26.3 二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学学案聚焦二次函数图象与一元二次方程根、不等式解集的关系及近似根求法。通过回顾判别式与抛物线交点的关系搭建学习支架，衔接方程根的情况与图象特征，系统梳理从方程根到不等式解集的知识脉络。 该资料突出数形结合思想，借助表格对比和二分法步骤培养几何直观与推理意识。练习设计结合图象与表格数据，引导学生用数学眼光观察函数变化，用数学思维推理近似根的逼近过程，有效提升知识应用与问题解决能力。

26.3（第2课时)利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 人教版九年级上册第二十六章二次函数 一、学习目标 1.知道抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数， a≠0)的根的情况之间的关系。 2.掌握利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值的方法，会用二分法逐步逼近得到满 足精度要求的近似根。 3.理解二次函数图象与一元二次不等式解集的关系，能从图象中直接读出不等式的解集。 4.体会"数形结合"的数学思想，感受"以形助数、以数辅形“的思维方法。 二、知识梳理 回顾：二次函数图象与x轴交点与判别式△的关系 判别式△ 抛物线与x轴交点 交点个数 一元二次方程根的情况 4=b2-4ac>0 有两个交点 2个 有两个不相等的实数根 △=b2-4ac=0 有一个交点（相切） 1个 有两个相等的实数根 4=b2-4ac<0 没有交点 0个 没有实数根 利用二次函数图象求一元二次方程近似根的方法 步骤 内容说明 第一步：画图 画出对应二次函数y=ax2+bx+c的图象 第二步：观察 观察图象与x轴的交点，估计根的大致范围 第三步：逼近 在交点附近取点计算函数值，根据y的正负变 第四步：得结果 当区间长度小于精度要求时停止，取区间内 二次函数图象与一元二次不等式解集的关系（a>0,开口向上) X 二次函数与不等式关系：a>0时的关系表 交点情况 ax2+bx+c>0的解集 ax2+bx+c<0的解集 △>0（两个交点x1<x2) X<x1或X>X2 X1<X<X2 △=0（一个交点x) X≠Xo 无解 △<0（无交点） 全体实数 无解 二次函数图象与一元二次不等式解集的关系（<0，开口向下) X 二次函数与不等式关系：a<0时的关系表 交点情况 ax2+bxtc>0的解集 ax24bx+c<0的解集 △>0（两个交点x1<x2) X<X<X2 x<X1或x>X2 △=0（一个交点x,) 无解 X≠Xo △<0（无交点） 无解 全体实数 核心结论 1.二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0的根。 2.利用二次函数图象求一元二次方程近似根的步骤：画y=Qx+bx+c的图象→观察 与x轴交点→在交点附近取点，根据函数值y的正负变化二分法逼近→当区间长度小于精 度要求时停止，得近似根。 3.二次函数图象与不等式解集：抛物线在x轴上方ax2+bx+c>0的解集；抛物线 在x轴下方台ax2+bx+c<0的解集。注意a的符号（开口方向）和△的值对解集形式的 影响。 三、课堂练习 练习1 利用二次函数的图象求一元二次方程2x+x-15=0的近似根。 练习2 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）。 (1)x2-3x+1=0 2 3 函数y=x2-3x+1的图象 练习3 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）。 (2)-x2-x+1=0 2 上物0 -2 -1 0 1 2 x -1 函数y=-x2-x+1的图象 练习4 根据下列表格的对应值，判断方程 ax+bx+c=0a≠0，a,b,c为常数) 一个解x的范围是()。 A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24Kx<3.25 D.3.25<x<3.26 练习5 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，回答下列问题。 (1)方程ax2+bx+c=0的根是； 2)不等式ax+bx+c>0的解集是； (3)不等式ax+bx+c<0的解集是。 练习6 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=-1,与x轴的一个交点为(-5,0)，则关于x的不等式 ax2+bx+c≤0 的解集为 x=一1： 5 抛物线y=ax2+bx+c,对称轴x=-1,与×轴一个交点为(-5,0) 练习7 如图，抛物线y=-x2+bx与坐标轴交于0，B两点，直线y=kx-2与抛物线交于A,B两点， 已知点B的坐标为(2,0)。 抛物线y=-x2+b×与直线y=kx-2的图象 (1)求抛物线和直线的解析式： (2)求出点A的坐标，并结合图象直接写出不等式x+bx-x>-2的解集。 四、参考答案 练习1答案 解：画出函数y=2x2+x-15的图象，如图所示。 它与x轴的公共点的横坐标大约是-3,2.5。 所以方程2x+x-15=0的实数根为x1N-3,x2≈2.5。 练习2答案 解： 画出y=x-3x+1的图象，观察与x轴的交点。 取x=0时，y=1>0;取x=0.5时，y=0.25-1.5+1=-0.25<0, 函数值由正变负，根在0~0.5之间。 继续二分法逼近，得x,0.4。 取x=2.5时，y=6.25-7.5+1=-0.25<0;取x=3时，y=9-9+1=1>0, 根在2.5~3之间。继续逼近，得x,≈2.6。 答案：X1≈0.4，X2≈2.6。 练习3答案 解： 画出y=-x-x+1的图象（注意a=-1<0,开口向下)， 观察与x轴的交点，用二分法逼近。 答案：X1≈-1.6，x2≈0.6。 练习4答案 答案：C 解析：观察表格中y=ax2+bx+c的值，当x=3.24时y=-0.02<0, 当x=3.25时y=0.03>0,函数值由负变正， 说明在3.243.25之间有一个根。 练习5答案 (1)方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3。 (2)不等式ax+bx+c>0的解集是x<-1或x>3。 (3)不等式ax2+bx+c<0的解集是-1<x<3。 解析：从图象中可以看到，抛物线与x轴的两个交点横坐标分别是-1和3。抛物线在x轴上 方的部分对应的x范围是x<-1或x>3,抛物线在x轴下方的部分对应的x范围是-1<x<3。 练习6答案 答案：x≤-5或x≥3。 解析：对称轴是x=-1,一个交点为(-5,0)， 因为对称轴到两个交点的距离相等， 所以另一个交点为(3,0)。 从图象可以看出抛物线开口向上（α>0）， 不等式ax+bx+c≤0的解集是x≤-5或x≥3。 练习7答案 (1)解： 因为B(2,0)是抛物线y=-x2+bx与直线y=x-2的交点， 所以-4+2b=0,解得b=2。 代入直线得2k-2=0,解得k=1。 故抛物线和直线的解析式分别为y=-x2+2x,y=x-2。 (2)解： 联立抛物线和直线的解析式，得-x2+2x=x-2, 整理得x2-x-2=0,解得X1=2,x2=-1。 所以点A的坐标为1，-3)。 观察函数图象知，不等式-x2+2x>x-2的解集为-1<x<2, 即不等式-x2+2x-x>-2的解集为-1<x<2。