4.4.2对数函数的图象和性质的应用第2课时 同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 高中数学对数函数同步练，分层设计从基础概念到创新探究，梯度清晰，覆盖性质应用与数学思维，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反函数、奇偶性等单一性质|选择填空为主，如第2题奇偶性判断，夯实概念理解| |中层层|性质综合应用|含多选与解答，如第10题定义域与最值计算，深化推理能力| |拔高层|新定义与实际情境|结合探究题，如第16题函数生成分析，培养创新意识与应用能力|

第2课时　对数函数的图象和性质的应用 1. 函数与互为反函数，且的图像过点，则（　　） A.  B.  C.  D.  2.函数y＝lg｜x｜是（　　） A.偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增 B.偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递减 C.奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增 D.奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递减 3.函数f（x）＝log2（1－x）的图象为（　　） 4. (2025秋·雨花区校级月考) 已知的反函数为，若，则等于（　　） A.  B.  C.  D.  5.（多选）函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则下列结论正确的是（　　） A.f（x2）＝2f（x） B.f（2x）＝f（x）＋f（2） C.f＝f（x）－f（2） D.f（2x）＝2f（x） 6.（多选）已知函数在其定义域内单调递增，且，若的反函数为，则（　　） A.  B. 在定义域内单调递增 C.  D. 在定义域内单调递减 7.如果函数f（x）＝（3－a）x与g（x）＝logax的单调性相同，则实数a的取值范围是　　　　. 8.设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝　　　　. 9.函数f（x）＝log2·lo（2x）的最小值为　　　　. 10.已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1）. （1）求函数f（x）的定义域； （2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值. 11. (2025高一上·铜仁月考) 若函数，则不等式的解集为（　　） A.  B.  C.  D.  12.（多选）任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f（）＞恒成立，则f（x）称为[a，b]上的凸函数，下列函数中在其定义域上为凸函数的是（　　） A.y＝2x B.y＝log2x C.y＝－x2 D.y＝ 13.设函数f（x）＝｜log2x｜.若0＜a＜1＜b且f（b）＝f（a）＋1，则a＋4b的取值范围为　　　　. 14. (2025高一上·邯郸冀南新月考) (1) 已知，求函数的定义域； (2) 解不等式：． 15.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax（a＞1）的图象上，则实数a＝　　　　. 16.对于等式ab＝c（a＞0，a≠1），如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a（即x）的函数，记为y，那么y＝xb，是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c为关于b（即x）的函数，记为y，那么y＝ax，是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c（即x）的函数，记为y，那么 y＝logax，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型. （1）如果c为常数e（e为自然对数的底数），将a视为自变量x（x＞0，x≠1），则b为x的函数，记为y，那么xy＝e.试将y表示成x的函数f（x）； （2）研究函数f（x）的性质.你还能运用这个等式得到什么样的函数？这些函数分别具有哪些性质？ 第2课时　对数函数的图象和性质的应用 1.B　设，于是，即反函数表达式为：，由，解得，于是．故答案为：B . 2.B　易知函数y＝lg｜x｜是偶函数.当x＞0时，y＝lg｜x｜＝lg x，所以在区间（0，＋∞）上单调递增.由偶函数的性质知，函数在区间（－∞，0）上单调递减. 3.A　函数的定义域为（－∞，1），排除B、D项，函数f（x）＝log2（1－x）为减函数，排除C项，故A项正确. 4.C　因为的反函数为，当时，则，所以，故选：C． 5.ABC　因为函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，所以f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.所以f（x2）＝logax2＝2logax＝2f（x），f（2x）＝loga2x＝loga2＋logax＝f（x）＋f（2），f＝logax＝logax－loga2＝f（x）－f（2）.所以选项A、B、C正确. 6.AB　因为，则由反函数的定义可知：，且函数在定义域内单调递增，所以，正确，，错误. 7.（1，2）　解析：若f（x），g（x）均为增函数，则即1＜a＜2；若f（x），g（x）均为减函数，则无解，故1＜a＜2. 8.4　解析：∵a＞1，∴f（x）＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga（2a）－logaa＝，即loga2＝，∴＝2，a＝4. 9.－　解析：由题意得f（x）＝log2x·（2＋2log2x）＝（log2x）2＋log2x＝（log2x＋）2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时，等号成立，因此函数f（x）的最小值为－. 10.解：（1）由题意得解得－1＜x＜3.所以f（x）的定义域为（－1，3）. （2）f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）]＝loga（－x2＋2x＋3）＝loga[－（x－1）2＋4]，－1＜x＜3， 若0＜a＜1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4， 所以loga4＝－2，即a－2＝4.又0＜a＜1，所以a＝. 若a＞1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值. 综上可知，a＝. 11.C　函数定义域为，因为函数与在上均为单调递增函数，所以函数在区间上单调递增，则不等式，即，解得，故不等式的解集为. 故答案为：C. 12.BCD　由题意知，若函数f（x）为凸函数，则在函数y＝f（x）的图象上任取两个不同的点A，B，线段AB（原点除外）总在f（x）图象的下方，分别作出四个函数的图象，如图所示.观察各函数在定义域上的图象，知y＝log2x，y＝－x2，y＝是凸函数，故选B、C、D. 13.（9，＋∞）　解析：函数f（x）＝｜log2x｜的图象如图所示.∵0＜a＜1＜b且f（b）＝f（a）＋1，∴log2b＝－log2a＋1，∴log2b＋log2a＝1，log2（ab）＝1，即ab＝2，∴a＋4b＝a＋4×＝a＋.利用对勾函数的性质知，函数y＝a＋在（0，1）上单调递减，∴y＞1＋＝9，∴a＋4b的取值范围为（9，＋∞）. 14.解：（1）依题意，，解得，因此或， 所以原函数的定义域为； （2）函数在上为增函数， 则，解得， 所以原不等式的解集为． 15.　解析：设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x'，2logax），即logax'＝2logax，∴x'＝x2，∴正方形ABCD的边长｜BC｜＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知得AB垂直于x轴，∴A（x，3logax），正方形ABCD边长｜AB｜＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝. 16.解：（1）易知f（x）＝. （2）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，＋∞）； 值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 单调性：在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递减. 函数1：在ab＝c中，令c＝e，b＝x视为自变量（x≠0），a＝y为关于x的函数.则yx＝e⇒y＝（x≠0）. 此函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为（0，1）∪（1，＋∞）.在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递减. 函数2：在ab＝c中，将c视为自变量x，b视为常数3，a＝y（a＞0，且a≠1）视为关于x的函数. 则y3＝x，y＝，定义域为（0，1）∪（1，＋∞），值域为（0，1）∪（1，＋∞），在（0，1），（1，＋∞）上单调递增. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $