26.3 第2课时 求一元二次方程根的近似值（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值”，通过回顾二次函数与x轴交点关系，衔接一元二次方程解法，以“函数值异号确定根区间”为学习支架，梳理构造函数、锁定区间、缩小区间、确定近似值的解题步骤。 其亮点在于以数形结合思想为核心，通过例题演示不断缩小区间估算根（几何直观），设置梯度化练习训练推理意识，课堂小结系统方法培养模型意识。学生能提升探究能力与精准表达，教师可依托资料高效开展分层教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.3 第2课时 求一元二次方程根的近似值 2026年8月3日 人教版九年级上册26.3第2课时 求一元二次方程根的近似值同步练习题 一、知识梳理 利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值，是数形结合思想的重要应用。一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标。当方程的根不是整数或简单小数时，可通过函数值的正负变化，估算出根的近似取值，无需精准解方程。 近似求根的核心原理：若二次函数$y=ax^2+bx+c$在两个自变量取值$x_1$和$x_2$处的函数值异号，即$y_1·y_2＜0$，且函数图象连续平滑，说明抛物线在$x_1$与$x_2$之间穿过$x$轴，对应一元二次方程必有一个实数根在$x_1$和$x_2$之间。区间范围越小，求得的根的近似值越精准。 通用解题步骤：第一，构造对应的二次函数，列出对应函数解析式；第二，选取合适的自变量取值，计算对应函数值，锁定函数值正负交替的区间；第三，不断缩小区间范围，逐步逼近精准数值；第四，根据题目要求，保留相应小数位数，得到方程根的近似值。 常见题型注意要点：近似值不唯一，区间缩小精度越高，结果越准确；需区分两个根所在的不同区间，避免混淆；若函数值为0，该自变量取值即为方程的精准根，无需近似估算。该方法弥补了公式法、因式分解法无法快速求解无理数根的短板，是数形结合解题的核心技巧。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 已知二次函数$y=x^2-2x-1$，当$x=2$时，$y=-1$；当$x=3$时，$y=2$，则方程$x^2-2x-1=0$的一个根的取值范围是（） A.$2＜x＜3$ B.$1＜x＜2$ C.$0＜x＜1$ D.$3＜x＜4$ 2. 利用二次函数图象求方程近似根的核心依据是（） A. 函数的增减性 B. 函数值正负交替确定根的区间 C. 抛物线的开口方向 D. 抛物线的对称轴 3. 已知$y=x^2-4x+2$，$x=0$时$y=2$，$x=1$时$y=-1$，则方程$x^2-4x+2=0$的一个根在（） A.$-1＜x＜0$ B.$0＜x＜1$ C.$1＜x＜2$ D.$2＜x＜3$ 4. 若二次函数$y=ax^2+bx+c$在$x=1.2$时$y=0.04$，$x=1.1$时$y=-0.16$，则方程$ax^2+bx+c=0$的近似根为（） A.$1.0$ B.$1.1$ C.$1.2$ D.$1.3$ 5. 下列关于方程近似根的说法正确的是（） A. 近似根是精准值 B. 缩小区间可提高近似根精度 C. 所有方程都需要求近似根 D. 近似根取值唯一 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程$x^2-3x+1=0$的根，是二次函数________的图象与$x$轴交点的横坐标。 2. 已知$y=x^2-5x+3$，$x=0$时$y=3$，$x=1$时$y=-1$，则方程$x^2-5x+3=0$的一个根在________之间。 3. 当二次函数在两个不同自变量处的函数值________时，两根之间存在方程的实数根。 4. 缩小根的取值区间，得到的近似值________（填“更精准”或“更模糊”）。 5. 已知方程$2x^2-x-2=0$的一个根在$1.2$和$1.3$之间，则该根的近似值可保留一位小数为________。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 一元二次方程的近似根是通过函数值区间估算得到的。（） 2. 若两个自变量对应的函数值均为正，中间一定存在方程的根。（） 3. 方程有精准整数根时，无需计算近似根。（） 4. 根的区间范围越大，近似根的精度越高。（） 5. 二次函数图象与x轴交点的横坐标，可作为方程根的近似值。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）利用二次函数图象估算方程$x^2-2x-2=0$的正数近似根（保留一位小数）。 （1）构造对应二次函数；（2）取值计算锁定根的区间；（3）求出近似根。 2. （11分）已知二次函数$y=-x^2+4x-1$，根据下表函数值，估算方程$-x^2+4x-1=0$的两个近似根。 $x:0、0.3、0.4、3.6、3.7、4$ $y:-1、-0.11、0.04、0.04、-0.11、-1$ 3. （12分）用图象估算法求方程$2x^2-6x+1=0$的近似根，要求写出完整解题步骤，并保留一位小数。 参考答案 一、选择题：1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 二、填空题：1.$y=x^2-3x+1$；2.$0＜x＜1$；3.异号；4.更精准；5.$1.2$（合理即可） 三、判断题：1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 四、解答题 1. 解：构造$y=x^2-2x-2$，当$x=2$时$y=-2$，$x=3$时$y=1$，根在$2～3$之间；细化取值，$x=2.7$时$y=-0.11$，$x=2.8$时$y=0.24$，正数近似根为$2.7$。 2. 解：由函数值正负可得，一个根在$0.3～0.4$之间，近似根为$0.4$；另一个根在$3.6～3.7$之间，近似根为$3.6$。 3. 解：构造$y=2x^2-6x+1$，通过取值计算，两根分别在$0.1～0.2$和$2.8～2.9$之间，保留一位小数近似根为$0.2$和$2.8$。 本套习题聚焦近似求根的核心原理与解题步骤，重点训练区间锁定、精度细化、近似值求解等重难点，贴合课时考点，题型梯度合理，适配课后巩固与专项练习。 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 例1 解：画出函数y=x2-2x-2的图象， 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 所以方程的实数根为 y=x2-2x-2 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 观察函数的图象，可以发现：点(2,-2)在x轴的下方，即当自变量为2时的函数值小于0，点(3,1)在x轴的上方，即当自变量为3时的函数值大于0. 因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴.也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根. y=x2-2x-2 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间. 再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间. y=x2-2x-2 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6 875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于∣2.6875-2.75∣=0.0 625<0.1，我们可以将2.6 875作为根的近似值. y=x2-2x-2 1. 返回 [邯郸校级期中]如图，以点(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解x的范围是(　　) A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 C 举一反三 6 返回 2. 下表是小江对方程x2－9.25x＋10＝0的一个解x进行近似计算所列的表格，若小江要进一步精确估算，则他要选择的x的范围是__________． 1<x<1.5 x 0 0.5 1 1.5 2 x2－9.25x＋10 10 5.625 1.75 －1.625 －4.5 举一反三 y=x2-2x-2 思考：你能用这种方法得出方程的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)？ 观察函数 y=x2-2x-2 的图象，可以发现： 点(-1,1)在轴的上方，即当自变量为-1时的函数值大于0，点(0,-2)在x轴的下方，即当自变量为0时的函数值小于0. 因为抛物线 y=x2-2x-2 是一条连续不断的曲线， 所以抛物线在 -1<x<0 这一段经过轴. 也就是说，方程x2-2x-2=0在-1和0之间有根. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 取-1和0的平均数-0.5，用计算器算得自变量为-0.5时的函数值为-0.75<0，与自变量为-1时的函数值异号，所以根在-1与-0.5之间. y=x2-2x-2 再取-1与-0.5的平均数-0.75，计算自变量为-0.75时的函数值为0.0 625>0，与自变量为-0.5时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.5之间. 再取-0.75与-0.5的平均数-0.625，计算自变量为 -0.625时的函数值为-0.359 375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.625之间. 此时区间两端点之差为∣-0.625-(-0.75)∣=0.125>0.1 不满足精度要求，再取一次平均数. 取-0.75与-0.625的平均数-0.6 875，计算自变量为-0.6 875时的函数值为-0.15234375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.6 875之间. 此时区间两端点之差为∣-0.6 875-(-0.75)∣=0.0 625<0.1. 因此，我们可以将-0.75或-0.6 875作为根的近似值. 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程. y=x2-2x-2 确定一元二次方程的近似根的步骤 当二次函数图象与  轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根，步骤如下： 1.画图：画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.