26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第2课时 二次函数y=a（x-h)²的图象和性质）（教学课件，含交互动画）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²的图象和性质，通过复习y=ax²、y=ax²+k的上下平移及性质，提出左右平移的新问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生系统探究。 其亮点在于通过描点画图、小组对比培养几何直观（数学眼光），类比y=ax²+k的探究方法归纳性质（数学思维），用表格、“左加右减”规律构建模型（数学语言）。典例、真题结合提升应用能力，助力学生发展数形结合能力，教师可高效开展教学。

nullnull26.2二次函数的图象和性质 26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质质 第二十六章 二次函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 会用描点法画出y=a(x-h)²的图象，精准掌握该函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等性质；熟练掌握抛物线y=ax²与y=a(x-h)²的左右平移规律，能根据函数解析式判断图象变换方式. 通过自主描点画图、小组对比探究、归纳总结的过程，培养数形结合分析问题、类比推理、归纳概括的数学能力，体会函数图象变换中“变与不变”的数学规律. 感受二次函数图象的对称美、变换美，体会数学知识的连贯性和逻辑性；在自主探究与合作交流中提升学习主动性，树立严谨的数学思维，增强学习二次函数的信心. 1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 知识回顾 向上 轴 向下 轴 向上 轴 向下 轴 练一练 开口方向由a的符号决定 由决定 3.二次函数y=-x2-2的图象大致是(　 　) 4.已知点(x1，y1),(x2，y2)均在抛物线y=x2－1上,则下列说法中正确的是 ( ) A.若y1=y2,则x1=x2 B.若x1≠x2,则y1≠y2 C.若0<x1<x2,则y1>y2 D.若x1<x2<0,则y1>y2 2.抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是(　 　) A.(0，2) B.(0，-2) C.(0，4) D.(0，-4) C D D 5. 的开口 _____，对称轴是 _____，顶点坐标是 ________， 当 _____时， 随 的增大而增大，当______时， 随 的增大而减小． 向下 轴 (0，- 3） ＜0 ＞0 练一练 知识回顾 y=ax2+k a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k<0 a<0，k>0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 知识回顾 说一说y=ax²+k的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取何值时，函数有最值？增减性如何？ 向上 y轴（直线x=0） （0，k） 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. x=0时，y最小值=k 向下 y轴（直线x=0） （0，k） 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小. x=0时，y最大值=k k > 0时，向上平移 k 个单位长度 k < 0时，向下平移 个单位长度 导入新课 今天我们共同探究二次函数y=a(x-h)²的图象和性质. 我们已经掌握了二次函数图象的上下平移 y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) y O x y = ax2 k k 上下平移 思考：如果不上下平移，将抛物线y=ax²进行左右平移，会得到什么新的二次函数？ 新函数的解析式、图象和性质会发生怎样的变化？ y O x y = ax2 6 新知探究 探究点1 画图对比，感知y=ax²、y=a(x-h)²函数图象间的联系 活动1 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数和的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 解：1.列表 … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …   -2 -1 0 1 2 3 4 … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … 相等函数值对应的自变量x的值相差2 新知探究 探究点1 画图对比，感知y=ax²、y=a(x-h)²函数图象间的联系 画一画 y=- x2 y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 2.描点、连线，画出这两个函数的图象. 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数和的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 抛物线的 ， 顶点是 ； 对称轴经过 且垂直于x轴的直线 记作直线 ， 新知探究 探究点1 画图对比，感知y=ax²、y=a(x-h)²函数图象间的联系 议一议 y=- x2 y= - (x+1)2 y=- (x-1)2 观察二次函数和的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 开口向下 （-1，0） (-1，0) x= - 1 抛物线的 ， 顶点是 ； 对称轴经过 且垂直于x轴的直线 记作直线 ， 开口向下 （1，0） (1，0) x= 1 x=1 x=-1 新知探究 探究点1 画图对比，感知y=ax²、y=a(x-h)²函数图象间的联系 议一议 y=- x2 y= - (x+1)2 y=- (x-1)2 二次函数和的开口方向、对称轴和顶点. 观察图象，填写下表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线x= -1 ( -1 , 0 ) 直线x = 0 直线x = 1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 2, 0) x=1 x=-1 向右平移 1个单位 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 向左平移 1个单位 新知探究 括号内是 ， 图象向轴的负方向平移; 括号内是， 图象向轴的正方向平移. 探究点1 画图对比，感知y=ax²、y=a(x-h)²函数图象间的联系 活动2. 观察抛物线，与抛物线有什么关系? ①二次项系数a相同，开口方向和形状相同； ②顶点纵坐标相同； ③对称轴不同. 11 新知探究 探究点1 画图对比，感知y=ax²、y=a(x-h)²函数图象间的联系 归一归 抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系？ y=ax2 对称轴：y轴 顶点(0, 0) y=a(x-h)2 对称轴：x=h 顶点(h, 0) 当h>0时， 向右平移h个单位长度得到 当h<0时， 向左平移∣h∣个单位长度得到 左右平移规律：括号内左加右减. x y O x y O y=a(x-h)2 y=a(x-h)2 y=a(x+h)2 y=a(x+h)2 新知探究 探究点2 归纳函数 y=a(x-h)²核心规律与性质 活动3 利用信息技术工具画函数y=a(x-h)²的图象(改变h的值)，观察图象变化. 互相平移得到. y=a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y=a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 改变h的值，可以发现，随着h的变化，二次函数y=a(x-h)²的图象向左或向右平移 新知探究 探究点2 归纳函数 y=a(x-h)²核心规律与性质 归一归 y=a(x-h)2 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 向上 直线x=h （h,0） x=h时，y最小值=0 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线x=h （h,0） x=h时，y最大值=0 二次函数y=a(x-h)2的图象特征和性质 开口方向和大小由a确定 典例分析 例1.