26.4 第1课时 高度、面积最值问题（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决高度、面积最值问题，通过跳水运动、水火箭升空等实际情境导入，衔接二次函数顶点性质与实际应用，以知识梳理、例题解析和变式训练为支架，帮助学生构建从数学模型到实际问题的解决路径。 其亮点是以铅球飞行、篱笆围菜园等真实情境为载体，通过“审设列解检答”步骤培养模型意识与应用意识，题型梯度从基础选择到综合解答，课堂小结结构化呈现问题转化过程。学生能提升实际问题建模能力，教师可借助分层训练素材高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.4 第1课时 高度、面积最值问题 2026年8月3日 人教版九年级上册26.4第1课时 高度、面积最值问题同步练习题 一、知识梳理 二次函数的最值是解决实际最值问题的核心工具，生活中常见的物体运动高度、图形面积最大值或最小值问题，均可通过建立二次函数模型求解。二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，在自变量取值为全体实数时，若$a>0$，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值；若$a<0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，顶点横坐标$x=-\dfrac{b}{2a}$为最值对应的自变量取值。 物体高度最值问题：竖直上抛、平抛运动的物体，运动高度与运动时间成二次函数关系，解析式通常为$h=at^2+bt+c(a≠0)$。由于重力影响，二次项系数$a$恒为负数，抛物线开口向下，函数存在最大值，对应物体运动的最高高度以及到达最高点的时间，解题时需注意时间自变量的取值范围为非负数。 图形面积最值问题：矩形、正方形、三角形等规则图形，在周长固定、边长受限的条件下，面积可构造二次函数模型。通常以图形边长为自变量，根据面积公式列出函数解析式，结合自变量的实际取值范围（边长大于0、符合图形约束条件），求解面积的最大值或最小值。常见结论：周长固定的矩形中，正方形面积最大。 实际最值问题通用解题步骤：审题分析变量关系，设定自变量与因变量；根据公式或题意建立二次函数解析式；结合实际情况确定自变量取值范围；利用顶点公式求解最值；检验最值对应的自变量是否在取值范围内，最终得出符合实际的最值结果。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 已知物体运动高度$h=-2t^2+8t$（$t$为运动时间），则物体运动的最高点对应的时间是（） A.$t=2$ B.$t=4$ C.$t=8$ D.$t=1$ 2. 周长为20cm的矩形，设长为$x$cm，面积为$S$cm²，则面积$S$的最大值为（） A.$20\mathrm{cm^2}$ B.$25\mathrm{cm^2}$ C.$100\mathrm{cm^2}$ D.$50\mathrm{cm^2}$ 3. 二次函数$h=-3t^2+6t+1$可描述物体运动高度，下列说法正确的是（） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 无最值 D. 最值随时间变化 4. 用长为30m的篱笆围成矩形菜园，矩形面积最大时，长和宽的关系是（） A. 长大于宽 B. 长小于宽 C. 长宽相等 D. 无法确定 5. 已知矩形面积函数$S=-x^2+12x$，则矩形的最大面积为（） A.$36$ B.$72$ C.$12$ D.$144$ 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 物体竖直上抛运动高度$h=-5t^2+20t$，则物体上升的最大高度为________。 2. 周长固定的矩形中，________时面积最大。 3. 二次函数$S=-2x^2+8x$的最大值为________，此时$x=$________。 4. 某小球运动高度随时间变化的函数为$h=-t^2+4t+3$，小球到达最高点的时间为________秒。 5. 若矩形一边长为$x$，另一边长为$10-x$，则矩形面积的最大值为________。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 描述物体上升高度的二次函数，二次项系数一定为负数。（） 2. 周长一定的矩形，长和宽差距越大，面积越大。（） 3. 二次函数求实际最值时，无需考虑自变量取值范围。（） 4. 函数$S=-3x^2+6x$存在最大值。（） 5. 物体竖直上抛到最高点时，速度为0，高度达到最大值。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）一个小球从地面竖直向上抛出，它的运动高度$h$（米）与运动时间$t$（秒）的函数关系式为$h=-4t^2+16t$。 （1）求小球到达最高点的运动时间； （2）求小球上升的最大高度； （3）求小球落地的总时间。 2. （11分）用总长为40m的篱笆围成一个矩形露天菜园，菜园一边靠墙，其余三边用篱笆围成，设矩形垂直于墙的边长为$x$m，菜园面积为$S\mathrm{m^2}$。 （1）求$S$与$x$的函数关系式及自变量取值范围； （2）求菜园的最大面积。 3. （12分）已知一个直角三角形的两条直角边之和为16cm，设其中一条直角边长为$x$cm，三角形面积为$y\mathrm{cm^2}$。 （1）求出$y$与$x$的函数解析式； （2）求直角三角形的最大面积； （3）求面积最大时两条直角边的长度。 参考答案 一、选择题：1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 二、填空题：1.$20$米；2.长宽相等（为正方形）；3.$8，2$；4.$2$；5.