定位：观察函数图象，确定函数图象与  轴的一个公共点在两个连续整数 m,n (m<n) 之间. 确定一元二次方程的近似根的步骤 3.试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取  和  的平均数 ，计算出当  时的函数值 ，将  与自变量分别为  和  时的函数值  比较，若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值；若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. 4.定根：按照(2)(3)的方法估计出方程的另一个根. 跟踪训练 利用二次函数的图象求方程 2x2-3x-1=0 的近似根（结果保留小数点后一位）. 解：画出函数y=2x2-3x-1的图象，如图所示. 由图可知，函数y=2x2-3x-1的图象与x轴的两个公共点的横坐标分别在-1和0，1和2之间. 取-1和0的平均数-0.5，当x= -0.5 时,y=1,当x=0时,y=-1, 所以方程的一个根在-0.5和0之间. 取-0.5和0的平均数-0.25，当x=-0.25 时,y= -0.125, 所以方程的这个根在-0.5和-0.25之间. 取-0.5和-0.25的平均数-0.375，当x=-0.375 时,y=0.406 25, 返回 3. 根据表格写出一元二次方程x2＋x－1＝0的小于0的近似解x≈______．(精确到小数点后一位) －1.6 x －1.7 －1.65 －1.6 －1.55 －1.5 x2＋x－1 0.19 0.07 －0.04 －0.15 －0.25 举一反三 返回 4. 利用函数图象求一元二次方程 x2－2x－2＝0的近似解(精确到0.1)． 解：方程 x2－2x－2＝0的根是抛物线y＝ x2－2x－2与x轴 交点的横坐标． 作出二次函数y＝ x2－2x－2的图象，如图所示． 由图象可知，方程有两个实数根，一个在－1和0之间， 另一个在4和5之间． 先求－1和0之间的根， 举一反三 返回 当x＝－0.8时，y＝－0.08； 当x＝－0.9时，y＝0.205， 因此，x＝－0.8是方程的一个近似根， 同理，x＝4.8是方程的另一个近似根． 所以方程 x2－2x－2＝0的两个近似根是x1＝－0.8，x2＝4.8. 举一反三 跟踪训练 所以方程的这个根在-0.375和-0.25之间， 由此方法可得到原方程的一个近似实数根为-0.3. 用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为1.8. 所以方程 2x2-3x-1=0 的近似实数根是x1≈-0.3，x2≈1.8. 根据根与系数的关系求方程的另一个近似实数根 利用二次函数的图象求方程 2x2-3x-1=0 的近似根（结果保留小数点后一位）. 除了可以根据二次函数与一元二次方程的联系来估计一元二次方程的近似根，我们还能根据二次函数的图象求解一元二次不等式的解集. 问题 如图是函数 y=x2-x-2 的图象，根据图象回答问题： (1) 方程 x2-x-2=0 的根是多少？ (2) x 取什么值时，函数值大于 0？ (3) x 取什么值时，函数值小于 0？ y=x2-x-2 (1)x1=2，x2=-1. (2)当x<-1或x>2时，函数值大于0. (3)当-1<x<2时，函数值小于0. 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集. 已知二次函数  () 的部分图象如图所示，当  时， 的取值范围是 （ ） A.  B.  C.  或  D.  例2 解析: 由图可知抛物线 𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 的对称轴为直线 𝑥=−1，且经过点 (−3，0)， ∴ 抛物线与 𝑥 轴的另一个交点为 (1,0). ∵ 抛物线在 𝑥 轴的上方部分的 𝑦>0, ∴ 当 𝑦>0 时，𝑥 的取值范围是 −3<𝑥<1. B 1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的一个交点为(－2，0)，且对称轴为直线x＝2，则ax2＋bx＋c＋1＝0的根(x1<x2)的范围是(　　) A．－2<x1<x2<2 B．－2<x1<x2<4 C．x1<－2<x2<6 D．－2<x1<x2<6 返回 5. D 举一反三 对于抛物线y＝x2－4x－6. (1)将抛物线的解析式化为顶点式； 返回 6. 解：y＝x2－4x－6＝(x2－4x＋4)－4－6＝(x－2)2－10. 举一反三 (2)补全下列表格，在如图所示的坐标系中利用五点法画出此抛物线； 返回 x …   0 2   6 … y …           … 解：补全表格如下： x … －2 0 2 4 6 … y … 6 －6 －10 －6 6 … 抛物线如图所示． 举一反三 (3)结合图象，当－2<x<3时，y的取值范围为__________； (4)结合图象及所学习的知识，估算x2－4x－6＝0的两个近似根为__________________(精确到0.1，误差不超过0.2)． 返回 －10≤y<6 x1＝－1.2，x2＝5.2 举一反三 估计一元二次方程的近似根 二次函数与一元二次方程 求解一元二次不等式的解集 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集 1.画图；2.定位；3.试值；4.定根 课堂小结 谢谢观看 THANKS $