26.2.1 二次函数y＝ax2的图象和性质（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = ax^2\)的图象与性质，通过描点法绘制\(y = x^2\)图象引导观察抛物线特征，再对比不同\(a\)值（如\(y = 2x^2\)、\(y = -x^2\)）的图象，构建从具体作图到抽象性质的学习支架。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，通过“思考”“探究”环节引导学生发现抛物线开口、对称轴等性质，用表格系统总结规律培养数学语言表达。练习题分层设计，从基础选择到综合解答，助力学生夯实运算能力，教师可直接用于课堂教学提升效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y＝ax2的图象和性质 2026年8月3日 人教版九年级上册26.2.1二次函数$y=ax^2$的图象和性质同步练习题 一、知识梳理 二次函数$y=ax^2$（$a≠0$）是最简单的二次函数，也是后续学习复杂二次函数图象与性质的基础，其图象是一条关于$y$轴对称的抛物线，顶点为坐标原点$(0,0)$。函数的图象与性质完全由二次项系数$a$的取值决定，核心性质分为开口方向、开口大小、增减性、最值四大核心考点。 当$a>0$时，抛物线开口向上，图象在$x$轴上方（除顶点外），顶点是抛物线的最低点。当$x<0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x>0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=0$时，函数取得最小值，最小值为$y=0$。 当$a<0$时，抛物线开口向下，图象在$x$轴下方（除顶点外），顶点是抛物线的最高点。当$x<0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x>0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=0$时，函数取得最大值，最大值为$y=0$。 $|a|$的大小决定抛物线的开口宽窄：$|a|$越大，抛物线开口越窄，图象上升或下降的速度越快；$|a|$越小，抛物线开口越宽，图象走势越平缓。所有$y=ax^2$形式的二次函数，图象均关于$y$轴对称，对称轴为直线$x=0$。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$y=5x^2$的开口方向是（） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 下列抛物线中，开口最宽的是（） A.$y=3x^2$ B.$y=0.5x^2$ C.$y=-2x^2$ D.$y=-4x^2$ 3. 对于抛物线$y=-x^2$，下列说法正确的是（） A. 开口向上 B. 对称轴是$x$轴 C. 当$x=0$时，$y$有最大值0 D. 当$x>0$时，$y$随$x$增大而增大 4. 已知抛物线$y=(m-1)x^2$开口向下，则$m$的取值范围是（） A.$m>1$ B.$m<1$ C.$m≥1$ D.$m≤1$ 5. 抛物线$y=2x^2$与$y=-2x^2$的相同点是（） A. 开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 函数增减性相同 D. 最值相同 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数$y=-6x^2$的图象顶点坐标是________，对称轴是________。 2. 已知抛物线$y=ax^2$，当$x=3$时，$y=18$，则$a=$________。 3. 对于$y=4x^2$，当$x$________时，$y$随$x$的增大而减小。 4. 若抛物线$y=(k+2)x^2$开口向上，则$k$的取值范围是________。 5. 已知点$A(-2,y_1)$、$B(1,y_2)$在抛物线$y=3x^2$上，则$y_1$________$y_2$（填“$>$”“$<$”或“$=$”）。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 抛物线$y=-0.2x^2$的开口向下，有最高点。（） 2. 二次函数$y=x^2$中，当$x>0$时，$y$随$x$的增大而减小。（） 3. 所有$y=ax^2$的图象都过坐标原点。（） 4. 若$|a|$越大，抛物线$y=ax^2$的开口越宽。（） 5. 抛物线$y=-5x^2$和$y=3x^2$的对称轴都是直线$x=0$。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）已知二次函数$y=(m^2-2)x^2$，根据下列条件分别求$m$的值或取值范围。 （1）抛物线开口向上；（2）抛物线开口向下；（3）抛物线为标准二次函数。 2. （11分）已知点$P(-3,y_1)$、$Q(2,y_2)$、$R(1,y_3)$都在抛物线$y=-2x^2$上，比较$y_1、y_2、y_3$的大小，并说明理由。 3. （12分）已知抛物线$y=ax^2$经过点$(2,-8)$。 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值； （3）判断点$(-1,-2)$是否在该抛物线上。 参考答案 一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 二、填空题：1.$(0,0)$，直线$x=0$；2.$2$；3.$<0$；4.$k>-2$；5.$>$ 三、判断题：1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 四、解答题 1. 解：（1）开口向上则$m^2-2>0$，解得$m>\sqrt{2}$或$m<-\sqrt{2}$；（2）开口向下则$m^2-2<0$，解得$-\sqrt{2}<m<\sqrt{2}$；（3）二次函数要求$m^2-2≠0$，即$m≠±\sqrt{2}$。 2. 解：$y=-2x^2$开口向下，对称轴为$y$轴，$|x|$越大，$y$值越小。$|-3|>|2|>|1|$，故$y_1<y_2<y_3$。 3. 解：（1）将$(2,-8)$代入得$4a=-8$，$a=-2$，解析式为$y=-2x^2$；（2）开口向下，对称轴为直线$x=0$，顶点$(0,0)$，最大值为$0$；（3）当$x=-1$时，$y=-2≠-2$？修正：$x=-1$时$y=-2$，点$(-1,-2)$在抛物线上。 本套习题聚焦$y=ax^2$的核心性质，覆盖开口、对称轴、增减性、最值、点的代入求值等高频考点，难度循序渐进，适配课堂巩固、课后自测与作业练习，排版清晰可直接打印使用。 问题 用描点法画出 y=x2 的图象. 1.列表. x … -3 -2 -1 0 1 2　 3 … y=x2 … … 9 4 1 1 0 4 9 2.描点. 3.连线. y=x2 思考：这个图象像什么形状？ 可以看出，二次函数 y=x2 的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c . y=x2 y=x2 在抛物线 y=x2上任取一点 (m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点 (−m，m2) 也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴对称. 思考：抛物线 y=x2 是轴对称图形吗？ 顶点 对称轴 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 从二次函数y=x2的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. y=x2 思考：你还能从图象中看出什么？ 左侧 右侧 减小 增大 用描点法画二次函数 y=x2 的图象的一般步骤 (1)列表：让 x 取一些有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格； (2)描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x 的值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点； (3)连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端无限延伸. 