$25$ 三、判断题：1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.√ 四、解答题 1. 解：（1）由$a=-4，b=16$，得$t=-\dfrac{16}{2\times(-4)}=2$秒；（2）将$t=2$代入解析式，$h=-4\times4+16\times2=16$米，最大高度为16米；（3）令$h=0$，解得$t_1=0$（抛出），$t_2=4$，落地总时间为4秒。 2. 解：（1）平行于墙的边长为$(40-2x)$m，$S=x(40-2x)=-2x^2+40x$，自变量范围$0<x<20$；（2）当$x=10$时，面积最大，最大面积为$200\mathrm{m^2}$。 3. 解：（1）另一条直角边为$(16-x)$cm，$y=\dfrac{1}{2}x(16-x)=-\dfrac{1}{2}x^2+8x$；（2）当$x=8$时，最大面积为$32\mathrm{cm^2}$；（3）此时两条直角边长均为8cm。 本套习题聚焦二次函数高度、面积两大核心最值模型，贴合实际应用考点，训练建模解题、范围分析、最值计算的核心能力，题型梯度适中，适配课时巩固、课后作业与专项拔高训练。 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是 h=﹣4.9t2+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 例1 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是 h=﹣4.9t2+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 例1 解：对于二次函数h=﹣4.9t2+2.8t+11，当 时，h有最大值 . 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 思考：函数h=﹣4.9t2+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？ 起跳阶段 (t = 0 到 t ≈0.3 s) 运动员从高度 11 m 处起跳，重心高度逐渐上升，在约 0.3 s时达到最高点11.4m. 下落阶段(t ≈0.3 s到落水) 到达最高点后，重心高度开始下降，直到重心高度为0时，运动员入水，完成跳水动作. 1. 返回 [甘肃中考]如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线形路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋ (x>0)，则水流喷出的最大高度是(　　) A．3 m B．2.75 m C．2 m D．1.75 m B 举一反三 5 返回 2. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足的关系为h＝－t2＋12t＋1.则“水火箭”升空的最大高度为________． 37 m 举一反三 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为x m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 例2 (20-2x)m x m S=x(20-2x) . 思考：自变量的取值范围怎么考虑呢？ 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义. 如菜园的边长应为正数， 即 x>0，且 20-2x>0， 于是自变量x的取值范围是 0<x<10. 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 例2 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x) . 即 S=-2x2+20x (0< x <10). 当x=﹣ =5时，S有最大值 =50. 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 . (20-2x)m x m 返回 3. 如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系 　 (1)铅球推出的水平距离OA的长是多少？ 解得x＝10或x＝－2(舍去)， ∴铅球推出的水平距离OA的长是10 m. 举一反三 返回 (2)铅球推出的过程中最大高度是多少？ 解：∵y＝ ∴顶点的坐标为(4，3)． ∵ <0，∴当x＝4时，y有最大值，最大值为3， ∴铅球推出的过程中最大高度是3 m. 举一反三 如果例题中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？ 最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 且20-2x≤8，即x≥6， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x)， 即S=-2x2+20x (6≤x<10). ∵当6≤x<10时，S随x的增大而减小， ∴当x=6时，S有最大值-2×62+20×6=48. 因此，当垂直于墙的边长为6m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为48 m2. 跟踪训练 1.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=x m，花园面积为S m2. (1)求S关于x的函数解析式; (2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值. 