26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象和性质，课堂导入从已学的\(y=ax^2\)及顶点式入手，引导学生通过配方法实现一般式到顶点式的转化，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以具体函数为例详细演示配方过程，结合描点法与平移法培养学生运算能力和几何直观，课堂小结系统梳理知识形成结构。学生能提升数学思维，教师可高效开展教学。

第二十六章 二次函数 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式 y＝a(x－h)2＋k. 2.能够熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、 对称轴. 学习目标 2 从简单的二次函数 y=ax2 开始，我们逐步深入，研究了二次函数 y=a(x-h)2+𝑘的图象和性质. 我们还知道，通过配方，可以将二次函数y=ax2＋bx＋c 转化为  y=a(x-h)2+𝑘 .这样，就可以利用 y=a(x-h)2+𝑘 的图象和性质来研究二次函数y=ax2＋bx＋c  的图象和性质. 课堂导入 思考：对于二次函数  ，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 我们知道，像y=a(x-h)2+k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗？ 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 根据前面的学习，可以先画出二次函数  的图象，然后把这个图象向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，就得到二次函数y-6x+21  的图象.     思考： 还有其他平移方法吗？ 把抛物线  向上平移 3 个单位长度，再向右平移 6 个单位长度，就得到抛物线y-6x+21 . 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 思考： 能直接画出二次函数 y-6x+21的图象吗？ 由配方的结果可知，抛物线y-6x+21 的顶点是(6.3)，对称轴是x=6. 先利用图象的对称性列表： x ⋯ 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ y= ⋯ 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 ⋯ 然后描点画图，得到  的图象. 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 从二次函数  的图象可以看出： 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 也就是说，当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x=6 时，y 取最小值，最小值是 3. 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 画二次函数  的图象的方法 (1) 描点法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式； ② 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线. 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 画二次函数  的图象的方法 (2) 平移法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式，明确顶点 (h，k)； ② 作出抛物线y=ax2； ③ 将抛物线 y=ax2平移，使其顶点平移到 （h，k ）处. 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 例1 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； 解：(1) ， ∴该二次函数图象的开口向下， 对称轴是直线 ，顶点坐标是(1,5) . 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 例1 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数 y=-2x2+4x+3的图象，并指出抛物线   y=-2x2+4x+3是由抛物线 y=-2x2 经过怎样的平移得到的； 解：(2) 列表如下： x ⋯ −1 0 1 2 3 ⋯  y=-2x2+4x+3 ⋯ −3 3 5 3 −3 ⋯ 描点、连线，二次函数 y=-2x2+4x+3的图象如图所示. 将抛物线 y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线 y=-2x2+4x+3. 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 例1 解：(3)当x>1时，y随x的增大而减小. 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (3)对于二次函数 y=-2x2+4x+3，当  取何值时， 随  的增大而减小？ 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 探究：你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ y=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3，其图象如图所示. 将抛物线y=-2x2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数y=-2x2-4x+1的图象. 抛物线y=-2x2-4x+1的开口向下，顶点为(-1，3)，对称轴为直线x=-1. 在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降. 也就是说，当x<-1时，y随x的增大而增大；当x>-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，y取最大值，最大值是3. 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 一般地，我们可以类似地研究二次函数 的图象和性质. 通过配方，可以将二次函数 化成 因此，抛物线 的对称轴是 ，顶点. 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a > 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x > 时，y 随 x 的增大而增大； 因此，当 a > 0时， 抛物线 的顶点是最低点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最小值. 