26.2.2 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\( y = a(x - h)^2 + k \)的图象和性质，通过复习\( y = ax^2 \)的平移基础，衔接前两课时左右、上下平移知识，构建完整的顶点式学习支架，系统梳理顶点坐标、对称轴、平移规律及增减性等核心内容。 其亮点在于知识梳理结构化呈现（如表格对比开口方向、对称轴等性质），结合探究活动（画图分析平移关系）和实例应用（喷水池问题），发展学生抽象能力与模型意识。练习题分层设计，课堂小结提炼要点，助力学生夯实基础，教师可高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.2.2 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 2026年8月3日 人教版九年级上册26.2.2第3课时 二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象和性质同步练习题 一、知识梳理 二次函数$y=a(x-h)^2+k（a≠0）$是二次函数的顶点式完整版，是前两课时上下平移、左右平移的综合运用。该函数由基础抛物线$y=ax^2$先进行左右平移、再进行上下平移得到，图象形状、开口大小、开口方向均与$y=ax^2$完全相同，仅顶点与对称轴位置发生变化，是本章二次函数图象性质、平移变换的核心重点。 函数核心图象参数：顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。平移规律综合“左加右减、上加下减”：$h$控制左右平移，$h>0$右移，$h<0$左移；$k$控制上下平移，$k>0$上移，$k<0$下移。相较于基础函数，该抛物线顶点不再局限于坐标轴上，可出现在平面直角坐标系任意象限，适用性更广。 函数增减性与最值由$a$的符号和对称轴共同决定。当$a>0$时，抛物线开口向上，顶点$(h,k)$为最低点，函数有最小值$k$；当$x<h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x>h$时，$y$随$x$的增大而增大。当$a<0$时，抛物线开口向下，顶点$(h,k)$为最高点，函数有最大值$k$；当$x<h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x>h$时，$y$随$x$的增大而减小。 参数作用总结：$a$决定开口方向与宽窄，$h$决定对称轴横坐标与左右平移距离，$k$决定顶点纵坐标与上下平移距离。熟练掌握顶点式，可快速解决图象判断、平移变换、最值计算、函数值大小比较、解析式求解等高频题型，是后续二次函数综合题的基础。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$y=2(x-1)^2+3$的顶点坐标是（） A.$(1,3)$ B.$(-1,3)$ C.$(1,-3)$ D.$(-1,-3)$ 2. 将抛物线$y=3x^2$向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得解析式是（） A.$y=3(x+2)^2+1$ B.$y=3(x-2)^2+1$ C.$y=3(x-2)^2-1$ D.$y=3(x+2)^2-1$ 3. 对于抛物线$y=-(x+2)^2-4$，下列说法正确的是（） A. 开口向上 B. 对称轴为直线$x=2$ C. 最大值为$-4$ D. 最小值为$-4$ 4. 抛物线$y=4(x-3)^2+2$在对称轴右侧的增减性是（） A. $y$随$x$增大而增大 B. $y$随$x$增大而减小 C. 保持不变 D. 无法确定 5. 下列抛物线中，顶点在第三象限的是（） A.$y=(x-1)^2+2$ B.$y=(x+1)^2+2$ C.$y=(x+1)^2-2$ D.$y=(x-1)^2-2$ 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数$y=-3(x+4)^2+5$的开口方向是________，对称轴是________。 2. 抛物线$y=(x-2)^2-5$是由$y=x^2$先向________平移2个单位，再向________平移5个单位得到。 3. 对于抛物线$y=2(x+1)^2-3$，当$x=$________时，函数取得最小值________。 4. 已知抛物线$y=a(x-2)^2+1$经过点$(3,5)$，则$a=$________。 5. 点$P(2,y_1)$、$Q(4,y_2)$在抛物线$y=-(x-3)^2+2$上，则$y_1$________$y_2$（填“$>$”“$<$”或“$=$”）。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 抛物线$y=5(x-3)^2+2$的顶点为$(3,2)$，开口向上。（） 2. 二次函数$y=-2(x+1)^2+4$的最大值为4。（） 3. 将$y=x^2$左移3个单位、下移2个单位得$y=(x-3)^2-2$。（） 4. 抛物线$y=4(x-2)^2-1$的对称轴是直线$x=2$。（） 5. 当$x<-3$时，$y=3(x+3)^2+1$中$y$随$x$增大而增大。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）已知二次函数$y=-2(x+2)^2+4$。 （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）求函数的最值，并说明增减性规律； （3）说明该抛物线由$y=-2x^2$经过怎样的平移变换得到。 2. （11分）已知抛物线$y=a(x-h)^2+k$经过点$(1,1)$、$(2,4)$，且对称轴为直线$x=3$。 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）求当$x=3$时，函数的对应值。 3. （12分）已知抛物线$y=3(x-1)^2+m$。 （1）若抛物线顶点在直线$y=-2$上，求$m$的值； （2）若抛物线向上平移2个单位后最小值为5，求$m$的值； （3）比较点$A(0,y_1)$、$B(2,y_2)$的函数值大小。 参考答案 一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 二、填空题：1.向下，直线$x=-4$；2.右，下；3.$-1$，$-3$；4.$4$；5.$=$ 三、判断题：1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.× 四、解答题 1. 解：（1）$a=-2<0$，开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标$(-2,4)$；（2）函数最大值为$4$，无最小值；当$x<-2$时，$y$随$x$增大而增大，当$x>-2$时，$y$随$x$增大而减小；（3）由$y=-2x^2$向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到。 2. 解：（1）由对称轴$x=3$得$h=3$，解析式为$y=a(x-3)^2+k$，代入$(1,1)$、$(2,4)$，解得$a=-3$，$k=13$，解析式为$y=-3(x-3)^2+13$；（2）当$x=3$时，$y=13$。 3. 解：（1）抛物线顶点$(1,m)$，代入$y=-2$得$m=-2$；（2）平移后解析式$y=3(x-1)^2+m+2$，最小值$m+2=5$，解得$m=3$；（3）抛物线对称轴为$x=1$，$A$、$B$关于对称轴对称，故$y_1=y_2$。 本套习题整合二次函数顶点式全部考点，重点突破综合平移变换、顶点性质、最值与函数值比较，衔接前两课时知识点，题型循序渐进，适配课时巩固、课后作业与单元前置复习。 探究 （1）画出二次函数  的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.（2）抛物线  与抛物线  有什么关系？ (1)如图，抛物线  的开口向下，对称轴是 x=-1，顶点是 (-1，-1).  (x+1)2-1  (x+1)2-1    (2)如图中，抛物线  向下平移 1 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线y=(x+1)2-1. 探究 （1）画出二次函数  的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.（2）抛物线  与抛物线  有什么关系？ (1)如图，抛物线  的开口向下，对称轴是 x=-1，顶点是 (-1，-1). 一般地，抛物线  与  形状相同，位置不同. 把抛物线  向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线 .平移的方向、距离要根据  的值来决定. 抛物线  有如下特点： (1)当  时，开口向上；当  时，开口向下. (2)对称轴是 . (3)顶点是 （h,k）. 1. 返回 [石家庄校级期中]二次函数y＝2(x－2)2－1的图象的对称轴是(　　) A．直线x＝－1 B．直线x＝2 C．直线x＝－2 D．直线x＝1 B 举一反三 5 返回 2. [廊坊校级期中]抛物线y＝2(x＋7)2－3的顶点坐标是(　　) A．(7，3) B．(7，－3) C．(－7，3) D．(－7，－3) D 举一反三 抛物线  向右(h>0)或向左(h<0) 平移|h|个单位长度 抛物线 +k 抛物线  抛物线  向右(h>0)或向左(h<0) 平移|h|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位长度 函数 y=a(x-h)2+k (a>0) y=a(x-h)2+k (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=k. 当 x=h 时，y最大值​=k. 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 对于抛物线 ，给出下列结论： ① 抛物线  可由抛物线  先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到； ② 对称轴为直线 ； ③ 顶点坐标为 (-2，3)； ④ 当  时， 随  的增大而增大. 其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 例1 C 返回 3. 关于二次函数y＝－2(x＋1)2＋6的最值情况，下列说法正确的是(　　) A．有最大值－1 B．有最小值－1 C．有最大值6 D．有最小值6 C 举一反三 返回 4. 