26.2.2 第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = a(x - h)^2\)的图象和性质，核心知识点包括顶点坐标、对称轴、平移规律及增减性。通过“探究”环节列表描点画图，对比\(y = -\frac{1}{2}(x±1)^2\)与\(y = -\frac{1}{2}x^2\)的关系，搭建从基础抛物线到左右平移变换的学习支架。 其亮点在于结合“探究-例析-举一反三”教学环节，以具体函数实例（如\(y = -3(x - 4)^2\)）培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），通过性质对比表与规范语言（数学语言）总结规律。助力学生突破“左加右减”易错点，教师可利用梯度练习提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.2.2 第2课时 二次函数 y＝a(x－h)2的图象和性质 2026年8月3日 人教版九年级上册26.2.2第2课时 二次函数$y=a(x-h)^2$的图象和性质同步练习题 一、知识梳理 二次函数$y=a(x-h)^2（a≠0）$是二次函数顶点式的核心形式之一，由基础抛物线$y=ax^2$左右平移得到。该函数图象与$y=ax^2$的形状、开口方向、开口宽窄完全一致，仅对称轴和顶点位置发生改变，是后续学习顶点式综合图象与平移变换的关键基础。 函数核心图象特征：顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$，图象始终平行于$y$轴。其平移规律为“左加右减”，针对自变量$x$变换：当$h>0$时，抛物线由$y=ax^2$向右平移$h$个单位；当$h<0$时，抛物线由$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位，区别于$y=ax^2+k$的上下平移规律，是本课时易错核心考点。 函数的增减性与最值由系数$a$的符号决定。当$a>0$时，抛物线开口向上，顶点$(h,0)$为图象最低点，函数最小值为$0$；在对称轴左侧即$x<h$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧即$x>h$时，$y$随$x$的增大而增大。当$a<0$时，抛物线开口向下，顶点$(h,0)$为图象最高点，函数最大值为$0$；在对称轴左侧即$x<h$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧即$x>h$时，$y$随$x$的增大而减小。 参数核心作用：$a$决定抛物线开口方向与开口宽窄，$h$决定抛物线的左右平移位置。熟练掌握该函数的图象性质、平移规律、增减性与最值，可快速解决图象辨析、平移求解、函数值比较、解析式求解等基础题型。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$y=3(x-2)^2$的顶点坐标是（） A.$(2,0)$ B.$(-2,0)$ C.$(0,2)$ D.$(0,-2)$ 2. 将抛物线$y=2x^2$向左平移3个单位，所得抛物线解析式是（） A.$y=2(x-3)^2$ B.$y=2(x+3)^2$ C.$y=2x^2+3$ D.$y=2x^2-3$ 3. 对于抛物线$y=-4(x+1)^2$，下列说法正确的是（） A. 对称轴为直线$x=1$ B. 开口向上 C. 最大值为0 D. $x>-1$时，$y$随$x$增大而增大 4. 抛物线$y=5(x-4)^2$的对称轴是（） A. 直线$x=4$ B. 直线$x=-4$ C. $x$轴 D. $y$轴 5. 下列抛物线中，开口最平缓且对称轴在$x$轴正半轴的是（） A.$y=2(x-1)^2$ B.$y=0.5(x-2)^2$ C.$y=-3(x+1)^2$ D.$y=-1(x+2)^2$ 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数$y=-2(x-5)^2$的开口方向是________，顶点坐标为________。 2. 抛物线$y=(x+4)^2$是由$y=x^2$向________平移________个单位得到的。 3. 对于抛物线$y=4(x-3)^2$，当$x$________时，$y$随$x$的增大而减小。 4. 已知抛物线$y=a(x-1)^2$经过点$(2,8)$，则$a=$________。 5. 点$A(3,y_1)$、$B(5,y_2)$在抛物线$y=-(x-4)^2$上，则$y_1$________$y_2$（填“$>$”“$<$”或“$=$”）。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 抛物线$y=-(x-2)^2$的顶点在$x$轴正半轴上。