解：(1) 由题意得BC=(28-x) m， 则S=x(28-x)=-x2+28x (0<x<28). (2) ∵S=-x2+28x=-(x-14)2+196, ∴当x=14时，S有最大值，最大值是196. 2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m)与小球运动的时间 t (单位：s)的关系近似为 h=30t-5t2 (0≤ t ≤6) .小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 解：h=30t-5t2=-5(t-3)2+45. ∵ 0≤ t ≤6， ∴当t=3时，h有最大值45. 答：小球运动3s时，小球最高，最大高度是45m. 返回 4. [教材P51例2变式]泰安中考]改编如图，小明的父亲想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40 m，则可围成的菜园的最大面积是(　　) A．420 m2 B．450 m2 C．480 m2 D．500 m2 B 举一反三 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动，动点Q从点B出发沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t s，△PBQ的面积为S cm2. (1)BP＝________cm，BQ＝________cm. (用含t的代数式表示) 返回 5. (12－2t) 4t 举一反三 返回 (2)t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 解：由(1)得BP＝(12－2t)cm，BQ＝4t cm， ∴S＝ ×(12－2t)×4t＝－4t2＋24t＝－4(t－3)2＋36. ∵－4<0， ∴当t＝3时，△PBQ的面积最大，最大面积是36 cm2. 举一反三 用总长为a米的材料做成如图①所示的矩形窗框，设窗框的一边长为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图②所示，则a的值是(　　) A．16 B．12 C．8 D．4 返回 6. B 举一反三 返回 7. 如图，将小球沿着与地面成30°的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间t/s 0 0.5 2 飞行高度h/m 0 8.25 24 举一反三 返回 (1)求小球的飞行高度h关于飞行时间t的二次函数关系式(不写自变量取值范围)； 解：由题意可设h关于t的二次函数关系式为h＝at2＋bt， 将(0.5，8.25)，(2，24)代入得 ∴h关于t的二次函数关系式为h＝－3t2＋18t. 举一反三 返回 (2)若小球飞行时间不超过4 s，则小球飞行高度能否达到15 m？若能，求出此时t的值，若不能，说明理由； 解：能．当h＝15时，－3t2＋18t＝15， 解得t1＝1，t2＝5(舍去)． ∴若小球飞行时间不超过4 s，小球飞行高度能达到15 m， 此时t＝1. 举一反三 返回 (3)当t的值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 解：h＝－3t2＋18t＝－3(t－3)2＋27. ∵－3<0， ∴当t的值为3时，小球飞行的高度最大，最大高度是27 m. 举一反三 返回 8. 【情境题 方案策略型】某校准备在校园里利用围墙(墙可用最大长度为25.2 m)和48 m长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形农场．某数学兴趣小组设计了三种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙)，请根据设计的方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度(AE)为2 m的矩形水池，且需保证总种植面积为185.52 m2，试确定CG的长； 举一反三 解：由题意得BC＝(48－25.2)÷3＝7.6(m)， ∴Ⅰ，Ⅱ两块矩形的面积为7.6×25.2＝191.52(m2)． 设水池的长为a m，则水池的面积为2×a＝2a(m2)， ∴191.52－2a＝185.52，解得a＝3， ∴DG＝3 m，∴CG＝CD－DG＝25.2－3＝22.2(m)． 返回 举一反三 返回 (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形农场的总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ 解：设BC＝x m，总种植面积为S1 m2，则CD＝(48－3x)m， ∴S1＝x(48－3x)＝－3(x2－16x)＝－3(x－8)2＋192. ∵－3<0，且易知7.6≤x<16， ∴当x＝8时，S1有最大值，最大值为192， 即BC应设计为8 m，总种植面积最大，最大面积为192 m2. 举一反三 返回 (3)方案三：如图③，在图中所示三处位置各留1 m宽的门，且使围成的两块矩形农场的总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ 解：设BC＝y m，总种植面积为S2 m2， 则CD＝48＋3－3y＝51－3y(m)， ∴S2＝y(51－3y)＝－3(y2－17y)＝ ∵－3<0，且易知 举一反三 返回 ∴易得当y＝8.6时，S2有最大值，最大值为216.72， 即BC应设计为8.6 m，总种植面积最大，最大面积为216.72 m2. 举一反三 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 解：将y＝0代入y＝－x2＋x＋， 得0＝－x2＋x＋，整理得(x－10)(x＋2)＝0， y＝－x2＋x＋. －x2＋x＋＝－(x－4)2＋3， － 解得 －3＋216.75， 8.6≤y≤， $