已知二次函数y=-2(x+1)²，完成下列问题： （1）说出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）说明该抛物线是由抛物线y=-2x²经过怎样的平移得到的； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数取得最值？最值是多少？ 解：将函数解析式标准化：y=-2[x-(-1)]²，可得a=-2，h=-1. （1）∵a=-2<0，∴抛物线开口向下； 对称轴为直线x=-1；顶点坐标为(-1, 0) （2）根据平移规律“左加右减”， ∴抛物线y=-2(x+1)²是由抛物线y=-2x²向左平移1个单位得到. （3）∵a=-2<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1， ∴当x<-1时，y随x的增大而增大； 抛物线顶点为最高点，当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=0. 巩固练习 x ··· -4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· ··· ··· 解：先列表： 课本P39页 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y= x2，y= (x+2)2 ，y= (x-2)2 . 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 16 课本P39页 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y= x2，y= (x+2)2 ，y= (x-2)2 . 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 巩固练习 描点、连线，画出函数的图象 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 巩固练习 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 x y O 向上 向上 y轴 x=-2 (0,0) (-2,0) 向上 x=2 (-2,0) 课本P39 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y= x2，y= (x+2)2 ，y= (x-2)2 . 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 把抛物线y=x2向左平移2个单位长度，就得到抛物线y=(x+2)2； 把抛物线y=x2向右平移2个单位长度，就得到抛物线y=(x-2)2. y= x2 y= (x+2)2 y= (x-2)2 . 课本P39 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y= x2，y= (x+2)2 ，y= (x-2)2 . 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 巩固练习 x y O y= x2 y= (x+2)2 y= (x-2)2 . 当x<0时，y随x的增大而减小， 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<-2时，y随x的增大而减小， 当x>-2时，y随x的增大而增大. 当x<2时，y随x的增大而减小， 当x>2时，y随x的增大而增大. 在对称轴左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴左侧， ，y随x的增大而增大. y=x2 y=(x+2)2 y=(x-2)2 当a＞0时， 左降右升 1.如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求b的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小． 拓展提升 （1）解： ∵抛物线的顶点为A， ∴，则， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； 1.如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求b的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小． 拓展提升 （2）将代入中， 得：， 解得：； （3）∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 真题感知 1．（2026.徐州统考）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，y取得最大值，且最大值为1 解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，故A说法错误，不符合题意； ∴当时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而增大，故C说法正确，符合题意； ∴当时，y取得最小值，且最小值为0，故D说法错误，不符合题意； ∴二次函数与x轴只有一个交点，故B说法错误，不符合题意； C 真题感知 2.（2025·宁波联考）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 解：∵， ∴，对称轴为， ∴在对称轴的左侧y随着x的增大而增大， 在对称轴的右侧y随着x的增大而减小， ∵当时，y随着x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴； D 真题感知 3．（2026盐城校考）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，对称轴是直线 B．开口向下，对称轴是直线 C．开口向上，对称轴是直线 D．开口向下，对称轴是直线 解：二次函数， 由可得抛物线开口向下； 对称轴是直线， D 知识与技能 （1）二次函数y=a(x-h)²的图象是抛物线，开口方向由a决定，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h,0)； （2）平移规律： 抛物线y=ax²左右平移得y=a(x-h)²，左加右减； （3）增减性与最值： a>0开口向上，左减右增，有最小值0； a<0开口向下，左增右减，有最大值0. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）数形结合思想： 通过函数图象直观分析函数性质，以形助数、以数释形； （2）类比推理思想： 类比y=ax²、y=ax²+k的探究方法，探究新函数图象与性质； （3）分类讨论思想： 根据a>0（a<0)分类讨论函数的增减性、最值. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）平移规律混淆： 上下平移改变k（上加下减）， 左右平移改变h（左加右减）， 切勿混淆 （2）h的符号易错：解析式中是x-h，若为x+h，需转化为x-(-h)再判断平移方向、对称轴； （3）增减区间混淆： 必须以对称轴x=h 为分界，区分左右区间的函数增减变化. 课后练习 2.分别在同一平面直角坐标系中，画出下列各组二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点: （2）y = (x － 3)2，y = (x+1)2 ； … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 … … 0 1 2 3 4 5 6 … y = (x-3)2 … 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 … 习题 26.2 课本p44页 解：列表 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 y = (x+1)2对称轴分别是 x = －1，顶点 (-1，0) 2.分别在同一平面直角坐标系中，画出下列各组二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点: （2）y = (x － 3)2，y = (x+1)2 ； x = －1 x = 3 y = (x － 3)2 y = (x+1)2 抛物线y = (x － 3)2的对称轴是x = 3，顶点坐标(3，0) ） 课后练习 1.已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，此时x值是多少？ （1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； 探究性作业 （3）解： ∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ， ∵或1， ∴当时，该函数有最小值，此时的x值是1. 谢谢聆听 $