（） 2. 二次函数$y=6(x+3)^2$的最小值为0。（） 3. 将$y=3x^2$向右平移2个单位得到$y=3(x+2)^2$。（） 4. 抛物线$y=-5(x-1)^2$的对称轴是直线$x=1$。（） 5. 当$x>-2$时，$y=2(x+2)^2$中$y$随$x$的增大而减小。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）已知二次函数$y=2(x-1)^2$。 （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）分析函数的增减性与最值情况； （3）说明该抛物线是由$y=2x^2$经过怎样的平移得到的。 2. （11分）已知抛物线$y=a(x-h)^2$经过点$(1,0)$和$(2,3)$。 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）求当$x=0$时，对应的函数值$y$。 3. （12分）已知抛物线$y=-3(x+m)^2$。 （1）若抛物线对称轴为直线$x=2$，求$m$的值； （2）若抛物线向左平移2个单位后顶点在$x$轴原点，求$m$的值； （3）判断该函数的最值，并说明增减性变化规律。 参考答案 一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 二、填空题：1.向下，$(5,0)$；2.左，4；3.$<3$；4.$8$；5.$=$ 三、判断题：1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.× 四、解答题 1. 解：（1）$a=2>0$，开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标$(1,0)$；（2）当$x<1$时，$y$随$x$增大而减小，当$x>1$时，$y$随$x$增大而增大，函数最小值为$0$，无最大值；（3）由抛物线$y=2x^2$向右平移1个单位得到。 2. 解：（1）将$(1,0)$代入解析式得$h=1$，解析式为$y=a(x-1)^2$，再将$(2,3)$代入得$a=3$，最终解析式为$y=3(x-1)^2$；（2）当$x=0$时，$y=3×(0-1)^2=3$。 3. 解：（1）抛物线对称轴为直线$x=-m$，即$-m=2$，解得$m=-2$；（2）原抛物线顶点为$(-m,0)$，左移2个单位后顶点为$(-m-2,0)$，代入原点得$-m-2=0$，解得$m=-2$；（3）$a=-3<0$，函数最大值为$0$；当$x<-m$时，$y$随$x$增大而增大，当$x>-m$时，$y$随$x$增大而减小。 本套习题聚焦$y=a(x-h)^2$的左右平移规律、图象特征、增减性与最值，针对性突破“左加右减”易错点，题型梯度合理，适配课时巩固、课后作业与自主复习。 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 的图象，并分别指出它的开口方向、对称轴和顶点. 先分别列表： x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 … y=﹣(x+1)2 … −4.5 −2 −0.5 0 −0.5 −2 −4.5 … x … −2 −1 0 1 2 3 4 … y=﹣(x-1)2 … −4.5 −2 −0.5 0 −0.5 −2 −4.5 … 然后描点画图，得到 y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 的图象（如图）. y=﹣(x+1)2 y=﹣(x-1)2 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 的图象，并分别指出它的开口方向、对称轴和顶点. y=﹣(x+1)2 y=﹣(x-1)2 可以看出，抛物线  的开口向下，对称轴是经过点 (-1,0) 且与  轴垂直的直线，把它记作 ，顶点是(-1,0)； 抛物线 的开口向下，对称轴是x=1，顶点是(1，0). 探究 (2) 抛物线y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 与抛物线 y=﹣x2有什么关系？ y=﹣(x+1)2 y=﹣(x-1)2 可以发现，把抛物线 （图中的虚线图形）向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ； 把抛物线  向右平移 1 个单位长度，就得到抛物线 . 1. 返回 已知二次函数y＝(x－1)2，则它的图象大致为(　　) B 举一反三 5 返回 2. [张家口期末]若抛物线y＝m(x＋2)2的开口向下，则m的值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 A 举一反三 也可以利用信息技术工具画函数 y=a(x-h)2 的图象. 