说明：用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.一般来说，选点越多，图象越精确. 1. 返回 二次函数y＝x2的图象大致是(　　) A 举一反三 7 返回 2. 抛物线y＝－2x2的开口(　　) A．向上 B．向左 C．向右 D．向下 D 举一反三 在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=x2，y=2x2 的图象. 例1 x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 解：分别列表，再画出它们的图象. y=x2 y=2x2 思考：函数  的图象与函数  的图象（图中的虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？ 共同点：开口向上，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点 是函数图象的最低点. 不同点：开口大小不同，函数 的图象开口最大，函数 的图象开口最小. y=x2 y=2x2 思考：利用信息技术工具画二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象，改变  的值，函数 y=ax2 的图象也发生了改变. 随着 a 的变化，二次函数 y=ax2 的图象有什么变化？ a的值越大，图象的开口越小. 一般地，当 a>0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 进一步，从二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象可以看出：当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. y=x2 y=2x2 探究 回顾上面研究二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数 y=ax2 (a<0) 的图象和性质吗？ 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=﹣x2， y=﹣x2 ，y=﹣2x2的图象. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 共同点：开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是函数图象的最高点. 不同点：开口大小不同，函数 y=的图象开口最大，函数y=﹣2 的图象开口最小. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 思考：观察这些抛物线有什么共同点和不同点？ 一般地，当 a<0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 二次函数 y=ax2 的图象和性质 返回 3. 抛物线y＝3x2的对称轴是(　　) A．直线x＝3 B．直线x＝－3 C．直线x＝0 D．直线y＝0 C 举一反三 返回 4. 抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(　　) A．(2，0) B．(－2，0) C．(0，0) D．(0，－2) C 举一反三 已知抛物线 ，回答下列问题： 抛物线  开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______； 当  时， 随  的增大而______，当  时， 随  的增大而______； 对于任意的  值，总有函数值  ___ 0，当  ___ 时， 有最_____值，是______. 例2 下 减小 y轴 (0,0) 增大 ≤ 0 大 0 [教材P35练习T1变式](1)在同一平面直角坐标系(如图)中，画出函数y＝2x2，y＝ x2，y＝－2x2与y＝－ x2的图象． 返回 5. 解：如图所示． 举一反三 (2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题： ①抛物线y＝2x2与抛物线__________的形状相同，且两抛物线关于______对称；同样地，抛物线y＝ x2与抛物线________的形状相同，也关于________对称． ②抛物线y＝2x2的开口比抛物线y＝ x2的开口________(填“大”或“小”)，抛物线y＝－2x2的开口比抛物线y＝－ x2的开口________(填“大”或“小”)． 返回 y＝－2x2 x轴 x轴 小 小 举一反三 ③在抛物线y＝ax2中，当|a|相同时，抛物线开口大小________；|a|越大，抛物线开口越________；|a|越小，抛物线开口越________． ④应用：抛物线y＝3x2与y＝x2中，开口较小的是抛物线________． 返回 相同 小 大 y＝3x2 举一反三 二次函数y＝－5x2的图象，在y轴右侧，y随x的增大而(　　) A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 返回 6. B 举一反三 返回 7. 已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1 B 举一反三 返回 8. 若点(1，y1)，(2，y2)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　) A．y1＞y2＞0 B．0＜y1＜y2 C．y1＞0＞y2 D．y1＜0＜y2 B 举一反三 返回 9. 根据下列条件求a的值或取值范围． (1)函数y＝(a－2)x2，当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝(3a－2)x2有最大值； (3)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线． 解：(1)由题意可得，a－2<0，解得a<2. (2) 由题意可得，3a－2<0，解得a< 举一反三 26 返回 10. [保定一模点M(m，2 027)在函数y＝x2的图象上，已知452＝2 025，则下列选项正确的是(　　) A．m>45 B．m<45 C．|m|>45 D．|m|<45 C 举一反三 27 11. [唐山期末]夕夕用软件绘制二次函数y＝4x2的图象时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是(　　) A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 B 返回 举一反三 28 返回 12. 如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝2x2；②y＝x2；③y＝ x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数为(　　) A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① A 举一反三 29 13. 一次函数y＝ax＋a与二次函数y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 返回 D 举一反三 14. 如图，以点O为圆心的圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是(　　) A．π B．2π C．4π D．无法确定 返回 B 举一反三 二次函数y=ax2的图象和性质 画法 性质 描点法 抛物线 图象 轴对称图形 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 课堂小结 谢谢观看 THANKS Lavf57.25.100 y＝－x2 . (3) 解：由题意可得，解得a＝1. $