26.2.2(第1课时)二次函数y=ax²+k的图象和性质（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = ax^2 + k\)的图象和性质，通过拱桥情境引入提问，复习\(y = ax^2\)的知识，类比探究新知，构建从基础到拓展的学习支架。 其亮点在于通过合作探究（画函数图象、列表对比）和数形结合，发展数学思维（推理意识）和数学眼光（几何直观），典例结合拱桥实际问题培养应用意识。采用表格归纳性质，规范解答示范，帮助学生系统掌握，教师教学更高效。

人教版(新教材) 九年级上册 26.2.2(第1课时) 二次函数y=ax²+k的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图所示的拱桥是 抛物线型的. 我们可以大致画出其图像. 这个函数的图象是如何画出来的？ 类比上节课我们探究二次函数y=ax2的图象与性质的方法, 二次函数y=ax2+k的图象与性质又是怎样的呢? 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在研究了y=ax2的图象和性质之后，我们进一步探讨当b,c不全为0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质.如何研究呢？能否将y=ax2+bx+c转化为类似y=ax2的简单形式? 通过配方，可以将“ax2+bx+c”转化为“a(x−h)2+k”,即将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x−h)2+k的形式.当分别讨论h,k的取值时，就可以建立起y=ax2+bx+c与y=ax2的联系了. 先来讨论当h=0，k≠0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质. 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 x … −3 −2 −1 0 1 2 3 … y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x2−1 … 8 3 0 −1 0 3 8 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 列表如下： 在同一坐标系内画出二次函数 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 描点、连线，如图所示： 观察三个函数的图象，归纳出他们的共同点和不同点. 在同一坐标系内画出二次函数 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0 −1 −2 −3 −4 −5 y=x2+1 y=x2−1 y=x2 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是____________________； 抛物线 向上 y 轴 (0，1)，(0，0)， (0，−1) (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为____________________； (6) 函数的增减性都相同： ___________________________ ___________________________. 低 小 y = −1 y = 1， 对称轴左侧 y 随 x 增大而减小， 对称轴右侧 y 随 x 增大而增大 y = 0， 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0 −1 −2 −3 −4 −5 y=x2+1 y=x2−1 y=x2 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 x … −3 −2 −1 0 1 2 3 … y=−x2+1 … −8 −3 0 1 0 −3 −8 … y=−x2−1 … −10 −5 −2 −1 −2 −5 −10 … y=−x2 … −9 −4 −1 −0 −1 −4 −9 … 列表如下： 在同一坐标系内画出二次函数 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 描点、连线，如图所示： 观察三个函数的图象，归纳出他们的共同点和不同点. 在同一坐标系内画出二次函数 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. y=−x2−1 y=−x2+1 y=−x2 O −2 2 −2 −4 −6 4 −4 −8 x y 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是____________________； 抛物线 向下 y 轴 (0，1)，(0，0)， (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为____________________； (6) 函数的增减性都相同： ___________________________ ___________________________. 高 大 y = −1 y = 1 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大， 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 y = 0 y=−x2−1 y=−x2+1 y=−x2 O −2 2 −2 −4 −6 4 −4 −8 x y 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 二次函数 y = ax2(a≠0)的图象的性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向上 开口向下 | a | 越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减，右侧递增 在对称轴左侧递增，右侧递减 x y O x y O 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 y＝ax2+k a>0 a<0 图象 开口 对称性 顶点 增减性 开口向上 开口向下 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧(x<0)递减 在对称轴右侧(x>0)递增 在对称轴左侧(x<0)递增 在对称轴右侧(x>0)递减 (0,k) 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 从数的角度探究 解析式 y = x2 y = x2 + 1 y = x2 − 1 +1 −1 点的坐标 函数对应值表 x … −2 −1 0 1 y=x2−1 … y=x2 … y=x2+1 … 4 3 5 1 0 2 1 0 (x， ) (x， ) (x， ) x2−1 x2 x2 + 1 2 −1 0 1 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 从形的角度探究 可以发现，把抛物线y = x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 . 下 y = x2 + 1 上 y = x2 − 1 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0 −1 −2 −3 −4 −5 y=x2+1 y=x2−1 y=x2 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 归纳总结 二次函数 y = ax2 + k (a≠0)的图象可以由 y = ax2 的图象平移得到： 当 k > 0 时，向上平移 k 个单位长度得到. 当 k < 0 时，向下平移 −k 个单位长度得到. 