改变h的值，可以发现，随着h的变化，二次函数 y=a(x-h)2 的图象向左或向右平移，即把抛物线 y=ax2 向左 (h<0) 或向右 (h>0) 平移 |h| 个单位长度，就可以得到抛物线y=a(x-h)2 . 思考：你能归纳出二次函数 y=a(x-h)2 的图象特征和性质吗？ 抛物线 y=a(x-h)2 抛物线y=a 沿 x 轴向左平移|h|个单位长度 抛物线 y=a(x-h)2 抛物线y=a 沿 x 轴向右平移 h 个单位长度 （1）当h>0时： （2）当h<0时： 简记为“左加右减自变量” 函数 y=a(x-h)2 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=0 当 x=h 时，y最大值​=0 二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质 返回 3. 【新考法 逐项判断法】下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝2的是(　　) A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝－(x－2)2 D．y＝(x＋2)2 C 举一反三 返回 4. 对于二次函数y＝3(x＋4)2，其图象的顶点坐标为(　　) A．(0，4) B．(0，－4) C．(4，0) D．(－4，0) D 举一反三 在同一平面直角坐标系中，画出函数  与  的图象，并根据图象回答下列问题： 例1 x … -2 -1 0 1 2 …   … -2 -0.5 0 -0.5 -2 … 解：分别列表： x … 0 1 2 3 4 …  y= … -2 -0.5 0 -0.5 -2 … 描点连线，得函教 y= 与 y=的图象，如图所示. (1)抛物线 y=﹣(x-2)2 可以由抛物线 y=﹣ 怎样平移得到？ (2)抛物线 y=﹣(x-2)2 的开口向______，对称轴是_________，顶点坐标是______，除顶点外，抛物线上的点都在  轴的______方. (3)对于函数 y=﹣(x-2)2，当 x> ____ 时，y 随 x 的增大而减小；当 x= ____ 时，y 有最大值，最大值是______. 解：(1)抛物线 y=﹣(x-2)2 可以由抛物线 y=﹣ 向右平移2个单位得到. 下 直线x=2 (2,0) 下 2 2 0 二次函数y＝－5(x＋3)2的最大值是(　　) A．0 B．－5 C．3 D．－3 返回 5. A 举一反三 [秦皇岛校级期末]若点A(－1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝(x＋2)2上，则y1，y2的大小关系是(　　) A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2 返回 6. C 举一反三 返回 7. 已知二次函数y＝ (x＋3)2，当x________时，y随x的增大而减小，当x＝________时，函数有最________值，为________． ＜－3 －3 小 0 举一反三 返回 8. 把抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是(　　) A．y＝(x＋2)2 B．y＝(x－2)2 C．y＝x2＋2 D．y＝x2－2 A 举一反三 返回 9. 关于抛物线y＝－3(x－4)2与y＝－3x2的相同点，下列说法错误的是(　　) A．对称轴相同 B．开口方向相同 C．顶点都在x轴上 D．形状相同 A 举一反三 18 返回 10. 将抛物线y＝2x2向______平移______个单位长度，得到抛物线y＝2(x－1)2.抛物线y＝2(x－1)2的对称轴是直线________，顶点坐标是________． 右 1 x＝1 (1，0) 举一反三 19 返回 11. 已知一条抛物线的开口方向和形状与抛物线y＝3x2的都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的相同． (1)写出这条抛物线的解析式； (2)将(1)中的抛物线向右平移4个单位长度，写出平移后的抛物线的解析式． 解：(1)这条抛物线的解析式为y＝3(x＋2)2. (2)平移后的抛物线的解析式为y＝3(x－2)2. 举一反三 20 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质 图象 性质 与抛物线y=ax2的关系 1.开口方向由a的符号决定； 2.h决定对称轴的位置； 3.顶点坐标 (h，0) 平移规律： 左加右减自变量 课堂小结 谢谢观看 THANKS Lavf57.25.100 $