二次函数y＝3(x＋2)2－1的图象大致是(　　) D 举一反三 已知抛物线的顶点坐标是(1,2)，且经过点(3，-6)，则抛物线的解析式是__________________. 解析：根据抛物线的顶点坐标是(1,2)，可设抛物线的解析式是 y=a(x-1)2+2. 因为抛物线经过点(3，-6)， 所以 -6=a(3-1)2+2， 解得 a=-2. 故抛物线的解析式是y=-2(x-1)2+2. 跟踪训练 y=-2(x-1)2+2 待定系数法求二次函数解析式的步骤 一设：先设出二次函数的解析式，如 y=a(x-h)2+k. 二代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）. 三解：解此方程（组），求待定系数. 四还原：将求出的待定系数还原到解析式中. y/m x/m 例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ 1.6 (1.6，3) 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为  轴，水管所在直线为  轴，建立平面直角坐标系. 点（1.6,3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为  （ ）. 3.6 y/m x/m 1.6 (1.6，3) 由这段抛物线经过点 (3.6,0) ，可得  . 解得 a=﹣ 因此 （ ）. 当x=0时，y=1.08，也就是说，水管的长应为1.08 m. 3.6 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着  的增大，  的变化情况： (1)  ;(2)  ;(3)  ;(4)  . 抛物线 开口方向 对称轴 顶点 y 随 x 的变化情况 y=2(x+3)2+5 y=−3(x−1)2−2 y=4(x−3)2+7 y=−5(x+2)2−6 向上 x=−3 (−3,5) 当x < -3时， y 随 x 的增大而减小 当 x>−3 时， y 随 x 的增大而增大 向下 x=1 (1，-2) 当x < 1时， y 随 x 的增大而增大 当 x>1时， y 随 x 的增大而减小 向上 x=3 (3,7) 当x < 3时， y 随 x 的增大而减小 当 x>3 时， y 随 x 的增大而增大 向下 x=-2 (-2，-6) 当x < -2时， y 随 x 的增大而增大 当 x>-2时， y 随 x 的增大而减小 解： [威海中考]已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y3>y2>y1 返回 5. C 举一反三 对于二次函数y＝(x－1)2＋2，下列说法正确的是(　　) A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线x＝－1 C．图象有最高点 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 返回 6. D 举一反三 2. 说出下列二次函数的最大值或最小值： (1)  ; (2)  . 解：函数  有最小值-2. 函数  有最大值2. 返回 7. 【荣德原创】若二次函数y＝3(x－m)2＋2m的最小值为－2，则该函数图象的顶点坐标为____________． (－1，－2) 举一反三 返回 8. [教材P44习题T6变式]将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是(　　) A．y＝2(x＋2)2＋3 B．y＝2(x＋2)2－3 C．y＝2(x－2)2－3 D．y＝2(x－2)2＋3 C 举一反三 返回 9. 将抛物线y＝ x2先向______平移______个单位长度，再向________平移__________个单位长度后，得到抛物线y＝ (x＋2)2－5. 左 2 下 5 (或下；5；左；2) 举一反三 22 10. 把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数y＝ (x＋1)2＋3的图象． (1)求a，h，k的值； 解：二次函数y＝ (x＋1)2＋3的图象的顶点坐标为(－1，3)，把点(－1，3)先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的点的坐标为(2，－1)， ∴易得原二次函数的解析式为y＝ (x－2)2－1. ∴a＝ ，h＝2，k＝－1. 返回 举一反三 23 把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数y＝ (x＋1)2＋3的图象． (2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 解：二次函数y＝a(x－h)2＋k，即y＝ (x－2)2－1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)． 返回 举一反三 24 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 图象特点 平移规律 当a>0，开口向上；当a<0，开口向下. 对称轴：直线x=h， 顶点坐标是（h，k） 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减 课堂小结 谢谢观看 THANKS － － $