二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a≠0) 的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知抛物线 过点 和点 . (1)求这个函数的关系式；(2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． (1)解：把点 和点 代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为 ； (2)解：这个函数的关系式为 ； ∴对称轴 ， ，∴抛物线开口向下， ∴当 时，函数y随x的增大而减少． 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知二次函数y＝ x2＋4. (1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值． 解：(1)因为a＝＜0，所以它的图象的开口向下， 对称轴为y轴，顶点坐标为(0，4)， 当x＝0时，y有最大值＝4. 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)若点(x1，y1)、(x2，y2)在该二次函数的图象上，且x1＞x2＞0，试比较y1与y2的大小关系． (3)抛物线y＝x2+4可以由抛物线y＝ x2平移得到吗？如果可以，写出平移的方法；如果不可以，请说明理由． 解:(2)因为抛物线的开口向下，对称轴为y轴，所以当x＞0时，y随x的增大而减小． 所以当x1＞x2＞0时， y1＜y2. (3)抛物线y＝x2+4可以由抛物线y＝ x2平移得到， 其平移方法是：将抛物线y＝ x2向上平移4个单位. 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 对于二次函数 ，当 时，y的取值范围是___________ 解：∵二次函数 ， ，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当x>0时，y随x的增大而减小， 当x<0时，y随x的增大而增大，当x=0时，y取得最大值4， 当 时， ;当 时， ， ∴当 时，y的取值范围是 ． 注意 求二次函数的取值范围时，需要弄清楚二次函数的开口方向、对称轴和x的取值范围，最好数形结合，一般不能将端点值直接带入求解. 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图所示，已知抛物线 ． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线 向________平移________个单位得到． (1)解：∵抛物线线解析式为 ， 该抛物线的顶点坐标为 ，开口向下， 令 ，则 ,即该抛物线经过点 和点 ， 令 ，则 ,即该抛物线经过点 和点 ， ∴此抛物线的大致图象如下图所示; (2)解：可由抛物线 向上平移4个单位可得到． 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4米,水位上升3米达到警戒线MN位置时 ,水面宽4米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶? x y c 解:以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系, 设抛物线的代数表达式为y=ax2+ c. 则B点坐标为(2,0), N点坐标为(2,3), 故0=24a+c,3=12a+c, 解得a= − ,c=6, 即y= − x2+6. 其顶点为(0,6), (6−3)÷0.25=12小时. 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 平移 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 k 正向上 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 y = ax2 (a≠0) 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. k 决定顶点位置； 3. 对称轴是 y 轴 图象 性质 y = ax2 + k (a≠0) k 负向下 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 解：∵二次函数 中 ， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴， 故选：B． 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 二次函数 的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数 的顶点坐标为 ，据此可得答案． 解：二次函数 的图象的顶点坐标是 ， 故选：C． 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若抛物线 的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 解：∵抛物线 的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在y轴非负半轴上，即 ， 故选：D． 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为 ，所以抛物线开口向上 B．当 时，函数有最大值1 C．当 时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 解：∵二次函数 ， ， ∴抛物线开口向上，A正确； 当 时， ，因为 ，顶点为最小值点，故B错误； 对称轴为直线 ， ，当 时，y随x增大而增大，C正确； 顶点坐标为 ，D正确；故选B． 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知点 ， 在抛物线 上，且 ， 则y1_______y2（填“>”“<”或“=”）． 解:对于抛物线 ， 二次项系数 ， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当x>0时，y随x的增大而减小， ∵ ， ． 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 (1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到； y=4x2−11的图象可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到. (2)将函数y=−3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=−3x2的图象； 将y=2x2−7的图象向 平移 个 单位得到可由 y=2x2的图象； 将y=x2−7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象. 上 5 下 11 下 4 上 7 上 9 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 二次函数 在 内的最小值是______． 解：函数 的二次项系数 ，对称轴为y轴， ∴ 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小； 当 时，函数的最大值为 ； 在自变量 范围内， 当 时， ；当 时， ． 二次函数在内的最小值为 ． 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 与 的图象， 并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）． 解：画出这两个函数的图象如图所示． 相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴． 不同点：①开口方向不同，函数 的图象开口向上，函数 的图象开口向下； ②增减性不同，当x>0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，当x<0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大； ③顶点不同，函数y1和y2的图象的顶点坐标分别为 和 26.2.2 −1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 $