4. 已知矩形一边长为$$x$$，另一边长为$$18-x$$，列出面积解析式并求最大值。 2. 靠墙围栏最值问题（9分） 利用一面墙，用总长为40m的围栏围成矩形花园，墙足够长，求花园的最大面积。 3. 几何综合最值问题（9分） 在长为20cm、宽为12cm的矩形纸片上裁剪小矩形，设小矩形一边长为$$x$$cm，面积$$y=-x^2+20x$$，求小矩形的最大面积。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 面积 2. 大 3. 正方形 4. 另一边长 5. 实际 6. 两 7. $$\frac{4ac-b^2}{4a}$$ 8. 边长范围 二、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.B 7.C 三、解答题 1. 解：（1）另一边长为$$18-x$$，面积$$y=x(18-x)=-x^2+18x$$，最大值为81cm²。 （2）$$a=-1\lt0$$，$$x=5$$时，最大面积为25。 （3）设边长$$x$$，面积$$y=-x^2+20x$$，最大面积100m²。 （4）解析式$$y=-x^2+18x$$，最大面积81。 2. 解：设垂直墙的边长为$$x$$，平行墙边长为$$40-2x$$，面积$$y=-2x^2+40x$$，当$$x=10$$时，最大面积为200m²。 3. 解：$$y=-x^2+20x$$，$$a=-1\lt0$$，$$x=10$$时，最大面积为100cm²。 拓展思考题 思考：为什么实际几何最值不一定是抛物线顶点值？ 答：若顶点横坐标不在自变量实际取值范围内，需根据函数增减性，在取值区间端点处求取实际最大面积。 （总字数：1020） 掌握几何问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数解析式求图形面积的最值. 会应用二次函数的性质解决实际问题. 推进新课 问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 分析： ①由a=-5可得，图象的开口向下； ②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图； ③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度。 3 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. h＝30t-5t2 (0≤t≤6) 即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m. 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x= 时，二次函数有最小（大）值 。 1. 返回 [甘肃中考]如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线形路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋ (x>0)，则水流喷出的最大高度是(　　) A．3 m B．2.75 m C．2 m D．1.75 m B 举一反三 6 返回 2. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足的关系为h＝－t2＋12t＋1.则“水火箭”升空的最大高度为________． 37 m 举一反三 利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？ 思考 探究 用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ l S ①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长是 m，场地面积S= m2. ②由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组： . 解不等式组得l的范围是 . l S 总长为60m 分析： (30-l) l(30-l) 0<l<30 何时取最大值呢？ S=l(30-l) l S 总长为60m ③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与横轴的交点坐标是 ，与纵轴的交点坐标是 . 向下 直线l=15 (15,225) (0，0)，(30，0) (0，0) ④根据l的取值范围及③画出该函数图象的草图。 50 100 S 150 200 250 O -50 50 l 由图象知： 点 是图象的最高点，即当l= 时，S有最 (选填“大”或“小”)值. (15,225) 15 大 用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ l S 解： 场地的面积 S=l(30-l) 即S=-l2+30l (0<l<30) 即当l是15m时，场地的面积S最大。 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 返回 3. 如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系 　 (1)铅球推出的水平距离OA的长是多少？ 解得x＝10或x＝－2(舍去)， ∴铅球推出的水平距离OA的长是10 m. 举一反三 返回 (2)铅球推出的过程中最大高度是多少？ 解：∵y＝ ∴顶点的坐标为(4，3)． ∵ <0，∴当x＝4时，y有最大值，最大值为3， ∴铅球推出的过程中最大高度是3 m. 举一反三 随堂演练 基础巩固 1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+ BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面 积最大？ 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y, 则BD=(10-x). 即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. 返回 4. [教材P51例2变式]泰安中考]改编如图，小明的父亲想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40 m，则可围成的菜园的最大面积是(　　) A．420 m2 B．450 m2 C．480 m2 D．500 m2 B 举一反三 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动，动点Q从点B出发沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t s，△PBQ的面积为S cm2. (1)BP＝________cm，BQ＝________cm. (用含t的代数式表示) 返回 5. (12－2t) 4t 举一反三 返回 (2)t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 解：由(1)得BP＝(12－2t)cm，BQ＝4t cm， ∴S＝ ×(12－2t)×4t＝－4t2＋24t＝－4(t－3)2＋36. ∵－4<0， ∴当t＝3时，△PBQ的面积最大，最大面积是36 cm2. 举一反三 用总长为a米的材料做成如图①所示的矩形窗框，设窗框的一边长为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图②所示，则a的值是(　　) A．16 B．12 C．8 D．4 返回 6. B 举一反三 返回 7. 如图，将小球沿着与地面成30°的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间t/s 0 0.5 2 飞行高度h/m 0 8.25 24 举一反三 返回 (1)求小球的飞行高度h关于飞行时间t的二次函数关系式(不写自变量取值范围)； 解：由题意可设h关于t的二次函数关系式为h＝at2＋bt， 将(0.5，8.25)，(2，24)代入得 ∴h关于t的二次函数关系式为h＝－3t2＋18t. 举一反三 返回 (2)若小球飞行时间不超过4 s，则小球飞行高度能否达到15 m？若能，求出此时t的值，若不能，说明理由； 解：能．当h＝15时，－3t2＋18t＝15， 解得t1＝1，t2＝5(舍去)． ∴若小球飞行时间不超过4 s，小球飞行高度能达到15 m， 此时t＝1. 举一反三 返回 (3)当t的值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 解：h＝－3t2＋18t＝－3(t－3)2＋27. ∵－3<0， ∴当t的值为3时，小球飞行的高度最大，最大高度是27 m. 举一反三 课堂小结 2.图形面积最值问题： 由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题. 1.运动问题： （1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解； （2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢观看 THANKS 解：将y＝0代入y＝－x2＋x＋， 得0＝－x2＋x＋，整理得(x－10)(x＋2)＝0， y＝－x2＋x＋. －x2＋x＋＝－(x－4)2＋3， － 解得 $