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a < 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x >时，y 随 x 的增大而减小. 因此，当 a < 0时， 抛物线 的顶点是最高点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最大值. 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 函数  y=ax2+bx+c (a>0)  y=ax2+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 () 对称轴 直线 x=− 增减性 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x> 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>​​ 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=​时，y最小值​= 当 x= 时，y最大值​= 二次函数  的图象和性质 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 系数 字母的符号条件 图象的特征 补充说明 a a>0 开口向上 抛物线开口方向的唯一决定因素 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为 y 轴（直线 x=0） 对称轴公式：x=− ab>0（a,b 同号） 对称轴在 y 轴左侧 a,b 同号时，−<0 ab<0（a,b 异号） 对称轴在 y 轴右侧 a,b 异号时，−​>0 c c=0 图象过原点 (0,0) 当 x=0 时，y=c，即与 y 轴交点为 (0,c) c>0 与 y 轴正半轴相交 交点坐标 (0,c) ，在 y 轴上方 c<0 与 y 轴负半轴相交 交点坐标 (0,c) ，在 y 轴下方 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a,b,c的关系 简记为 “左同右异” 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①b<0; ②c>0; ③a+b+c>0; ④4a+2b+c<0. 其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 观察图象→当x=1时，y>0→a+b+c>0 抛物线与y轴正半轴相交→c>0 观察图象→当x=2时，y<0→4a+2b+c<0 C 例2 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 根据二次函数图象确定字母系数及相关代数式的符号的步骤 (1)根据抛物线的开口方向和与y轴的交点位置，先确定a和c的符号； (2)根据a的符号和对称轴的位置，再确定b的符号； (3)最后结合特殊，点的位置，确定代数式的符号. 比如：a+b+c对应的是x=1时的函数值； a-b+c对应的是x=-1时的函数值； 4a+2b+c对应的是x=2时的函数值； 4a-2b+c对应的是x=-2时的函数值. 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着 x 的增大，y 的变化情况，再描点画图： (1) y = + 12x - 3;(2) y = - 24x + 26;(3) y = + 8x - 6;(4) y = - 2x - 1. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点 y 随 x 的变化情况 y=−3x2+12x−3 =−3(x−2)2+9 y=4x2−24x+26 =4(x−3)2−10 y=2x2+8x−6 =2(x+2)2−14 y=x2−2x−1 =​(x−2)2−3 向下 向上 向上 向上 x=2 x=3 x=-2 x=2 (2,9) (3,-10) (-2,-14) (2,-3) 当 x<2 时， y 随 x 的增大而增大 当 x>2 时， y 随 x 的增大而减小 当 x<3 时， y 随 x 的增大而减小 当 x>3 时， y 随 x 的增大而增大 当 x<−2 时， y 随 x 的增大而减小 当 x>−2 时， y 随 x 的增大而增大 当 x<2 时， y 随 x 的增大而减小 当 x>2 时， y 随 x 的增大而增大 解： 随堂练习 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着 x 的增大，y 的变化情况，再描点画图： (1) y = + 12x - 3; (2) y = - 24x + 26; (3) y = + 8x - 6; (4) y = - 2x - 1. 画出函数图象如图所示： 随堂练习 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着 x 的增大，y 的变化情况，再描点画图： (1) y = + 12x - 3; (2) y = - 24x + 26; (3) y = + 8x - 6; (4) y = - 2x - 1. 随堂练习 求下列函数的最大值或最小值： (1) y = + 2x; (2) y = + 8x - 8. 解: (1) 方法一， ∴ 函数 有最小值 . 方法二：∵ a = 3 > 0, ∴ 有最小值，最小值为 = = . 随堂练习 求下列函数的最大值或最小值： (1) y = + 2x; (2) y = + 8x - 8. 解: (2) 方法一 , ∴ 函数 有最大值 0. 方法二 ：∵ a = -2 < 0, ∴ 有最大值，最大值为 = = 0. 随堂练习 3.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表： 二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x= ，x=2对应的函数值y= ． 1 -8 随堂练习 4. 对于二次函数y＝－x2＋x－4，下列说法正确的是(　　) A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3 C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点 B 随堂练习 y=ax2+bx+c (a ≠0) (一般式) (顶点式) 配方法 画法 图象 性质 描点法：列表 → 描点 → 连线 平移法： 上加上减常数项， 左加右减自变量 当  时，有最小值 当  时，有最大值 当  时，在对称轴右侧  随  的增大而增大，在对称轴左侧  随  的增大而减小 当  时，在对称轴右侧  随  的增大而减小，在对称轴左侧  随  的增大而增大 开口方向 ，开口向上 ，开口向下 对称轴：直线  顶点坐标：（） 增减性 最值 课堂小结 $