26.4 课时1 最大高度与最大面积问题课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的最大（小）值问题，核心内容包括最大高度（如跳水、抛小球）与最大面积（如矩形菜园）的求解。课堂通过“抛物体高度”等现实情境导入，引导学生从具体问题抽象出二次函数关系，结合顶点坐标公式，搭建从实际到理论再到几何应用的学习支架。 其亮点在于以真实情境为载体，发展数学眼光（观察现实中的数量关系），通过“建立关系式-确定范围-图像分析-求最值”问题链培养数学思维（推理顶点与自变量范围），用函数模型表达现实问题（数学语言）。采用“关键+注意”总结方法，学生能提升建模与应用能力，教师可借助实例和变式优化教学。

将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么如何知道该物体最多可以抛多高呢？ 26.4 课时1 最大高度与最大面积问题 第二十六章 二次函数 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 任务一：会求二次函数的最大（或最小）值. 活动：在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=－4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.） 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为运动员重心的最大高度. 即运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 思考：函数h=－4.9t²+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ 运动员从11m高度起跳，先向上做减速运动,在起跳0.3s时到达11.4m的最高点，随后向下做加速运动，在起跳约1.8s时落入水中，整个过程的重心高度变化呈现先增后减的抛物线形态. (0.3, 11.4) 一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x＝ 时，二次函数有最小（大）值 ． 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 分析： ①由a＝－5可得，图象的开口向下； ②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图； ③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度． 7 解：抛物线解析式化为顶点式 = −5(t2−6t+9−9) 对称轴：t = 3， 顶点坐标：(3，45). 所以抛物线开口向下. 所以小球运动到3 秒时达到最高点. 小球运动的最大高度是 45 米. h = 30t − 5t2 = −5(t−3)2 + 45（0≤t≤6） 因为a = −5 < 0， （1）矩形面积公式是什么？ （2）若设垂直于墙的边长为xm,如何用x表示另一边？ （3）面积S的函数解析式是什么？ 矩形的面积 = 长×宽 20−2x S＝－2x2＋20x 任务二：解决二次函数与几何图形面积的最值问题 活动：如图，利用一面墙（墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 20 - 2x x x 解：设垂直于墙的一边长为 x m， 则平行于墙的边长为 (20 − 2x) m， 矩形菜园的面积 S = x(20 − 2x)， 即 S = −2x2 + 20x (0＜x＜10). 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 m². 当 时，S 有最大值 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义.如菜园的边长应为正数，即x＞0，且20-2x＞0. 解：由上得，S = −2x2+20x . 因为墙的长度为8m， 所以0<202x≤8，即6 ≤ x <10. 对称轴为x = 5 ， 抛物线开口向下. 所以当x = 6时，S有最大值 S最大值 = −2×62 + 20×6 = 48 m2 因此当垂直于墙的边长为6m，平行于墙的边长为 8m 时，菜园面积最大，最大面积是 48m². 变式：如果上述问题中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1．根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2．确定自变量的取值范围； 3．根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4．根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值． 用一条长为 40 cm 的绳子围成一个面积为 a cm2的长方形，a 的值不可能为(　　) A．20 B．40 C．100 D．120 D 最大高度与最大面积问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 最值有时不在顶点处，要利用函数的增减性来确定 针对本节课的关键词“最值问题与二次函数”，说说学到了哪些知识？ 1.已知一个直角三角形两条直角边的和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为( ) A. 25 cm2 B. 50 cm2 C. 100 cm2 D. 不确定 B 2.如图是一个长为20m，宽为16m 的矩形花园，根据需要将它的长缩短xm，宽增加xm，要使修改后的花园面积达到最大，则x的值为( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 4 C 3.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10， 当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？ 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y, 则BD=(10-x). 即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. 4.如图，计划用长为40m2的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m). (1)矩形围栏的面积为150m²时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m? 解：(1)设垂直于墙的一边长xm. 根据题意，得x（40-2x）=150.解得x1=5,x2=15. 当x=5时,40-2x=30>25（不符合题意，舍去）； 当x=15时,40-2x=10<25（符合题意）. ∴三边长分别为10m,15m,15m. 解：(2)设设矩形围栏的面积为Sm². 根据题意,得S=x（40-2x）=-2（x-10)²+200 当x=10时,S有最大值，S最大值=200； 当x=10时，40-2x=20<25（符合题意）. ∴三边长分别为20m,10m,10m. 4.如图，计划用长为40m2的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m). (1)矩形围栏的面积为150m²时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m? $